罗湖中学北师大版数学中考样卷3(附答案)

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罗湖中学北师大版数学中考样卷3（附答案） 一、选择题
1. 下列图形是正方体的表面展开图的是（ ）
2. 下列事件中为必然事件的是（ ）
A ．早晨的太阳一定从东方升起 B.打开数学课本时刚好翻到第60页 Ｃ.从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上 Ｄ.今年14岁的小云一定是初中学生
3. 将一副三角板如图放置，使点
A 在DE 上，BC DE ∥，
则AFC ∠的度数为（ ）
A.45°
B. 50°
C. 60°
D. 75°
4.
函数y =
x 的取值范围是（ ） A.1x -≥ B. 1x >-
C. 1x -≥且0x ≠
D. 1x >-且0x ≠
5. 方程()12x
x -=的解是（ ）
A.1x =-
B. 2x =-
C. 1212x x ==-，
D.1212x x =-=，
6. 某品牌服装折扣店将某件衣服按进价提高50%后标价，再打8折（标
价的80%）销售，售价为240元.设这件衣服的进价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A ．50%80%240x ⨯=· B.()150%80%240x +⨯=· C.24050%80%x ⨯⨯= D. ()150%24080%x +=⨯·
7. 学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图
②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC 剪下ABC △，展开即可得到一个五角星.如果想得到一个正五角星（如图④），那么在图③中剪下ABC △时，应使ABC ∠的度数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
A
D
C
B
F
E
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A.126°
B. 108°
C. 100°
D. 90°
8. 在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆
的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ） A ．
14 B. 13 C. 12 D. 3
4
9. 如图，反比例函数()0k
y x x
=
>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，
分别与AB BC 、相交于点.D E 、若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为（ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4
10. .如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的
中点，且AF AB ⊥，若 2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为（ ）
A
．
B. 1
C. 2.5
D. 2.3
11. 计算－（－5）的结果是（ ）．
（A ）5 （B ）－5 （C ）
15 （D ）－1
5
二、填空题
75a b c a +=-=，，
设S a b c
=++的值为___________. ，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE D 为BF 的中点，AE AF :的值为
① ②
③
④
B A
D
F
C
E
A F
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14.
x 取值范围是＿＿＿＿＿＿．
15. 如图，□ABCD 中，点A 关于点O 的对称点是点＿＿＿＿．
16. 在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、
“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
17. 如果方程2
430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的
角为A ，那么tan A 的值为＿＿＿＿＿＿＿．
三、计算题
18. 已知(
)1
012cos 451201013a b c d π-⎛⎫
==+=-= ⎪⎝⎭
，°，，
（1）请化简这四个数；
（2）根据化简结果，列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差，然后计算结果.
四、证明题
19. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，
点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于
点.D
（1）求证：AD 平分.BAC ∠ （2）若3 4.AC AE ==，
①求AD 的值；②求图中阴影部分的面积.
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五、应用题
20. 学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时
间”进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
（1）“平均每天参加体育活动的时间”“为0.5~1小时”部分的扇形统计图的圆心角为______度；
（2）本次一共调查了_________名学生； （3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校有2000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.
21. 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河
段进行区域性景观打造.如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点A ，再在河这边沿河取两点B C 、，在点B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在点C 处测得点A 在西北方向上，量得BC 长为200米.请你求出该河段的宽度（结果保留根号）.
22. 一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销
售后获利的情况如下表所示：
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.
（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工.
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①试求出销售利润W 元与精加工的蔬菜吨数m 之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？
六、复合题
23. 如图，△ABC 内接于⊙O ，且∠B = 60︒．过点C 作圆的切线l 与直径AD 的
延长线交于点E ，AF ⊥l ，垂足为F ，CG ⊥AD ，垂足为G ． （1）求证：△ACF ≌△ACG ；
（2）若AF = 43，求图中阴影部分的面积．
七、开放题
24. 阅读理解：
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐
标系中，任意两点
()()1122P x y Q x y ，、，的对称中心的坐标为1212.2
2x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭，
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点()()120123P P -、，的对称中心是点A ，则点A 的坐
标为_________；
（2）另取两点()()1.62.110.B C --，、，有一电子青蛙从点1P 处开始依次
关于点A B C 、、
作循环对称跳动，即第一次跳到点1P 关于点A 的对称点2P 处，接着跳到
3P 关于点C 的对称点4P 处，第四次再跳到点
5处，…则点38P P 、的坐标分别为_________、
（3）求出点2012P 的坐标，并直接写出在x 轴上与点2012P 、点C 构成等腰
三角形的点的坐标.
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八、猜想、探究题
25. 如图，抛物线y = ax 2
+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴
交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．
26. 如图，
A C D
△和BCE △都是等腰直角三角形，90ACD BCE AE ∠=∠=°，交CD 于点F BD ，分别交CE AE 、于点.G H 、试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由.
A
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一、选择题
第1题答案.
C
第2题答案.
A
第3题答案.
D
第4题答案.
C
第5题答案.
D
第6题答案.
B
第7题答案.
A
第8题答案.
C
第9题答案.
B
第10题答案.
D
第11题答案.
A
二、填空题
第12题答案.
7
第13题答案
.
1
2
第14题答案.
1x ≥
第15题答案.
C
第16题答案.
接近
16
第17题答案.
13
或4
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三、计算题
第18题答案.
解：（1）1
1(
)33
n -==
，
2cos 45121b =+=+
°1=，0(2010π)c =- 1=，
11d =-=
4分
（2）
a c ，为有理数，
b d ，为无理数，
5分
311)a c bd ∴+-=+-
6分
=4(21)3--= 7分
四、证明题
第19题答案.
（1）证明：连接OD ，则O A O D
=，DAO ODA ∴∠=∠. 1分
BC 是O ⊙的切线， .OD BC ∴⊥
AC BC OD AC ∴⊥，∥，
2分 .CAD ODA ∴∠=∠
DAO CAD AD ∴∠=∠∴，平分.BAC ∠
4分 （2）①连结ED ，AE 为直径，90ADE C ∴∠=∠=°． 又由（1）知DAO CAD ADE ACD ∠=∠∴，△∽△，
6分 AD AC
AE AD
∴
=， 7分
34AC AE ==，，
23412AD AE AC ∴==⨯=·，
AD ∴==
②在Rt ADE △
中，cos 42
AD DAE AE ∠=
== 30DAE ∴∠=°．
120 2.AOD DE ∴∠==°，
111222AOD ADE S S AD DE ∴==⨯=△△·
2120π24
π.3603
AOD S ⨯=扇形=
4
π3
AOD AOD S S S ∴-=
△阴影扇形= 12分
五、应用题
第20题答案. 解：（1）54
（2）200
7分
100
=（人） 9分
BC
⊥于点D. 1分
90306045
ACD
=-=∠=
°°°，°．2分
ACD CAD
∴∠=∠，
200.
AD
=-4分
tan
AD
ABD
BD
∠=，
(200)tan60)
ABD AD AD
∠=-=-
·°．7分
300
=-9分
答：该河段的宽度为（300-.
第22题答案.
解：（1）设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工，
根据题意得
12
515140.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
4
8.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工.
（2）①精加工m吨，则粗加工（140m
-）吨，根据题意得
20001000(140)
W m m
=+-
=1000140000
m+
②要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，
140
10
515
m m
-
∴+≤解得5
m≤
05
m
∴<≤
又在一次函数1000140000
W m
=+中，10000
k=>，
W
∴随m的增大而增大，
∴当5
m=时，5140000145000.
W⨯+=
最大
=1000
∴精加工天数为55
÷=1，
粗加工天数为(1405)159
-÷=．
∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000
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元. 10分
六、复合题
第23题答案.
（1）如图，连结CD ，OC ，则∠ADC =∠B = 60︒． ∵ AC ⊥CD ，CG ⊥AD ，∴ ∠ACG =∠ADC = 60︒．
由于 ∠ODC = 60︒，OC = OD ，∴ △OCD 为正三角形，得 ∠DCO = 60︒． 由OC ⊥l ，得 ∠ECD = 30︒，∴ ∠ECG = 30︒ + 30︒ = 60︒． 进而 ∠ACF = 180︒－2×60︒ = 60︒，∴ △ACF ≌△ACG ． （2）在Rt △ACF 中，∠ACF = 60︒，AF = 43，得 CF = 4． 在Rt △OCG 中，∠COG = 60︒，CG = CF = 4，得 OC =3
8． 在Rt △CEO 中，OE =
3
16．
于是 S 阴影 = S △CEO －S 扇形COD =360
60212OC CG OE ⋅-⋅π=9)
33(32π-．
七、开放题
第24题答案.
解：（1）（1，1） 2分 （2）（5.21-，） 4分 （2，3） 6分 （3）
1(01)P ，-→2(23)P ，
→3( 5.21.2)P -，→4(3.2 1.2)P -，→5( 1.23.2)P -，→6(21)P -，→7(01)P -，→8(23)P ，…
∴7P 的坐标和1P 的坐标相同，8P 的坐标和2P 的坐标相同，即坐标以6为
周期循环.
20126÷=335…2，
2012P ∴的坐标与2P 的坐标相同，为2012(23)P ，；
在x 轴上与点2012P 、点C 构成等腰三角形的点的坐标为
(20)10)(50)，，，， 12分 （1）由题意，得 ⎩⎨⎧=++=+-,
0424,04416b a b a 解得
21-=a ，b =－1．
所以抛物线的解析式为42
12+--=x x y ，顶点D 的坐标为（－1，29
）．
（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，
使DH + CH 最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =132
322=+DM BM ． 而
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2
5
)429(122=
-+=CD ． ∴ △CDH 的周长最小值为CD + DR + CH =2
13
35+． 设直线BD 的解析式为y = k 1x + b ，则 ⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+,29,021111b k b k 解得 23
1-=k ，b 1 = 3． 所以直线BD 的解析式为y =2
3
-
x + 3． 由于BC = 25，CE = BC ∕2 =5，Rt △CEG ∽△COB ， 得 CE : CO = CG : CB ，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G （0，1.5）．
同理可求得直线EF 的解析式为y =21x +2
3
．
联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （
43，8
15
）． （3）设K （t ，42
1
2+--t t ），x F ＜t ＜x E ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ．
则 KN = y K －y N =4212+--t t －（21t +2
3
）=2523212+--t t ．
所以 S △EFK = S △KFN + S △KNE =21KN （t + 3）+2
1
KN （1－t ）= 2KN = －t 2－3t + 5 =
－（t +2
3
）2 +429．
即当t =－23时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时K （－2
3，835
）．
第26题答案.
解：猜测 AE BD AE BD =，⊥．
2分
理由如下：
90ACD BCE ∠=∠=°，
ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠，
即.ACE DCB ∠=∠ ACD ∴△和BCE △都是等腰直角三角形.
AC CD CE CB ∴==，， ACE DCB ∴△≌△．
AE BD ∴=，
.CAE CDB ∠=∠
90AFC DFH DHF ACD ∠=∠∴∠=∠=，°．
AE BD ∴⊥．
9分。