2019-2020学年驻马店市经济开发区高二下学期期中数学试卷(理科)(含答案解析)

2019-2020学年驻马店市经济开发区高二下学期期中数学试卷(理科)
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设复数，则复数z2的实部与虚部的和为()
A. 0
B. 2
C. −2
D. 4
2.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，
若第行中从左至右第与第个数的比为，
则的值为
A. B. C. D.
3.用反证法证明命题“若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0”时，假设正确的是()
A. 假设a，b，c中只有一个为0
B. 假设a，b，c都不为0
C. 假设a，b，c都为0
D. 假设a，b，c不都为0
4.已知ξ的分布列为
ξ1234
P 1
6
1
6
1
3
m
设η=2ξ−5，则E(η)=()
A. 1
2B. 1
3
C. 2
3
D. 3
2
5.已知a∈R，函数f(x)=−3
2
x2+(4a+2)x−a(a+2)lnx在(0,1)内有极值，则a的取值范围是()
A. (0,1)
B. (−2,0)∪(0,1)
C. (−2,−1
2)∪(−1
2
,1) D. (−2,1)
6.两平行直线2x+y−1=0与2x+y+3=0间的距离为()
A. √5
5B. 2√5
5
C. 3√5
5
D. 4√5
5
7.对变量x，y有观测数据(，)(i=1，2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(，
)(i=1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断。

图1图2
A. 变量x与y正相关，u与v正相关
B. 变量x与y正相关，u与v负相关
C. 变量x与y负相关，u与v正相关
D. 变量x与y负相关，u与v负相关
8.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每
4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为()
A. C1412C124C84
B. C1412A124A84
C. C1412C124C84
A33
D. C1412C124C84A33
9.在实数集R中定义一种运算“∗”，对任意a，b∈R，a∗b为唯一确定的实数，且具有性质：
①对任意a∈R，a∗0=a；
②对任意a，b∈R，a∗b=ab+(a∗0)+(b∗0)．
则(√x)∗
√x
的最小值为()
A. 2
B. 3
C. 6
D. 8
10.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)=lo(1−x)，则函数f(x)在
(1,2)上()
A. 是增函数，且f(x)<0
B. 是增函数，且f(x)>0
C. 是减函数，且f(x)<0
D. 是减函数，且f(x)>0
11.下列正确的结论是()
A.事件A的概率P(A)的值满足0<P(A)<1
B.如P(A)=0.999，则A为必然事件
C .灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为99%
D .如P(A)=0.001，则A 为不可能事件
A. A
B. B
C. C
D. D
12. 若函数f(x)，g(x)分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=a x (a >1)，则有( )
A. f(2)<f(3)<g(0)
B. g(0)<f(2)<g(3)
C. f(2)<g(0)<f(3)
D. g(0)<f(2)<f(3)
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 随机变量ξ的分布列如图，其中a ，b ，
成等差数列，则
．
ξ −1 0
1
P
a b
14. 设常数a ∈R ，若(x 2+a
x )5的二项展开式中x 4项的系数为20，则a = ．
15. 古希腊毕达哥拉斯派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角
形数为
n(n+1)2
=12n 2+1
2n ，记第n 个k 边形数为N(n,k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n
个数的表达式：
三角形数 N(n,3)=1
2n 2+1
2n 正方形数 N(n,4)=n 2 五边形数 N(n,5)=3
2n 2−1
2n 六边形数 N(n,6)=2n 2−n …
可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(8,12)= ______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 已知{x +y ≥5
x +2y ≤3，则z =x +4y 能取得最 (1) (大或小)值为 (2) ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 求下列复数的模：
(1)3−4i ； (2)1
2−
√3
2
i ； (3)−6；
(4)−5i．
18.已知函数，
(1)求在处切线方程；
(2)求证：函数在区间上单调递减；
(3)若不等式对任意的都成立，求实数的最大值．
19.“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设
的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度(单位：cm)，经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm的为优质树苗．
(1)求图中a的值；
(2)已知所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
试验区试验区合计
优质树苗______ 20______
非优质树苗60______ ______
合计______ ______ ______
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
(3)用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X，求X的分布列
和数学期望EX．
，其中n=a+b+c+d．附：参考公式与参考数据：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k0)0.0100.0050.001
k0 6.6357.87910.828
20.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模
型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，
小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个
小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小
木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．
如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落
的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以1
2
撞，最后掉人编号为1，2…，6的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2
⋅的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以1
2
的概率向左滚下．
次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以1
2
(Ⅰ)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
(Ⅱ)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为ξ元．其中ξ=|20−5X|
(i)求X的分布列：
(ii)高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
21.交通指数是指交通拥堵指数或交通运行指数(Traffic Performance Index，即“TPI”)，是反应
道路畅通或拥堵的概念性数值，交通指数的取值范围为0～10，分为五级：0～2畅通，2～4为基本畅通，4～6轻度畅通，6～8为中度拥堵，8～10为严重拥堵．高峰时段，巴中市交通指挥中心随机选取了市区40个交通路段，依据交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：(Ⅰ)求出图中x的值，并计算这40个路段中为“中度拥堵”的有多少个？
(Ⅱ)在我市区的40个交通路段中用分层抽样的方法抽取容量为20的样本．从这个样本路段的“基本畅通”和“严重拥堵”路段中随机选出2个路段，求其中只有一个是“严重拥堵”路段的概率．
22.已知．
(Ⅰ)求函数的解析式．
(Ⅱ)设，(a为实常数)，求在的最小值．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：试题分析：由复数的除法运算化简，求得实部和虚部后求和得答案．
∵z=2w
−1+w =2w(−1−w)
(−1+w)(−1−w)
=2−2w
2
=1−w．
∴z2=(1−w)2=−2w．
∴复数z2的实部与虚部的和为−2
故选：C．
2.答案：C
解析：试题分析：根据题意，由于由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第行中从左至右第与第个数的比为，即可知为，则根据组合数的公式可知解得为n=34，g故答案为C．
考点：数列的概念
点评：主要是考查了归纳猜想的运用，属于基础题。

3.答案：B
解析：略
4.答案：C
解析：解：由题意可得：1
6+1
6
+1
3
+m=1，解得m=1
3
，
所以E(ξ)=1×1
6+2×1
6
+3×1
3
+4×1
3
=17
6
．
η=2ξ−5，则E(η)=2×17
6−5=2
3
．
故选：C．
利用分布列的性质，求解m，然后求解期望，推出结果即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．
解析：
求出函数的导数，令g(x)=−3x 2+(4a +2)x −a(a +2)，由题意可得g(x)=0在(0,1)内有解．由g(x)=0只有一解或有两解，运用零点存在定理和二次函数的图象和性质，得到不等式组，解得答案，注意a =0的情况，再求并集即可．
本题考查利用导数求极值，主要考查二次方程的实根的分布，运用二次函数的图象和性质是解题的关键，考查运算能力，属于中档题和易错题．
解法(一)：函数f(x)=−3
2x 2+(4a +2)x −a(a +2)lnx 的导数为： f′(x)=−3x +(4a +2)−
a(a+2)x =
−3x 2+(4a+2)x−a(a+2)
x
，
令g (x )=−3x 2+(4a +2)x −a(a +2)，由题意可得：g (x )在(0,1)内有零点，
若g (x )在(0,1)内有一个零点时，则有g (0)g (1)<0，即−a(a +2)(−a 2+2a −1)<0，解得−2<a <0,； 当对称轴0<
2a+13
<1，即−1
2<a <1时，g(x)有两个零点，
由二次函数图像与性质易知，则有{Δ=(4a +2)2−12a(a +2)>0
g (0)=−a (a +2)<0g(1)=−3+4a +2−a (a +2)=−(a −1)2<0，解得0<a <1；
当a =0时，取a =0，f (x )=−3
2x 2+2x ，易知x =2
3是极大值点，显然a =0满足题意． 综上可得：a 的取值范围是(−2,1).故答案选D ．
解法(二)：取a =0，f (x )=−3
2x 2+2x ，易知x =2
3是极大值点，显然a =0满足题意，故排除A,B; 取a =−1
2，f (x )=−3
2x 2+3
4lnx ，f′(x )=−3x +34x
=
−3(2x−1)(2x+1)
4x
，易知x =1
2是极大值点，显然
a =−12也满足题意，故排除C ；故答案选D ．
6.答案：D
解析：解：根据两平行线间的距离公式得：d =√22+12
=
√
5
=4√5
5
． 故选：D ．
运用两平行直线的距离公式即可得到结论．
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
解析：试题分析：由散点图1可知，点从左上方到右下方分布，故变量x与y负相关；由散点图2可知，点从左下方到右上方分布，故变量u与v正相关，故选C
考点：本题考查了散点图的运用
点评：熟练运用随机变量的正负相关的概念是解决此类问题的关键，属基础题
8.答案：A
解析：
本题考查组合的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．
先从14人中选12人，有C1412种选法，早班从12人中选取4人，中班从剩余的8人中选4人，剩余的4人是晚班；开幕式当天不同的排班种数为C1412C124C84，即可得答案．
解：先从14人中选12人，有C1412种选法，
早班从12人中选取4人，有C124种选法，
中班从剩余的8人中选4人，有C84种选法，
剩余的4人是晚班．
∴开幕式当天不同的排班种数为C1412C124C84．
故选A．
9.答案：B
解析：解：设函数f(x)=(√x)
√x
，
∴f(x)=(√x)∗
√x =√x
√x
+(√x∗0)+(
√x
0)=1+√x
√x
≥1+2√√x⋅
√x
=3，当且仅当
√x=
√x
即x=1时，等号成立，
∴函数f(x)的最小值为3，
故选：B．
设函数f(x)=(√x)
√x
，根据题意化简函数f(x)的解析式，再利用基本不等式即可求出f(x)的最小值．
本题主要考查了新定义问题，考查了基本不等式的应用，是基础题．
10.答案：D
解析：【思路点拨】根据f(x)是周期为2的偶函数，把x∈(1,2)转化到2−x∈(0,1)上，再利用f(2−x)=f(x)求解．
解：由题意得当x∈(1,2)时，0<2−x<1，0<x−1<1，f(x)=f(−x)=f(2−x)
=lo[1−(2−x)]=lo(x−1)>lo1=0，则可知当x∈(1,2)时，f(x)是减函数，选D．11.答案：C
解析：试题分析：根据必然事件和不可能事件的概念知，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，从而排除A、B、D，故选C
考点：本题考查了事件的分类及概率的定义
点评：掌握事件的分类及概率的概念是解决此类问题的关键，另注意理解概率是某事件发生的可能性，而不是发生的比例。

12.答案：D
解析：解：∵函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)−g(x)=a x(a>1)，
∴f(−x)−g(−x)=a−x(a>1)，
即−f(x)−g(x)=a−x(a>1)，
两式联立解得f(x)=a x−a−x
2
，g(x)=−a
x+a−x
2
，
则g(0)=−1，f(2)=a2−a−2
2，f(3)=a3−a−3
2
，
则f(3)>f(2)>g(0)，
故选：D
根据奇偶性条件知，用−x换x，由f(x)−g(x)=e x再构造一个方程，求得f(x)，g(x)比较即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性求出函数f(x)和g(x)的表达式是解决本题的关键．
13.答案：
解析：试题分析：根据题意，由于分布列中概率和为1，则可知，a +b +0.5=1，a +b =0.5，则由a ，b ，成等差数列知2b =a +
故可知
，则可知
，故可知答案为。

考点：分布列的性质
点评：主要是考查了分布列的性质以及等差数列的性质的运用，属于基础题。

14.答案：±√2
解析：
在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中x 4项的系数，再根据x 4项的系数为20，求得a 的值． ∵(x 2+a
x )5的二项展开式的通项公式为:
T r+1=C 5r (x 2)5−r (a x
)r =C 5r a r x 10−3r
令10−3r =4，求得r =2，
故二项展开式中x 4项的系数为C 52a 2
=20，解得a =±√2，
故答案为：±√2．
15.答案：288
解析：解：由归纳推理可得N(n,k)=k−22
n 2+
4−k 2
n ，
故N(8,12)=
12−22
×82+
4−122
×8=288，
故答案为：288．
观察已知式子的规律，归纳可得N(n,k)=
k−22
n 2+
4−k 2
n ，把n =8，k =12代入可得答案．
归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．
16.答案：大
−1
解析：解：作出约束条件{x +y ≥5
x +2y ≤3，所对应的可行域(如图阴影)，
变形目标函数可得y =−1
4x +1
4z ，平移直线y =−1
4x 可知，
当直线经过点A(7,−2)时，目标函数取最大值， 代值计算可得z 的最大值为：−1， 故答案为：大；−1．
作出平面区域，变形目标函数，平移直线y =−1
4x 数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
17.答案：解：(1)|3−4i|=√32+(−4)2=5；
(2)|1
2−
√32
i|=(1
2)(−
√32
)=1．
(3)|−6|=6； (4)|−5i|=5．
解析：利用复数模的计算公式即可得出．
本题考查了复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.答案：(1)；(2)详见解析；(3)
解析：试题分析：(1)先求导函数，再求
，再用点斜式方程求切线方程；(2)要证明函数在区间
上单调递减，只需证明
在
恒成立，先求导
，
分母大于0，只需证明分子小于0恒成立，构造函数
，说明其最大值小于0
即可，这样就把问题转化为求函数的最大值问题了，继续求导，发现，故
递减，所以；
(3)恒成立问题可以考虑参变分离，两边取自然对数得，从而参变分离为
，只需用导数求右边函数的最小值即可，为了便于求导可换元，设，则，进而用导数求其最小值．
试题解析：(1)由已知切线方程
；
(2)，令
=，，
在(0,1)上是减函数；
(3)两边取对数即，令
设，设
，由(2)知函数在区间上单调递减，在上是减函数，在上是减函数即．
考点：1、导数的几何意义；2、导数在单调性上的应用；3、利用导数求最值．
19.答案：10 30 30 90 70 50 120
解析：解：(1)根据频率直方图数据，有2(a×2+2a+0.10×2+0.20)=1，
解得a=0.025．
(2)根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120×(0.10×2+0.025×2)=30， 列联表如下：
可得K 2=
120(10×30−20×60)2
70×50×30×90
=
727
<10.3<10.828，
所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系． (3)用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为30
120=1
4． X 的可能取值为0，1，2，3，4，由题意知X 服从二项分布X ～B(4,1
4
)，
∴P(X =k)=C 4k
(1
4)k (3
4)4−k ，(k =0,1，2，3，4)， 即：P(X =0)=(3
4)4=81
256，P(X =1)=C 4
1
(1
4)(3
4)3=27
64， P(X =2)=C 42
(1
4)2(3
4)2=27
128，P(X =3)=C 43(1
4)3(3
4)=3
64，
P(X =4)=(14
)4=
1
256
．
∴X 的分布列为：
∴数学期望为E(X)=4×1
4=1． (1)根据频率直方图数据，能求出a ．
(2)根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120×(0.10×2+0.025×2)=30，完成列联表，求出K 2=
120(10×30−20×60)2
70×50×30×90
=
727
<10.3<10.828，从而没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个
试验区有关系．
(3)用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为30
120=1
4.X 的可能取值为0，1，2，3，4，由题意知X 服从二项分布X ～B(4,1
4)，由此能求出X 的分布列和数学期望．
本题考查独立检验的应用，考查频率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布
直方图、二项分布的性质等基础知识，考查数学运算能力、数学建模能力以及必然与或然思想．
20.答案：解：(1)记小球落入记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，
小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，
∴这个小球落入第7层第6个空隙处的概率P(M)=C 6
1
(1
2)(1
2)5=3
32． (2)(i)由已知得X 的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，
P(X =1)=P(X =7)=C 60
(1
2)6=
164，
P(X =2)=P(X =6)=C 61(12)6=3
32， P(X =3)=P(X =5)=C 62(1
2
)6=
1564
，
P(X =4)=C 63(1
2)6=5
16，
∴X 的分布列为：
(ii)∵ξ=|20−5X|，
∴ξ的可能取值为0，5，10，15， P(ξ=0)=P(X =4)=5
16，
P(ξ=5)=P(X =3)+P(X =5)=15
32， P(ξ=10)=P(X =2)+P(X =6)=316， P(ξ=15)=P(X =1)+P(X =7)=132．
∴E(ξ)=0×5
16+5×15
32+10×3
16+15×1
32=75
16<8， ∴小明同学能盈利．
解析：(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球落入第7层第6个空隙处的概率．
(2)(i)X 的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列． (ii)由X 的分布列，求出奖金ξ的分布列和数学期望，由此能判断小明同学能否盈利．
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合、n 次独立重复试验中
事件A恰好发生k的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.答案：(本题满分为12分)
解：(I)由已知有0.05×3+0.10×2+0.15×1+0.20×1+x×1=1，
所以x=0.30；
∵40×(0.20×1+0.30×1)=20，
∴这40个路段中为“中度拥堵”的有20个．
(II)由(1)可知：
容量为20的样本中“基本畅通”与“严重拥堵”路段分别为2个，3个记2个“基本畅通”与3个“严重拥堵”的路段分别为A1，A2；B1，B2，B3；
从中随机选出2个路段的基本情况为：
(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，
(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)共10个，
其中只有一个是“严重拥堵”路段为：
(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，共6个，
所以只有一个是“严重拥堵”路段的概率P=6
10=3
5
．
解析：(Ⅰ)利用所有的频率和为1，频率等于纵坐标乘以组距即可解得x的值，由频率分布直方图可知底×高=频率，频数×40=个数，即可得出结论；
(Ⅱ)考查古典概型，一一列举所有满足条件的基本事件，利用概率公式求得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用、分层抽样和古典概型的概率的求法，属于基础题．
22.答案：解：(I)由题意得，令x−1=t，x=t+1，，
；
(II)由题意得，∴，
当时即最小值为，
当时，最小值为，
当时即最小值为．
解析：本题主要考查函数性质的应用，熟悉函数最值的方法是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．
(I)由题意得，直接运用求函数解析式的方法即可求解；
(II)由题意得，首先求导，再运用导数求函数最值的方法即可求解．。