容斥原理的简单证明

容斥原理的简单证明
设t为m个集合中的元素
在考虑集合个数为1的时候，t被加了C_m^1次
在考虑集合个数为2的时候，t被减了C_m^2次
在考虑集合个数为3的时候，t被加了C_m^3次
...
t总共被加了C_m^1-C_m^2+C_m^3-C_m^4+\cdots \pm C_m^m次
（m为奇数时为+C_m^m，偶数时为-C_m^m）
上⾯的式⼦可以写成
\begin{aligned} &\sum_{i=1}^m -1 \times (-1)^i C_m^i \\ =&-\sum_{i=1}^m (-1)^i C_m^i \quad \dots(\mathrm{I}) \end{aligned}由⼆项式定理得
(-1+1)^m=\sum_{i=0}^m (-1)^i \cdot 1^{m-i} \cdot C_m^i=\sum_{i=0}^m (-1)^i C_m^i=1
所以
(\mathrm{I})=-\left[ (-1+1)^m -C_m^0 \right]=1
所以t被加了1次，所以容斥原理正确
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