(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 第二课时 分段函数与映

题点四：分段函数的图象及应用 4．若定义运算 a⊙b＝ba，，aa≥＜bb，. 则函数 f(x)＝x⊙(2－x)的值域
为________．
解析：由题意得 f(x)＝2x－ ，xx， ＜x1≥ ，1， 画出函数 f(x)的图象得值域是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]
分段函数求值
|x－1|－2，|x|≤1， [例 2] 已知函数 f (x)＝1＋1 x2，|x|＞1.
(1)求 f

f

1 2
的值；
(2)若 f(x)＝13，求 x 的值．
[解]
(1)因为f

1 2

＝12－1－2＝－32，
所以f

f
题点二：分段函数图象的作法 2．已知 f(x)＝x12，，x－＞11≤或xx≤＜1－，1， 画出 f(x)的图象．
解：利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示．
题点三：由函数的图象确定其解析式 3．已知函数 f(x)的图象如右图所示，则 f(x) 的解析式是________．
解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x＜0 时，设 f(x) ＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则－ b＝a＋ 1. b＝0， ∴ab＝＝11，. 当 0≤x≤1 时，设 f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则 k＝－1. 答案：f(x)＝x－＋x1，，0－ ≤1x≤ ≤x1＜0，
按照对应关系 y＝2x，在 B 中都有唯一的元素与之对应，所以(3) 是映射．
判断一个对应是不是映射的 2 个关键 (1)对于 A 中的任意一个元素，在 B 中是否有元素与 之对应． (2)B 中的对应元素是不是唯一的．
[点睛] “一对一”或“多对一”的对应才可能是映射．
[活学活用] 1．已知 A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合 A 到集合 B 的映射
A．2
B．4
C．－2
() D．2 或 4
答案：A
3．已知集合 A＝{a，b}，集合 B＝{0,1}，下列对应不是 A 到 B
的映射的是( )
答案：C 4．函数 f(x)＝23， ，1x≤ ≥x2＜2， 的定义域为________．
答案：[1，＋∞)
映射的概念
[例 1] 下列对应是不是从 A 到 B 的映射？ (1)A＝B＝N*，f：x→|x－3|； (2)A＝N，B＝Q，f：x→1x； (3)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|2≤y≤5}，f：x→y＝2x.
[解] (1)当 x＝3∈A 时，|x－3|＝0 B，即 A 中的元素 3
在 B 中没有元素与之对应，所以(1)不是映射． (2)当 x＝0∈A 时，1x无意义，即 A 中的元素 0 在 B 中没有
元素与之对应，所以(2)不是映射． (3)当 1≤x≤2 时，2≤2x≤4，而且对于 A 中每一个 x 值，
第二课时 分段函数与映射
预习课本 P21～23，思考并完成以下问题 (1)什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？ (2)怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？ (3)映射的定义是什么？映射和函数的关系怎样？
[新知初探] 1．分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值 范围，有着不同的 对应关系 的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的 定义域、值域的 并集 ；各段函数的定义域的交集是 空集 ．
分段函数的图象及应用
题点一：分段函数的图象的判定 1．函数 f(x)＝|x－1|的图象是( )
解析：法一：函数的解析式可化为 y＝x1－－1x，，xx≥＜11，. 画出此 分段函数的图象，故选 B. 法二：由 f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除 A、C、D，故 选 B. 答案：B
1．求分段函数的函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．求某条件下自变量的值的方法 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相 应求出自变量的值，切记代入检验．
[活学活用] 2．已知 f(x)＝2fxx，＋x2＞，0，x≤0， 则 f(－5)的值等于________．
的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B
的 一个映射 ．
[点睛] 映射由三要素组成，集合 A，B 以及 A 到 B 的对应 关系，集合 A，B 可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．
[点睛] (1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数 而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如 y ＝1x， ，－ 0＜2≤x≤x≤3，0， 其“段”是不等长的．
2．映射的概念 设 A，B 是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，
使对于集合 A 中的 任意 一个元素 x，在集合 B 中 都有唯一 确定
f：x→2xx＋1. (1)与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么？ (2)与 B 中元素49相对应的 A 中的元素是什么？
解：(1) A 中元素 1，即 x＝1，代入对应关系得2xx＋1＝2×11＋1 ＝13，即与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是13. (2) B 中元素49，即2xx＋1＝49，解得 x＝4，因此与 B 中元素49相 对应的 A 中的元素是 4.
(√ )
(2)分段函数由几个函数构成．
(× )
(3)函数 f(x)＝x－＋x1＋，3，x≤x1>，1 是分段函数．
(√ )
(4)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B
的映射．
(× )
2．已知 f(x)＝－x2，x，x＞x≤0.0， 则 f(－2)＝
解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1 ＋2)＝f(1)＝2×1＝2. 答案：2
x2＋2，x≤2，
3．函数 f(x)＝45x，x＞2.
若 f(x0)＝8，则 x0＝________.
解析：当 x0≤2 时，f(x0)＝x20＋2＝8，即 x20＝6， ∴x0＝－ 6或 x0＝ 6(舍去)； 当 x0>2 时，f(x0)＝45x0，∴x0＝10. 综上可知，x0＝－ 6或 x0＝10. 答案：－ 6或 10

1 2


＝f

－32

＝1＋

1 －
3 2

2＝143.
(2)f(x)＝13，若|x|≤1，则|x－1|－2＝13，
得x＝130或x＝－43.
因为|x|≤1，所以x的值不存在；
若|x|>1，则1＋1 x2＝13，得x＝± 2，符合|x|＞1.
所以若f(x)＝13，x的值为± 2.