小波变换与小波滤波.

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图 （a） 信号分解； (b) 小波分树； （c）小波分解树
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1.6 离散小波变换（DWT）
在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时， 得到的数据将是原始数据的两倍。
根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样的方 法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的 离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示
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正交基的解释
若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜色和 大小为特征基，构成此物体特征描述空间。
大小和颜色是互不相干的2种描述，我们称其 为正交。
同时若这些基能够完全表示所有物体，我们称 其为完备特征基。
因为特征基表现了物体特征，因而可以用更简 洁的描述表示物体。
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小波变换的提出
1984年法国的年轻的地球物理学家Jean Morlet在进行石油勘探的地震数据处理分析时与 法国理论物理学家A.Grossman一起提出了小波变 换(wavelet transform, WT)的概念
CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因
子（scale）和平移（position）的函数。
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基本小波函数ψ()的缩放和平移操作
(1) 缩放。就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越
小， 则小波越窄
f (t)
f (t)＝ (t)； scale＝ 1
O
t
ห้องสมุดไป่ตู้
f (t) O
f (t)＝ (2t)； scale＝ 0.5 t
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1.3 小波变换定义及特点
小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊 的长度有限、平均值为0的波形。
特点：（1）“小”，即在时域都具有紧支集或 近似紧支集
（2）正负交替的“波动性”，也即直流分 量为零
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1.3 小波变换定义及特点
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1.3 小波变换定义及特点
傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负 无穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。
另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的细
节值D（Detail）。
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1.6 离散小波变换（DWT）
实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只 起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样， 把高频分量去掉 后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但 如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。
f (t) O
小波的缩放操作t
f (t)＝ (4t)； scale＝ 0.2 5
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作 17
(2) 平移。小波的延迟或超前。在数学上,函数f(t)延 迟k的表达式为f(t-k)，
(a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
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1.5 小波变换的步骤
小波变换的步骤: 一 取一个小波与信号的最前面部分比较; 二 计算相关因子C,C代表小波和这段数据的相关性
即:C越大,两者越相似;
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1.5 小波变换的步骤
三 移动小波,重复步骤一和二,一直遍历整个数据;
四 对小波进行缩放,重复步骤一到三;
五 在所有小波尺度下,重复上述步骤.
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1.5 小波变换的步骤
FT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小 波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这 些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸 缩得来的。
用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要 比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小 波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。
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典型的地震记录
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实际采集的地震信号
它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某 一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息
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1.1 小波变换的由来
如何完成只分析数据中的一小部分?
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1.2 短时傅立叶变换（STFT）
基本思想：
给信号加一个小窗，主要集中在对小窗内的信 号进行变换，因此反映了信号的局部特征。
1.7 小波重构
H′ L′
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H′
S L′
小波重构算法示意图
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1.7 小波重构
(1) 由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原
始信号。 同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号
的近似值或细节值，这时只要近似系数或细节系数置 为零即可。
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1.7 小波重构
H′ 0 约 500个 0
L′ cA1 约 500个 近 似 分 量
一、心电信号的噪声特点
（1）由于电源磁场作用于心电图机与人体之间的环形电路所致的50 Hz/ 60 Hz 工频干扰;
（2）由于病人肌肉紧张产生的肌电干扰; （3）由于病人呼吸运动或者由电极—电极—皮肤之间界面阻抗所致
的频响,一般小于1 Hz 的基线漂移； 这些噪声干扰与心电信号混杂,引起心电信号的畸变,使整
四、一维信号利用小波除噪的步骤
(2) 小波分解的高频系数的阈值量化。对第一层到第N层 高频系数，选择软阈值或硬阈值量化处理。
(３) 一维小波重构。根据小波分解的第N层低频系数和 第一层到第N层的高频系数，进行一维重构。
在上面的步骤中，最为关键的就是如何选取阈值和 如何阈值量化，从某种意义上讲，它直接影响信号去噪 的质量。
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1.2 短时傅立叶变换（STFT）
缺陷：
其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关， 保持固定不变，对于分析时变信号不利！ （高频信号持续时间短，低频长。我们希望对于高频采用
小的时间窗，低频使用大时间窗进行分析。）
STFT无能为力了！ 不能构成正交基，给数值计算带来不便。
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小波信号隆重登场
登场原因： （1）继承和发展了STFT的局部化思想。 （2）克服了窗口大小不随频率变化、缺 乏离散正交基的缺点。
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1.6 离散小波变换（DWT）
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法(马 拉)。这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数 字信号处理中常称为双通道子带编码。
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1.6 离散小波变换（DWT）
一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号 的近似值A（Approximations）
1.4 连续小波变换
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT）用下式表示：
C(scale, position) f (t) (scale, position,t)dt
表 示 小 波 变 换 是 信 号 f(x) 与 被 缩 放 和 平 移 的 小 波 函 数 ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。
(a)
A1 10 00 个 样 点
H′ cD1 约 500个 近 似 分 量
L′ 0 约 500个 0
(b)
D1 10 00 个 样 点
（a） 重构近似信号； (b) 重构细节信号
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1.7 小波重构
(2)多层重构
重构出信号的近似值A1与细节值D1之后，则原信 号可用A1＋D1＝S重构出来。对应于信号的多层小波分 解，小波的多层重构图:
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1.6 离散小波变换（DWT）
使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为 双尺度小波变换（Dyadic Wavelet Transform），它 是 离 散 小 波 变 换 （ Discrete Wavelet Transform ， DWT）的一种形式。
通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。
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1.5 小波变换的步骤
小波尺度和信号频率的关系
大尺度 小尺度
信号的低频 信号的高频
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1.6 离散小波变换（DWT）
在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波 系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且 有许多数据是无用的。
如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j>0且为
整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数 来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。
一、心电信号的噪声特点
心电信号（ECG）是典型的强噪声的非平稳的随机信 号。正常心电信号的频率范围在0.01 Hz-100Hz之间， 而90%的ECG频谱能量又集中在0.25 H z-35H z之间。
在心电信号的采集和A/ D 转换过程中,心电信号不可避 免地受到各种类型的噪声干扰,概括起来主要包括以下 三类噪声:
五、阈值函数和阈值的选取
２．阈值的选取 阈值的选择是小波去噪和收缩最关键的一步，在去
噪过程中阈值起着决定性的作用：如果太小，施加阈值 后小波系数包含太多的噪声分量，达不到去噪效果；反 之，则去除了有用部分，使信号失真。 阈值选择方案及对应的MATLAB命令 (1) 固定阈值(’sqtwolog’)
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1.7 小波重构
将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还 要根据需要把信号恢复出来，也就是利用信号的小波 分解的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构 （ Wavelet Reconstruction ） 或 叫 做 小 波 合 成 （Wavelet Synthesis）。
这一合成过程的数学运算叫做逆离散小波变换 （Inverse Discrete Wavelet Transform， IDWT）。
个心电信号波形模糊不清,对随后的信号分析处理,尤其是计算机 自动识别诊断造成误判和漏判,因此,心电信号的消噪有重要的意 义。
一、心电信号的噪声特点
Voltage / mV
ECG signal 100.dat 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 28 1
1
1
1
1
1
1
8
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
小波变换与小波滤波
2
1.1 小波变换的由来
傅立叶变换
基本思想：
将信号分解成一系列不同频率的连续正 弦波的叠加。
缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果
判断一个特定的信号是在什么时候发生的。
3
Joseph Fourier
4
1.1 小波变换的由来
FT变换适于分析平稳信号。实际中大多数信号含 有大量的非平稳信号，例如：突变，奇异，事件 的起始与终止等情况。这些情况反映了信号的重 要特征，是分析的对象。例如下图：典型的地震 信号
五、阈值函数和阈值的选取
(2).软阈值(soft threshol ding) 当小波系数的绝对值大于等于给定的阈值时，令其值 为减去阈值；而小于时，令其为０．即：
采用这种阈值方法去噪在实际应用中，已取得了较好 的效果，但也存在着一些潜在的缺点，如硬阈值在阈 值点不连续，重构可能产生一些震荡；软阈值连续， 但估计的小波系数和分解的小波系数有恒定的偏差， 直接影响重构信号对真实信号的逼近程度．
三、小波分解示意图：
s
CA1
CA2
CD2
CA3
CD3
CD1
小波分解的 结构示意图
小波分解系 数示意图
四、一维信号利用小波除噪的步骤
1.小波变换去噪的流程示意图：
含噪 信号 预处理
小波变 换多尺 度分解
各尺度 小波系 数除噪
小波逆 变换重 构信号
除噪后 的信号
２．小波除噪的具体步骤：
(1) 对含噪信号进行预处理,并进行小波分解。选择小 波确定分解的层数N,然后对信号s进行N层分解。
二、小波分析的去噪原理
有用信号通常表现为低频信号或是相对比较平稳。而噪声信号通 常表现为高频信号。 利用小波对含噪的原始信号分解后，含噪部分主要集中在高频小 波系数中，并且，包含有用信号的小波系数幅值较大，但数目少 ；而噪声对应的小波系数幅值小，数目较多。 基于上述特点，可以应用门限阈值法对小波系数进行处理。（即 对较小的小波系数置为０，较大的保留或削弱），然后对信号重 构即可达到消噪的目的。
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time / s
二、小波分析的去噪原理
在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性， 非平稳,并且奇异点较多的特点。含噪的一维信号模型 可表示为：
s(t) f (t) σ *e(t) t 0,1,, n _1
其中，f(t)为真实信号，s(t)为含噪信号，e(t)为噪声， 为噪声σ 标准偏差。
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1.7 小波重构
S
A1
D1
A2
D2
A3
D3
重构过程为：A3＋D3＝A2；A2＋D2＝A1； A1+D1＝S。
应用之一：小波分析信号去噪中的应用
主要内容
心电信号的噪声特点 小波分析与传统信号处理方法的比较 小波去噪的基本原理 小波去噪的基本步骤 小波去噪中的阈值函数和阈值的选取 小波去噪中小波函数的选择 去噪效果的评价 程序说明 总结
信号去噪：
在小波变换域上进行阀值处理。
多层小波分解
阀值操作 多层小波重构
五、阈值函数和阈值的选取
１．阈值函数 阈值函数分为软阈值和硬阈值两种。
设w为小波系数，wλ阈值后的小波系数，λ为阈值。
(1).硬阈值(hard threshol ding)
当小波系数的绝对值大于等于给定阈值时， 保持不变，而小于时，令其为０。即：