苏教版数学高二高中数学苏教版必修51.1第一课时正弦定理作业

[学业水平训练]
一、填空题
1．在△ABC 中，a ＝7，c ＝5，则sin A ∶sin C 的值是________．
解析：由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin C ＝c 2R
， ∴sin A ∶sin C ＝a 2R ∶c 2R
＝a ∶c ＝7∶5. 答案：7∶5
2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，A ＝30°，则B ＝________．
解析：由正弦定理，可得sin B ＝22
. ∵b ＞a ，∴B ＞A ＝30°，∴B ＝45°或135°.
答案：45°或135°
3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶7，且三角形的周长为36，则其三边长分别为________．
解析：由正弦定理，可得a ∶b ∶c ＝5∶6∶7.从而a ＝10，b ＝12，c ＝14.
答案：10，12，14
4．在△ABC 中，已知A ＝135°，B ＝15°，c ＝2，则△ABC 中最长边的长为________．
解析：设最长边为a ，利用正弦定理及三角形内角和定理，可得a ＝c sin C ·sin A ＝2sin 30°
×sin 135°＝2 2.
即△ABC 中最长边的长为2 2.
答案：2 2
5．(2014·南京调研)△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足c sin A ＝a cos C ，则角C ＝________.
解析：由c sin A ＝a cos C 结合正弦定理可得
sin C sin A ＝sin A cos C ，且sin A ≠0，所以tan C ＝1，C ∈(0，π)，故C ＝π4
. 答案：π4
6．在△ABC 中，如果A ∶B ∶C ＝2∶3∶7，那么a ∶b ＝________．
解析：由已知A ＝30°，B ＝45°，
则a ∶b ＝sin 30°∶sin 45°＝1∶ 2.
答案：1∶ 2
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫π4＋B ＝2， ∴sin ⎝⎛⎭
⎫π4＋B ＝1. 又0＜B ＜π，∴B ＝π4
. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12
.
又a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6
. 答案：π6
二、解答题
8．在△ABC 中，求证a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A
. 证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C
＝2R ， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .
左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A
＝sin A －sin C ·cos B sin B －sin C ·cos A
＝sin （B ＋C ）－sin C ·cos B sin （A ＋C ）－sin C ·cos A
＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos B sin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A
＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin B sin A
＝右边， 所以a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A
. 9．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .
解：由正弦定理知，a ＝c sin C ·sin A ＝10sin 30°
×sin 45°＝102，B ＝180°－A －C ＝105°，
∴b ＝a sin A ·sin B ＝102sin 45°×sin 105° ＝56＋5 2.
[高考水平训练]
一、填空题
1．下列判断三角形解的情况，正确的是________．
①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解；
②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解；
③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解；
④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．
解析：①中a ＝b sin A ，有一解；
②中c sin B <b <c ，有两解；
③中A ＝90°且a >b ，有一解；
④中a >b 且A ＝120°有一解．
综上，④正确．
答案：④
2．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则a b
的取值范围为________．
解析：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，
即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，
∴30°<B <45°.
由正弦定理知，a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故a b
的取值范围是(2，3)． 答案：(2，3)
二、解答题
3．在△ABC 中，设cos B 3b ＝cos C 2c ＝cos A a
，求cos A 的值． 解：由正弦定理，得cos B 3sin B ＝cos C 2sin C ＝cos A sin A
⇒ ⎩⎨⎧tan B ＝13tan A ，tan C ＝12
tan A . 又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－5tan A 6－tan 2A
⇒tan 2A ＝11⇒cos A ＝±36. 由题设，负值应舍去，故cos A ＝36
. 4．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3
)＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，
若c ＝6，cos B ＝13，f (C 2)＝－14
，求b . 解：(1)f (x )＝cos(2x ＋π3
)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2
＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12
cos 2x ＝－32sin 2x ＋12
. ∵ω＝2，∴T ＝2πω
＝π. ∴函数f (x )的最小正周期为π.
(2)由(1)得，f (x )＝－32sin 2x ＋12
， ∴f (C 2)＝－32sin(2×C 2)＋12＝－32sin C ＋12
. 又f (C 2)＝－14
， ∴－32sin C ＋12＝－14，∴sin C ＝32
. ∵在△ABC 中，cos B ＝13
， ∴sin B ＝ 1－（13）2＝223
， ∴由正弦定理b sin B ＝c sin C
，
得b ＝c ·sin B sin C ＝6·22332
＝83. ∴b ＝83.。