SXC002高考数学必修_求数列的前n项和策略

求数列前n 项和的策略
论语中有“学而不思则惘,思而不学则殆”,它告诫我们既要勤奋学习又要善于思考总结,关于数列中的前n 项和,课本中分别给出了等差.等比数列的求和公式,除此之外还有哪些方法呢?下面就让我们一起来思考总结吧!
一.利用等差数列中n n a n S )12(12-=-公式 因为等差数列有2
)12(2)12(12112n n
n n a a n a a n S +-=+-=--, 即 n n a n S )12(12-=- 例1等差数列{}n a 中,4,84111073=-=-+a a a a a 求=13S ?
解: ,12)()(4
810471134111073=+-++⇒⎩⎨⎧=-=-+a a a a a a a a a a 又)(104113a a a a +=+, ,127=∴a 在n n a n S )12(12-=-中取7=n , 得15613713==a S .
点评: 求等差数列前奇数项和时,可考虑用这个公式.
二.利用数列的 “片片和”性质
对于数列{}n a 前n 项和为n S ,若{}n a 等差(或等比)数列,那么k k k k k S S S S S 232,,--….也是等差(或等比)数列.
例2等比数列{}n a 的前7项和为48，前14项和为60，求前21项和
解： {}n a 等比数列，.....,,14217147S S S S S --∴也是等比数列，即48，12，S ,
6021-是等比数列),60(4812212
-⋅=∴S 解得=21S 63。

点评: “片片和”是部分之和,它不同于前n 项和,所以当涉及“片片和”时,用“片片和”性质.
三．利用分组求和
例3.数列{}n a 通项公式为,23n a n n +=求?=n S 解： n a 可看作等比数列{}n 3
和等差数列{}n 2的通项和，∴用分组求和， 2)1(231)31(3)....21(2)3.....33(.......2121n n n a a a S n n
n n ++--=+++++++=+++= 2
32321-++=+n n n 。

点评: 数列的通项能化成等差，等比通项的和差形式，可用分组求和。

四. 利用裂项相消
例4数列{}n a 通项公式为)12()12(1-⋅-=
n n a n ,求?=n S 解： n a ),1
21121(21+--=n n n n a a a S +++=∴.......21 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--++-+-+-=)121121(......)7151()5131()3111(21n n 12)1211(21+=+-=n n n 点评: 若把数列通项公式能分裂成相邻两项之差的形式,可用裂项相消.
五. 利用错位相减
例5数列{}n a 通项公式为,3n n n a ⋅=求?=n S
解： n a 可看作等比数列{}n
3和等差数列{}n 的通项积，用错位相减， n n a a a S +++=∴.......21，即
)1......(33)1(......3332311321n n n n n S ⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-
)2......(33)1(......33323131432+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ，由（1）—（2）得 ,23)21(3331)31(333......3332111321--=⋅---=⋅-++++=-+++n n n S n n n n n n 4
34)12(31+-⋅=∴+n S n n . 点评: 若把数列通项能化成等差.等比通项积的形式可利用错位相减法.
六.利用数列的周期性
例6 已知数列{}n a 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，,761=a 求=2007S ？ 解： ,761=
a 由条件知∴===-==-=,7
62,7312,7512342312a a a a a a 数列{}n a 是周期数列，T=3，又,27375763=++=S ,36692007⨯= 1338266966932007=⨯==∴S S .
点评: 周期数列可先求一个周期上各项之和,再进一步求出前n 项和.
七.倒序相加求和
例7.设2
44)(+=x x x f ,令)20072006(.....)20072()20071(f f f S +++=,求S .
解: 244)(+=x x x f ,2
42)1(+=-∴x x f ,1)1()(=-+x f x f , )2007
2006(.....)20072()20071(f f f S +++= )2007
1(.....)20072005()20072006(f f f S +++=, 20062=S ,1003=S . 点评: 当数列的首尾相加是定值时,可用倒序相加求和.
八.叠加求和
例8.求和2222....321n S n ++++=.
解:由133)1(233+++=+k k k k ,得133)1(2
33++=-+k k k k ,令n k ....2,1=, 得1131312233+⋅+⋅=- 1232323233+⋅+⋅=-
………………………………
133)1(233+⋅+⋅=-+n n n n ,
把以上各式两边分别相加,得n n n n ++++++++=-+)....21(3)....21(31)1(2
223 n n n S n +++=)1(233,因此)12)(1(6
1++=n n n S n . 点评: 形如)(1n g f f n n =--可用叠加法求出n f ,(形如
)(1n g f f n n =-可用叠乘法求出n f ).
九.聚合法求和 例9.求数列,...2...642,....,642,42,2n +++++++和前n 项和.
解:n n n n n a n +=+=++++=2)1(2...642 .
)...321()...21(222n n S n ++++++++=∴ )1(2
1)12)(1(61++++=n n n n n )2)(1(3
1++=n n n . 点评: 如果数列的通项本身是若干项和,可先求这个和(即聚合),再去求原数列的前n 项和.
十.用组合数的性质求和
例10.求)1(....433221+⋅++⨯+⨯+⨯=n n S n
解: 212)1(+=+⋅n C n n , )....(22
1242322+++++=∴n n C C C C S ...)...(2)...(22
125243421242333=++++=++++=++n n C C C C C C C C
)2)(1(3
1232++==+n n n C n . 例11.求和3333....321n S n ++++=
解: n C n n n n n n n n +=++-=+-=+3
1236)1)(1()11( (2≥n ), 所以 2
24131353433)1(4
1)1(216)...32(...(61+=++=+++++++++=++n n n n C n C C C C S n n n
点评: 数列通项为几个连续自然数积,可转化成组合数的式子, 用组合数性质
m n m n m n C C C 11+-=+.
以上告知: 求数列前n 项和内容丰富,方法多样,所以我们在学习中要善于思考, 善于总结,只有这样才能使学习由量变到质变,在浩瀚的题海中有一览众山小的感觉.。