高二数学上学期期末考试试题理A卷,试题

2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题理〔A卷，扫描版〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日
2021-2021学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学理科A 卷参考答案
一．选择题
二．填空题
13. 存在x R ∈，3210x x -+≤
14.
33
2
15. 38
16. ②④⑤
三．解答题
17. 解：
∵m ∈[－1,1]，∴m 2
＋8∈[22，3]．
∵对m ∈[－1,1]，不等式a 2
－5a －3≥m 2
＋8恒成立，可得a 2
－5a －3≥3，
∴a ≥6，或者a ≤－1. …………………… ………………………………………………3分
故命题p 为真时，a ≥6，或者a ≤－1.命题p 为假时，－1＜a ＜6. 又命题q ：x 2
＋ax ＋2<0有解，
∴Δ＝a 2
－8>0.∴a>22，或者a<－2 2.…………………………………6分 从而命题q 为真时a>22，或者a<－22， q 为假时－22≤a ≤2 2.
依题意p 或者q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 必有一真一假．………………………8分
当p 真q 假时，a 的取值范围是－22≤a ≤－1； 当p 假q 真时，a 的取值范围是22<a<6.
综上，a 的取值范围是[－22，－1]∪(22，6)．………………………………10分
18. 解：
〔I 〕圆心坐标为〔1，0〕，21202=--=k ，)1(20-=-x y ，整理得022=--y x ……4分
〔II 〕圆的半径为3，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)2(2-=-x k y ，整理得
0)22(=-+-k y kx ，圆心到直线l 的间隔 为
1
|
220|1)22(32
22+-+-=
=-=k k k d ，………………………………………………8分
解得4
3
=
k ，代入整理得0243=+-y x 。

………………………………………………10分 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2=x ，经检验符合题意。

∴直线l 的方程为0243=+-y x 或者2=x (12)
分 19.解
〔I 〕证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，
∵ED ⊥AD ，ED ⊂平面ADEF ，AD ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥平面ABCD ， ∴BC ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥BC ， 又∵BC ⊥CD ，CD ∩DE=D ，
∴BC ⊥平面CDE ．………………………………………………………4分
〔II 〕求解异面直线GH 与CE 的夹角即求∠ECD ，易得角的大小为︒
45………8分
〔III 〕依题意，点G 到平面ABCD 的间隔 h 等于点F 到平面ABCD 的一半, 即： 2
1
=
h ． 10分
∴12
1
21112131V =⨯⨯⨯⨯=-ABC G ………………………………………12分 20. 解:
(I) 设AB 方程为y ＝x ＋b
由⎩⎨⎧=+=x
y b x y 82消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2
＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2
…………………4分 ∴|AB|＝1＋k 2
·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b)2
－4b 2]＝85， 解得：b ＝－3.
∴直线方程为y ＝x －3.即：03=--y x …………………………………8分 〔II 〕
.
1022
2
5821S .2
2
210302F FAB =⨯⨯∴==
=--∆＝的距离）到直线，（焦点d y x
…………………………12分 21. 解：
(I)当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面． 连接AC ，且AC
BD O =，由于四边形ABCD
∴O 为AC 的中点，又E 为中点， ∴OE 为△ACP 的中位线，
∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面， ∴//PA EBD 平面…………………4分
C
(II)作PO ABCD ⊥平面,依题意O 是正方形ABCD 的中心,如图建立空间坐标系.
那么)P
,,0,0)A
, (0,0)B ． ）（）（a BP a 2
2,a 22-,0,0,22,a 22-AB ==
设二面角C AP B --的平面角为θ，平面PAC 的法向量为)0,1,0(n 1=. 设平面PAB 的法向量为2(,,)n x y z =
1,1102
2
22
02
2
22
022===⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅z y x az ay ay ax BP n AB n 得令
)1,1,1(2=n ……………………………………8分
3
33
11cos 21=⨯=
>=
⋅<∴n n n n 3
3
cos =
θ ………………………………………………………12分 22. 解：
(I)由C 2：y 2
＝4x 知F 2(1,0)． 设M(x 1，y 1)，M 在C 2上，
因为|MF 2|＝53，所以x 1＋1＝53，得x 1＝23，y 1＝26
3.………………………………2分
M 在C 1上，且椭圆C 1的半焦距c ＝1，
于是⎪⎩
⎪⎨⎧-==+113894
2222a b b
a 消去
b 2
并整理得9a 4
－37a 2
＋4＝0. 解得a ＝2〔3
1
=
a 不合题意，舍去〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日 故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23
＝1. ………………………………………………………4分 (II) 由MF 1→＋MF 2→＝MN →知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l ∥MN ，所
以与OM 的斜率一样．故l 的斜率k ＝26323
＝ 6.…………………………6分 设l 的方程为y ＝6x+m, A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) 由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m x y y x 613
42
2消去y 并化简得 0124682722=-++m mx x
27
124,27680
)124m (274)68(2212122-=-=+>-⨯⨯-=∆∴m x x m x x m ………………………………………8分
因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3
20)27
68(6271247)(67)
6)(6(222
212121212121±==+-⋅+-⋅=+++=+++=+m m m m m m x x m x x m x m x x x y y x x 解得又……………………………10分
经检验，合适0>∆ 32-6326x y x y =+=或故所求的直线方程为.…………………12分
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。