2013第十五章之动力学5多自由度体系的振动分析与计算频率的近似法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一 般 多 自 由 度 的 体 系 的 自 由 振 动 主 振 型 的 正 交 性 多自由度体系在任意荷载作用下的受迫 振 动 — 振 型 分 解 法 无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动 近 似 法 求 自 振 频 率
1
*§15.6 一般多自由度的体系的自由振动
yn
yn
yi
..
mi yi Ki 0 (i 1, 2,..., n) Ki ki1 y1 ki 2 y2 ... kin yn (i 1, 2,..., n)
..
.......... .......... .......... .......... ... ... ... .......... ... ....... ... ... ... .. .. m y k y k y ... k y 0 m y k k ... k n n nn y n 0 n n n1 nn n 2 n1 1 n 2 2
2 i
8
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程： 由刚度法振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}=｛0｝
令λ=1/ω2
得频率方程： 其展开式:
是关于λ的n次代 数方程,先求出λi 再求出频率ωi
( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}=｛0｝
5Y1i (8i )Y2i 3 0 （a） 5 3Y2i (3i ) 0
mi的运动方向与单位位
Yij为正时表示质量
0.924 5Y1i (8i )Y2i 3 0 Y22 3 0 ( 2) 2 6.680 5Y12 1.320 Y 1 . 227 3Y2i (3i ) 0 3Y22 3.680 0 1 1 1 1
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
6
*§15.6.1 一般多自由度的体系的自由振动---柔度法
yn
yn 各结点的总位移 = 各惯性力引起的位移的叠加
yi
mi yi
yi
y1
y1
y1 y1 11 12 1n m1 y m y 2 21 22 2n 2 2 yn yn n1 n 2 nn mn y1 0 0 y 2 mn yn 0
移方向相同，为负时， 表示与单位位移方向相 反。
5Y11 6.70Y21 3 0 3Y21 1.707 0
1 1.293
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
n1 1 n2 2 nn n
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}=｛0｝ 可求出n个主振型.
可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当 计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的 9 刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。
层间侧移刚度系数如左图。δ=1/k 书例15.15： 质量集中在楼层上， 层间柔度系数等于层间刚度系数的倒数 P=1 δ31 m δ32=4δ δ33=9δ k 5
y1 11 12 1n m1 y 2 21 22 2n y n2 nn n n1
m2
7
y1 11 12 1n m1 y 2 21 22 2n y n2 nn n n1
2 1 m2Y21
m1
m2
主振型的位移幅值恰好 为相应惯性力幅值产生 的静力位移。
Y11
2 2 m1Y12
Y21
Y22 m 2
2 2 m2Y22
m1 Y12
对这两种静力平衡状态，应用功的互等定理可得：
2 2 2 2 (1 m1Y11 )Y12 (1 m2Y21 )Y22 ( 2 m1Y12 )Y11 ( 2 m2Y22 )Y21
λ=1/ω2
解之:
三个频率为： 1 1 0.2936 m
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
2 0.6673
1 m
3 0.9319
1 m
3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
9.60Y11 Y21 1 0 Y (1) 解得： 2Y11 7.60Y21 4 0
5 m k 3 3 2m δ k
δ21
P=1
P=1
δ22=4δ δ12=δ
δ23=4δ
δ13=δ
δ11=δ
解：1）求柔度系数：
δij-----j结点单位力引起 的i结点位移，由层间位移 叠加而得，也可由刚度矩阵 求逆得到：
柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]：
1 1 1 [ ] 1 4 4 1 4 9
得振幅方程：
不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。 标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。
3
质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。 例(书例15.16）： k33=k/5 k =k /5 32 k31=0 1 m k k21=-k/3 5 1 m 2m
k 3
k
k22=8k/15
┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
( 11m1 )
12 m2 ... 1n mn , ... 2n mn P ( K 21m 1 22 m2 ) 0 P K ... ... ... ... m I m ... ( m )
2 2 (1 2 )(m1Y11Y12 mm1Y11Y12 m2Y21Y22 0 主振型之间的
12 第一正交关系
一般说来，设ωi≠ωj 相应的振型分别为：{y（i）}， {y（j）}
主振型满足振幅方程： [K] {Y}=ω2 [M] {Y} ， 且[K] [M]为对称矩阵
mi yi Ki 0 (i 1, 2,......, n) Ki ki1 y1 ki 2 y2 ... kin yn (i 1, 2,..., n)
2
..
kij是结构的刚度系数，使质点 j 产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加的力。
.. ... k1n yn 0 m y k y k y 1 1 11 1 12 2 m1 y1 k11 k12 ... k1n y1 0 .. .. m2 y2 y y 0 k y k ... k y 0 21 1 22 2 2 n n m y k k ... k 2 2 21 22 2n 2
0.163 同理可得第二、 0.569 第三振型 1 11
主振型的正交性
Y1 ( 2 m1Y1 ) 11 ( 2 m2Y2 ) 12 Y2 ( 2 m1Y1 ) 21 ( 2 m2Y2 ) 22
2 1 m1Y11
(15.43a)
2 0 0 [M ] m 0 1 0 0 0 1 10
2）求频率：
2 1 1 1 [ ][ M ] [ I ] m 2 4 4 0 , m m 2 2 4 9
展开得:
15 42 30 0
3 2
1
k23=-k/5 k13=0
k11=4k/3
k12=-k/3
解：1）求刚度系数：
刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：
kij-------j结点单位位 20 5 0 k 移引起的i结点附加 [ K ] 5 8 3 约束力，由层间剪 15 力叠加而得。 0 3 3
0 Y1i 20 2i 5 5 8 3 Y 0 i 2i 3 3i 0 1
k 2 3 0.8685
m
k 3 0.9319 m
3）求主振型：振型方程：（[K]－ω2 [M]）{Y}＝0的后两式： （令Y3i=1）
得振幅方程：
2 [ ][ M ] I {Y } {0}
或：
[ ][ M ] I {Y } {0}
[ ][ M ] I 0
频率方程为：
可求出ｎ个频率
[ ][ M ] I {Y } {0} 确定 与ωi相应的主振型向量由 不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。 标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。
2 0 0 [ M ] m 0 1 0 0 0 1
4
2）求频率：代入频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0
20 2 5 0 k 5 8 3 0 , 15 0 3 3
15m 2 其中 k
展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0 解得：η1=1.293， η2=6.680， η3=13.027 k k 2 2 1 0.0862 2 0.4453 m m k k 1 0.2936 2 0.6673 m m
或：
[ M ]{ y} [ K ]{ y} {0}自由振动微分方程
.. { y} 2{Y }sin(t )
设解为： {y}={Y}sin(ωt+α)
( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 可求出ｎ个频率 频率方程为： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 与ωi相应的主振型向量由 ( [K]－ω2ｉ [M] ){Y（ｉ）}=｛0｝确定
或：
m2
y1 0 0 y 2 mn yn 0
[ ][M ]{ y} { y} {0}
设解为： {y}={Y}sin(ωt+α)
.. { y} 2{Y }sin(t )
mi yi
..
Ki
Ki
yi
刚 度 法
mi yi
作用于质点的弹性力和惯性力应平衡
作用于杆件的结点力引起位移
y1
y1 Ki----各质点在位移共同作用下所需的附加约束上的约束力
或理解为维持相应的结点位移状态所需的结点力 同时-Ki为将杆件视为弹簧作用于质点的弹性力。
质点动平衡方程： Ki 应满足刚度方程
1
*§15.6 一般多自由度的体系的自由振动
yn
yn
yi
..
mi yi Ki 0 (i 1, 2,..., n) Ki ki1 y1 ki 2 y2 ... kin yn (i 1, 2,..., n)
..
.......... .......... .......... .......... ... ... ... .......... ... ....... ... ... ... .. .. m y k y k y ... k y 0 m y k k ... k n n nn y n 0 n n n1 nn n 2 n1 1 n 2 2
2 i
8
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程： 由刚度法振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}=｛0｝
令λ=1/ω2
得频率方程： 其展开式:
是关于λ的n次代 数方程,先求出λi 再求出频率ωi
( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}=｛0｝
5Y1i (8i )Y2i 3 0 （a） 5 3Y2i (3i ) 0
mi的运动方向与单位位
Yij为正时表示质量
0.924 5Y1i (8i )Y2i 3 0 Y22 3 0 ( 2) 2 6.680 5Y12 1.320 Y 1 . 227 3Y2i (3i ) 0 3Y22 3.680 0 1 1 1 1
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
6
*§15.6.1 一般多自由度的体系的自由振动---柔度法
yn
yn 各结点的总位移 = 各惯性力引起的位移的叠加
yi
mi yi
yi
y1
y1
y1 y1 11 12 1n m1 y m y 2 21 22 2n 2 2 yn yn n1 n 2 nn mn y1 0 0 y 2 mn yn 0
移方向相同，为负时， 表示与单位位移方向相 反。
5Y11 6.70Y21 3 0 3Y21 1.707 0
1 1.293
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
n1 1 n2 2 nn n
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}=｛0｝ 可求出n个主振型.
可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当 计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的 9 刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。
层间侧移刚度系数如左图。δ=1/k 书例15.15： 质量集中在楼层上， 层间柔度系数等于层间刚度系数的倒数 P=1 δ31 m δ32=4δ δ33=9δ k 5
y1 11 12 1n m1 y 2 21 22 2n y n2 nn n n1
m2
7
y1 11 12 1n m1 y 2 21 22 2n y n2 nn n n1
2 1 m2Y21
m1
m2
主振型的位移幅值恰好 为相应惯性力幅值产生 的静力位移。
Y11
2 2 m1Y12
Y21
Y22 m 2
2 2 m2Y22
m1 Y12
对这两种静力平衡状态，应用功的互等定理可得：
2 2 2 2 (1 m1Y11 )Y12 (1 m2Y21 )Y22 ( 2 m1Y12 )Y11 ( 2 m2Y22 )Y21
λ=1/ω2
解之:
三个频率为： 1 1 0.2936 m
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
2 0.6673
1 m
3 0.9319
1 m
3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
9.60Y11 Y21 1 0 Y (1) 解得： 2Y11 7.60Y21 4 0
5 m k 3 3 2m δ k
δ21
P=1
P=1
δ22=4δ δ12=δ
δ23=4δ
δ13=δ
δ11=δ
解：1）求柔度系数：
δij-----j结点单位力引起 的i结点位移，由层间位移 叠加而得，也可由刚度矩阵 求逆得到：
柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]：
1 1 1 [ ] 1 4 4 1 4 9
得振幅方程：
不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。 标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。
3
质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。 例(书例15.16）： k33=k/5 k =k /5 32 k31=0 1 m k k21=-k/3 5 1 m 2m
k 3
k
k22=8k/15
┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
( 11m1 )
12 m2 ... 1n mn , ... 2n mn P ( K 21m 1 22 m2 ) 0 P K ... ... ... ... m I m ... ( m )
2 2 (1 2 )(m1Y11Y12 mm1Y11Y12 m2Y21Y22 0 主振型之间的
12 第一正交关系
一般说来，设ωi≠ωj 相应的振型分别为：{y（i）}， {y（j）}
主振型满足振幅方程： [K] {Y}=ω2 [M] {Y} ， 且[K] [M]为对称矩阵
mi yi Ki 0 (i 1, 2,......, n) Ki ki1 y1 ki 2 y2 ... kin yn (i 1, 2,..., n)
2
..
kij是结构的刚度系数，使质点 j 产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加的力。
.. ... k1n yn 0 m y k y k y 1 1 11 1 12 2 m1 y1 k11 k12 ... k1n y1 0 .. .. m2 y2 y y 0 k y k ... k y 0 21 1 22 2 2 n n m y k k ... k 2 2 21 22 2n 2
0.163 同理可得第二、 0.569 第三振型 1 11
主振型的正交性
Y1 ( 2 m1Y1 ) 11 ( 2 m2Y2 ) 12 Y2 ( 2 m1Y1 ) 21 ( 2 m2Y2 ) 22
2 1 m1Y11
(15.43a)
2 0 0 [M ] m 0 1 0 0 0 1 10
2）求频率：
2 1 1 1 [ ][ M ] [ I ] m 2 4 4 0 , m m 2 2 4 9
展开得:
15 42 30 0
3 2
1
k23=-k/5 k13=0
k11=4k/3
k12=-k/3
解：1）求刚度系数：
刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：
kij-------j结点单位位 20 5 0 k 移引起的i结点附加 [ K ] 5 8 3 约束力，由层间剪 15 力叠加而得。 0 3 3
0 Y1i 20 2i 5 5 8 3 Y 0 i 2i 3 3i 0 1
k 2 3 0.8685
m
k 3 0.9319 m
3）求主振型：振型方程：（[K]－ω2 [M]）{Y}＝0的后两式： （令Y3i=1）
得振幅方程：
2 [ ][ M ] I {Y } {0}
或：
[ ][ M ] I {Y } {0}
[ ][ M ] I 0
频率方程为：
可求出ｎ个频率
[ ][ M ] I {Y } {0} 确定 与ωi相应的主振型向量由 不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。 标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。
2 0 0 [ M ] m 0 1 0 0 0 1
4
2）求频率：代入频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0
20 2 5 0 k 5 8 3 0 , 15 0 3 3
15m 2 其中 k
展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0 解得：η1=1.293， η2=6.680， η3=13.027 k k 2 2 1 0.0862 2 0.4453 m m k k 1 0.2936 2 0.6673 m m
或：
[ M ]{ y} [ K ]{ y} {0}自由振动微分方程
.. { y} 2{Y }sin(t )
设解为： {y}={Y}sin(ωt+α)
( [K]－ω2 [M] ){Y}=｛0｝ 可求出ｎ个频率 频率方程为： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 与ωi相应的主振型向量由 ( [K]－ω2ｉ [M] ){Y（ｉ）}=｛0｝确定
或：
m2
y1 0 0 y 2 mn yn 0
[ ][M ]{ y} { y} {0}
设解为： {y}={Y}sin(ωt+α)
.. { y} 2{Y }sin(t )
mi yi
..
Ki
Ki
yi
刚 度 法
mi yi
作用于质点的弹性力和惯性力应平衡
作用于杆件的结点力引起位移
y1
y1 Ki----各质点在位移共同作用下所需的附加约束上的约束力
或理解为维持相应的结点位移状态所需的结点力 同时-Ki为将杆件视为弹簧作用于质点的弹性力。
质点动平衡方程： Ki 应满足刚度方程