圆锥曲线中张角为直角的性质 廖波

1 a2
+
1 b2
=
2+ 2
证明：∵
1
2
+
1 OQ2
=
1 a2
+
1
2
=
1 d2
且m2 +
2
=
1 OM2
+
1 0N2
=
1 d2
⇒
1 a2
+
1 b2
=
2+ 2
推论3及推论4将 换成− 即是双曲线的性 质。
推论5： OP . OQ 的范围？
解：∵
1 a2
+
1
2
=
1 OP
2
+
1 OQ
2
≥
2 OP OQ
⟺
OP
圆锥曲线中张角为直角的性质
廖波
一、中心角张直角
2 y2 定理： a2 + b2 = 1, 直线l交椭圆于A、B，且OA ⊥ OB, O到直线AB的距离为d.
①⇒
1 d2
=
1 OA
2
+
1 OB
2
=
1 a2
+
1 b2
②⇒ d = ab
2+ 2
D点轨迹方程为 + = +
a2b2 方法一（普通方法）：设直线OA方程为：y = kx, 带入椭圆：xA = b2 + a2k2
λy0)
=
λ(y
+
y0(a2 − b2) a2 + b2
)
+
x0(a2 − b2) a2 + b2
∴
直线过定点（
x0(a2 − b2) a2 + b2
，
−
y0(a2 − b2) a2 + b2
）
注：双曲线一样，只需将b2换成 − b2即可。
抛物线： 2 = 2 , 直线： = + 联立解方程 2 = 2 − 2 = 0
OQ的充要条件是2pa = 1, 此时过定点（2p, 0）
证明：
ax + by − 1 = 0 y2 = 2px(p > 0)
⇒ y2 = 2px(ax + by)(注：其次构造 )
y2
y
⇒ （ x ） − 2pb x − 2pa = 0
∵ k = yx,∴ k1. k2 =− 1 =− 2pa 代入直线方程： 21px+by-1=0
1
2
+
1 b2
二、圆锥曲线上张直角
2 y2 直线l与椭圆 a2 + b2 = 1(a > b > 0)交于A、B，点M(x0, y0)是椭圆上不同于A
、B两点的一定点，MA ⊥ MB, 则直线l过定点（tx0, − ty0）, t =
2− 2+
2
2。
解：令直线AB: x = λy + m 代入椭圆方程可得：
（a2+ 2λ2）y2 + 2b2mλy + b2m2 − a2b2 = 0
−2 2 1+ 2= 2+ 2 2
2 2− 2 2 1+ 2= 2+ 2 2
又
∵
MA
⊥
MB
⇒
.
MA
MB
=
0
⇒
(x1
−
x0)(x2
−
x0)
+
(y1
−
y0)(y2
−
y0)
=
0
⇒(
2
+
1)y1y2
+
(λ(m
−
x0)
−
y0)(y1
+
OQ
≥
2a2b2 a2+b2
此时
=
⇒(∆ )
=
a2b2 a2+b2
;
(
∆
)
=
1 2
ab
2
2
2
推论6：已知圆 ： + = 和椭圆 : a2 + b2 = 1(a > b > 0), 当a、b满足 a2 +
2
b2
=
r2时。C1上任意一点P均在以P为顶点且与圆C外切，与C1内接的平行四边
为菱形。
解：延长op、os⇒ OP = OR, OS = OQ, PR ⊥ QS ⇒ 四边形PQRS为菱形，且r2 =
⇒
1+ 2=2 1 2 =− 2
;
=
2 2 =− 1 ⇒ 4 2 +
1+ 0 2+ 0
1 2+
0( 1 +
2) +
2 0=Biblioteka 0且2 0
=2
0
⇒ m = x0 + λy0 + 2p
∴ x = λy + λy0 + x0 + 2p， x = λ(y + y0) + x0 + 2 ∴ 定点（x0 + 2p, − y0）
∴ OA2 = 2 + y2 = (1 + k2) 2 = a2bb22+(1a+2kk22).将k换成-1,
得∴
OB2
=
a2b2(1+k2) a2+b2k2
1
1
2+ 2 1 1
∴ OA 2 + OB 2 = 2 2 = a2 + b2
由等面积法：d12 =
1 OA
2
+
1 OB
2
⇒
2=
2+ 2
22
方法二（参数方程）：令A( r1cos , r1sin ), B( r2cos ( + 2 ) , r2sin ( + 2 ) )其中
OA = r1, OB = r2, 带入椭圆方程：
1 cos2 2= 2
1
1 sin2 2= 2
2
sin2 +2
cos2 +2
11 1 1 ⇒ r12 + r22 = a2 + b2
推论1：同理双曲线具有同样的性质，只需将 2换成- 2即可
1
2
=
1
2
−
12,
d = ab
2− 2
推论2：抛物线y2 = 2px(p > 0)与ax + by = 1(a > 0)相交于P、Q，且OP ⊥
y2)—（m
−
2
x0）
+
y02=0
⇒ (a2 + b2)m2 + 2(b2λy0 − a2x0)m + ( 2 − b2)(x02 − λ2y02)=0
十字相乘法可得：
m
=
(a2
−
b2)(x0 + a2 + b2
λy0)
或
m = x0 − λy0(舍去)
代入直线x = λy +
a2
−
b2 a2
(x0 + + b2
⇒ 2pa = 1 ⇒ x = 2p, y = 0
∴ 直线过定点（2p，0）
推论3：直线l与椭圆相交于A、B，与x轴、y轴交于
M、N，且OA
⊥
OB且M(m,
0)
⟺
1 m2sin2θ
=
1 a2
+
1 b2
因为由等体积法可知： =
=d
推论4：若
2
a2
+
2
b2
=
1与mx
+
ny
=
1相交于P、Q,
且OP
⊥
OQ
⇔