四川省成都市高中数学 第二章 圆锥曲线及方程 第10课时 圆锥曲线的综合应用同步测试 新人教A版选修1-1

第10课时圆锥曲线的综合应用
基础达标(水平一 )
1.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是().
A. B. C.或 D.或
【解析】因为m=±4,当m=4时,离心率为,当m=-4时,离心率为,故选D.
【答案】D
2.下列说法中不正确的是().
A.若动点P与定点A(-4,0),B(4,0)连线PA,PB的斜率之积为定值,则动点P的轨迹为双曲线的一部分
B.设m,n∈R,常数a>0,定义运算“*”:m*n=(m+n)2-(m-n)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是抛物
线的一部分
C.已知圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x-1)2+y2=25,动圆M与圆A外切,与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
D.已知点A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
【解析】A选项中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分;B选项中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分;C选项中符合椭圆定义是正确的;D选项中应为双曲线一支.故选D.
【答案】D
3.已知A是双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,G是
△PF1F2的重心,若=λ,则双曲线的离心率为().
A.2
B.3
C.4
D.与λ的取值有关
【解析】因为=λ,所以∥,所以==,即=,所以e==3,故选B.
【答案】B
4.已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆的方程为().
A.+=1
B.+=1
C.+y2=1
D.+y2=1
【解析】∵抛物线的焦点为(-1,0),∴c=1.
又椭圆的离心率∴a=2,b2=a2-c2=3,
∴1,故选A.
【答案】A
5.1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3两段,则此双曲线的离心率为.
【解析】解得c=2b,所以c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=3c2,
所以2,故
6.已知双曲线E1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角θ
满足cos θ则E的离心率为.
【解析】设点M在第一象限,△ABM是等腰三角形,则有AB=BM,由cos θsin θ所以M点
1,b2=2a2,又因为b2=c2-a2,所以
c2-a2=2a23,
【答案】
7.已知动直线l的倾斜角为45°,若l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且A,B两点纵坐标之和为2.
(1)求抛物线方程;
(2)若直线l'与l平行,且l'过原点关于抛物线的准线与x轴的交点的对称点,M为抛物线上一动点,求动点M到直线l'的最小距离.
【解析】(1)设直线l的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=y-b代入y2=2px,得y2-2py+2pb=0.
由题意知y1+y2=2p=2,得p=1.
故抛物线方程为y2=2x.
(2)抛物线y2=2x的准线与x则l'过点(-1,0),所以l'的方程为y=x+1,
故点M(x,y)到直线l'的距离
因为点y2=2x上,
所以
故当y=1时,d的最小距离为
拓展提升(水平二)
8.若点O和点F1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,
().
B.6
C.8
D.12
【解析】设点P(x,y),(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2,
因为点P在椭圆上,1,
所以x22+x+3x+2)2+2,又-2≤x≤2,
所以当x=2时x+2)2+2取得最大值为6,
6,故选B.
【答案】B
9.1(a>0,b>0)的实轴长为虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p的值为().
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】抛物线x2=2py所以可得因为2a=a=1,
可求得其渐近线方程为,不妨设y=kx-1与平行,则有
x22p=0,所以Δ8p=0,解得p=±4,又p>0,故p=4.
【答案】A
10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,则
.
【解析】设A,B,C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
∴△ABC的重心是F.
又∵抛物线y2=2px的焦点F
∴y1+y2+y3=0.
又∵点A,B在抛物线上,2px12px2,两式相减,2p(x1-x2),
∴k AB同理k BC k CA
0.
【答案】0
11.已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线C22=1的顶点,直线0与椭圆C1交于A,B
两点,且点A的坐标为(点P是椭圆C1上异于A,B的任意一点,点Q0,且A,B,Q三点不共线.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求点Q的轨迹方程;
(3)求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.
【解析】(1)∵双曲线C22=1的顶点为F1(F2
∴椭圆C1两焦点分别为F1(-F2.
设椭圆C11(a>b>0),
∵椭圆C1过点A(-,1),
1. ①
∵a2=b2+2,②
由①②解得a2=4,b2=2.
∴椭圆C11.
(2)设点Q(x,y),点P(x1,y1),
由点A(及椭圆C1关于原点对称可得B-1),
(y-(x1y1-1),
(y+(x1y1+1).
0,得(x1+(y-1)(y1-1)=0,
即(x1=-(y-1)(y1-1). ①
同理,0,得(x1=-(y+1)(y1+1). ②
①×②得(x2-2)=(y2-1). ③
由于点P在椭圆C1上,1,4-
代入③式得--2)=(y2-1).
1≠0时,有2x2+y2=5;
1=0,则点P(-1)或P此时点Q对应的坐标分别为或(-1), 其坐标也满足方程2x2+y2=5.
当点P与点A重合时,即点P(由②得3,
Q的坐标为-1)
同理,当点P与点B重合时,可得点Q的坐标为(
∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5,除去四个点-
(3)由于
故当点Q到直线AB的距离最大时,△ABQ的面积最大.
设与直线AB平行的直线为0,
x,得5y2+2m2-5=0,
由Δ=32m2-20(2m2-5)=0,解得
若则y=-2,
若则y=2,
故当点Q ABQ的面积最大,其最大值为。