数字信号处理10-3.2有限长序列离散傅里叶变换及其性质(一)

①若x1(n)和x2(n)都是长度为N的序列， aX1(k)+b X2(k) 也是长度为N的序列； ②若x1(n)和x2(n)的长度不等，设x1(n)的长度为N1， x2(n)的长度为N2，则以N=max[N1， N2]作DFT。短序 列通过补零加长，注意此时DFT与未补零的DFT不相 等。
14
2、序列的圆周移位
~x (n)
记为：
x(n) ~x(n)RN (n)
－N
0
N－ 1
主 值 区间
n

x%(n) x(n rN ) x(n mod N ) x图((2n-8 ))N
r
2
一、DFT的定义
对DFS分别取主值得DFT变换对：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk ,0 k N 1
§3-2有限长序列离散傅里叶变换 (DFT)及其性质
DFT的定义 DFT与DTFT、ZT的关系 DFT的性质
重点：深刻理解DFT的定义; 深刻理解DFT与ZT、DTFT的关系
1
一、 DFT的定义
有限长序列与周期序列的关系 x(n)
x(n)：有限长序列，长度为N。
0
N－ 1
n
~x(n) ：周期序列，周期为N。
W42 W43
W44 W46
W46 W49


x(2) x(3)

X (0) 1 1 1 1 1 2

X
(1)


1
j
1
j


1



2

X (2) 1 1 1 1 1 2

X
(3)
(1) 圆周移位定义 N点有限长序列x(n)的圆周移位定义为
xm (n) x((n m)) N RN (n)
x(n)
周期延拓
x((n)) N ~x (n)
线性移位
x(( ~x
n m)) (n m)
N RN (n) RN (n)
取主值序列
x((n m))N ~x (n m)
X (k)
|X(ej)|
X
(e j
) 2 5
k
|X(k)|
,0 k 4
... 5
...
0 2020/2/9 0

2
3
4

10
20
k
11
[例3-2-4] x(n)=R5(n)，求N=5点的DFT、N=10点 的DFT和序列的频谱DTFT，比较它们的关系。
j 4 k
X (k) e 10
sin(k / 2)
sin(k /10)
X (e j ) e j2 sin(5 / 2) sin( / 2)
X (k) X (e j ) 2 k
|X(ej)|
10
|X(k)|
,0 k 9
... 5
...
0 2020/2/90

2
3
4
16
2、序列的圆周移位
(2) 时域移位定理
X m (k) DFT[xm (n)] DFT[x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
时域的圆周移位对应频域的相移
(3) 频域移位定理
IDFT
[
X
((
k

l ))
N
RN
(k
)]

WNnl
x(n)


e
j
2 N
nl
x(n)
0 0 N－ 1 N-1
2020/2/9
nn nn
x(n) x(n) 2 21 1
(e) (e)
o
o n＝0 n£½ 0
N－ 2 NN£2－ 1 N£1
(f) (f)
2 12 1 n＝0 n£½ 0
N－ 2 N£N2－ 1 N£1
(g) (g)
2
2 1
1
n＝0 n£½ 0
N－ 2 NN£2－ 1 N£1
15
x(n) x(n)
(a) (a)
0 0 N－ 1 N-1 ~x (n) ~x (n)
nn
(b) (b)
0 0 N－ 1 N-1
nn
~x (n 2~x)(n x(2(n) 2x()()nN 2))N
(c) (c) (d ) (d )
0 0 N－ 1 N-1 x((n x2()()nN RN2)()nN) RN (n)
X
(k
)

N 1
N
x(n)WNnk＝
1

x(n)e
j
2 N
nk
n0
n0
N 1
X (e j ) x(n)e jn n0
0 k N 1
N 1
X (z) x(n)zn
n0
X (k) X (e j ) 2 k X (z) zWNk N 9
二、DFT与DTFT、ZT的关系
jImj(Izm)(z)
WNW2 N2
WNW1 N1 WNW0 N0
oo
k＝k＝0 0 ReR[ze][z]
X(eXj(e)j) X(kX)(k)
WNW( NN(2N) 2) WNW( NN(3N) 3)
oo


X(k)是对X(z)在z平面单位圆上N点等间隔采样，采
N 1
[解] X (k ) (n)WNnk WN0 1
n0
k=0, 1, …, N-1
(n) DFT RN (k)
x(n) (n)
1
2 1 0 1 2 3 n
2020/2/9
X (k) RN (k)
1
2 1 0 1 2
N-1 N k
5
[例3-2-2] 已知 x(n) cos( 2π n), 0 n N 1，

RN
(n)
3
一、DFT的定义
说明：
▪ DFT存在且唯一； ▪ DFT隐含周期性，它是DFS的主值序列； ▪ X(k)不是有限长序列的频谱，序列的频谱是离散
时间傅里叶变换X(e jω)；
▪ DFT与周期N有很大关系,因此求DFT时，必须指 明序列的长度。
4
[例3-2-1] 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。
样间隔为ω=2π/N；
X(k)是对X(e j)在主值区间N点等间隔采样，采样间 隔为ω=2π/N。
10
[例3-2-4] x(n)=R5(n)，求N=5点的DFT、N=10点 的DFT和序列的频谱DTFT，比较它们的关系。
[解]
5 ,k 0 X (k) 0 , otherwise
X (e j ) e j2 sin(5 / 2) sin( / 2)
时域的相移对应频域的圆周移位
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[例3-2-5]证明
DFT[x(n) cos(2πnl )] N

1[X 2
((k
l))N

X
((k

l))N
]RN
(k)
DFT[
x(n) sin(2πnl )] N

1 2j
[X
((k

l)) N

X
((k

l)) N
]RN
(k)
2020/2/9
18
作业:
1、求 X (k) cos(2 3k) j3sin(2 5k)

1
j1j 1
2

X(k) = {2，2，-2，2}, k = 0, 1, 2, 3
思考：如果序列后补零，其DFT有何变化?
2020/2/9 x1(n) {1,1, 1,1, 0, 0, 0, 0}
8
二、DFT与DTFT、ZT的关系
若x(n)是N点的有限长序列，0 n N-1
求它的N点DFT。
N
[解]
x(n)
X
(k)

N 0
/
2
k 1, N 1 其他
X(k)
0 12
2020/2/9
11 n
01
N = 12
11 k
6
[例3-2-3]求有限长4点序列 x(n) {1,1, 1,1} 的DFT。
N 1
[解] X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk n0 X (0) x(0) x(1) x(2) x(3) 2 X (1) x(0) x(1)W41 x(2)W42 x(3)W43 2 X (2) x(0) x(1)W42 x(2)W44 x(3)W46 2 X (3) x(0) x(1)W43 x(2)W46 x(3)W49 2
n0
x(n)

IDFT[X (k)]
1 N
N 1
X (k)WNnk
k 0
,0 n N 1
简洁表示为
X
(k
)

DFT
[
x(n)]

N
1
x(n)WNnk

RN
(k
)
n0

x(n)

IDFT [ X
(k )]

1 N
N 1 k 0
X
(k
)WNnk

10
20
k
12
三、DFT的性质
•线性 •序列的圆周移位 •圆周共轭对称性 •DFT形式下的Parseval 定理 •圆周卷积和 •有限长序列的线性卷积与圆周卷积
以下讨论的序列都是N点有限长序列，设:
DFT［x1(n)］=X1(k)
DFT［x2(n)］=X2(k)
13
1、线性
DFT[ax1(n) bx2(n)] aX1(k) bX2(k)
16
16
的16点离散傅立叶反变换x(n)。
19
2020/2/9
7
[例3-2-3]求有限长4点序列 x(n) {1,1, 1,1} 的DFT。
DFT矩阵表示：

X X
(0)
(1)


WW4400
W40 W41
W40 W42
W40 W43


x(0) x(1)

X (2)

X
(3)
WW4400