北京市西城区第八中学2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

10.在等比数列 an 中，若 a2 a4 20 ， a4 a6 60 ，则 q __________．
【答案】 3 .
【解析】
分析：根据题意列出关于首项 a1 ，公比 q 的方程组，解得 a1 、 q的值，即可得结果
详解：设等比数列an 中公比为 q，
∵
a4
a2 a4 a6 q2 (a2
f
(x)
x2
e
x
2x(x 1(x
0) 若对 x 0)
R
,不等式
f
(x)
ax
成立，则
a
的取值范围
是__________
【答案】 2,1
【解析】 【分析】
分 x 0 与 x 0 两种情况分别讨论研究恒成立问题即可. 【 详 解 】 当 x 0 , f (x) x2 2x ax , 得 x2 (2 a)x 0 , x a 2 , 即 a x 2 , a 2 , 当 x 0 时, f (x) ex 1, f '(x) ex , f '(0) e0 1,所以过 (0, 0) 的切线为
2 2e2 3e1
4 12 1 9 2
7 ,故
cosθ 2e1 e2 2e2 3e1 2e1 e2 2e2 3e1
7 2
7
7
1 2
,∴θ
2 3
,
8
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故答案为 2 3
【点睛】本题主要考查向量的数量积与模长夹角的运算,属于基础题型.
13.已知函数
(x2 ))，，(xn,
f
( x n ))
与原点连线的斜
率，
而 (x1, f (x1))，(x2, f (x2 ))，，(xn, f (xn)) 在曲线图像上，
故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显分别有 2、3、4 个，故选 B.
【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.
【此处有视频，请去附件查看】
故选 B 【点睛】本题主要考查向量共线的定义与判定,属于基础题型.
5.函数
f
x
x
1 x
cos
x
（
x
且x
0 ）的图象可能为（
）
A.
B.
C.
2
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D.
【答案】D
【解析】
因为 f (x) (x 1 ) cos x (x 1 ) cos x f (x) ，故函数是奇函数，所以排除 A，B；
可得当 x 0 时, x sin x 恒成立.
故当 x 0 时, f (x) sin x 1 .又 f (x) sin x 为偶函数,故 f (x) sin x 1 恒成立.
x
x
x
对③,
f
'(x)
x cos
x sin x2
x
令
f
'( x)
0则
x cos
x sin
x
0.
当 x 3 时 x cos x sin x 0 不成立,故③错误. 2
,再表示出
OQ
对应的夹角,利用三角函数求解即可.
7
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【详解】∵平面直角坐标系中,点 O(0,0) , P(1, 3) 则 OP 2 ．
将向量 OP 绕点 O 顺时针方向旋转弯 2 后,得到向量 OQ ,
设 OP (1,
3) (2 cos , 2sin ) , 易得
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北京市西城区第八中学 2020 届高三数学上学期期中试题（含解析）
考试时间:120 分钟，满分:150 分 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1.已知集合 A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－ 5 ＜x＜ 5 }，则( )．
A. A∩B＝
B. A∪B＝R
C. B A
【答案】B
【解析】
【详解】依题意 A x | x 0或x 2 ，
D. A B
又因为 B＝{x|－ 5 ＜x＜ 5 }， 由数轴可知 A∪B＝R，故选 B.
【此处有视频，请去附件查看】
2.化简 AB BC AD 等于（ ）
A. CD
B. DC
C. AD
D. CB
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算求解即可.
【详解】 AB BC AD AC AD DC
故选 B
【点睛】本题主要考查首尾相加的向量运算与共起点的向量减法运算,属于基础题型. 3.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f(x)=（ ）
y x , f (x) ax ,则 a 1,故 a 2,1 , 故答案为 2,1
【点睛】本题主要考查分段函数的恒成立问题,需要分开讨论或者数形结合分析,属于中等题 型.
14.设 Q 为平面直角坐标系 xOy 中的点集，从 Q 中的任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足 分别为 M,N,记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x( Q ),点 N 的纵坐标的最大值与最小 值之差为 y( Q ).若 Q 是边长为 1 的正方形，给出下列三个结论:
x1
x2
xn
A. 2,3
B. 2,3, 4
C. 3, 4
D. 3, 4,5
【答案】B
【解析】
【详解】
f (x1) x1
f
( x1 ) x1
0
0
表示
(
x1
,
f (x1)) 到原点的斜率；
f (x1) x1
f (x2 ) x2
f
( xn xn
)
表示
( x1 ,
f
( x1 ))，( x2 ,
f
对④,
f
'(x)
x cos
x sin x2
x
令
g(x)
x cos x sin
x
,当 x
2
时,
g(
)
cos
sin
1 ,当 x
时,
g(x) x cos x sin x cos x(x tan x)
22 2 2
2
先画出 y x 与 y tan x 的图像如图
5
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注意当
x
(0,
)
2
时,
tan'
x
1 cos2
x
1 ,此时
x
tan
x
,此时
g(x)
cos
x(x
tan
x)
0
当
x
(
,
)
时,
cos
x
0
,
x
tan
x
,故
g(x)
cos
x(x
tan
x)
0
2
当
x
时,
g( )
cos
sin
0
.故当
x (0, ] 时,
f
'(x)
பைடு நூலகம்
x cos
x sin x2
x
0
当 x (，3 ) 时, cos x 0 ,且 x tan x 0 有根. 2
8.已知函数 f (x) sin x ,下列四个命题正确的序号是（ ） x
① y f (x) 是偶函数 ② f ( x) 1③当 x 3 时, y f (x) 取得极小值④满足 2
4
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f ( n ) f ( n 1 ) 的正整数 n 的最小值为 9
6
6
A. ①②③
并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
11.在平面直角坐标系中，点 O(0,0) , P(1, 3) ，将向量 OP 绕点 O 顺时针方向旋转 2 后，
得到向量 OQ ，则点 Q 的坐标是__________
【答案】 ( 3, 1)
【解析】
【分析】
设向量
OP
与
x
轴正半轴的夹角为
f (x) sin(x) sin x sin x f (x) ,故 f (x) 是偶函数,①正确
x
x
x
对②,因为 f (x) sin x 为偶函数,故只需考虑 x 0 时的情况即可. x
画出 y sin x 与 y x 的函数图像如图.因为 sin' x cos x 1 x ' 且当 x 0 时成立,由图
d am1 am 1 ，从而可得结果.
【详解】an 是等差数列
Sm
m a1
2
ams
0
a1 am Sm Sm1 2
又 am1 Sm1 Sm 3 ，
∴公差 d am1 am 1，
3 am1 a1 m 2 m m 5 ，故选 C．
3
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A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
与共线向量有关的问题,重点考虑零向量的特殊性即可判断.
【详解】由平行向量的定义,
若存在
∈R,使得 a
=
λb ,则向量 a 与向量 b 共线.但当向量
a 与向量 b 共线时,若 b 为零向量, a 不为零向量,则不存在 ∈R,使得 a = λb .
．
3
设点 Q 的坐标为 (x, y) ,则 x 2 cos( ) 2sin 3 , 2
y 2sin( ) 2 cos 1 ,故点 Q 的坐标为 ( 3, 1) , 2
故答案为 ( 3, 1)
【点睛】本题主要考查三角函数的定义,角 顺时针旋转 对应的角度为 ,属于中等
2
2
题型.
B. ①③④
C. ①②
D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】
对①,直接根据偶函数的定义判断即可.
对②,根据当 x 0 时 sin x 与 x 大小关系判断即可.
对③,求导后代入 x 3 判断即可. 2
对④,求导分析函数单调性,确定 f (x) sin x 的极值点位置再判断即可. x
【详解】对①, f (x) sin x 定义域为 x x 0 ,当 x 0 时, x
x
x
取
x
，则
f
( )
(
1
) cos
(
1
)
0
，故选
D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
【此处有视频，请去附件查看】
6.设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sm1 2, Sm 0, Sm1 3 ，则 m ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
由 Sm 0 a1 am Sm Sm 1 2 又 am1 Sm1 Sm 3 ， 可 得 公 差
24
【详解】∵x∈[0,1],∴ x∈[0, ],
2
2
∴
x
∈[
,
],
24
44
6
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∴sin
2
x
4
∈[
2, 2
2 ], 2
∴函数
f(x)
sin
2
x
4
在区间 0,1上的最小值是
2, 2
故答案为 2 2
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与最值运用,属于基础题型.
A. ex1
B. ex1
C. e x1
D. e x1
【答案】D
1
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【解析】
【详解】与曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y ex ， 向左平移 1 个单位得 y e(x1) e x1 ， 即 f (x) ex1 ．
故选 D． 【此处有视频，请去附件查看】
4.“向量 a 与向量 b 共线”是“存在 R ,使得 a = λb ”的（ ）
④对三角函数的分析与计算能力要求较高,属于难题.
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
9.函数
f
(x)
sin(
x
)
,在区间 0,1 上的最小值是__________
24
【答案】 2 2
【解析】
【分析】
根据 x 0，1 得出 x 的范围,再根据三角函数单调性进行求解即可.
20 a4）=60
，
∴ q2 3，
∴ q 3 ，故答案为 3 ．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列
的一类基本题型，数列中的五个基本量 a1, q, n, an, Sn, ，一般可以“知二求三”，通过列方
程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识
解答问题的能力，属于中档题.
7.函数 y f (x) 的图像如图所示，在区间 a,b 上可找到 n(n 2) 个不同的数 x1, x2 ,, xn ，
使得 f (x1) f (x2 ) f (xn ) ，则 n 的取值范围为（ ）
又对
f
(x)
sin x x
,
f (6) 6
0,
f
(
7 6
)
3 7
,
f
(8) 6
3 3 8
,
f (9) 6
2 3
,
f
(10 ) 6
3 3 10
.故满足
f
(n) 6
f
( n 1 ) 的正整数 6
n
的最小值为
9.
故④正确.
故选 D
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、函数单调性奇偶性与不等式的解法等.其中
12.已知 e1、e2 是夹角为 60°的两个单位向量，则向量 2e1 e2 与向量 2e2 3e1 的夹角为
__________ 2
【答案】 3
【解析】
【分析】
根据夹角公式 cos e1 e2
e1 e1
与向量的坐标运算求解即可.
【详解】∵已知
e1、e2
是夹角为 60°的两个单位向量,∴ e1
•
e2
1×1×cos60°
1 2
．
设向量 2e1 e2 与向量 2e2 3e1 的夹角为θ,θ∈[0,π]．
∵(
2e1
e2
)•(
2e2
3e1)
e1
e2
6
e1
2
2
2 e2
1 2
6+2
7 2
,
| 2e1 e2 |
2 2e1 e2
4 4 1 1 2
7 ,| 2e2 3e1 |