北师大版高中数学必修四向量的概念同步练习(2)

《向量的概念》测试
一．选择题：
1．若a ＜b ＜c ，则下列结论正确的是
A ．|a|c ＞|a|b
B ．bc ≥ac
C ．b c a c ->-
D ．111
c b a <<
2．在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边AB 、BC 、CA 的中点，则AF DB -等于 A ．FD B ．FC C ．FE D ．BE 3．设
sin cos sin 2,,2
sin cos a b c a b c αα
αααα
+=
=
=
+为锐角，则、、的大小关系是
A ．a b c ≤≤
B ．b a c ≤≤
C ．b c a ≤≤
D ．c b a ≤≤
4．若点3
4
P AB A BP 分向量的比为，则点分向量的比为
A ．34-
B ．34
C ．73-
D ．7
3
5．下面四个函数中，以 (,) 2π
ππ为最小正周期，且在区间上为减函数的是
A ．2
cos y x = B ．2|sin |y x = C ．cos 1()3
x y = D ．cot y x =-
6．下列不等式中，解集为实数集R 的是
A ．2
440x x ++>
0> C. 11
1x x
-< D. cos(sin )0x > 7．若把一个函数的图象按向量
(,2)cos 3
a y x π
=-
-=平移后得到函数的图象，则原函数
图象的解析式为
A ．cos()23
y x π
=++ B ．cos()23
y x π
=-- C ．cos()23
y x π
=+
- D ．cos()23
y x π
=-
+
8．不等式11log (21)log (1)a a x x ---->成立的充要条件是 A ．a ＞2, x ＞1 B ．a ＞1, x ＞1 C ．a ＞2,x ＞0 D ．x ＞0 9．下列各式中，值为
12
的是 A ．sin15cos15︒︒ B ．2
2
cos
sin
12
12
π
π
- C ．
2
tan 22.51tan 22.5
︒︒
-
D
10．已知 ()//, ()//a b c a b c b c a ++、、是两两不共线的非零向量，且，则下列结论中不正确的
是 A ．a c b +与共线 B ．a b c ++=0 C ．2a c b +与共线 D ．2a b c ++=0 11．已知不等式2{|-103}a
x x x x a x
-≤
≤<≤的解集为或，则实数的值为
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
12．海上两个小岛A 、B 到海洋观察站C 的距离都是a km ，小岛A 在观察站C 北偏东20°，
小岛B 在观察站C 南偏东40°，则A 与B 的距离是
A ．a km B
km C
km D ． 2a km 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．已知445
(0,) sin cos , sin 229πθθθθ∈+==，若则 .
14．已知(1,3),(1,1),()()a m b m a b a b =+-=-+⊥-向量向量若，则实数m 的值为 . 15．函数12
1log (1)1
y x x =+
+-的最大值是 .
16．若对1212 ,, , n n n a a a n k k k 个向量存在个不全为零的实数，，使
1122120,,, n n n k a k a k a a a a ++
+=成立则称向量为“线性相关”
，依此规定，123(1,0), (11) (2,2)a a a ==-=能说明向量，,“线性相关”的实数123,k k k ,依次可以取
（只写出一组数值，不必考虑所有情况）
三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知
12 60e e a
︒=
+、是两单位向量，其夹角为，求向量与向量θ的夹角. 18．已知a ＞0，解关于22 1
ax x x ax -<+的不等式.
19．已知5
0,sin().213x y x y π
π<<
<<+=
且
（I ）若1
tan , cos cos ;22
x x y =求及的值
（II ）试比较sin sin() y x y +与的大小，并说明理由.
20．（本小题满分12分）
已知△ABC 的外接圆半径R 为6，面积为S ，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边设
224
()sin sin 3
S a b c B C =--+=,.
（I ）求sinA 的值;（II ）求△ABC 面积的最大值.
21．（本小题满分12分）
某小区欲建一面积为a 平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽5米，短边外小路宽8米（如图），绿地长边至多长28米，至少长20米.
（I ）设长边为x ，试将绿地和小路的占地总面积S 表示成x 的函数； （II ）对于给定的(300700),.a a x S ≤≤当取何值时，最小
已知二次函数
2()()(1)||1|()| 1.f x ax bx c g x ax b x f x λλ=++=+≥≤≤，，当时，
（I ）证明：||2;a ≤
（II ）用(0)(1)(1)(1)(1);f f f g g --、、表示， （III ）当||1|()|2.x g x λ≤≤时，证明
参考答案
一、选择题
1—6. CDDCBD 7—12. DACDDB 二、填空题
13 14．2- 15．2-
16．只要写出4, 2, (0) 4, 2, 1c c c c -≠-中一组即可，如等 三、解答题
17．解：2
2
2
2
121122||(2)4454cos 607a e e e e e e ︒=+=+⋅+=+= ||7a ∴= （3分）
22
22121122||(32)91241312cos 607b e e e e e e ︒=-+=-⋅+=-= ||7b ∴= （6分）
1212(2)(32)
cos 7
||||
e e e e a b a b θ+⋅-+⋅∴==
（9分）22
1122
627
e e e e -+⋅+=
4cos 6017
2
︒
-+=
=- 120θ︒
∴= （12分）
18．解：原不等式可化为222()
01
ax ax x ax --+<+
即
2
01x ax --<+亦即(2)(1)0x ax ++> 由1
0(2)()0a x x a >++>得 4分 当1112 2 2a x x a a ->-><->-即时，或
当111
2 0 22a x x a a -<-<<<->-即时，或
当11
2 22
a x R x a -=-=∈≠-即时，且 （10分）
综上所述：原不等式的解集：
当11 {| 2 }2a x x x a ><->-时为或
当11
0{|2}2a x x x a <<<->- 时为 或
当1
{| 2}2
a x x R x =∈≠-时为且 ………………（12分）
19．解：（I ）1
0, tan 222
x x y ππ<<<<=
0cos sin
2422x x x π∴<<==且
234
cos 2cos 1, sin 255x x x =-== ……（3分）
又53sin(), 1322
x y x y ππ
+=<+<
12
cos()13
x y ∴+=-
………（5分） cos cos[()]cos()cos sin()sin y x y x x y x x y x ∴=+-=+++
1235416
13513565
=-⋅+⋅=- ………………（8分）
（II ）证法一：330 , 22222
x y x y y x y πππππ
π<<<<∴<+<<<+<
…（10分） 又3sin [,] sin sin()22
y x y x y ππ
=∴>+在上为减函数…（12分）
证法二：sin()sin 2cos()sin 22
x x
x y y y +-=+ ………（10分）
又5, 0 cos()0, sin 02242422
x x x x
y y πππ<+<<<∴+<>
sin()sin 0, sin()sin x y y x y y ∴+-<+<即 …………（12分） 20．解：（I ）由221 sin () 2
S bc A S a b c =
=--及得
2221sin 2()22cos 2
bc A bc b c a bc bc A =-+-=-11cos 4sin A A
-∴
= （4分）
2211
cos 1sin cos (1sin )44
A A A A ∴=-∴=-
22
2111711sin 1sin sin sin sin 0216162
A A A A A ∴-=-+-=即
又8
sin 0 sin 17
A A ≠∴= …………………………（6分）
（II ）4sin sin 3B C += 4
223
b c R R ∴+= 又 6 16R b c =∴+=
2144256
sin ()21717217
b c S bc A bc +∴==≤=
当且仅当m a x 256
8 17
b c S ===时， ………………（8分）
此时28sin sin sin sin())(I)3
9
17
B C A B C ==∴=+=
≠
与矛盾
由22296
10122sin 162cos 17
17
a R A
b
c a b c bc A bc ==
+==+-=
且代入得
14048
sin 2289
S bc A ∴==
………………（12分）
21．解：（I ）由已知得绿地短边为
a a x x
x
≥
米，且
(28)(25)a S x x ∴=+⨯+⨯1610160 (2028)a x a x x
=+++≤≤ ……（4分）
（II ）由（I ）得160S a ≥+160a =+
当且仅当160 1,a x x x
=
=
即时，上式中等号成立 …………（6分）
2028250490 a ≤≤∴≤≤≥⎧⎪
⎪⎩
满足等号成立的充要条件是即 又由已知300700a ≤≤
(1) 300490 a x S ≤≤=
∴当时，时，最小 ………………（8分）
16(2) 490<700 ()10(2028)a a u x x x x
≤=+
≤≤当时，设
1616()(28)(10)(1028)28
a a u x u x x
-=+
-⨯+
16280(28)28a x
x x
-=-⋅
又2028, 490x a ≤≤>
280, 167840280x a x ∴-≥>≥ ()(28)0, ()(28)u x u u x u ∴-≥≥即
28 x S ∴=当时，最小，
700 2828
a a
a x ≤∴=<并且此时 …………………
22．（I ）(0), (1), (1)f c f a b c f a b c ==++-=-+
2(1)(1)2(0)a f f f ∴=+-- …………………………（2分） 又|| 1 , |()|1x f x ≤≤时 |(1)|1, |(1)|1, |(0)|1f f f ∴≤-≤≤
|2||(1)(1)2(0)||(1)||(1)|2|(0)|4a f f f f f f ∴=+--≤+-+≤
||2a ∴≤ …………………………（4分）
（II ）由
1[(1)(1)](0)2
(0)1(1)[(1)(1)]2(1)(0)
a f f f f c f a
b
c b f f f a b c c f =+--==++=---=-+=⎧⎪⎧⎪
⎪⎪⎨⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎩
得 (11)
(1)[(1)(1)](0)[(1)(1)]22
g a b f f f f f λλλ∴=+=⋅+--+--
11
(1)(1)(0)22
f f f λλλ+-=+-- ………………（7分）
11
(1)[(1)(1)](0)[(1)(1)]22
g a b f f f f f λλλ-=-+=-⋅+-++--
11(1)(1)(0)22
f f f λλ
λ-+=--+ ………………（8分） （III ）1, |(1)|1, |(1)|1, |(0)|1f f f λ≥≤-≤≤
1
1
|(1)||
(1)(1)(0)|2
2
g f f f λλλ+-∴=+
--
11
222
λλλλ+-≤
+
+= 1
1
|(1)||
(1)(1)(0)|2
2
g f f f λλλ-+∴-=-
-+
11
222
λλλλ-+≤
++= ………………（12分） 又() g x x 是关于的一次函数，故由一次函数的单调性知：
||1, |()|2x g x λ≤≤对一切有 ………………（14分）。