2021年高三12月月考(数学理往)

2021年高三12月月考（数学理往）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项只有一项正确
1.集合A={－1，0，1}，B={}，则AB=（）
A. {0} B． {1} C．{0，1} D．{－1，0，1}
2.已知，且为实数，则等于（）
A. 1 B． C． D．
3.使不等式成立的一个必要不充分条件是（）
A. B．C．D．，或
4.在等比数列的值为（）
A.9 B．1 C．2 D．3
5.以双曲线的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（）
A. B．C．D．
6.已知函数，集合，现从A中任取两个不同的元素，则的概率为（）
A. B．C．D．
7.定义运算：，将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小
值为（）
A. B．C．D．
8. 在空间给出下列四个命题：
①如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则⊥；
②如果直线与平面内的一条直线平行，则∥；
③如果直线与平面内的两条直线都垂直，则⊥；
④如果平面内的两条直线都平行于平面，则∥．其中正确的个数是
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
9. 现将10个参加xx年全国高中数学竞赛的名额分配给某区四个不同学校，要求一个学校1名，一个学校2名，一个学校3名，一个学校4名，，则不同分配方案种数共有（）
A.43200 B．12600 C．24D．20
10.已知，直线与直线互相垂直，则的最小值等于（）
A．1 B．2 C．D．
11.已知、是椭圆长轴的两个端点，是它短轴的一个端点，如果与的夹角不小于，则该椭圆的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
12.已知是定义在上的增函数，函数的图像关于点对称，若对于任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是（）
A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.平行四边形中，为一条对角线，若,,则 .
14.在的展开式中x3的系数是．
15.当实数满足约束条件（其中为小于零的常数）时，的最小值为，则实数的值是 .
16.给出下列四个结论：①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；
③抛物线；
④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（－12，0）。

其中为真命题的是
三、解答题：本大题共6个小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
（Ⅰ）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（Ⅱ）设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．
18. 设角是的三个内角,已知向量，
,且.
(Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若向量,试求的取值范围.
19.已知函数在处取得的极小值是.
(1)求的单调递增区间；
(2)若时，有恒成立，求实数的取值范围.
20． 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝a ，又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4． （Ⅰ）若在边BC 上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ，求a 的取值范围； （Ⅱ）当边BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD 时，求二面角 A －PD －Q 的余弦值．
21.已知椭圆的方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)设点，且，求直线的方程； 22．已知，其中是自然常数， （1）讨论时, 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
高三月考检测数学试题（理往）参考答案及评分标准
一、选择题
（1）B （2）A （3）B （4）D （5）C （6）A （7）C （8）A （9）C （10）B （11）C （12）C 二、填空题
（13）8 （14）1008 （15）-3 （16）①②③④ 三、解答题
（17）解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件 A ，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件B .由于事 件A 、B 相互独立， 且, .……2分
所以选出的4人均考《数学解题思想与方法》的概率为
…………………………… 4分 （Ⅱ）设可能的取值为0,1,2,3.得 ,,
2
(2)1(0)(1)(3)9
p p p p ξξξξ==-=-=-==
…………… 8分
∴ 的数学期望 …………10分
（18）解:(Ⅰ)由题意得0)sin sin (sin )sin (sin 222=-+-=⋅B A B C A 即--------------------------2分
由正弦定理得--------------------------3分 再由余弦定理得 ---------------5分 (Ⅱ))cos ,(cos )12
cos
2,(cos 2
B A B
A =-=+ ------------6分 222222cos cos cos cos
()3
s t A B A A π
+=+=+-
41cos(2)
1cos 213cos 2212244
A A A A π
+-+=+=-+-------------8分
---------------------10分
所以，故. -------------------12分
（19）解：（1）1
'()(2)(1),(0),'(0)2ax
f x e ax x f f a
=+-=-
=- 所以切线方程为
………………… 4分
（2）
当时，22
()(,)(1,),1)f x a a
-∞-+∞-
在和上单调递减,在(上单调递增 2'()0,()a f x f x R =-≤当时,在上减函数
当时，22
()(,1)(,))f x a a -∞-
+∞-在和上单调递减,在(1,上单调递增
………………… 8分
…………………12分
（20）解法1：
（Ⅰ）如图，连，由于PA ⊥平面ABCD ，则由PQ ⊥QD ，必有． 设，则，
在中，有．
在中，有．……4分
在中，有．
即，即．
∴．
故的取值范围为．……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），
使PQ⊥QD．
过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．
过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．
∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．……10分在等腰直角三角形中，可求得，又，进而．
∴．
故二面角A－PD－Q的余弦值为．……12分
解法2：（Ⅰ）以为x．y．z轴建立如图的空间直角坐标系，Array则
B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），
P（0，0，4），……2分
设Q（t，2，0）（），则＝（t，2，－4），
＝（t－a，2，0）．……4分
∵PQ⊥QD，∴＝0．
即．
∴．
故的取值范围为．……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．
此时Q（2，2，0），D（4，0，0）．
设是平面的法向量，
由，得．
取，则是平面的一个法向量．
而是平面的一个法向量， ……10分 由．
∴二面角A －PD －Q 的余弦值为． ……12分 （21）解：(Ⅰ)设椭圆的右焦点为，
因为的焦点坐标为，所以………………………2分 因为，则，
故椭圆方程为： ………………………………4分 （Ⅱ）由（I ）得，设的方程为（）
代入，得，----------------------5分 设则，----------------------6分
12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=-
112212122121(1,)(1,)(2,),(,)
MA MB x y x y x x y y AB x x y y ∴+=-+-=+-+=--
12212112()0,(2)()()()0MA MB AB x x x x y y y y +⋅=∴+--+-+=---------8分
2222220420,310,5151k k k k k k ∴--=∴-==++----------------------11分 所以直线的方程为-----------------------12分 （22）解: （1）， ……1分 ∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 ……3分 ∴的极小值为 ……4分
（2）的极小值为1，即在上的最小值为1， ∴ ，……5分 令，， ……6分 当时，，在上单调递增 ∴min max |)(|12
1
21211)()(x f e e h x h ==+<+=
= ∴在（1）的条件下，……8分
（3）假设存在实数，使（）有最小值3，
① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件.
③当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.……12分。