江西省南昌市八一中学2021学年下学期高二年级期末考试数学试卷(文科)

江西省南昌市八一中学2020-2021学年下学期高二年级期末考试数学试卷
（文科）
一、单选题共60分
1．已知集合{}{
}
2
13,650A x x B x x x =-<=-+<，则A B =（ ）
A ．(1,4)
B ．(4,2)-
C ．(1,2)-
D ．(4,4)- 2．复数212i
z i
-+=
+i 是虚数单位，则的共轭复数z =（ ） A ．-1 B ．-i C ．1 D ．i
3．已知20,410x x x ∀>++>2
000,210x x x ∃∈++=R p q ⌝∧p q ∧p q ∧⌝p q ⌝∧⌝2sin 2
3y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭1
4
2cos 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭22sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10
03
x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2x y -3-1-32
ABC ,,A B C ,,a b c 6026,4A a b =︒==，B =45︒135︒45︒135︒
2212π2
2ππ
+24π+π1
2log 2x y =-x y +3322
3233
332
223
3y x =1y x =1y x =-22x x y -=-1111ABCD A B C D -AC 1B C AC
1A D 1BD BC AC 1BD 12,F F 22
143
x y +=12AF F △121333()ln 12a f x x a x x =+--+12,x x a 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭()0,∞+11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,a x =()1,b x =-2a b -b a 22
11620
x y -=(6,0)(6,0)-ABC 23A π
=21,2BC AC AB ==ABC
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
P ABCD -PA ⊥
{}n a n 3,9n S S =1231,1,3a a a +++{}n a 1
1n n a a
+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n n T 1
3n T ≥
22(0)y px p => 11(,)32的距离为5
6
（1）求抛物线C 的方程；
（2）A ､B ､D 是抛物线C 上不同三点，且△ABD 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，求ABD
S 的最小
21．已知()x
f x e ax a =+-（a ∈R 且0a ≠）．
（1）若0x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值，并求此时()f x 在[]
2,1-上的最小值； （2）当4a =-时，求证：()2
30f x x +->．
四、选考题共10分。

请考生在第22，23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
ρθ=．
（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足2AP AM =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，
并判断C 与1C 是否有公共点．
23．已知函数()()22f x x a x a R =-+-∈． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集； （2）若[]2,1x ∈
-时，不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题
1--5 ABBAB 6-10 ADADD 11-12 DD 二、填空题
13．2 14．17 15
16
． 三、解答题
17（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为
150
75%200
=, 乙机床生产的产品中的一级品的频率为
120
60%200
= （2）()2
24001508012050400
10 6.635270130200200
39
K ⨯-⨯=
=
>>⨯⨯⨯, 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异 18．（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；
因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC , 所以BD ⊥平面PAC
（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A ⋂=所以AE ⊥平面PAB ，
AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE
19．（1）由{}n a 为等差数列，39,S =得239a =，则23,a =
又1231,1,3a a a +++构成等比数列，所以()2
132()(11)3a a a ++=+， 即()461,)6(d d -+=解得2d =或4d =-舍， 所以21n a n =-;
（2）因为
()()11111
21212)2121
1(n n a a n n n n +=--+-+=， 所以12231111n n n T a a a a a a +=
+++…111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭
11111213221
n n n =
=≥=+++
20．（1）由焦点F (
,0)2p
，距离公式可得5
6MP ==， 解得2p =或者2
3
p =-
（舍），
所以抛物线方程为24y x =，
（2）设(
)(
)(
)
2
2
2
4,4,4,4,4,4A a a B b b D d d ，22222
18()()2
ABD
S
AB a b a b ⎡⎤=
=-+-⎣⎦， 由△ABD 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，如图，,A B 分别作垂直和平行于x 轴的直线相交于M ，过,B D 分别作垂直和平行于x 轴的直线相交于N 则
ABM DBN ≅，所以BM BN =，所以2
222()()a b b d -=-，
所以222222
18()()822()2
ABD
S
AB b d a b a b d b a d ⎡⎤⎡⎤=
=-+-=++-+⎣⎦⎣⎦（*）， 由AB BD ⊥，可得2
2
2
2
(44)(44)(44)(44)0a b d b b a b d --+--=，
整理可得[]
()()()()10b a d b b a d b --+++=，由,,a b d 互不相等，所以()()10b a d b +++=，即
21()b ad b a d ++=-+，带入（*）式可得：
222222
8(2222)84()2ABD
S
a b d b ad b a d ⎡⎤=+++++=+++⎣⎦，
当0,b a d ==-时，△ABD 的面积最小，此时16ABD
S =
21．（1）函数()f x 的定义域为R ，()x f x e a '=+，()0
00f e a '=+=，
所以1a =-（经验证1a =-满足题意）所以()1x
f x e '=-
在()2,0-上()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，
所以0x =时()f x 取最小值为0
(0)12f e =+=所以()f x 在[]
2,1-的最小值为2；
（2）当4a =-时，令()()2
2
413x
g x f x x e x x =+=-++-，
()42x g x e x '=-+，令()42x x e x h -+=，因为()20x h x e '=+>恒成立，
所以()g x '在R 上单调递增，()()030,120g g e '=-<'=->，
由零点存在性定理可得存在()00,1x ∈，使得0()0g x '=，即00420x
e x -+=，
当0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x g x '<单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增， 所以()02
2
2
00000000min 4142416)5(x
g x g x e x x x x x x x ==-++=--++=-+，()00,1x ∈，
由二次函数性质可得()()min 10g x g >=，所以()0g x >，即()2
30f x x +->得证．
22．（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，
将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(2
22x y +=，
即曲线C 的直角坐标方程为(2
22x y -+=；
（2）设(),P x y ，设)
M
θθ
2AP AM =，
())()
1,22cos x y θθθθ∴-=-=+，
则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨
=⎪⎩32cos 2sin x y θθ
⎧=-⎪
⎨=⎪⎩，
故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θ
θ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）
曲线C 的圆心为
)
，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，
则圆心距为3-3222-<∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点
23．（1）当2a =时，()222f x x x =-+-
当1x ≤时，()222432f x x x x =-+-=->，解得23x <
，此时2
3
x <； 当12x <<时，()2222f x x x x =-+-=>，此时x ∈∅；
当2x ≥时，()222342f x x x x =-+-=->，解得2x >，此时2x > 综上所述，当2a =时，不等式()2f x >的解集为()2,2,3
⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭
；
（2）若[]2,1x ∈
-，则2222x x -=-，
由()2232f x x a x x =-+-≤-，可得1x a -≤，即11x a -≤-≤，解得11a x a -≤≤+， 对任意的[]2,1x ∈-时，不等式()32f x x ≤-成立，则[][]2,11,1a a -⊆-+，
所以，12
11a a -≤-⎧⎨
+≥⎩
，此不等式组无解
故实数a 的取值范围为∅。