北师大版八年级数学下册-第一章检测卷含答案

第一章检测卷
时间： 120 分钟 满分： 120 分 总分
题号
得分 一 二 三 四 五 六 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．每小题只有一个正确选项 ) 1．在△ A B C 中， A B ＝2，B C ＝ 3，A C ＝ 7，则△ A B C 的形状是 (
A ．锐角三角形
B ．直角三角形 )
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形 2．如图， O P 平分∠ A O B ， PA ⊥O A ，P B ⊥O B ，垂足分别为 A ，B.下列结论中不一定成立的是 ( )
A ．PA ＝P
B B ． P O 平分∠ A P B
C ．A B 垂直平分 O P
D ．∠ O B A ＝∠ O A B
第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图
l m A B C B m B C m 与直线 所夹锐角为 20°，则∠ α的 3．如图， ∥ ，等边△ 度数为 ( A ． 60° B ．45° C ．40° D ．30° 的顶点 在直线 上，边 ) D A B C C D 平分∠ A C B B E C D D A C E A A B E 于点 ，∠ ＝∠ . 4．如图， 为△ 内一点， ， ⊥ ，垂足为 ，交 A C B C B D D 若 ＝5， ＝3，则 的长为 A ． 2.5 B ．1.5 C ．2 D ．1 A O A B A C B C O 的度数是 ( 5．如图，∠ ＝50°，点 是 ， 垂直平分线的交点，则∠ ) A ． 40° B ．50° C ．60° D ．70°
第 5 题图 第 6 题图
6．如图，在△ A B C 中， A B ＝AC ，∠B A C ＝90°，直角∠ E PF 的顶点 P 是 B C 的中点，两边 P E ，
P F 分别交 A B ，A C 于点 E ，F ，连接 EF 交 A P 于点 G.给出以下四个结论： ①∠ B ＝∠ C ＝45°；②A E ＝CF ；③△ E PF 是等腰直角三角形；④四边形 A E P F 的面积是△ A B C 面积的一半．其中正确的有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 7 ． 等 腰 三 角 形 两 腰 上 的 高 相 等 ， 这 个 命 题 的 逆 命 题 是 ____________________________________________ ，这个逆命题是真命题．
8．如图，△ A B C 中， A C ＝B C ，C D ∥A B ，若∠ E C D ＝36°，则∠ B ＝________.
第 8 题图 第 9 题图
第 10 题图 第 11 题图
1 1．如图，在△ A B C 中，∠ C ＝90°，A B ＝10，A D 是△ A B C 的一条角平分线．若 C D ＝ 3，则
△A B D 的面积为 ________． 1 2 1 2．在等腰三角形 AB C 中， A D ⊥ B C 交直线 B C 于点 D. 若 A D ＝ B C ，则△ A B C 的顶角的度数 为______________． 三、 (本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分 ) 1 3．如图，在△ A B C 中， A B ＝AC ，∠ A ＝40°，B D 是∠ A B C 的平分线，求∠ B D C 的度数．
1 4．如图，在长方形 A B C D 中，点 E 在边 A B 上，点 F 在边 B C 上，且 B E ＝ CF ，E F ⊥D F ，求
证： BF ＝C D.
1 5．如图，△ A B C 中，∠ A C B ＝90°，A D 平分∠ B A C ，D E ⊥A B 于点 E.求证：直线 A D 是线段
C E 的垂直平分线．
16．如图，A D平分∠B A C，A D⊥B D，垂足为点D，D E∥A C.求证：△BD E是等腰三角形．
17．如图，在△A B C中，A B＝A C，直线l过点A，且直线l∥B C，E，F是直线l 上的两点，
A E＝AF，请用无刻度的直尺作出
B C边上的高A D.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共
24分)
18．如图，△A B C中，∠B＝90°，A B＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，
P E⊥A B，P F⊥B C，P D⊥A C，垂足分别为E，F，D，求P D的长．
(1)求证：△B E D≌△
C F D；
(2)若∠A＝60°，B E＝1，求△A B C的周
长．
20．如图，A D是△AB C的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，
A C＝6.
(1)求A D的长；
(2)求△AB C的面
积．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共
18分)
21．如图，在△A B C中，∠B A C＝106°，M P，N Q分别垂直平分A B，
A C.
(1)当AB＝A C时，∠1的度数为________；
(2)若AB≠AC，请问(1)中的结论还成立吗？请通过计算
说明．
2 2．如图，△ A B C 是等边三角形，点 D ， E ，F 分别是 A B ，B C ，
C A 上的点． (1)若 A
D ＝B
E ＝C F
，问△ D E F 是等边三角形吗？试证明你的结论；
(2)若△ D E F 是等边三角形，问 A D ＝B E ＝ C F 成立吗？试证明你的结论． 六、 (本大题共 12
分) 2 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点 点(不与原点 O 重合 )，以线段 A P 为一边在其右侧作等边三角形△
A P Q. (1)求点
B 的坐标； A(0， 2)，△ A O B
为等边三角形，
P 是 x 轴上一个动 (2)在点 P 的运动过程中，∠ A B Q 的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；
如改变，请
说明理由； (3)连接 O Q ，当 O Q ∥A B 时，求 P 点的坐标．
参考答案与解析
1． B 2.C 3.C 4.D 5． A 解析：连接 O A ，O B.∵∠ B A C ＝ 50°，∴∠ A B C ＋∠ A C B ＝130°.∵O 是 A B ，A C 垂直平
分线的交点，∴ O A ＝O B ，O A ＝O C ，∴∠ O A B ＝∠ O B A ，∠ O C A ＝∠ O A C ，O B ＝O C ，∴∠ O B A ＋
∠O C A ＝∠ O A B ＋∠ O A C ＝50°，∴∠ O B C ＋∠ O C B ＝ (∠AB C ＋∠ A C B)－ (∠O B A ＋∠ O C A )＝130°
－5 0°＝80°.∵O B ＝O C ，∴∠ B C O ＝∠ C B O ＝40°.故选 A.
1 2 － ×(180° 90°)＝45°，∴① 6．D 解析：∵△ AB C 中，A B ＝A C ，∠BA C ＝90°，∴∠ B ＝∠ C ＝
1 2 正确；∵ AB ＝ A C ，∠B A C ＝ 90°，直角∠ EP F 的顶点 P 是 B C 的中点，∴ AP ⊥B C ，A P ＝ B C P C
＝ ， ∠B A P ＝∠ C A P ＝ 45°＝∠ C.∵∠ AP F ＋∠ FPC ＝ 90°，∠ A PF ＋∠ AP E ＝90°，∴∠ FP C ＝∠ E P A.在 ∠E A P ＝∠ C ，
△A P E 和△ C P F 中， A P ＝C P ， ∠EPA ＝∠ F P C ，
∴△ A P E ≌△ C P F (ASA) ，∴ A E ＝ CF ，∴②正确；由 △A P E ≌△ C P F 可 得 P E ＝ PF.∵∠ E PF ＝ 90°， ∴△ E PF 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∴③ 正 确 ； 1 ∵△ A P E ≌△ C P F ，∴S ＝S . BP C P S ＝ S ，∴ S ＝S ＋S ＝S
∵ ＝ ，∴ A P E C P F A P C 2 A B C A E P F A P E A P F △ △C P F △ △ △ △ 四边形 △ 1 ＋S ＝S ＝ S ，∴④正确；即正确的有 4 个．故选 D.
A P F A P C 2 A
B
C △ △ △ 7．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
8． 36° 9.76 10.2 11.15 真 1 2 1 2．30°或 150°或 90° 解析：若 BC 为腰，∵ A D ⊥B C 于点 D ，AD ＝ B C ，∴∠ A C D ＝30°.如 图①， A D 在△ A B C 内部时，顶角∠ C ＝30°，如图②， A D 在△ A B C 外部时，顶角∠ A C B ＝180°－ 1 2 30°＝150°；若 B C 为底， 如图③ .∵A D ⊥B C 于点 D ，A D ＝ B C ，∴A D ＝B D ＝C D ，∴∠ B ＝∠ B A D ，
1 2 ∠C ＝∠ CA D ，∴∠BA D ＋∠ C A D ＝ ×180°＝90°，∴顶角∠ B A C ＝90°.综上所述， 等腰三角形 A B C
的顶角度数为 30°或 150°或 90°.故答案为 30°或 150°或 90°.
180－∠ A ＝ 70°.(2 分)∵B D 是∠ A B C 的平分 1 3．解：∵ A B ＝A C ，∠ A ＝40°，∴∠ A B C ＝∠ C ＝
2
1 2 线，∴∠ DB C ＝ ∠AB C ＝ 35°，(4 分)∴∠ BD C ＝180°－∠ D B C －∠ C ＝75°.(6 分)
1 4．证明：∵四边形 A B C D 是长方形，∴∠ B ＝∠ C ＝90°.(1 分)∵EF ⊥DF ，∴∠ EF D ＝90°，
∴∠ EF B ＋∠ CF D ＝90°.又∵∠ EF B ＋∠ B E F ＝ 90°，∴∠ B EF ＝∠ CF D.(3 分)在△ BEF 和△ C F D 中， ∠B EF ＝∠ CF D ，
B E ＝
C F ， ∴△ B EF ≌△ CF
D (ASA) ，(5 分)∴BF ＝C D.(6 分) ∠B ＝∠ C ，
1 5．证明：∵ D E ⊥AB ，∴∠ D E A ＝∠ A C B ＝90°.∵A D 平分∠ B A C ，∴ D E ＝C D.(
2 分)又∵ A D
＝A D ，∴ R t △AE D ≌R t △A C D ，∴ A E ＝A C.(4 分 )∵点 A ，D 都在直线 A D 上，且它们到点 C ，E 的 距离相等，∴直线 AD 是线段 C E 的垂直平分线． (6 分)
1 6．证明：∵ D E ∥ AC ，∴∠ 1＝∠ 3.(1 分 )∵A D 平分∠ B A C ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 2＝∠ 3.(3
1 7．解：如图所示， A D 即为所求． (6 分)
1 8．解：连接 A P ，BP ，C P.设 P E ＝PF ＝ P D ＝x.∵在△ A B C 中，∠ A B C ＝90°， A B ＝7，B C ＝ 1A B ·C B ＝84.(5 分)又∵ S 1 A B ·P E ＋ AC ·P D ＋ 1
2 1 2 B C ＝ 25，(4 分)S ＝ ＝ 24，∴ A C ＝ A B 2＋
2 A B C 2 A B C 2 △ △ 1 2 1 2 56x ＝28x ，∴ 28x ＝84，解得 x ＝3.故 P D 的长为 3.(8 分) B C ·P F ＝ (A B ＋B C ＋A C) ·x ＝ × 1 9．(1)证明：∵ A B ＝A C ，∴∠ B ＝∠ C.∵ DE ⊥A B ，D F ⊥A C ，∴∠ D E B ＝∠ DF C ＝90°.∵D 是
B C 的中点，∴ B D ＝C D.(3 分)在△ B E D 与△ CF D 中，∵∠ DE B ＝∠ DFC ，∠ B ＝∠ C ，B D ＝C D ， ∴△ B E D ≌△ CF D (AAS) ．(4 分) (2)解：∵ AB ＝A C ，∠ A ＝60°，∴△ A B C 是等边三角形，∴ A B ＝B C ＝C A ，∠ B ＝60°.(5 分)又
∵D E ⊥A B ，∴∠ E D B ＝30°.在 Rt △B E D 中， B D ＝2B E ＝2，∴ BC ＝2B D ＝4，(7 分)∴△ A B C 的周 长为 A B ＋B C ＋C D ＝3B C ＝12.(8 分) 2 0．解 ：(1)∵∠ C ＝45°，A D 是△ AB C 的边 BC 上的高， ∴∠ D A C ＝45°，∴A D ＝C D.(2 分)∵ A C 2
＝A D 2＋C D 2，∴ 62＝2A D 2，∴ AD ＝ 3 2.(4 分) 2 B D 2＋ AD 2，∴(2B D )2 (2)在 Rt △A D B 中，∵∠ B ＝60°，∴ ∠ B A D ＝30°，∴ A B ＝2B D.(5 分)∵AB ＝
1 2 1 2 1 2 ＝B D 2＋A D 2，∴ B D ＝ 6.(6 分)∴△ A B C 的面积为 B C A D (B D D C ) A D ×( 6＋3 2)×3 2 · ＝ ＋ · ＝ ＝9＋3 3.(8 分)
2 1．解： (1)32 (°4 分) (2)成立． (5 分)理由如下：∵∠ B A C ＝106°，∴∠ A B P ＋∠ A C Q ＝180°－106°＝74°.∵M P ，N Q
分别垂直平分 A B 和 A C ，∴P B ＝PA ，Q C ＝Q A ，∴∠ PAB ＝∠ AB P ，∠Q A C ＝∠ A C Q ，(7 分)∴∠ PA B ＋∠ Q A C ＝∠ A B P ＋∠ A C Q ＝74°，∴∠ 1＝∠ B A C －(∠PA B ＋∠ Q A C)＝106°－74°＝32°.(9 分) 2 2．解 ：(1)△D E F 是等边三角形． (1 分)证明如下： ∵△ A B C 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ，
A B ＝B C ＝C A.又∵ A D ＝B E ＝C F ，∴ D B ＝EC ＝F A ，∴△ A D F ≌△ B E D ≌△ CF E ，∴ D F ＝E D ＝F E ，
(3 分)∴△ D E F 是等边三角形． (4 分)
(2)A D ＝B E ＝CF 成立．(5 分 )证明如下： 如图，∵△D E F 是等边三角形， ∴ DE ＝EF ＝FD ，∠F D E
＝∠ D E F ＝∠ EF D ＝60°，∴ ∠ 1＋∠ 2＝120°.(7 分 )∵△ AB C 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°， ∴∠ 2＋∠ 3＝ 120°，∴∠ 1＝∠ 3.同理∠ 3＝∠ 4，易证△ A D F ≌△ B E D ≌△ CF E(AA S) ，∴ A D ＝B E ＝CF.(9 分)
2 3．解： (1) 如图①，过点 B 作 B C ⊥x 轴于点 C.∵△ A O B 为等边三角形，且 O A ＝2，
∴∠ A O B 1 2 ＝6 0°，O B ＝O A ＝2，∴∠ B O C ＝30°.(2 分)又∵∠ O C B ＝90°，∴ B C ＝ O B 1 O C 3
＝， ＝ ，∴点 B 的坐标为 ( 3，1)．(4 分 ) (2)∠AB Q ＝ 90°，始终不变． (5 分)理由如下：∵△ A P Q ，△AO B 均为等边三角形，∴ A P ＝A Q ，
A P ＝A Q ， ∠PA O ＝∠ Q A
B ，A O ＝A B ，
A O ＝ A
B ，∠ PA Q ＝∠ O A B ，∴∠ PA O ＝∠ Q A B.(6 分)在△ AP O 与△ A Q B 中， ∴△ A P O ≌△ A Q B(S A S) ，∴∠ AB Q ＝∠ A O P ＝90°.(8 分) (3)当点 P 在 x 轴负半轴上时， 点 Q 在点 B 的下方， 如图② .∵A B ∥O Q ，∠A B Q ＝90°，∴ ∠ B Q O
＝9 0°，∠ BO Q ＝∠ A B O ＝ 60°.又∵ O B ＝O A ＝2，∴ B Q ＝ 3，(10 分)由(2)可知，△ A P O ≌△ AQ B ，
∴O P ＝B Q ＝ 3，∴此时点 P 的坐标为 (－ 3，0)．(12 分)
1 2 线，∴∠ DB C ＝ ∠AB C ＝ 35°，(4 分)∴∠ BD C ＝180°－∠ D B C －∠ C ＝75°.(6 分)
1 4．证明：∵四边形 A B C D 是长方形，∴∠ B ＝∠ C ＝90°.(1 分)∵EF ⊥DF ，∴∠ EF D ＝90°，
∴∠ EF B ＋∠ CF D ＝90°.又∵∠ EF B ＋∠ B E F ＝ 90°，∴∠ B EF ＝∠ CF D.(3 分)在△ BEF 和△ C F D 中， ∠B EF ＝∠ CF D ，
B E ＝
C F ， ∴△ B EF ≌△ CF
D (ASA) ，(5 分)∴BF ＝C D.(6 分) ∠B ＝∠ C ，
1 5．证明：∵ D E ⊥AB ，∴∠ D E A ＝∠ A C B ＝90°.∵A D 平分∠ B A C ，∴ D E ＝C D.(
2 分)又∵ A D
＝A D ，∴ R t △AE D ≌R t △A C D ，∴ A E ＝A C.(4 分 )∵点 A ，D 都在直线 A D 上，且它们到点 C ，E 的 距离相等，∴直线 AD 是线段 C E 的垂直平分线． (6 分)
1 6．证明：∵ D E ∥ AC ，∴∠ 1＝∠ 3.(1 分 )∵A D 平分∠ B A C ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 2＝∠ 3.(3
1 7．解：如图所示， A D 即为所求． (6 分)
1 8．解：连接 A P ，BP ，C P.设 P E ＝PF ＝ P D ＝x.∵在△ A B C 中，∠ A B C ＝90°， A B ＝7，B C ＝ 1A B ·C B ＝84.(5 分)又∵ S 1 A B ·P E ＋ AC ·P D ＋ 1
2 1 2 B C ＝ 25，(4 分)S ＝ ＝ 24，∴ A C ＝ A B 2＋
2 A B C 2 A B C 2 △ △ 1 2 1 2 56x ＝28x ，∴ 28x ＝84，解得 x ＝3.故 P D 的长为 3.(8 分) B C ·P F ＝ (A B ＋B C ＋A C) ·x ＝ × 1 9．(1)证明：∵ A B ＝A C ，∴∠ B ＝∠ C.∵ DE ⊥A B ，D F ⊥A C ，∴∠ D E B ＝∠ DF C ＝90°.∵D 是
B C 的中点，∴ B D ＝C D.(3 分)在△ B E D 与△ CF D 中，∵∠ DE B ＝∠ DFC ，∠ B ＝∠ C ，B D ＝C D ， ∴△ B E D ≌△ CF D (AAS) ．(4 分) (2)解：∵ AB ＝A C ，∠ A ＝60°，∴△ A B C 是等边三角形，∴ A B ＝B C ＝C A ，∠ B ＝60°.(5 分)又
∵D E ⊥A B ，∴∠ E D B ＝30°.在 Rt △B E D 中， B D ＝2B E ＝2，∴ BC ＝2B D ＝4，(7 分)∴△ A B C 的周 长为 A B ＋B C ＋C D ＝3B C ＝12.(8 分) 2 0．解 ：(1)∵∠ C ＝45°，A D 是△ AB C 的边 BC 上的高， ∴∠ D A C ＝45°，∴A D ＝C D.(2 分)∵ A C 2
＝A D 2＋C D 2，∴ 62＝2A D 2，∴ AD ＝ 3 2.(4 分) 2 B D 2＋ AD 2，∴(2B D )2 (2)在 Rt △A D B 中，∵∠ B ＝60°，∴ ∠ B A D ＝30°，∴ A B ＝2B D.(5 分)∵AB ＝
2 1．解： (1)32 (°4 分) (2)成立． (5 分)理由如下：∵∠ B A C ＝106°，∴∠ A B P ＋∠ A C Q ＝180°－106°＝74°.∵M P ，N Q
分别垂直平分 A B 和 A C ，∴P B ＝PA ，Q C ＝Q A ，∴∠ PAB ＝∠ AB P ，∠Q A C ＝∠ A C Q ，(7 分)∴∠ PA B ＋∠ Q A C ＝∠ A B P ＋∠ A C Q ＝74°，∴∠ 1＝∠ B A C －(∠PA B ＋∠ Q A C)＝106°－74°＝32°.(9 分) 2 2．解 ：(1)△D E F 是等边三角形． (1 分)证明如下： ∵△ A B C 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ，
A B ＝B C ＝C A.又∵ A D ＝B E ＝C F ，∴ D B ＝EC ＝F A ，∴△ A D F ≌△ B E D ≌△ CF E ，∴ D F ＝E D ＝F E ，
(3 分)∴△ D E F 是等边三角形． (4 分)
(2)A D ＝B E ＝CF 成立．(5 分 )证明如下： 如图，∵△D E F 是等边三角形， ∴ DE ＝EF ＝FD ，∠F D E
＝∠ D E F ＝∠ EF D ＝60°，∴ ∠ 1＋∠ 2＝120°.(7 分 )∵△ AB C 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°， ∴∠ 2＋∠ 3＝ 120°，∴∠ 1＝∠ 3.同理∠ 3＝∠ 4，易证△ A D F ≌△ B E D ≌△ CF E(AA S) ，∴ A D ＝B E ＝CF.(9 分)
2 3．解： (1) 如图①，过点 B 作 B C ⊥x 轴于点 C.∵△ A O B 为等边三角形，且 O A ＝2，
∴∠ A O B 1 2 ＝6 0°，O B ＝O A ＝2，∴∠ B O C ＝30°.(2 分)又∵∠ O C B ＝90°，∴ B C ＝ O B 1 O C 3
＝， ＝ ，∴点 B 的坐标为 ( 3，1)．(4 分 ) (2)∠AB Q ＝ 90°，始终不变． (5 分)理由如下：∵△ A P Q ，△AO B 均为等边三角形，∴ A P ＝A Q ，
A P ＝A Q ， ∠PA O ＝∠ Q A
B ，A O ＝A B ，
A O ＝ A
B ，∠ PA Q ＝∠ O A B ，∴∠ PA O ＝∠ Q A B.(6 分)在△ AP O 与△ A Q B 中， ∴△ A P O ≌△ A Q B(S A S) ，∴∠ AB Q ＝∠ A O P ＝90°.(8 分) (3)当点 P 在 x 轴负半轴上时， 点 Q 在点 B 的下方， 如图② .∵A B ∥O Q ，∠A B Q ＝90°，∴ ∠ B Q O
＝9 0°，∠ BO Q ＝∠ A B O ＝ 60°.又∵ O B ＝O A ＝2，∴ B Q ＝ 3，(10 分)由(2)可知，△ A P O ≌△ AQ B ，
∴O P ＝B Q ＝ 3，∴此时点 P 的坐标为 (－ 3，0)．(12 分)
1 4．证明：∵四边形 A B C D 是长方形，∴∠ B ＝∠ C ＝90°.(1 分)∵EF ⊥DF ，∴∠ EF D ＝90°，
∴∠ EF B ＋∠ CF D ＝90°.又∵∠ EF B ＋∠ B E F ＝ 90°，∴∠ B EF ＝∠ CF D.(3 分)在△ BEF 和△ C F D 中， ∠B EF ＝∠ CF D ，
B E ＝
C F ， ∴△ B EF ≌△ CF
D (ASA) ，(5 分)∴BF ＝C D.(6 分) ∠B ＝∠ C ，
1 5．证明：∵ D E ⊥AB ，∴∠ D E A ＝∠ A C B ＝90°.∵A D 平分∠ B A C ，∴ D E ＝C D.(
2 分)又∵ A D
＝A D ，∴ R t △AE D ≌R t △A C D ，∴ A E ＝A C.(4 分 )∵点 A ，D 都在直线 A D 上，且它们到点 C ，E 的 距离相等，∴直线 AD 是线段 C E 的垂直平分线． (6 分)
1 6．证明：∵ D E ∥ AC ，∴∠ 1＝∠ 3.(1 分 )∵A D 平分∠ B A C ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 2＝∠ 3.(3
1 7．解：如图所示， A D 即为所求． (6 分)
1 8．解：连接 A P ，BP ，C P.设 P E ＝PF ＝ P D ＝x.∵在△ A B C 中，∠ A B C ＝90°， A B ＝7，B C ＝ 1A B ·C B ＝84.(5 分)又∵ S 1 A B ·P E ＋ AC ·P D ＋ 1
2 1 2 B C ＝ 25，(4 分)S ＝ ＝ 24，∴ A C ＝ A B 2＋
2 A B C 2 A B C 2 △ △ 1 2 1 2 56x ＝28x ，∴ 28x ＝84，解得 x ＝3.故 P D 的长为 3.(8 分) B C ·P F ＝ (A B ＋B C ＋A C) ·x ＝ × 1 9．(1)证明：∵ A B ＝A C ，∴∠ B ＝∠ C.∵ DE ⊥A B ，D F ⊥A C ，∴∠ D E B ＝∠ DF C ＝90°.∵D 是
B C 的中点，∴ B D ＝C D.(3 分)在△ B E D 与△ CF D 中，∵∠ DE B ＝∠ DFC ，∠ B ＝∠ C ，B D ＝C D ， ∴△ B E D ≌△ CF D (AAS) ．(4 分) (2)解：∵ AB ＝A C ，∠ A ＝60°，∴△ A B C 是等边三角形，∴ A B ＝B C ＝C A ，∠ B ＝60°.(5 分)又
∵D E ⊥A B ，∴∠ E D B ＝30°.在 Rt △B E D 中， B D ＝2B E ＝2，∴ BC ＝2B D ＝4，(7 分)∴△ A B C 的周 长为 A B ＋B C ＋C D ＝3B C ＝12.(8 分) 2 0．解 ：(1)∵∠ C ＝45°，A D 是△ AB C 的边 BC 上的高， ∴∠ D A C ＝45°，∴A D ＝C D.(2 分)∵ A C 2
＝A D 2＋C D 2，∴ 62＝2A D 2，∴ AD ＝ 3 2.(4 分) 2 B D 2＋ AD 2，∴(2B D )2 (2)在 Rt △A D B 中，∵∠ B ＝60°，∴ ∠ B A D ＝30°，∴ A B ＝2B D.(5 分)∵AB ＝
2 1．解： (1)32 (°4 分) (2)成立． (5 分)理由如下：∵∠ B A C ＝106°，∴∠ A B P ＋∠ A C Q ＝180°－106°＝74°.∵M P ，N Q
分别垂直平分 A B 和 A C ，∴P B ＝PA ，Q C ＝Q A ，∴∠ PAB ＝∠ AB P ，∠Q A C ＝∠ A C Q ，(7 分)∴∠ PA B ＋∠ Q A C ＝∠ A B P ＋∠ A C Q ＝74°，∴∠ 1＝∠ B A C －(∠PA B ＋∠ Q A C)＝106°－74°＝32°.(9 分) 2 2．解 ：(1)△D E F 是等边三角形． (1 分)证明如下： ∵△ A B C 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ，
A B ＝B C ＝C A.又∵ A D ＝B E ＝C F ，∴ D B ＝EC ＝F A ，∴△ A D F ≌△ B E D ≌△ CF E ，∴ D F ＝E D ＝F E ，
(3 分)∴△ D E F 是等边三角形． (4 分)
(2)A D ＝B E ＝CF 成立．(5 分 )证明如下： 如图，∵△D E F 是等边三角形， ∴ DE ＝EF ＝FD ，∠F D E
＝∠ D E F ＝∠ EF D ＝60°，∴ ∠ 1＋∠ 2＝120°.(7 分 )∵△ AB C 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°， ∴∠ 2＋∠ 3＝ 120°，∴∠ 1＝∠ 3.同理∠ 3＝∠ 4，易证△ A D F ≌△ B E D ≌△ CF E(AA S) ，∴ A D ＝B E ＝CF.(9 分)
2 3．解： (1) 如图①，过点 B 作 B C ⊥x 轴于点 C.∵△ A O B 为等边三角形，且 O A ＝2，
∴∠ A O B 1 2 ＝6 0°，O B ＝O A ＝2，∴∠ B O C ＝30°.(2 分)又∵∠ O C B ＝90°，∴ B C ＝ O B 1 O C 3
＝， ＝ ，∴点 B 的坐标为 ( 3，1)．(4 分 ) (2)∠AB Q ＝ 90°，始终不变． (5 分)理由如下：∵△ A P Q ，△AO B 均为等边三角形，∴ A P ＝A Q ，
A P ＝A Q ， ∠PA O ＝∠ Q A
B ，A O ＝A B ，
A O ＝ A
B ，∠ PA Q ＝∠ O A B ，∴∠ PA O ＝∠ Q A B.(6 分)在△ AP O 与△ A Q B 中， ∴△ A P O ≌△ A Q B(S A S) ，∴∠ AB Q ＝∠ A O P ＝90°.(8 分) (3)当点 P 在 x 轴负半轴上时， 点 Q 在点 B 的下方， 如图② .∵A B ∥O Q ，∠A B Q ＝90°，∴ ∠ B Q O
＝9 0°，∠ BO Q ＝∠ A B O ＝ 60°.又∵ O B ＝O A ＝2，∴ B Q ＝ 3，(10 分)由(2)可知，△ A P O ≌△ AQ B ，
∴O P ＝B Q ＝ 3，∴此时点 P 的坐标为 (－ 3，0)．(12 分)
1 4．证明：∵四边形 A B C D 是长方形，∴∠ B ＝∠ C ＝90°.(1 分)∵EF ⊥DF ，∴∠ EF D ＝90°，
∴∠ EF B ＋∠ CF D ＝90°.又∵∠ EF B ＋∠ B E F ＝ 90°，∴∠ B EF ＝∠ CF D.(3 分)在△ BEF 和△ C F D 中， ∠B EF ＝∠ CF D ，
B E ＝
C F ， ∴△ B EF ≌△ CF
D (ASA) ，(5 分)∴BF ＝C D.(6 分) ∠B ＝∠ C ，
1 5．证明：∵ D E ⊥AB ，∴∠ D E A ＝∠ A C B ＝90°.∵A D 平分∠ B A C ，∴ D E ＝C D.(
2 分)又∵ A D
＝A D ，∴ R t △AE D ≌R t △A C D ，∴ A E ＝A C.(4 分 )∵点 A ，D 都在直线 A D 上，且它们到点 C ，E 的 距离相等，∴直线 AD 是线段 C E 的垂直平分线． (6 分)
1 6．证明：∵ D E ∥ AC ，∴∠ 1＝∠ 3.(1 分 )∵A D 平分∠ B A C ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 2＝∠ 3.(3
1 7．解：如图所示， A D 即为所求． (6 分)
1 8．解：连接 A P ，BP ，C P.设 P E ＝PF ＝ P D ＝x.∵在△ A B C 中，∠ A B C ＝90°， A B ＝7，B C ＝ 1A B ·C B ＝84.(5 分)又∵ S 1 A B ·P E ＋ AC ·P D ＋ 1
2 1 2 B C ＝ 25，(4 分)S ＝ ＝ 24，∴ A C ＝ A B 2＋
2 A B C 2 A B C 2 △ △ 1 2 1 2 56x ＝28x ，∴ 28x ＝84，解得 x ＝3.故 P D 的长为 3.(8 分) B C ·P F ＝ (A B ＋B C ＋A C) ·x ＝ × 1 9．(1)证明：∵ A B ＝A C ，∴∠ B ＝∠ C.∵ DE ⊥A B ，D F ⊥A C ，∴∠ D E B ＝∠ DF C ＝90°.∵D 是
B C 的中点，∴ B D ＝C D.(3 分)在△ B E D 与△ CF D 中，∵∠ DE B ＝∠ DFC ，∠ B ＝∠ C ，B D ＝C D ， ∴△ B E D ≌△ CF D (AAS) ．(4 分) (2)解：∵ AB ＝A C ，∠ A ＝60°，∴△ A B C 是等边三角形，∴ A B ＝B C ＝C A ，∠ B ＝60°.(5 分)又
∵D E ⊥A B ，∴∠ E D B ＝30°.在 Rt △B E D 中， B D ＝2B E ＝2，∴ BC ＝2B D ＝4，(7 分)∴△ A B C 的周 长为 A B ＋B C ＋C D ＝3B C ＝12.(8 分) 2 0．解 ：(1)∵∠ C ＝45°，A D 是△ AB C 的边 BC 上的高， ∴∠ D A C ＝45°，∴A D ＝C D.(2 分)∵ A C 2
＝A D 2＋C D 2，∴ 62＝2A D 2，∴ AD ＝ 3 2.(4 分) 2 B D 2＋ AD 2，∴(2B D )2 (2)在 Rt △A D B 中，∵∠ B ＝60°，∴ ∠ B A D ＝30°，∴ A B ＝2B D.(5 分)∵AB ＝
2 1．解： (1)32 (°4 分) (2)成立． (5 分)理由如下：∵∠ B A C ＝106°，∴∠ A B P ＋∠ A C Q ＝180°－106°＝74°.∵M P ，N Q
分别垂直平分 A B 和 A C ，∴P B ＝PA ，Q C ＝Q A ，∴∠ PAB ＝∠ AB P ，∠Q A C ＝∠ A C Q ，(7 分)∴∠ PA B ＋∠ Q A C ＝∠ A B P ＋∠ A C Q ＝74°，∴∠ 1＝∠ B A C －(∠PA B ＋∠ Q A C)＝106°－74°＝32°.(9 分) 2 2．解 ：(1)△D E F 是等边三角形． (1 分)证明如下： ∵△ A B C 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ，
A B ＝B C ＝C A.又∵ A D ＝B E ＝C F ，∴ D B ＝EC ＝F A ，∴△ A D F ≌△ B E D ≌△ CF E ，∴ D F ＝E D ＝F E ，
(3 分)∴△ D E F 是等边三角形． (4 分)
(2)A D ＝B E ＝CF 成立．(5 分 )证明如下： 如图，∵△D E F 是等边三角形， ∴ DE ＝EF ＝FD ，∠F D E
＝∠ D E F ＝∠ EF D ＝60°，∴ ∠ 1＋∠ 2＝120°.(7 分 )∵△ AB C 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°， ∴∠ 2＋∠ 3＝ 120°，∴∠ 1＝∠ 3.同理∠ 3＝∠ 4，易证△ A D F ≌△ B E D ≌△ CF E(AA S) ，∴ A D ＝B E ＝CF.(9 分)
2 3．解： (1) 如图①，过点 B 作 B C ⊥x 轴于点 C.∵△ A O B 为等边三角形，且 O A ＝2，
∴∠ A O B 1 2 ＝6 0°，O B ＝O A ＝2，∴∠ B O C ＝30°.(2 分)又∵∠ O C B ＝90°，∴ B C ＝ O B 1 O C 3
＝， ＝ ，∴点 B 的坐标为 ( 3，1)．(4 分 ) (2)∠AB Q ＝ 90°，始终不变． (5 分)理由如下：∵△ A P Q ，△AO B 均为等边三角形，∴ A P ＝A Q ，
A P ＝A Q ， ∠PA O ＝∠ Q A
B ，A O ＝A B ，
A O ＝ A
B ，∠ PA Q ＝∠ O A B ，∴∠ PA O ＝∠ Q A B.(6 分)在△ AP O 与△ A Q B 中， ∴△ A P O ≌△ A Q B(S A S) ，∴∠ AB Q ＝∠ A O P ＝90°.(8 分) (3)当点 P 在 x 轴负半轴上时， 点 Q 在点 B 的下方， 如图② .∵A B ∥O Q ，∠A B Q ＝90°，∴ ∠ B Q O
＝9 0°，∠ BO Q ＝∠ A B O ＝ 60°.又∵ O B ＝O A ＝2，∴ B Q ＝ 3，(10 分)由(2)可知，△ A P O ≌△ AQ B ，
∴O P ＝B Q ＝ 3，∴此时点 P 的坐标为 (－ 3，0)．(12 分)。