分式求值运算中常用的思想方法(含答案)-

分式求值运算中常用的思想方法
当分式中的字母的满足已知等式时，求分式的值，是中考和竞赛中常见的一类计算题．解题时常用的思想方法有下列几种：
一、消元思想
例1．若x y y x 5197-=+，求222
2y
x y x +-的值。

分析与解答：由已知条件得：y x 2=， 则=+-2222y x y x ()()535322222222
==+-y y y y y y . 例2．已知实数z y x ,,满足：0≠xyz ，⎩⎨⎧=+-=-+0
4201332z y x z y x ， 求zx
yz xy z y x +--+2
22的值. 分析与解答：将z 看作“常数”解关于y x ,的二元一次方程组，用z 分别表示y x ,，这样就能实现将三元，转化为一元，最后消元的目的。

再代入待求分式就可以获解。

由已知条件得：⎩
⎨⎧-=-=+z y x z y x 421332 ()()21 解这个关于y x ,的二元一次方程组得：⎩⎨
⎧==z y z x 32 于是：zx yz xy z y x +--+222=()()5125122363222222222==+--+z
z z z z z z z . 二、整体思想
例 3.已知实数y x ,满足：211=-y x ，求y
xy x y xy x 3438-+--的值. 分析与解答1：如果还按照上述消元的思想来解，要用字母y 来表示x ，运算就比较大。

对待求分式运用分式的基本性质可得：
y xy x y xy x 3438-+--=41138)11(+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----y x y x ， 这样我们就可以直接利用已知条件求值。

故原式=41138)11(+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----y x y x =54682=+--- 分析与解答2：由已知211=-y
x 知道：0,0≠≠y x ， 于是对在等式两边同时乘以xy 处分母得：xy y x 2-=-，
再整体代入待求分式即易获解。

原式=xy xy xy xy 4682+---=5210=--xy
xy 例 4．已知2,3-==+xy y x ，求222
2xy
y x y x --的值. 分析与解答：如果由已知条件解方程组求y x ,的值，在目前的学习阶段，不易求出方程组的解。

注意到分子、分母都有公因式y x -，则可以先约分，再整体代入求值。

2222xy
y x y x --=()()()23-=+=--+xy y x y x xy y x y x 三、参数思想
例 5．已知4
32z y x ==，求zx yz xy z y x +-+-2222的值. 分析与解答：由条件可得：2z x =，4
3z y =，再整体代入待求分式可以求值，当运算量较大。

如果设参数，则可以减少计算量。

设k z
y
x
===432，0≠k 。

则k z k y k x 4,3,2===。

所以zx yz xy z y x +-+-2222=()()()1228126432222
2222
22==+-+-k k k k k k k k .
例6．已知3:2:=y x ，求y x y
x y x y x 7665432+-
+++的值。

分析与解答：由条件可设：k y k x 3,2==，则
y x y x y x y
x 7665432+-+++=9920
3381882112181012662=-=+-+++k k k k k k k k .
四、分类讨论思想
例7．若,0=++z y x 0≠xyz ，求y x z
x z y z y x +++++的值。

（自编题）
分析与解答：由已知条件得知z y x ,,这三个数的符号只可能有如下几种可能：
（1）当z y x ,,中是两正一负时，不妨记0,0,0<>>z y x ；
则原式=1111=-+=-+-+-z z
y y
x x
（2）当z y x ,,中是两负一正时，不妨记0,0,0<<>z y x ；
则原式=1111-=--=-+-+-z z
y y
x x
.。