(人教版)济南市八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试(有答案解析)

一、选择题
1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．1或3
D ．2或3 2．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，
E 、
F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．下列说法正确的（ ）个．
①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.1＜10＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．3
5．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）
A ．HL
B ．SAS
C ．SSS
D ．ASA
6．下列四个命题中，真命题是（ ）
A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0
B ．面积相等的三角形是全等三角形
C ．直角三角形的两个锐角互余
D ．不是对顶角的两个角不相等
7．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的条件是（ ）
A ．AB=EF
B ．AC=DF
C ．∠B=∠E
D ．CB=D
E 8．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作E
F ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：
①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④ 9．如图，点D 在线段BC 上，若1802AC
E ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )
A ．EFC ∠
B ．AB
C ∠ C ．FDC ∠
D ．DFC ∠ 10．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）
A ．BM ∥CN
B ．∠M=∠N
C ．BM=CN
D ．AB=CD
11．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．
A ．AC D
B = B ．A D ∠=∠
C ．B C ∠=∠
D ．AB DC = 12．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，P
E ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．
14．如图，△ABC≌△DEF，由图中提供的信息，可得∠D＝__________°．
15．如图，ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10cm，则DEB的周长是_____cm．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．
17．如图，AB与CD相交于点O，OC＝OD．若要得到△AOC≌△BOD，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）
，所18．如图，线段AB，CD相交于点O，AO=BO，添加一个条件，能使AOC BOD
添加的条件的是___________________________．
19．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上．若125∠=︒，230∠=︒，则3∠=______．
20．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．
三、解答题
21．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．
（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______；
（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______，根据图2证明你的猜想；
（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）
22．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长． 23．如图，已知：AB ＝AD ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，试说明：∠1＝∠2．
24．如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，EF ∥CD ，AE ∥BC ，且AD ＝BF ．
求证：AE ＝BC
25．已知：直线EF 分别与直线AB ，CD 相交于点G ，H ，并且
180AGE DHE ∠+∠=︒
（1）如图1，求证：//AB CD ；
（2）如图2，点M 在直线AB ，CD 之间，连接GM ，HM ，求证：
M AGM CHM ∠=∠+∠；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH 是BGM ∠的平分线，在MH 的延长线上取点
N ，连接GN ，若N AGM ∠=∠，12
M N FGN ∠=∠+∠，求MHG ∠的度数． 26．已知：如图，AOB ∠．
求作： A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．
作法：
①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ,OB 于点C ,D ；
②画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '； ③以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D ；
④过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠；
A O
B '''∠就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接C D ''．
由作法可知
OC O C ''=,
，
，
∴COD C O D '''≅．（ ）（填推理依据）．
∴A O B AOB '''∠=∠．
∴A O B '''∠就是所求作的角．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12
AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．
【详解】
解：设运动时间为t 秒，
∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．
∴BD=12
AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，
又∵∠B=∠C
∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆
∴2t=vt ，解得：v=2
②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆
∴8-2t=2t ，解得：t=2
将t=2代入vt=6，解得：v=3
综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等
故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．D
解析：D
【分析】
过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．
【详解】
解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，
BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，
'''MF F E ∴=，
'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．
三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102
CM ⨯⋅=，
21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据平方根、立方根、无理数的估算和三角形全等判定定理进行判断即可．
【详解】
解：①0.09的算术平方根是0.3，不是0.03，因此①不正确；
②1的立方根是1，不是±1，因此②不正确；
③因为3.12＝9.91，3.22＝10.24，而9.91＜10＜10.24，所以3.1＜3.2，因此③正确；
④只有两边夹角对应相等的两个三角形全等，而两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等．因此④不正确；
所以正确的只有③，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及三角形全等判定定理，掌握平方根、立方根的意义、掌握无理数的估算方法和三角形全等的判断方法是正确判断的前提． 4．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF ，计算即可．
【详解】
解：∵△DEF ≌△ABC ，
∴BC=EF ，
∴BE+EC=CF+EC ，
∴BE=CF ，
又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5
∵CF=12(BF-EC)=12(9-5)=2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
【详解】
在△OMC 和△ONC 中，
OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC ，
∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，
故选：C.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.
6．C
解析：C
【分析】
根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．
【详解】
解：A 、如果 ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B 、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
C 、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D 、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．B
解析：B
【分析】
根据AAS 定理或ASA 定理即可得．
【详解】
在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，
∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，
即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，
观察四个选项可知，只有选项B 符合，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 8．D
解析：D
【分析】
易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；
【详解】
∵ BD 为∠ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD ，
∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，
∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；
∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴∠BCE=∠BDA ，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正确；
∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，
∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，
∴∠DCE=∠DAE ，
∴△ACE 是等腰三角形，
∴AE=EC ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴AD=EC ，
∴AD=AE=EC ，
故③正确；
作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：
∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，
在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG =⎧⎨=⎩
∴ △BEG ≌△BEF ，
∴BG=BF ，
在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩
∴△CEG ≌△AFE ，
∴ AF=CG ，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，
故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；
9．C
解析：C
【分析】
先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据
1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．
【详解】
解：在ABC ∆和CED ∆中，
AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ABC CED SSS ∴∆≅∆，
B E ∴∠=∠，FCD FD
C ∠=∠
1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，
2CFE x ∴∠=︒，
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，
FDC x ∴∠=︒．
故答案为C ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角
之间的关系是解答本题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的判断方法进行求解即可．
【详解】
A、因为 BM∥CN，所以∠ABM=∠DCN，又因为∠A=∠D， AM=DN，
所以△ABN≅△DCN(AAS)，故A选项不符合题意；
B、因为∠M=∠N ，∠A=∠D， AM=DN，
所以△ABN≅△DCN(ASA)，故B选项不符合题意；
C、BM=CN ，不能判定△ABN≅△DCN，故C选项符合题意；
D、因为AB=CD，∠A=∠D， AM=DN，
所以△ABN≅△DCN(SAS)，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．
【详解】
根据题意：BE=CE，∠AEB=∠DEC，
∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE（由AC=BD也可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C，
∴选项A、B、C可以判定，选项D不能判定，
故选：D．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【详解】
解：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，① 符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，② 符合题意；
在Rt △POD 和Rt △POE 中，
OD DE OP OP
=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △POD ≌Rt △POE ，
∴∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，③ 符合题意；
∵∠DPO=∠EPO ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴在△POD 和△POE 中，
DPO EPO PDO PEO OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠
∴△POD ≌△POE （AAS ），
∴∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC 是∠AOB 的角平分线，④ 符合题意，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
二、填空题
13．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目
解析：2
【分析】
根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ．
【详解】
解：如图，
由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时，CE 的长度最小，
∵点C在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，
∴CE=CD=2，
故答案为2 ．
【点睛】
本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．
14．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=∴∠A=-∠B-
∠C=∵△ABC≌△DEF∴∠D=∠A=故答案为：【点睛】此题考查全等三角
解析：70︒
【分析】
先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再利用全等三角形的性质求出答案即可
【详解】
∵∠A+∠B+∠C=180︒，
︒-︒-︒=︒，
∴∠A=180︒-∠B-∠C=180506070
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=70︒，
故答案为：70︒
【点睛】
此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，以及三角形的内角和定理．
15．10【分析】由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到DE ＝CDAC＝AE加上BC＝AC三角形的周长为BE+BD+DE＝BE+CB＝AE+BE于是周长可得【详解】解：∵AD平分∠BAC交B
解析：10
【分析】
由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到DE＝CD，AC＝AE，加上BC＝AC，三角形的周长为BE+BD+DE＝BE+CB＝AE+BE，于是周长可得．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵AD=AD，
≅，
∴ACD AED
∴AC=AE，
又∵AC＝BC，
∴△DEB的周长＝DB+DE+BE＝AC+BE＝AB＝10．
故填：10．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质以及全等三角形的证明，解题的关键是理解并掌握角平分线的性质以及全等三角形的证明方法.
16．4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=延长CD 到H 使DH=CD 由线段中点的定义得到AD=BD 根据全等三角形的性质得到AH=BC=4【详解】
∵DC ⊥BC ∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=如图延长CD
解析：4
【分析】
根据垂直的定义得到∠BCD=90︒，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．
【详解】
∵ DC ⊥BC ，
∴ ∠BCD=90︒，
∵ ∠ACB=120︒，
∴ ∠ACD=30︒，
如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，
∵ D 为 AB 的中点，
∴ AD=BD ，
在 ΔADH 与 ΔBCD 中，
CD DH ADH BDC AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ ΔADH ≅ΔBCD(SAS)，
∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，
∴点A 到CD 的距离为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．OA=OB （答案不唯一）【分析】全等三角形的判定方法有SASASAAASSSS 只要添加一个符合的条件即可【详解】解：OA=OB 理由是：在△AOC 和△BOD 中∴△AOC ≌△BOD （SAS ）故答案为：O
解析：OA=OB ．（答案不唯一）
【分析】
全等三角形的判定方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，只要添加一个符合的条件即可．
【详解】
解：OA=OB ，
理由是：在△AOC 和△BOD 中，
OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOC ≌△BOD （SAS ）．
故答案为：OA=OB ．（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力和对全等三角形的判定方法的灵活运用能力，题目答案不唯一，是一道比较好的题目．
18．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形 解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD
【分析】
先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．
【详解】
由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，
AO BO =，
∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，
当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，
当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．
【点睛】
本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
19．55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案
【详解】∵∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ∴∠1
解析：55°
【分析】
先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案．
【详解】
∵BAC DAE ∠=∠，
∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，
∴∠1=∠CAE ；
在△ABD 与△ACE 中，
1AD AE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；
∴∠2=∠ABE ；
∵∠3=∠ABE+∠1=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，
∴∠3=55°．
故答案为：55°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．
20．2或【分析】分点Q 在BC 上和点Q 在AC 上根据全等三角形的性质分情况列式计算【详解】由题意得AP ＝3tBQ ＝2tAC ＝8cmBC ＝6cmCP ＝8﹣3tCQ ＝6﹣2t①如图当与全等时PC=QC 解得；②如
解析：2
或145
． 【分析】
分点Q 在BC 上和点Q 在AC 上，根据全等三角形的性质分情况列式计算．
【详解】
由题意得，AP ＝3t ，BQ ＝2t ，
AC ＝8cm ，BC ＝6cm ， ∴ CP ＝8﹣3t ，CQ ＝6﹣2t ，
①如图，当PMC △与QNC 全等时，PC=QC ，
6283t t -=-，解得2t =；
②如图，当PMC △与QNC 全等时，点P 已运动至BC 上，且与点Q 相遇， 则PC=QC ，6238t t -=-，解得145
t =；
故答案为：2或
145
． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解决问题的关键．
三、解答题
21．（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β
【分析】
（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；
（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据
OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；
（3）根据（1）与（2）直接得到结论．
【详解】
（1）证明：设AF 交BO 于G ，
∵60AOB DOE ∠=∠=︒，
∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵
OGA FGB ∠=∠，
∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，
∴60AFB AOB ∠=∠=︒， 故答案为：AD BE =，60°；
（2）AD BE =，90°
证明：设AF 交BO 于G ，
∵90AOB DOE ︒∠=∠=，
∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵OGA DGB ∠=∠，
∴90AFB AOB ∠=∠=︒；
故答案为：AD BE =，90°；
（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=
故答案为：AD BE =，β．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
22．图见解析，9DE =或3DE =
【分析】
分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．
【详解】
解：如图1
∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵90ACB ∠=︒，
∴∠BCE+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB
在△ACD 和△CBE 中，
===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴ △ACD ≌△CBE
∴AD=CE=6，DC=EB=3，
∴DE=DC+CE=9；
如图2，
∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵90ACB ∠=︒，
∴∠BCE+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB
在△ACD 和△CBE 中，
===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴ △ACD ≌△CBE
∴AD=CE=6，DC=EB=3，
∴DE=CE-CD=3；
∴9DE =或3DE =．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 23．详见解析
【分析】
先利用SSS 证明△AB ≌和△ADE ，得到∠B=∠ADE ，根据AB=AD ，证得∠B=∠ADB ，再利用∠1+∠B+∠ADB=180︒，∠2+∠ADB+∠ADE=180︒，即可推出∠1=∠2．
【详解】
在△ABC 和△ADE 中，
AB AD BC DE AC AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△ABC ≌△ADE(SSS)，
∴∠B=∠ADE ，
∵AB=AD ，
∴∠B=∠ADB ，
∵∠1+∠B+∠ADB=180︒，∠2+∠ADB+∠ADE=180︒，
∴∠1=∠2．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
24．见详解
【分析】
欲证明AE=BC ，只要证明△AEF ≌△BCD 即可．
【详解】
证明：∵EF ∥CD ，AE ∥BC ，
∴∠A=∠B ，∠EFD=∠CDB ，
∵AD=BF ，
∴AF=DB ，
在△AEF 和△BCD 中，
A B AF BD EFA CDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△AEF ≌△BCD ，
∴AE=BC ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）60°
【分析】
（1）推出同旁内角互补即可
（2）如图，过点M 作//MR AB ，利用平行线性质推出////AB CD MR ．得
GMR AGM ∠=∠，HMR CHM ∠=∠．利用角的和M GMR HMR ∠=∠+∠代换即可．
（3）如图，令2AGM α∠=，CHM β∠=，由N AGM ∠=∠推得2N α∠=，2M αβ∠=+，由射线GH 是BGM ∠的平分线，推得1902FGM BGM α∠=
∠=︒-， 则90AGH AGM FGM α∠=∠+∠=︒+，由12
M N FGN ∠=∠+∠，求出2FGN β∠=，过点N 作//HT GN ，由平行线的性质
22GHM MHT GHT αβ∠=∠+∠=+，求出
∠CHG 23αβ=+，利用//AB CD 的性质180AGH CHG ∠+∠=︒，即
9023180ααβ︒+++=︒，求出30αβ+=︒，再求()260MHG αβ∠=+=︒即可．
【详解】
（1）证明：如图，∵180AGE DHE ∠+∠=︒，AGE BGF ∠=∠．
∴180BGF DHE ∠+∠=︒，
∴//AB CD ．
（2）证明：如图，过点M 作//MR AB ，
又∵//AB CD ，
∴////AB CD MR ．
∴GMR AGM ∠=∠，HMR CHM ∠=∠．
∴M GMR HMR AGM CHM ∠=∠+∠=∠+∠；
（3）解：如图，令2AGM α∠=，CHM β∠=，
∵N AGM ∠=∠
则2N α∠=，2M αβ∠=+，
∵射线GH 是BGM ∠的平分线， ∴()111809022
FGM BGM AGM α∠=∠=︒-∠=︒-， ∴29090AGH AGM FGM ααα∠=∠+∠=+︒-=︒+， ∵12
M N FGN ∠=∠+∠， ∴1222FGN αβα+=+
∠， ∴2FGN β∠=，
过点N 作//HT GN ，则2MHT N α∠=∠=，2GHT FGN β∠=∠=，
∴22GHM MHT GHT αβ∠=∠+∠=+，
∴CHG CHM MHT GHT ∠=∠+∠+∠2223βαβαβ=++=+，
∵//AB CD ，
∴180AGH CHG ∠+∠=︒，
∴9023180ααβ︒+++=︒，
∴30αβ+=︒，
∴()260MHG αβ∠=+=︒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质， 角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造内错角，和同位角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算是解题关键．
26．（1）补全图形见解析；（2）OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．
【分析】
（1）根据题意要求作图即可；
（2）根据题意利用SSS 证明COD C O D '''≅即可．
【详解】
(1)作图：
(2)连接C D ''，
∵OC O C ''=，OD O D ''= ，CD C D ''=，
∴COD C O D '''≅（SSS ），
∴A O B AOB '''∠=∠．
∴A O B '''∠就是所求作的角
故答案为：OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．
．
【点睛】
此题考查作图能力—作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，根据题意画出图形并确定对应相等的条件证明三角形全等是解题的关键．。