数学分析下-二元函数的极限课后习题

第二节 二元函数的极限
1、试求下列极限（包括非正常极限）：
（1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2
x 2+y
2 ； （3）(,)(0,0)lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1
； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1
x 4+y 4 ； （5）(,)(1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)
lim x y (x+y)sin 1
x 2+y 2 ；
（7）(,)(0,0)
lim
x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2
. 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：
（1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1
y ；
（3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3
x 2+y ；
（5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2
x 3+y 3 ；
（7）f(x,y)=e x -e y
sinxy . 3、证明：若1。

(a,b)
lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。

y 在b 的某邻域内，有lim x a
f(x,y)=
(y)
则 y
b lim a
lim x
f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明
(x,y)(0,0)lim x 2y
x 2+y
2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
6、试写出下列类型极限的精确定义： （1）
(x,y)
(
,)
lim
f(x,y)=A ； （2）
(x,y)
(0,
)
lim
f(x,y)=A.
7、试求下列极限：
（1）(x,y)(,)lim x 2+y 2
x 4+y 4 ； （2）(x,y)(,)
lim (x 2+y 2)e -(x+y)；
（3）
(x,y)(
,)
lim
(1+1
xy )xsiny ； （4）
(x,y)
(
,0)
lim
211+
x x y
x
.
8、试作一函数f(x,y)使当x
+
,y
+
时，
（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.
10、设f(x,y)在点0P (x 0,y 0)的某邻域U 。

(0P )上有定义，且满足：
（i ）在U 。

(0P )上，对每个y ≠y 0，存在极限0
lim x
x
f(x,y)=ψ(y)； （ii ）在U 。

(0P )上，关于x 一致地存在极限0
y y
lim f(x,y)=(x)(即对任意ε>0，存
在δ>0，当0<|y-y 0|<δ时，对所有的x ，只要(x,y)∈U 。

(
0P
)，都有|f(x,y)-(x)|<
成立). 试证明
lim x
x 0
lim y y f(x,y)=0
lim y y 0
lim x x
f(x,y).
1．计算下列二重积分： （1）⎰⎰
D
d xy σ2
，其中D 由抛物线px y 22=与直线)0(2
>=p p
x 所围成的区域； （2）
⎰⎰+D
d y x σ)(22，其中{x y x x y x D 2,10|),(≤≤≤≤=； （3）)0(2>-⎰⎰
a x
a d D
σ，其中为图21-9中阴影部分；
（4）
⎰⎰
D
d x σ，其中{
}x y x y x D ≤+=22|),(； 解 （1）
⎰⎰D d xy σ2
=⎰
⎰
-p
p
p
p
y xdx dy y 222
2=5
2222211])2()2[(21p dy p y p y p p =-⎰-
（2）
⎰⎰+D
d y x
σ)(22
=⎰⎰
-+10222)(x x
dy y x dx =105
128
)37(23
1
02
5
=
+⎰dx x x （3）
=
-⎰⎰
D
x
a dxdy 2⎰⎰
----a
a x a a dy x a dx 0
)(0
2
221=23
0)38
22()2(a dx x x
a a
a
-=--⎰
（4）
σd x D
⎰⎰
=⎰⎰---
1
022
x x x x dy x dx =15
8
121
=
-⎰dx x x 2．求由坐标平面及4,3,2=++==z y x y x 所围成的角柱体的体积. 解： 角柱体如图所示，阴影部分为角柱体在xy 平面上的投影区域D .
于是
dxdy
z V D
⎰⎰==
⎰⎰--D
dxdy
y x )4(
655)4()4(30
21
40
1
=
--+--⎰⎰⎰
⎰
-x
dy y x dx dy y x dx .
3．（1）计算二重积分
⎰⎰D
dxdy x x
cos ，其中D 是由2x y =及x y =所围成的区域。

（2）计算二重积分
⎰⎰-D
y
x dxdy e
，其中D 由0,2,1,====x y y x y 围成。

（1）解：⎰⎰D
dxdy x x
cos 2
1
0cos x
x x dx dy x =⎰⎰
1
1
cos cos xdx x xdx
=-⎰⎰
1cos1=-。

（2）解: （结合图形）
22
01
1
()x
x x y
y y
y
y
D
e dxdy dy e dx ye dy -
-
-
==-⎰⎰⎰⎰⎰ 211211213
(1)(1)(1)122
y e dy e y e ---=--=--=--⎰
4．计算二重 2
2[1sin()]D
I x y x
y dxdy =++⎰⎰，其中D 是由1,1,3-===x y x y 所围成的
区域。

解：作图y=-x 3分区域D 为D 1和D 2， 利用对称性知：1
22sin()]0D I xy x y dxdy =
+=⎰⎰，2
22
sin()]0D I xy x y dxdy =+=⎰⎰， 则I=
dxdy y x xy xdxdy D
⎰⎰++)sin(2
2 D
xdxdy =⎰⎰
1
2
D D xdxdy xdxdy =+⎰⎰⎰⎰
1D xdxdy =⎰⎰
=2
3
1
x xdx dy -⎰⎰
=2
41
x dx -⎰
=5
2-。

5．计算第二型曲线积分
⎰
Γ
+-2
2y
x ydx
xdy ，Γ为任意包含原点（不通过原点）的有界闭区域的边界曲线，逆时针方向。

解: P=
22y x y +-，Q=2
2y
x x
+，Γ所围区域D ， 由于函数Q 和P 在区域D 内的原点不连续，且不具有连续的一阶偏导数，
作(){}
2
22,D x y x
y D εε=
+≤⊂，边界为ε
D ∂，规定方向为顺时针方向。

Q=
2
2y x x +, P=
2
2y x y +-且2
222
2)
(y x x y x Q y P +-=∂∂=∂∂
则
⎰
Γ
+-2
2y
x ydx
xdy 2222D D xdy ydx xdy ydx
x y x y ε
ε
Γ+∂∂--=
-++⎰
⎰ 由格林公式有
02
2=+-=
+⎰⎰
⎰
-∂-Γε
ε
D D D y
x ydx
xdy Qdy Pdx ， 222222
D D xdy ydx xdy ydx
xdy ydx
x y x y x y
ε
ε
Γ
∂-∂---=-=+++⎰
⎰⎰
由于D ε-∂是逆时针方向，令cos ,y sin x ε
θεθ==，其中θ
从0变化到2π，则
22
22
20
2D xdy ydx
d x y ε
π
εθπε
-∂-=
=+⎰
⎰
6．利用Green 公式计算下列积分：22()(sin )L
x y dx x y dy -++⎰
，其中L 是圆周x
y x 22
2=+的上半部分，方向从（0,0）到点（2,0）；
解：记O （0，0），A （2, 0）.位于x 轴上的线段AO 与L 合起来形成封闭曲线，封闭曲线所围的区域设为D ，且AO 的方程为.02:,0→=x y 记2
2
,sin ,P x y Q x y =-=+则
1,1P Q
y x
∂∂=-=∂∂， 于是利用Green 公式得
22()(sin )L Ao
x y dx x y dy +--+⎰
=2D
dxdy π-=-⎰⎰.
因此
dy y x dx y x
L
⎰+--)sin ()(2
2
=
2
2
()(sin )L AO
x y dx x y dy +--+-
⎰
2
2
()(sin )AO
x
y dx x y dy --+⎰
=0
22
x dx π-⎰
=83
π+
. 7．应用格林公式计算下列曲线积分； （1）
dy y x dx y x L
)()(222+-+⎰
，其中L 是以)5,2(),2,3(),1,1(C B A 为顶点的三角形，方
向取正向； （2）
⎰
-+-AB
x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中m 为常数，AB 为由)0,(a 到)0,0(经
过圆ax y x =+22上半部的路线. （3）应用格林公式计算曲线积分:ydy x dx xy
L
⎰-22
其中L 为上半圆周222a y x =+从(a,0)
到)0,(a -的一段. 解 (1)作图：
AB 的方程为:)31)(1(2
1
≤≤+=
x x y , BC 的方程为: )32(113≤≤+-=x x y
CA 的方程为: )21(34≤≤-=x x y , 设)(,)(2
2
2
y x Q y x P +-=+=,则
.24)(22y x y x x y
P
x Q --=+--=∂∂-∂∂ 把三角形域分成两部分1S 和2S ,于是 原式=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=--S
S S d y x d y x 1
2
)24)(()24(σσ
=
⎰⎰⎰⎰
+-+-+--+--32
113)
1(2
1
21
3
4)1(2
1
)24()24(x x x x dy y x dx dy y x dx
=
.3
2
46)4483249421()2352774119(23222
1
-=-++-+-
⎰⎰
dx x x dx x x
(2)在Ox 轴上连接点)0,0(O 与点)0,(a A 这样就构成封闭的半圆形A AO
,且在线段OA 上,0,0==dy y 于是
.0)cos ()sin (=-+-⎰
dy m y e dx my y e OA
x x
而
⎰
⎰
⎰⎰=+=O
A A
AO O
A AO .由格林公式得:
8)2(21)cos ()sin (2
2:22a m a m mdxdy dy m y e dx my y e ax
y x D x
A AO x
ππ=⋅==-+-⎰⎰⎰≤+
因此,原式=
2
8
a m π. （3）解 以a 为半径的上半圆域D,应用格林公式有
⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-=-BA
L
D
L
ydy x dx xy ydy x dx xy ydy x dx xy xyd 2
222224σ =
⎰-L
ydy x dx xy
22
+0=⎰-L
ydy x dx xy 22
而
0)(244220
2
2=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰
---a
a
D
a
a
x a dx x a x xydy dx xyd σ
022
=-⎰L
ydy x dx xy
8．验证下列积分与路线无关，并求它们的值： （1）⎰
--)
1,1()
0,0();)((dy dx y x
（2）⎰
-+-)
,()0,0(22;)sin cos 2()sin cos 2y x dy y x x dx x y y x
（3）
,)
2,1()
1,2(2
⎰
-x
xdy
ydx 沿在右半面的路线； （4）
,)
8,6()
0,1(22⎰
++y
x ydy
xdx 沿不通过原点的路线；
（5）
⎰
+)
2,1()
1,2(,)()(dy y dx x ϕϕ其中)(),(y x ϕϕ为连续函数。

解 （1）因 P=,1
,,1,
-=∂∂+-=-=∂∂-x Q y x Q y P y x 所以P 与Q 满足定理条件，故积分与路线无关。

于是，取路线为]),1,0[(∈=x x y 则有
⎰
⎰
=-=--)
1,1()
0,0()
1,1()
0,0(.0)(0))((dy dx dy dx y x
（2）因为,sin cos 2),(,sin cos 2),(2
2
y x x y y x Q x y y x y x P -=-=
,sin 2sin 2,sin 2sin 2y x x y x
Q x y y x y P --=∂∂--=∂∂
所以
x
Q
y P ∂∂=
∂∂ .
cos cos )sin cos 2(2)sin cos 2()sin cos 2(220
22)
,()
0,0(2y x x y dy y x x y xdx dy
y x x y dx x y y x x
y y x +=-+=-+-⎰⎰⎰
(3)因x Q x y P 1,2-==
，从而x
Q x y P ∂∂=
=∂∂21.因此,积分与路线无关,所以 ⎰⎰-=-=-=-)2,1()1,2()2,1()1,2()
2,1()1,2(22
3|)(x y x y d x xdy ydx (4)当)0,0(),(≠y x 时
222
2y x d y x ydy xdx +=++
是全微分,故积分与路线无关,且
原式=
⎰
=+=+)
8,6()
0,1()8,6()
0,1(2
2229y
x y x d
(5)因)(),(y x ϕϕ为连续函数,则
⎰=x du u x F 2
)()(ϕ与⎰=y
dr r y G 1
)()(ψ分别是)(),(y x ϕϕ的原函数,于是
dy y dx x y dG x dF y G x F d )()()()()]()([ψϕ+=+=+
可见,积分与路线无关,从而
)1()2()2()1()]()([)()()
2,1()
1,2()
2,1()1,2(G F G F y G x F dy y dx x --+=+=+⎰
ϕϕ
⎰⎰+=1
2
21
)()(dy y dx x ψϕ
9．求下列全微分的原函数:
(1)dy y xy x dx y xy x )2()2(2
222--+-+ (2)dy y x e e dx y y x e e y
x y x ]1)([])2([+-+++- (3) 2
2
(62)(34)xy y dx x xy dy +++
（4）2
2
(2cos sin )(2cos sin )x y y x dx y x x y dy -+- 解 (1)由于
),2()(2)2(2222y xy x y
y x y xy x x -+∂∂
=-=--∂∂ 从而积分与路线无关.故其原函数为
c dy y xy x dx y xy x u y x y x +--+-+=⎰
)
,()
,(222200)2()2(
c dy y xy x dx y x y x y
y x x +--+-+=⎰⎰0
)2()2(222
02
c y xy y x x y x y x y
y x x +--+-+=00)31()31(32220203 /32233
1
31c y xy y x x +--+=
. (2)由于
])2(([)]1(([y y x e e y
y x e e x y x y x ++-∂∂
=+-∂∂, 从而积分与路线无关,因此被积式为全微分,设
dy y x e e dx y y x e e du y x y x ]1)([])2([+-+++-=
则
c dy y x e e dx y y x e e u y x y x y x ++-+++-=⎰
)
,()
0,0(]1)([])2([
⎰⎰+++-+-=y x
y x y
c dx y y x e e dy ye 0
])2([)1(
c ye e y x e ye y x
x y x y y y +++-++-=+0
])1[()(
c ye e y x x y x +++-=+)1(.
(3) 226y xy P += xy x Q 432+=
y x x Q 46+=∂∂ y x y
P
46+=∂∂
y
P
x Q ∂∂=∂∂∴
dy y x Q dx y x P ),(),(+∴为),(y x U 的全微分 x x l −→−0::1 0=y 0=dy y y l −→−0::2 x x = 0=dx
dy xy x dx y xy y x )43()26(2)
,()
0,0(2+++⎰
=dy xy x y xy dy xy x dx y xy l l )43()26()43()26(2
22
2
2
1
+++++++⎰
⎰
=dy xy x y
)43(00
2++
⎰
=2
2
23xy y x +
c xy y x y x U ++=∴2223),(
（4）x y y x P sin cos 22-= y x x y Q cos cos 22
-=
x y y x y
P
y x x y x Q sin 2sin 2sin 2sin 2--=∂∂=--=∂∂ ∴曲线积分和路径无关，z 存在
0:1=y l 0=dy x x −→−
0:
x x l =:2 0=dx y y −→−0:
y
x x y x y x x y x dy
y x x y dx x dy
y x x y dx x y y x dy y x x y dx x y y x z x
y
l l cos cos )cos cos ()cos cos 2()2()sin cos 2()sin cos 2()sin cos 2()sin cos 2(2222220
222222
1
+=-++=-+=-+-+-+-=⎰⎰⎰⎰
10．用极坐标计算下列二重积分: (1)
dxdy y x D
⎰⎰+22sin
,其中}4),{(2222ππ≤+≤=y x y x D ;
(2) dxdy y x D
⎰⎰
+)(,其中}),{(2
2y x y x y x D +≤+=; (3) dxdy xy D
⎰⎰,其中D 为圆域:222
a y x
≤+;
(4)
⎰⎰
'D
dxdy y x f ),(,其中D 为圆域:222R y x ≤+.
(5)计算
⎰⎰+D
y x
dxdy e 2
2
，其中D 是由422=+y x 所围成的闭区域
解：（1）
dxdy y x D
⎰⎰+2
2sin
2220
6sin πθπ
π
π-==⎰⎰rdr r d .
(2) 应用极坐标变换后积分区域}cos sin 0,4
34
),{(θθπ
θπ
θ+≤≤≤
≤-='r r D 从而
dxdy y x D
⎰⎰+)(⎰⎰'
+=D rdrd r θθθ)sin (cos
=
.2
)4cos 212sin 223(31)sin (cos 31)cos (sin 4
344
34
4sin cos 0
2
434
π
θθθθ
θθθθθπππ
πθθπ
π=-+=
+=+⎰⎰⎰
⎰--+-
d d dr r d
(3)由对称性有
dxdy xy D
⎰⎰
=.
2
|4|22cos 22sin 21
4cos sin 44
04200
320020a r dr r d rdr r r d a a a
=⋅-⋅=⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰ππ
π
θθθθθθ （4）
)].0()([)()(),(20
2'20
2f R f dr r rf d drd r f dxdy y x f R
D
D
-=='='⎰⎰⎰⎰⎰⎰
πθθπ
(5)解：()142
20
2
2
2-==⎰⎰⎰⎰+e rdr e d dxdy e
D
r y x πθπ
11．（1）计算下列三重积分：
,2dxdydz z V
⎰⎰⎰其中V 是由2
222r z y x ≤++和 rz z y x 2222≤++所确定.
（2） 其中Ω由曲面z =2
2-4y
x -、z=3
1
)2
2y x +（围成的闭区域；
（3）
dxdydz y x v
)(22⎰⎰⎰+，其中v 是由曲面z y x =+）（2
22与z=4所围的区域； 解 (1)由于被积函数为2
z ,因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分。

又由于区域V 用平行于xy 平面的平面截得的是一个圆面，即
)20(2:222r
z z rz y x S ≤≤-≤+
)2
(:2222r z r
z r y x Q ≤≤-≤+
从而
.480
59)()2(5
222
2220
22
2
20
22
r dz
z r z dz z rz z dxdy z dz dxdy z dz dxdydz z r
r r r
r Q
r S
V
πππ=
-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（2）解：令x=rcos θ,y=rsin θ,z=z
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∴-≤≤≤≤≤≤=∴Ω
'
22}
431
,20,30|),,{('v v dz
zrdrd zdv r z r r z r θπθθ
4
138
13
2)2181
21(2zrdz
dr d 305320
3
r -4r 3
1
22
πππθπ=-
⨯-=-+-==⎰⎰⎰⎰dr
r r r （3）解：}4)(2,2|),,{(2
222≤≤+≤+=z y x y x z y x v
令x=rcos θ,y=rsin θ,z=z
}42,20,20|),,{('20,20,4222≤≤≤≤≤≤=≤≤≤≤≤≤∴z r r z r v r z r πθθπ
θ
dz
rdrd r dxdydz y x v v
θ⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰'
222)(
=
dz r d dr r
⎰
⎰⎰2
20
4
232πθ
θπ
d r r dr ⎰⎰-=20
20
23)24(
dr r r ⎰-=2
23)24(2π
ππ3
16
-
8= π3
8= 12．计算下列第一型曲面积分： （1）
⎰⎰++S
dS z y x ,)(其中S 是上半球面;0,2
222≥=++a a z y x （2）
⎰⎰+S
dS y x ,)(22其中S 为立体0,12
2≥≤≤+a z y x 的边界曲面； （3）,22⎰⎰+S y
x dS 其中S 为柱面2
22R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； （4）⎰⎰S
xyzdS ,其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.
（5）
2(),S
ax by cz d dS +++⎰⎰其中S 是球面2222
y R x z ++=。

解 (1)因,222y x a z --=
.,222
222
z
y z z x z y x
== 2
2
2
22
222
2
11y
x a a z
y z x z z y
x --=
++=++
从而
dy y x a y x y x a a dx dS z y x x a x
a S
a
a
)()(2222
222
22
2
--++--=++⎰
⎰⎰⎰----
=
.)2(322a dx x a a ax a
a
ππ=-+⎰
-
(2)面积S 由两部分21,S S 组成,其中,1:,:2221=+=z S y x z S 它们在Oxy 面上的投影区
域都是,122≤+y x 由极坐标变换可得
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+2
1
)()()(222222
S S S
dS y x dS y x dS y x
=
⎰⎰
⎰⎰
≤+≤++++12
21
222222)()(y x y x dxdy y x dS y x =).12(2
21
3
20
10
320
+=
+⎰⎰⎰⎰π
π
πdr r dy dr r dy
(3)
R H RH R
dS R y
x dS S
S .
2211
2
222ππ==
=+⎰⎰⎰⎰ (4)
.120
3)1(631)1(103
10
1
=-=+--=⎰⎰
⎰⎰⎰-dx x x dy y y x y xdx xyzdS x
S
（5）解：
()2
ax by cz d dS ∑
+++⎰⎰
22222222()a x b y c z d abxy acxz adx bcyz bdy cdz dxdydz ∑
=+++++++++⎰⎰
由题意可知，D 是关于x,y,z 轴对称
0xdS ydS zdS ∑
∑
∑
===⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()2
222224a
b c x d R dS π∑
+++=
⎰⎰
()()222
2222214πR 3y z a b c x dS d ∑=
+++++⎰⎰ ()222
222143a b c R S d R d π∑
=
+++⎰⎰ ()2
24222443
R b R a c d ππ++=+
∴()()2
222
422443ax by cz d d c R S a b R d ππ∑
++++=++⎰⎰ 13．计算下列第二型曲面积分：
（1）⎰⎰
+++-S
dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(2
2，其中S 为由a
z y x z y x ======,0六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向； （2）
⎰⎰+++++S
dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 是以原点为中心，边长为2的立
方体表面并取外侧为正向； （3）
⎰⎰++S
xzdxdy yzdzdx xydydz
，其中S 是由平面1,0=++===z y x z y x 所围的
四面体面并取外侧为正向； 解 (1)因为
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=-a
a
S
a
a
yzdz dy dz z a y dy dydz z x y 0
)()(
=22)2(4
02
022
a dy y a dy y a y a a a
=+-⎰⎰,
⎰⎰S
dzdx x 2=⎰⎰⎰⎰=-a a
a a dx x dz dx x dz 00
2
0020, ⎰⎰+S
dxdy xz y
)(2
=,2
)(4
02
2
a dy y dx dy ax y dx a
a
a a
=-+⎰
⎰⎰⎰ 所以,原积分=24a +2
4a =4
a .
(2)由对称性知须计算其中之一即可 由于
⎰⎰=+S
dydz y x )(⎰⎰⎰⎰----+--+1
1
111111)1()1(dz y dy dz y dy
8)1(2)1(21
1
11
=+--+=⎰⎰--dy y dy y
故原积分=2483=⨯ (3)由积分对称性知 原式⎰⎰--=xy
D dxdy y x x )1(3
⎰⎰⎰
---=--=-1
022
1
10
2])1(2
1
)1([3)(3dx
x x x x dy
xy x x dx x
123
031(2)28
x x x dx =
-+=⎰ 14．应用高斯公式计算下列曲面积分： （1）⎰⎰++S
xydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧； （2）⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x
222
，其中S 是立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧；
（3）
⎰⎰
++S
dxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面222z y x =+与平面z=h 所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧； （4）⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧； （5）
⎰⎰
++S
zdxdy ydzdx xdydz ，其中S 是单位球面2
22y x a z +-=的外侧。

（6）利用高斯公式计算曲面积分22
()()s
y x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++⎰⎰,其中S 是边长为a 的正方体外侧。

（7）利用高斯公式计算曲面积分s
xdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S 是2
221x
y z ++=上
半球面外侧。

（8）利用高斯公式计算曲面积分
2
2
2
s
xy dydz yz dzdx zx dxdy
++⎰⎰，其中S 是
2221x y z ++=的上半球面外侧。

（9）利用高斯公式计算曲面积分
22
()()s
y x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++⎰⎰，其中22S y -曲面：z=5-x 上1z ≥的部分，并取上侧。

解 （1）00==++⎰⎰⎰⎰⎰V
S
dxdydz
xydxdy zxdzdx yzdydz
（2）
2
2
2
2()S
V
x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰
2
00234
2()2[()]2
2()3a
a a
a
a
a
dx dy x y z dz
a dx x y a dy a x a dx a =++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（3）解：2P x =，2
Q y =，2
R z =，
2P x x ∂=∂，2Q y y
∂=∂，2R z z ∂=∂
222
s
x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰2()V
x y z dxdydz =++⎰⎰⎰
利用柱面坐标变换：
cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ ':V 002r h r z h θπ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
222
x y r dxdydz rdrd dz
θ⎧+=⎨
=⎩ ∴ 2()V
x y z dxdydz ++⎰⎰⎰
'
2(cos sin )V r r z rdrd dz θθθ=++⎰⎰⎰
'
'
22(cos sin )2V V r drd dz zrdrd dz θθθθ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
22
20
2(sin cos )
2h
h
h
h
r
r
r dr dz rdr zdz ππθθθ
=-+⎰
⎰⎰
⎰
2
22
20
4()2
h
h
h r
r r dr dz h r dr π=+-⎰
⎰⎰
230
02h
h r r dr π=+-⎰
224
2()
24
h
h r r π=-42
h π
=
∴2
2
2
s
x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰4
2
h π=
（4）解：
333s
x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰
2223V
x y z dxdydz =++⎰⎰⎰
利用球面坐标变换：
sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧
⎪=⎨⎪=⎩ ':V 01002r ϕπθπ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
2222
2
sin x y z r
dxdydz r drd d ϕϕθ
⎧++=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 2223V
x y z dxdydz ++⎰⎰⎰
'
22
3
sin V r r
drd d ϕϕθ=⎰⎰⎰
4
120
13
(cos )
5
r ππϕθ
=-125
π=
（5） 原式323)111(a dxdydz dxdydz V
V
π==++=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（6）解：()P y x z =-，2Q x =，2R y xz =+，
P y x ∂=∂，0Q y
∂=∂，R x z ∂=∂ 22()()s
y x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++⎰⎰
V
P Q R
dxdydz x y z ∂∂∂=
++∂∂∂⎰⎰⎰()V x y dxdydz =+⎰⎰⎰ ()xy
a
x y dxdy D =+⎰⎰0
()a
a
a dy x y dx =+⎰
⎰
201()2a a a ya dy =+⎰220
11
()
22
a
a a y ay =+431122
a a =
+ （7）解：取:∑0z =，方向向下
s
xdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰S xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy +∑
∑
=++-++⎰⎰⎰⎰
其中：
S xdydz ydzdx zdxdy +∑
++⎰⎰V
P Q R dxdydz x y z ∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰
3V
dxdydz =⎰⎰⎰2π= xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰（因为0z =） 0dxdydz ∑
=⎰⎰0=
∴ s
xdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰2π=
（8）取:0z ∑=，方向向下
222
s
xy dydz yz dzdx zx dxdy
++⎰⎰222222S xy dydz yz dzdx zx dxdy xy dydz yz dzdx zx dxdy +∑
∑
=
++-++⎰⎰⎰⎰
其中：222
S xy dydz yz dzdx zx dxdy +∑
++⎰⎰
222
V
x y z dxdydz =
++⎰⎰⎰
利用球面坐标变换：
sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ ':V 01
0202r πϕθπ
≤≤⎧⎪⎪
≤≤⎨⎪
≤≤⎪⎩
2222
2
sin x y z r
dxdydz r drd d ϕϕθ
⎧++=⎪⎨=⎪⎩ ∴2
2
2
V x y z dxdydz ++⎰⎰⎰'
22
sin V r r drd d ϕϕθ=⎰⎰⎰4
1
220
1
(cos )
5r π
πϕθ
=-25
π=
222xy dydz yz dzdx zx dxdy ∑
++⎰⎰（因为0z =）0dxdydz ∑
=⎰⎰0= ∴2
2
2
s
xy dydz yz dzdx zx dxdy ++⎰⎰25π=
（9）解：取1z =，224x y +=，2r =
()P y x z =-，2Q x =，2R y xz
=+P y x ∂=∂，0Q
y
∂=∂，R x z ∂=∂ 22
()()s
y x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++⎰⎰ 22
()()s y x z dydz x dzdx y
xz dxdy +∑
=
-+++⎰⎰22()()y x z dydz x dzdx y xz dxdy ∑
--+++⎰⎰
其中：
22()()s y x z dydz x dzdx y xz dxdy +∑
-+++⎰⎰()V
x y dxdydz =+⎰⎰⎰
利用柱面坐标变换：
cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ ':V 2020215r z r θπ⎧≤≤⎪
≤≤⎨⎪≤≤-⎩
222
x y r dxdydz rdrd dz
θ⎧+=⎨
=⎩ ()V
x y dxdydz +⎰⎰⎰(cos sin )V
r r rdrd dz θθθ=+⎰⎰⎰
2
22520
1
(cos sin )r dr d r dz π
θθθ-=+⎰⎰⎰
2
22420
(5)(cos sin )(cos sin )dr r r r d π
θθθθθ=-+++⎰⎰ 2
2240
(cos sin )(4)dr r r d π
θθθ=+-⎰⎰
0=
22
()()y x z dydz x dzdx y xz dxdy ∑
-+++⎰⎰ 2()y x dxdy ∑
=+⎰⎰
2(sin cos )r r rdrd θθθ∑
=+⎰⎰22320
sin cos dr r r d πθθθ=+⎰⎰2
30
r dr π=-⎰4π=-
∴2
2
()()4s
y x z dydz x dzdx y
xz dxdy π-+++=⎰⎰
15．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：
（1）∑n
nx ； （2）∑⋅n n n x 22；（4）n n x r ∑2)10(<<r ； （5）∑---)!
12()2(12n x n ； （6）
∑+-+n
n n x n )1()2(3；
（7）∑+++n x n )1211( ； （8）∑n n x 2
2
解：（1）由于∞
→n lim 1=n n ，所以收敛半径1=R ，即收敛区间为)1,1(-，但当1±=x 时，
有
∑±n n )1(均发散，所以级数∑n
nx 在1±=x 时也发散，于是这个级数的收敛区域为
)1,1(-。

（2）由于∞
→n lim
21212=n
n n ，所以收敛半径2=R ，但当2±=x 时，2
221
2)2(n
n n =±，由于级数∑21n 收敛，所以级数∑⋅n n
n x 2
2在2±=x 也收敛，于是这个级数的收敛区域为]2,2[-。

（4）由于∞
→n lim
02
=n n r
，所以收敛半径+∞=R ，这个级数的收敛区域为),(+∞-∞。

（5）由于∞
→n lim
n
n a =∞
→n lim
0)!
12(1
=-n
n ，所以收敛半径+∞=R ，于是这个级数的收敛区
域为),(+∞-∞。

（6）由于∞
→n lim
n
n a =∞
→n lim
3)2(3=-+n
n
n n
，所以收敛半径31=R ，因而级数
∑+-+n
n n x n
)1()2(3的收敛区间为311<+x ，即)32,34(--，当3
4-=x 时，级数为∑⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n
n n n 31)2(3=∑⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n n 3211)1(收敛，当32-=x 时，级数为 ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n
n 321，而由于n
n
⎪
⎭⎫
⎝⎛-+321～)(1∞→n n 且∑n 1发散，故此时原级数发散，于是
可得级数∑+-+n n n x n )1()2(3的收敛区域为⎪⎭⎫
⎢⎣⎡--31,3
4。

（7）因为
n
n n 1⋅
n n
1
211+++≤ n n 1⋅≤，又∞→n lim
11=⋅n
n ，所以
∞→n lim 11
211=+++
n n
，从而收敛半径1=R ，又当1±=x 时,
n n n
)1)(1
211(lim ±+++∞→ 0≠，可见级数∑+++n x n )1211( 在1±=x 时发散，故这个级数的收敛区域为)1,1(-。

16．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：
（1） +++++++1
2531
253n x x x x n ； （2） +++++n
nx x x x 3
2
32； （3） ++⋅++⋅+⋅n x n n x x )1(32212
（4）∑∞
=+1
)1(n n
n n x
解：（1）因为∞
→n lim
n
n a =∞→n lim 112112=++n n ，且1±=x 时，∑∞
=+0121
n n 与∑∞=++-0121
2)1(n n n 都是发散级数，所以幂级数的收敛区域为)1,1(-，设其和函数为)(x f ，于是当1<x 时，逐项求导数可得
)('x f +++++=n nx x x 24212
11
x -=
，所以，
)(x f dt t x
⎰
-=0211x
x -+=11ln 21 （1<x ）
（2）由于∞
→n lim
n
n a =∞
→n lim
11=⋅n
n ，且当1±=x 时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛
区域为)1,1(-，设其和函数为)(x f ，则∈∀x )1,1(-
)(x f = +++++n
nx x x x 3
2
32=∑∞
=-⋅11
n n nx
x =)(x g x ⋅，∑∞
=-=
1
1
)(n n nx
x g
因为当1<x 时，dt t g x ⎰
)(dt nt x n n ⎰
∑∞=-=0
1
1
=x
x
x n n -=
∑∞
=11
所以=)(x g ')1(
x x -=2)1(1x -，从而)(x f 2
)1(x x -= （1<x ） （3）因为∞
→n lim
=+n
n a a 1∞→n lim
)1()
2)(1(+++n n n n 12lim =+=∞→n n n ，且当1±=x 时，这个级数发散，所以幂级数的收敛区域为)1,1(-，设其和函数为)(x f ，则 )(x f =∑∞
=+1
)1(n n
x
n n ，∈∀x )1,1(-
因而
=
⎰
dt t f x 0
)(=
+⎰
∑∞=dt t n n x n n
1)1(∑⎰
=+1
1
)1(n x n dt t n n
=∑∞
=1
n n
nx x 2
2
)1(x x -= （1<x ） 所以 )(x f '22])1([x x -=4
22)
1()
1(22)1(x x x x x --+-=3)1(2x x -= （1<x ） (4)因为∞
→n lim
n
n n )1(1
+ =1，所以收敛半径R =1，当1±=x 时级数∑∞
=+1)1(1n n n 与∑∞=+-1)
1()1(n n n n
都收敛，故这个幂级数的收敛区域是]1,1[-，设
)(x g ∑∞
=+=1)1(n n n n x x =∑∞
=++11
)
1(n n n n x
则当1<x 时，)('
x g ∑∞
==1
n n n x ， )("
x g ∑∞
=-=11n n x x -=11，
从而可得 )('x g ⎰-=x
dt t 011
)1ln(x --=
因此 )(x g ⎰--
=x
dt t 0)1ln(x t t 0
)
1ln(--=⎰
--+x
dt t
t 01 )1ln(x x --=)1ln(x x -++
x x x +--=)1ln()1(
故 ∑∞
=+1)1(n n
n n x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+--=0
,01,10
,11,
1)1ln(1x x x x x x x
且
17．确定下列幂级数的收敛域，并求和函数： （1）
∑∞
=-1
1
2
n n x
n
； （3）
∑∞
=--1
1
)
1(n n x n ；
解：（1）因为 n
n n a a 1lim
+∞→=1)
1(lim 2=+∞→n n n 所以 1=R ，当 1±=x 时，∑∞
=0
2
n n
与
∑∞
=--0
21
)
1(n n n 都发散，所以收敛域为)1,1(-，
令 =
)(x f ∑∞
=-1
12
n n x n
)1(<x
则
⎰
⎰
∑∞
=-=x
x n n dt t
n dt t f 0
1
1
2)(∑⎰∞
=-=1
1
2n x
n dt t
n =∑∞
=1
n n nx =
2
)1(x x
- ，)1(<x
所以 =)(x f '2))1((x x -=4
2
)1()1(21)1(x x x x --⋅+⋅-3)1(1x x -+= )1(<x （3）设=
)(x f ∑∞
=--11
)
1(n n x n ，则当 11<-x 时，
=⎰
x
dt t f 0
)(∑⎰∞
=--1
1
)
1(n x n dt t n =∑∞
=-1
)1(n n x x
x -=--=
21
)1(11
所以=)(x f 2
')2(1)21(x x --=- ，)20(<<x 18.（1）判断
1
1
2+-∑
∞
→n n n 的收敛性
解： 011lim
2=+-∞→n n n ，22111n n n -+ ∑21n 收敛 ∑+-∴1n 12n 收敛
（2）判断∑∞→-n n n
21的收敛性 解：021lim =-∞→n n n ，12
121lim =-∑∑∞→∞→∞→n n n n n n ∑
∞→n n 21 收敛∑∞
→-∴n n n 21收敛 （3）判断∑∞→n n
1sin 的收敛性 解：01sin lim =∞→n n ，11
sin n
n ∑∞→n n 1为调和级数，发散∴∑∞
→n n 1sin 发散 （4）判断
∑∞→+n n 211的收敛性 解：011lim 2
=+
∞→n n 1n ∑∞→n n 1 为调和级数，发散∑∞→+∴n n
211发散 （5）判断∑∞→⎪⎭⎫ ⎝
⎛-n n 1cos 1的收敛性 解：01cos 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n ，2111cos
2n n - ∑221n 收敛∴
∑∞→⎪⎭⎫ ⎝
⎛-n n 1cos 1收敛 （6）判断∑∞→n n n 3sin 2π的收敛性
解：03sin 2lim =∞→n n n π
， 22sin 33n n n ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛n n
π32 收敛∴∑∞→n n n 3sin 2π收敛
（7）判断
11ln 1-+∑∞→n n n
n 的收敛性 解： 01
1ln 1lim =-+∞→n n n n 11222ln ln ln 111
1n n n n n n +-+⎛⎫==+ ⎪---⎝⎭
3212
1n n n +-∑232
n 收敛，∴11ln 1-+∑∞→n n n n 收敛。