(物理)物理数学物理法易错剖析及解析

（物理）物理数学物理法易错剖析及解析
一、数学物理法
1．如图，在长方体玻璃砖内部有一半球形气泡，球心为O ，半径为R ，其平面部分与玻璃砖表面平行，球面部分与玻璃砖相切于O '点。

有－束单色光垂直玻璃砖下表面入射到气泡上的A 点，发现有一束光线垂直气泡平面从C 点射出，已知OA =
3
2
R ，光线进入气泡后第一次反射和折射的光线相互垂直，气泡内近似为真空，真空中光速为c ，求： （i ）玻璃的折射率n ；
（ii ）光线从A 在气泡中多次反射到C 的时间。

【答案】（i ）3n =；（ii ）3t R c
=
【解析】 【分析】 【详解】
（i ）如图，作出光路图
根据折射定律可得
sin sin n θ
α
=
① 根据几何知识可得
3
sin 2
OA R θ=
=
② 90αθ+=︒ ③
联立解得
3n =
玻璃的折射率为3。

（ii ）光从A 经多次反射到C 点的路程
322
R R
s R R R =
+++=⑤ 时间
s
t c
=
⑥ 得
3t R c
=
光线从A 在气泡中多次反射到C 的时间为
3R c。

2．［选修模块3-5］如图所示，玻璃砖的折射率3
n =
，一细光束从玻璃砖左端以入射角i 射入，光线进入玻璃砖后在上表面恰好发生全反射．求光速在玻璃砖中传播的速度v 及入射角i ．(已知光在真空中传播速度c =3.0×108 m/s ，计算结果可用三角函数表示)．
【答案】83310/v m s =；3
sin i =
【解析】 【分析】 【详解】 根据c n v =
，83310/v m s = 全反射条件1
sin C n
=，解得C=600，r =300， 根据sin sin i n r =
，3
sin 3
i =
3．如图所示，长为3l 的不可伸长的轻绳，穿过一长为l 的竖直轻质细管，两端拴着质量分别为m 2m 的小球A 和小物块B ，开始时B 先放在细管正下方的水平地面上．手握细管轻轻摇动一段时间后，B 对地面的压力恰好为零，A 在水平面内做匀速圆周运动．已知重力加速度为g ，不计一切阻力．
（1）求A 做匀速圆周运动时绳与竖直方向夹角θ； （2）求摇动细管过程中手所做的功；
（3）轻摇细管可使B 在管口下的任意位置处于平衡，当B 在某一位置平衡时，管内一触
发装置使绳断开，求A 做平抛运动的最大水平距离．
【答案】（1）θ=45° ；（2）2
(1)4
mgl -；(3) 2l 。

【解析】 【分析】 【详解】
（1）B 对地面刚好无压力，对B 受力分析，得此时绳子的拉力为
2T mg =
对A 受力分析，如图所示
在竖直方向合力为零，故
cos T mg θ=
解得45θ=o
（2）对A 球，根据牛顿第二定律有
2
sin sin v T m
l θθ
= 解得22
v gl =
故摇动细管过程中手所做的功等于小球A 增加的机械能，故有
()212cos 12W mv mg l l mgl θ⎛=+-= ⎝⎭
（3）设拉A 的绳长为x （l≤x≤2l ），根据牛顿第二定律有
2
sin sin v T m
x θθ
=
解得
2
2
v gx =
A球做平抛运动下落的时间为t，则有
2
1
2cos
2
l x gt
θ
-=
解得
2
22
2
l x
t
g
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
=
水平位移为
()
22
S vt x l x
==-
当2
x l
=时，位移最大，为2
m
S l
=
4．某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示．可视为质点的赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点C，才算完成比赛．B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点．已知赛车质量m=0.5kg，通电后以额定功率P=2W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为F f =0.4N，随后在运动中受到的阻力均可不计，L=10.00m，R=0.40m，（g 取10m/s2）．求：
（1）要使赛车能通过C点完成比赛，通过C点的速度至少多大？
（2）赛车恰能完成比赛时，在半圆轨道的B点对轨道的压力多大
（3）要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间t？
（4）若电动机工作时间为t0=5s，当R为多少时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大，水平距离最大是多少？
【答案】（1）2m/s（2）25/
m s，30N（3）t=4.5s（4）R =0.3m，1.2m
【解析】
【分析】
赛车恰好通过最高点时，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出通过C点的最小速度．根据机械能守恒定律求出赛车在B点的最小速度，根据牛顿第二定律求出赛车对轨道的压力．对A到B过程运用动能定理，求出电动机从A到B至少工作的时间．根据动能定理求出赛车到达最高点的速度，结合平抛运动的规律求出水平位移，通过数学知识求出水
平位移的最大值． 【详解】
（1）当赛车恰好过C 点时在B 点对轨道压力最小，赛车在B 点对有：
2C
v mg m R
=
解得：
2m/s C v ===...①
（2）对赛车从B 到C 由机械能守恒得：
22
11222
B C mv mv mg R =+⋅…② 赛车在B 处，由牛顿第二定律可得：
2
N B
v F mg m R
-=…③
由①②③得:
B v ==
N 630N F mg ==
由牛顿第三定律知，对轨道的压力大小等于30N ； （3）对赛车从A 到B 由动能定理得：
2
102
f B Pt F L mv -=
- 解得:
4.5s t =
（4）对赛车从A 到C 由动能定理得：
2
0012'2
f Pt F L m
g R mv --⋅=
， 赛车飞出C 后有:
212'2
R gt =
0x v t =
解得:
x =
所以当'0.3m R =时，x 最大：
max 1.2m x =
答：（1）要使赛车能通过C 点完成比赛，通过C 点的速度至少为2m/s ； （2）赛车恰能完成比赛时，在半圆轨道的B 点对轨道的压力等于30N ； （3）要使赛车完成比赛，电动机至少工作 4.5s t =；
（4）若电动机工作时间为t 0=5s ，当R 为0.3m 时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大，最大水平距离max 1.2m x =．
5．一路灯距地面的高度为h ，身高为L 的人以速度v 匀速行走，如图所示： (1)试证明人的头顶的影子做匀速直线运动； (2)求人影的长度随时间的变化率。

【答案】(1)见解析； (2)Lv
k h L
=- 【解析】 【分析】 【详解】
(1)设t =0时刻，人位于路灯的正下方O 处，在时刻t ，人走到S 处，根据题意有:
OS =vt
过路灯P 和人头顶的直线与地面的交点M 为t 时刻人头顶影子的位置，如图所示，OM 为人头顶影子到O 点的距离.
由几何关系:
h L OM OM OS
=- 可以解出
hv
OM t h L
=
- 因为OM 与时间t 成正比，所以人头顶影子做匀速运动。

(2)由图可知，人影的长度为SM ，有SM =OM-OS 可以解出
Lv
SM t h L =
- 可见影子长度SM 与时间t 成正比，所以影子长度随时间的变化率为
Lv
k h L
=
-
6．如图所示，电流表A 视为理想电表，已知定值电阻R 0=4Ω，滑动变阻器R 阻值范围为0~10Ω，电源的电动势E =6V ．闭合开关S ，当R =3Ω时，电流表的读数I =0.5A 。

（1）求电源的内阻。

（2）当滑动变阻器R 为多大时，电源的总功率最大?最大值P m 是多少?
【答案】（1）5Ω；（2）当滑动变阻器R 为0时，电源的总功率最大，最大值P m 是4W 。

【解析】 【分析】 【详解】
（1）电源的电动势E =6V ．闭合开关S ，当R =3Ω时，电流表的读数I =0.5A ，根据闭合电路欧姆定律可知：
0E
I R R r
=
++
得：r =5Ω
（2）电源的总功率
P=IE
得：
2
0E P R R r
=++
当R =0Ω，P 最大，最大值为m P ，则有：4m P =W
7．如图所示，是两对接的轨道，两轨道与水平的夹角均为30α=o ，左轨道光滑，右轨道粗糙。

一质点自左轨道上距O 点L 0处从静止起滑下，当质点第二次返回到左轨道并达到最
高点时，它离O 点的距离为
3
L ，两轨道对接处有一个很小的圆弧，质点与轨道不会发生碰撞，求质点与右轨道的动摩擦因数。

【答案】0.155 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示
小球从h 1到h 2，由动能定理
()2
12cos 0sin h mg h h mg μαα
--⋅
= 解得
211
1cot h h μα
=
+⋅
小球从h 2到h 3，由动能定理
()232cot 0mg h h mg h μα--⋅=
解得
32(1cot )h h μα=-
小球从h 3到h 4，可得
431
1cot h h μα
=
+⋅
小球从h 4到h 5，可得
54(1cot )h h μα=-
联立解得
2
512
(1cot )(1cot )h h μαμα-⋅=+⋅
据题意知
1
53
h h =
解得
3tan 0.15531
μα=
=+
8．如图所示，MN 是一个水平光屏，多边形ACBOA 为某种透明介质的截面图。

AOC △为等腰直角三角形，BC 为半径R =8cm 的四分之一圆弧，AB 与光屏MN 垂直并接触于A 点。

一束紫光以入射角i 射向AB 面上的O 点，能在光屏MN 上出现两个亮斑，AN 上的亮斑为P 1（未画出），AM 上的亮斑为P 2（未画出），已知该介质对紫光的折射率为2n =。

(1)当入射角i =30°时，求AN 上的亮斑P 1到A 点的距离x 1；
(2)逐渐增大入射角i ，当AN 上的亮斑P 1刚消失时，求此时AM 上的亮斑P 2到A 点的距离x 2。

【答案】(1)8cm ；(2)8cm 【解析】 【分析】 【详解】
(1)根据题意画出光路图：
设AB 分界面上的折射角为r ，根据折射定律
sin sin r
n i
=
解得
45r ︒=
在1Rt AOP V 中
1tan(90)x R r ︒=-
解得
18cm x =
(2)当光在AB 面上的入射角满足
i C =
AN 上的亮斑刚消失设紫光的临界角为C ，画出光路图
则有
1sin C n
=
当45i ︒=时，AB 面上反射角45β︒
=，反射光线垂直射到AC 面上后入射到AM 上，则
2tan(90)x R β︒=-
解得
28cm x =
9．如图所示，一人对一均匀细杆的一端施力，力的方向总与杆垂直，要将杆从地板上无滑动地慢慢抬到竖直位置，问：杆与地板之间的静摩擦因数至少应为多大？
【答案】2 【解析】 【分析】 【详解】
假设杆与地板之间的静摩擦因数足够大,当杆被抬至与地板成任意角α时均不发生滑动,杆受到作用力F 、重力mg 、地板的支持力N 和摩擦力f 的作用,因满足共点力平衡条件，
F mg 、、地面对杆的全反力R F 交于O 点R F 与N 之间的夹角不能超过摩擦角ϕ，如图所示,
考虑临界的情况,设细杆全长为2l ,重心为C ，有 ()OD OC CD l /sin l sin tan 90AD AD l cos αα
ϕα
++︒-=
==．
化简可得1
tan 2tan cot μϕαα
==
+．
因为2tan cot 2αα•==定值,
所以,当2tan cot αα=,即2tan 2α=时,tan cot ααα+最小,则tan μϕ=有极大值,且m 24μ=．所以，杆与地板之间的静摩擦因数至少应为24
． 在静平衡问题中引入摩擦角后,除了上题所说明的情况外,另一特征便是对平衡问题的研究最终往往衍变为对模型几何特征的研究,这种现象在涉及杆的平衡问题时相当普遍,这也是物理竞赛要求学习者有较强的几何运用能力的原因之一．
10．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r 的小球A 和B,质量分别为m 和2m,当两球心间的距离大于L 时,两球之间无相互作用力，当两球心间的距离等于或小于L 时,两球间存在相互作用的恒定斥力F.设A 球从远离B 球处以速度v 0沿两球连心线向原来静止的B 球运动,如图所示.欲使两球不发生接触, v 0必须满足什么条件?
【答案】03(2)F L r v m -<
【解析】
试题分析：要使A 、B 不发生接触，必须满足：当v A =v B 时 x A －x B <L －r
设A 、B 物体的加速度分别为a A 、a B
由牛顿第二定律有 F=ma A F=2ma B
由运动学公式 v A =v 0－a A t v B =a B t
x A =v 0t －12a A t 2x B =12
a B t 2 联立解得：v 03(2)F L r m
-考点：牛顿第二定律 匀变速直线运动规律
11．如图所示，一轨道由半径为2m 的四分之一竖直圆弧轨道AB 和长度L =3.5m 的水平直轨道BC 在B 点平滑连接而成。

现有一质量为0.2kg 的滑块从A 点无初速度释放，经过圆弧上B 点时，传感器测得轨道所受压力大小为4.5N ，然后经过水平直轨道BC ，从C 点水平飞离轨道，落到水平地面上的P 点，P 、C 两点间的高度差为3.2m 。

滑块运动过程中可视为质点，且不计空气阻力。

（g 取10m/s 2）
(1)求滑块运动至B 点时的速度大小；
(2)若滑块与水平直轨道BC 间的动摩擦因数μ0=0.3，求P 、C 两点的水平距离；
(3)在P 点沿图中虚线安放一个竖直挡板，若滑块与水平直轨道BC 间的动摩擦因数可调，问动摩擦因数取何值时，滑块击中挡板时的速度最小，并求此最小速度。

【答案】(1)5m/s ；(2)1.6m ；(3)0.13μ≈，2m/s
【解析】
【分析】
【详解】
(1)在B 点滑块做圆周运动，则有
2
N v F mg m r
-= 解得
v =5m/s
(2)在BC 段，滑块做匀减速运动，根据牛顿第二定律可知：
-μ0mg =ma
解得
203m/s a g μ=-=-
由222C v v aL -=，解得
v C =2m/s
滑块从C 点做平抛运动，则在竖直方向
212
h gt =
解得 22 3.2s 0.8s 10
h t g ⨯=
== PC 的水平位移为 x ′=v C t =1.6m
(3)设BC 间的摩擦因数为μ，则到达C 点的速度为v ′，则加速度大小为
a ′=μg
根据222v v a L ''-=-，得
22v v a L ''=-从C 点做平抛运动，击中挡板所需时间为t ′，则有
x t v ''='
在竖直方向获得的速度为v y =gt ′，击中挡板的速度为
222
2
2
210 1.622y v v v v a L v a L ⨯''''=+=-+'- 当且仅当22
2
210 1.622v a L v a L ⨯'-='-，v ″取最小值，解得 0.13μ≈，min 42m/s v ''=
12．在如图所示的电路中，已知电源电动势3V E =，内电阻1r =Ω，电阻12R =Ω，滑动变阻器R 的阻值可连续增大，问：
（1）当R 多大时，R 消耗的功率最大？最大功率为多少？
（2）当R 多大时，1R 消耗的功率最大？最大功率为多少？
（3）当R 多大时，电源的输出功率最大？最大为多少？
【答案】（1）3Ω 0.75W （2）0 2W （3）0 2W
【解析】
【分析】
【详解】
（1）把1R 视为内电路的一部分，则当13R R r =+=Ω时，R 消耗的功率最大，其最大值为
2max 0.75W 4E P R
==． （2）对定值电阻1R ，当电路中的电流最大时其消耗的功率最大，此时0R =，所以
221111()2W E P I R R R r
===+． （3）当r R =外时，电源的输出功率最大，但在本题中外电阻最小为2Ω，不能满足以上条件．分析可得当0R =时电源的输出功率最大
2221113()()2W 2W 3
E P I R R R r ===⨯=+出．
13．如图所示，在xOy 坐标系平面内x 轴上、下方分布有磁感应强度不同的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向里。

一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从y 轴上的P 点以一定的初速度沿y 轴正方向射出，粒子经过时间t 第一次从x 轴上的Q 点进入下方磁场，速度方向与x 轴正方向成45°角，当粒子再次回到x 轴时恰好经过坐标原点O 。

已知OP ＝L ，不计
粒子重力。

求：
(1)带电粒子的初速度大小v 0；
(2)x
轴上、下方磁场的磁感应强度大小之比1
2B B 。

【答案】(1)
52πL ； (2)12+ 【解析】
【分析】
【详解】 (1)粒子运动轨迹如图所示
由几何知识可得：
r 1＝
2cos 45OP L =︒ 粒子在x 轴上方转过的圆心角5π4
θ=，粒子在x 轴上方转过的时间
10r t v θ= 带电粒子的初速度大小 v 0
＝
52πL (2)由几何知识可得： OQ ＝r 1＋r 1cos 45°
粒子在x 轴下方运动的轨道半径
r 2＝22
OQ 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律，有
qv 0B ＝m 20v r
解得x 轴上、下方磁场的磁感应强度大小之比
122112B r B r +== 答：(1)带电粒子的初速度大小为52π4L t
；(2)x 轴上、下方磁场的磁感应强度大小之比为12+。

14．如图为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO '匀速转动，线圈的匝数100N =匝、线圈所围面积20.1m S =，线圈电阻不计，线圈的两端经滑环和电刷与阻值10ΩR =的电阻相连，匀强磁场的磁感应强度2T B =，测得电路中交流电流表的示数为5A 。

则：
(1)交流发电机的线圈转动的角速度是多少？
(2)从图示位置开始计时，写出电源电动势的瞬时表达式。

【答案】(1)5rad/s ；(2)502(V)t
【解析】
【分析】
【详解】
(1)由题可知，电路中的电流为
5A I =
线圈电动势为
50V E IR ==
则电动势的最大值为
m 2502V E E ==
又
m E NBS ω=
则
m 5rad/s E NBS
ω== (2)由图可知，此时线圈平面与磁场方向平行，所以电源电动势的瞬时表达式为
502cos5(V)e t =
15．一根通有电流I ，长为L ，质量为m 的导体棒静止在倾角为α的光滑斜面上，如图所示，重力加速度为g 。

(1)如果磁场方向竖直向下，求满足条件的磁感应强度的大小；
(2)如果磁场方向可以随意调整，求满足条件的磁感应强度的最小值和方向。

【答案】(1)
tan mg αIL ；(2)sin mg αIL
，磁感应强度的方向垂直斜面向下 【解析】
【分析】
【详解】
(1)取导体为研究对象，由左手定则可知安培力水平向右，受力分析如下图所示
由力的三角函数关系可得
tan F mg BIL α==
解得
tan mg αB IL
= (2)由几何关系可知当安培力沿斜面向上时安培力最小，磁感应强度最小
由力的三角函数关系可得
'sin
F B IL mgα
==
安
解得
'
sin mgα
B
IL
=
当安培力大小一定时，磁感应强度方向垂直电流时，磁感应强度最小，由左手定则可知磁感应方向垂直斜面向下。