3.2一元二次不等式的解法(整合版)

解集是大于大根,小 于小根(取两边)
例2 4x2 －4x ＋ 1＞0
解： 0
方程4x2 4x 1 0的根是
x1

x 2

1 2
y
原不等式的的解集是
{x
x

1 2
}
o 0.5
x
练习：解不等式：
3x2 5x 2 0
9x2 6x 1 0
探究2、当a<0时，如何解不等式
求根的方法： （1）公式法 X= （2）配方法 （3）因式分解法
例：求x2 2x 3 0的根
方法一：
(2) (2)2 4 (3)
x
2
1 2 x1 1, x2 3
方法二：
x2 2x 3 (x 1)2 4 0,(x 1)2 4
当x= 0—或——5时，y=0，即
x2 5x = 0 —
y
y>0
当x >——5—或—<—0—
时，y>0，即
x2

5x
>
—
0
O
5
x
当x —0—<—x—<—5—
时，y<0，即 x2 5x < 0 ——
y由<0 此
不等式 x2 5x 0 的解集是 {x|x>5或x<0}
不等式 x2 5x 0 的解集是 {x|0<x<5}
由 (1 a)2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
又a 0
a的取值范围为 3 2 2 a 3 2 2
y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像
y
0
y
0
y 0
O x1 x2 x
O
b
x
2a
O
x
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是二次的不等式叫做一元二次不等式.
形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
画出 y x2 5x 图象， 观察图象填空：
x1 m, x2 m 1
m m1
原不等式的解集为x m x m 1
例2：解关于x的不等式：
x2 (1 a)x a 0
解：
方程x2 (1 a)x a 0的解为：
x1 1, x2 a (1)当a 1时，原不式的解集为（ a,1);
x 1 2,即x 1 2,x1 1, x2 3
方法三：
x2 2x 3 (x 1)(x 3) 0, x1 1, x2 3
复习一元二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像
y
y
y
O x1
x
x2
0
O
b
x
2a
0
O
x
0
复习一元二次函数
可见，一元二次不等式也可用图象法求解
探究1 一元二次不等式解集表（a>0)
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
⊿>0
y
x1 x2 x
⊿=0
y
x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程
有两个不等实 有两个相
x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2)
x1=x2
ax2+bx+的c>解0（集a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
3.2 一元二次不等式及其解法
学习目标
• 1。理解三个二次的关系； • 2。能借助图象理解一元二次不等式求解方
法； • 3。对于给定的简单一元二次不等式，能解
出解集。
复习一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
0方程有两个不等的实根 0方程有两个相等的实根 0方程没有实根
的解集是 x 3 x ，4 求实数 a, b 的
值.
小结： 一元二次不等式解集的端点就是对应函 数的零点，就是对应方程的实根。
例1：解关于x的不等式：
含参变量 的不等式
x2 (2m 1)x m2 m 0
解：
方程x2 (2m 1)x m2 m 0的解为：
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
﹛x|x1<x<x2﹜
Φ
无实根 R Φ
例1：解不等式 x2－2x－3 > 0 .
解: 因为△ >0, 方程x2－2x－3 =0的根是
x1 1, x2 3
先求方程的根 然后想像图象形状
所以,原不等式的解集是
x | x 1,或x 3.
注:开口向上,大于0
8
8
练习 2x2 x 1 0
例4：设A，B分别是不等式3x2 6 19x 与不等式 2x2 3x 5 0的解集，试求A B, A B.
解：由3x2 6 19 x，得3x2 19 x 6 0
解得：A＝x
1 3

x

6
由－2x2 3x 5 0解得
B

x

1

x

5 2

A
B

x
1 3

x

5
2

AB x1 x 6
当堂检测
1.解不等式： x2 4x 5 0
2.解不等式： x2 4x 4 0
3.不等式 x2－3x＋2＜0 的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1)
ax2 bx c 0(或 0)
利用不等式的性质,将不等式的两边同 时乘以-1，使二次项系数变为正。
例3．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
x1

1 8
17
, x2

1 8
17
所以不等式的解集是 {x | 1 17 x 1 17}
(2)当a 1时， 原不式的解集为
(3)当a 1时， 原不式的解集为 (1, a)
例3：已知 ax2 (1 a)x 1 0 恒成立， 求a的取值范围。
解： 不等式恒成立，即解集为R
y
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1,2)
4．不等式 2x2－x－1＞0 的解集是( )
A.－12，1
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)2 5x 6 ≤0的解集为________
思考：已知不等式 ax2 bx + 1 0