1. 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程

第十五章 积分方程
积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。

本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。

§1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程
一. 积分方程一般概念
1. 积分方程的定义与分类
[线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y (x )的方程
()()()()(),d b
a x y x F x K x y αλξξξ=+⎰ (1)
称为积分方程。

式中α(x ),F (x )和K (x,ξ)是已知函数，λ,a,b 是常数，变量x 和ξ可取区间(a,b )
内的一切值；K (x,ξ)称为积分方程的核，F (x )称为自由项，λ称为方程的参数。

如果K (x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F (x )≡0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。

[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类Fr 方程
()()(),d b a
K x y F x ξξξ=⎰
第二类Fr 方程
()()()(),d b
a
y x F x K x y λξξξ=+⎰
第三类Fr 方程
()()()()(),d b
a
x y x F x K x y αλξξξ=+⎰
[n 维弗雷德霍姆积分方程]
111()()()()(),d D
P y P F P K P P y P P α=+⎰
称为n 维弗雷德霍姆积分方程，式中D 是n 维空间中的区域，P ,P 1∈D ，它们的坐标分别是
(x 1,x 2, ,x n )和),,,(21
n x x x ''' ,α(P )=α(x 1,x 2, ,x n ),F (P )=F (x 1,x 2, x n )和K (P ,P 1)=K (x 1,x 2, ,x n , ),,,21
n x x x ''' 是已知函数，f (P )是未知函数。

关于Fr 方程的解法，一维和n (>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr 方程。

[沃尔泰拉积分方程] 如果积分上限b 改成变动上限，上面三类Fr 方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。

由于第三类Fr 方程当α(x )在(a ,b )内是正函数时，可以化成
()
()()d
a
xλξξ
=+⎰
它是含有未知函数),
(
)
(x
y
x
α以
)
(
)
(
)
,
(
ξ
α
α
ξ
x
x
K
为积分方程的核的第二类Fr方程。

所以本章重点研究一维第二类Fr方程。

2. 积分方程与微分方程之间的关系
某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。

先来考虑二阶线性微分方程的初值问题：
2
2
00
()()()
()()
d d
d d
,
y y
A x
B x y f x
x x
y y y y
αα
⎧
++=
⎪
⎨
⎪''
==
⎩
（2）
若从方程(2)中解出
2
2
d
d
x
y
，然后在区间(a,x)上对x求积分两次，利用初始条件，经过简单的计算不难得出*，
⎰'
-
-
+
-
=x
a
y
A
B
x
A
x
yξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξd)
(
)]}
(
)
(
)[
(
)
(
{
)
(
)
](
)
(
[
d)
(
)
(y
x
y
y
A
f
x
x
a
+
-
'
+
+
-
+⎰α
α
ξ
ξ
ξ
令
)
(
)]
(
)
(
)[
(
)
,
(ξ
ξ
ξ
ξ
ξA
A
B
x
x
K-
'
-
-
=
和
)
](
)
(
[
d)
(
)
(
)
(y
x
y
y
A
f
x
x
F x+
-
'
+
+
-
=⎰α
α
ξ
ξ
ξ
上式就可写为如下的形式:
)
(
d)
(
)
,
(
)
(x
F
y
x
K
x
y x
a
+
=⎰ξ
ξ
ξ(3) 这是一个第二类沃尔泰拉方程，核K是x的线性函数。

例1初值问题
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
'
=
=
+
)0(
,1
)0(
)
(
d
d
2
2
y
y
x
f
y
x
y
λ
(4) 变为积分方程
⎰
⎰-
-
+
-
=x
x
f
x
y
x
x
y
d)
(
)
(
1
d)
(
)
(
)
(ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
λ(5) 反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。

在(3)及其第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。

在例1中，对(5)式求导，得出
⎰
⎰+
-
=x
x
f
y
x
y
d)
(
d)
(
d
d
ξ
ξ
ξ
ξ
λ(6) 再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件
y(0)=1, 0
)0(=
'y
*在计算过程中应用了公式
1
1
()d d()()d
(1)!
x x x n
a a a
n
n
f x x x x f
n
ξξξ
-
=-
-
⎰⎰⎰（n≥2）
当0
)
(
)
(
)
(1=
=
=
'
=-α
α
αn f
f
f 时成立。

对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。

例2 从问题
⎪⎩⎪⎨⎧===+0
)(,0)0(0
d d 22a y y y x
y
λ 出发，积分两次，导出关系式
Cx y x x y x
+--=⎰0
d )()()(ξξξλ
从此立刻可知条件y (0)=0成立。

从第二端点条件y (a )=0决定C ：
⎰=-a
Ca y a 0
d )()(ξξξλ
所以有关系式
⎰
⎰
-+-=x
a
x y a a
x
y x a a
x y 0
d )()(d )()()(ξξξλξξξ
λ (7) 令
⎪⎩⎪⎨
⎧>-<-=x a a
x
x
x a a x K ξξξξ
ξ),(),(),( 则方程(7)变为
⎰=a
y x K x y 0d )(),()(ξξξλ (8)
这是第二类Fr 方程。

要从这个积分方程回到微分方程，只需对方程(8)求导两次，就得到
)()]()()([d d 22x y x y x a x xy a
x y λλ
-=---= 在积分方程(7)中，令x =0和x =a ,可以直接推出边值条件y (0)=y (a )=0。

注意：在这个例中，
1° x
K ∂∂在x =ξ处不连续，并当x 增加而过ξ时有一跳跃-1。

2° K 是x 的一个线性函数，即满足022=∂∂x
K
，且K 在端点x =0,x =a 处等于零。

3° K (x ,ξ)=K (ξ,x ),即核是对称的。

如果利用类似的方法，对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题：
⎪⎩⎪⎨⎧===++0)(,0)0(0d d d d 22a y y By x
y
A
x y 则除A =0外，可得在x =ξ不连续的一个核。

二、格林函数及其物理意义
[格林函数] 在区间[a ,b ]上，考虑微分方程
Ly +Φ(x )=0
的边值问题，式中L 是微分算子：
q x
x p x p q x p x L ++
=+⎪⎭⎫ ⎝⎛≡d d d d d d d d d d 22
齐次边界条件为在端点x =a , x =b 处，满足0d d =+x
y
y β
α，其中α,β为常数。

为了得出这个问题解的形式，首先构造函数G ,使对一给定数ξ，
⎩⎨
⎧><=ξξ
x x G x x G G ),(),(2
1 并且满足条件：
(i) 函数G 1和G 2在它们的定义区间上满足LG =0,即当x <ξ时,LG 1=0;当x >ξ时，LG 2=0。

(ii) 函数G 满足边界条件，即G 1满足在x =a 的边界条件，G 2满足在x =b 的边界条件。

(iii) 函数G 在x =ξ连续，即G 1(ξ)=G 2(ξ)。

(iv) G 的导数以x =ξ为一不连续点，其跳跃是)
(1
ξp -，即
)(1
)()(12
ξξξp G G -='-' 可以证明，若以ξ为参数的这个函数G 存在，则原问题的解有如下的形式：
ξξξΦd ),()(x G y b
a ⎰= (2)
例如G (x,ξ)可取
⎪⎩
⎪⎨
⎧>-<-
=ξξξξξx x v u A
x v x u A x G ),()(1
),()(1
),( (3) 式中A 是由关系式
)
()()()()(ξξξξξp A u v v u =
'-' 决定的一个常数，u (x )是Ly =0满足在x =a 处所给定的齐次边值条件的一个解，v (x )是在x =b 处满足边值条件的一个解。

则G (x,ξ)显然满足条件(i)~(iv)。

此外，还可证明，对由(3)定义的G (x,ξ),由关系式(2)确定的函数y 满足微分方程(1)并且满足u (x )在x =a 与v (x )在x =b 所规定的相同的齐次边界条件。

满足条件（i ）~(iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式Ly 和边界条件相联系的格林函数。

在许多物理问题中，这个函数具有简单的物理意义，将在下一段中说明。

[线性积分方程的一个典型实例] 考虑一条长为l 的有弹性的弦，假定在平衡位置时，弦的位置在Ox 轴的线段Ol 上。

在点x 施加单位力，于是弦的每一点得到一个离差，在点ξ处所产生的离差以G (x,ξ)表示（图15.1）。

函数G (x,ξ)为两点（x 和ξ）函数，在点x 施加外力，在点ξ计量离差，称G 为影响函数。

如果弦的两端固定在x 轴上A ,B 两点，弦的张力为T 0,则在点x 外处施加的单位力作用下，弦成图15.1所示的形状。

根据虎克（Hooke ）定律与力的平衡条件，在点ξ处有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-=ξξξξξx l T x l x l
T l x x G ,)(,)
(),(0
这就是弦的影响函数。

从能量守恒定律可导出G (x ,ξ)的互易原理：在点x 处施加外力在点ξ处产生的离差等于在点ξ处施加大小相同的力在点x 处产生的离差，即
G (x,ξ)=G (ξ, x )
如果在弦上施加的力F 是连续分布的，并设线性强度是p (ξ),则作用于弦上点ξ和ξ+∆ξ之间的一小弦段的力就接近于p (ξ)∆ξ。

把引起弦变形的这些力元素相加，便得弦的形状
⎰=l
p x G x y 0
d )(),()(ξξξ
1° 设在某个力的作用下，弦成已知形状y=y (x ),求定力分布强度p (ξ),就得到含未知函数p (ξ)的第一类Fr 积分方程
⎰=l
p x G y 0d )(),(ξξξ (1)
2° 设作用力随时间t 改变，且在点ξ的强度是
p (ξ)sin ω t (ω >0)
则弦的运动是由方程
y =y (x )sin ω t 描写的周期运动。

设ρ(ξ)为弦在点ξ的线性密度，则在时刻t ,点ξ与ξ+∆ξ之间的小弦段除受力p (ξ)sin ω t ∆ξ的作用外，还受惯性力
222d ()()()d y
y t
ρξξρξ
ξω-∆=sin ω t ∆ξ 的作用，则等式(1)可化为如下的形式：
)(d )(),()(0x F y x K x y l
+=⎰ξξξλ (2)
式中
⎰=l
p x G x F 0d )(),()(ξξξ
K (x ,ξ)=G (x ,ξ)ρ(ξ), λ=ω2
如果函数p (ξ)给定，那么F (x )也就给定，这样积分方程(2)就是确定函数y (x )的Fr 方程。

注意，由于F (x )的定义，有
F (0)=F (l )=0
若密度ρ(ξ)=ρ是常数，而F (x )有二阶的连续导数，则方程(2)的解为
)(d )()(d )()()(02
002x F y l
T l x y l T x l x y l x x +-+-=⎰⎰ξξξρωξξξρω
即
)(d )()(d )()()(202x F y l l cx y x l l c x y l
x
x +-+-=
⎰⎰ξξξωξξξω (3) 式中
T c ρ
=
把(3)式微分两次就得到
)()()(2x F x y c x y ''+'=''ω
另一方面，可以证明这个微分方程的任一在x =0及x =l 处等于0的解是积分方程(2)的解。

三、 具有可分离核（退化核）的Fr 方程
[可分离核（退化核）] 若核K (x ,ξ)可分解为如下的形式：
∑==n
k k k g x f x K 1
)()(),(ξξ
则称K (x ,ξ)为可分离核或称为退化核。

不妨假定n 个函数f k (x ) (k =1,2, ,n )在有关区间上是线
性无关的。

例如，如果核是关于x 和ξ的任一多项式，那么这个核就是退化核，核sin(x+ξ)也是退化核。

[具有可分离核的第二类Fr 方程解法] 具有可分离核的第二类Fr 方程
)(d )(),()(x F y x K x y b
a +=⎰ξξξλ (1)
即
)(]d )()()[()(1
x F y g x f x y n
k b
a
k k +=∑⎰=ξξξλ (2)
的解法如下，首先设
⎰=b
a
k k x x y x g c d )()( (k =1,2, ,n )
则
∑=+=n
k k k x f c x F x y 1)()()(λ
于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。

因此问题归结为求出常数c 1,c 2, ,c n 。

再用g i 乘(2)式两边且积分，令
⎰=b a
j i ij x x f x g a d )()(，⎰=b
a
i i x x F x g b d )()(
（i =1,2, ,n , j =1,2, ,n ）
则c 1,c 2, ,c n 满足方程组
i n
j j ij i b c a c =-∑=1
λ （i =1,2, ,n ）
即
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+---=---+-=----n n nn n n n n n n b
c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a )1()1()1(22112
222212*********λλλλλλλλλ
（3） 矩阵形式为
（I -λA ）c =b
式中I 为n 阶单位矩阵，A =(a ij ),c = (c 1,c 2, ,c n )τ, b = (b 1,b 2, ,b n )τ。

这个方程组存在唯一解的充分必要条件是：方程的系数行列式
∆=det （I -λA ）≠0
如果F (x )≡0,则b i =0(i =1,2, n )，那末方程(3)为齐次方程组。

因此,当∆≠0时，y (x )≡0是积分方程(1)的平凡解（零解），且是唯一解。

当∆=0时，至少有一个c i 可以任意指定，其余的c j 可以求出，于是积分方程(1) 存在无穷多个解。

使∆=0的λ值称为特征值。

齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函数。

如果对于λ的一个给定的特征值，可以从常数c 1,c 2, ,c n 中任意指定r 个，那么可得到r 个线性无关的对应特征函数。

如果F (x )不恒为零,但与g 1(x ), g 2(x ), ,g n (x )正交，即b i =0 (i =1,2, n )。

那末方程组(3)仍为齐次的，以上的讨论也适用，除非这里积分方程的解也包含函数F (x )。

这样平凡值 c 1= c 2= = c n =0导出解y =F (x )。

对应于λ的特征值的解是F 与特征函数的任意倍数之和。

最后，如果(3)式右边的b i 至少有一个不为零，当行列式∆≠0时，方程组(3)存在唯一的非平凡解，于是可得到积分方程(1)的唯一的非平凡解，当∆=0时，则方程(3)或者是不相容的，这时积分方程(1)没有解；或者n 个方程中至少有两个是相同的，这时积分方程(1)有无穷多个
解。

例 解积分方程
)(d )()31()(1
0x F y x x y +-=⎰ξξξλ (1)
解 可把这个方程改写为
y (x )=λ(c 1-3c 2x )+F (x ) (2)
式中
⎰=10
1d )(ξξy c ，⎰=1
2d )(ξξξy c
决定c 1,c 2的方程组是
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=++-=+-⎰⎰10211021d )()1(2
1d )(2
3)1(x x xF c c x x F c c λλλλ (3)
其系数行列式为
)4(41
12
1
23
12λλλλλ-=+--=∆ 则积分方程(1)存在唯一解的条件是λ≠±2。

由(3)解出c 1,c 2并代入(2)得到(1)的解。

特别，若F (x )=0, λ≠±2,则唯一解是平凡解y (x )=0。

数λ=±2为问题的特征值。

若λ=2，则方程组(3) 为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+-⎰⎰1
0211021
d )(3d )(3x
x xF c c x
x F c c 这两个方程是不相容的，除非函数F (x )满足条件
0d )()1(1
=-⎰x x F x
这时两个方程相同。

若λ=-2，则方程组(3) 为
⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=-⎰⎰1
211021d )(d )(31x
x xF c c x
x F c c 这两个方程也是不相容的，除非函数F (x )满足条件
0d )()31(1
=-⎰x x F x
这时两个方程也是相同的。

现在具体讨论积分方程(1)的解。

1° 先考虑齐次方程（即F (x )=0）的情形。

若λ≠±2，则唯一解是平凡解y (x )=0。

当λ=2时，代数方程组只给出一个条件c 1=3c 2。

这时，解是
y (x )=c 1(1-x )
式中c 1=3λc 2=6c 2是任意常数，1-x 是对应于特征值λ=2的特征函数。

当λ=-2时，解是
y (x )=c 2(1-3x )
式中c 2=λc 1=-2c 1是任意常数，1-3x 是对应于λ=-2的特征函数。

方程(2)表明原积分方程(1)的任一解表示为如下形式：
y (x )=F (x )+c 3(1-x )+c 4(1-3x )
式中)(23213c c c -=
λ，)3(2
124c c c -=λ。

于是推出原积分方程(1)的任一解可以用特征函数的某一线性组合与F (x )的和来表达。

2° 在非齐次的情形（即F (x )不恒等于零）下，若λ≠±2，则积分方程(1)存在唯一解。

当λ=2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F (x )正交于λ=2所对应的特征函数
1-x *,即
0d )()1(1
=-⎰x x F x
在此条件下，再利用c 1-3c 2=⎰-1
)(dx x F ,给出积分方程(1)的解。

)1(d )(2)()(11
x c x x F x F x y -+-=⎰
式中c 1=6c 2是任意常数，因此，这时存在无穷多个解。

类似地，当λ=-2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F (x )正交于1-3x ,即
⎰=-1
0d )()31(x x F x
这时存在如下的无穷多个解：
)31()(32)()(21
x c dx x F x F x y -+-=⎰
式中c 2=-2c 1是任意常数。

四、希尔伯特-施密特的理论
当齐次Fr 方程的核K (x,ξ)不可分离，特别，K (x,ξ)对于x>ξ和x<ξ,分别由不同的分析表达式给定时，其特征值一般有无穷多个λn (n =1,2, ),每个特征值对应的特征函数除一个乘数外是确定的；在例外的情形，一个给定的特征值λk 可以对应于两个或更多个独立的特征函数。

本段将介绍这种特征函数的某些性质。

[具有对称核的Fr 方程的性质] 如果在实核中交换它的变量时，它本身的值不变，这个核就叫做对称核。

1° 具有对称核的齐次Fr 方程的特征函数系是正交的。

2° 具有实对称核的Fr 方程的特征值都是实数。

注意，核不对称的Fr 方程可以具有虚的特征值。

[希尔伯特-施密特定理] 设Φ为一平方可积函数，则形如
⎰Φ=b
a
d x K x f ξξξ)(),()(
的函数f (x ),可由对称核齐次Fr 方程
⎰=b
a
d y x K x y ξξξλ)(),()(
在[a ,b ]上的特征函数y 1(x ), y 2(x ), 的线性组合表达，如果特征函数有无穷多个，那末所得的无穷级数在区间[a ,b ]上绝对且一致收敛。

[施密特公式] 考虑非齐次第二类Fr 方程
* 在下一段会看到，这个情形是原积分方程中核K (x ,ξ)=1-3x ξ 的对称性的一个推论。

⎰+=b
a
d y x K x F x y ξξξλ)(),()()(
式中K (x ,ξ)是在定义区间上平方可积的对称核，并假定在正方形k 0(a ≤x ≤b ，a ≤ξ≤b ）上是两变量x ,ξ的连续函数,F (x )是已知的一致连续函数，y (x )是未知函数，而λ是参数，则有施密特公式
∑∞
=-+=1)()()(n n n
n
x y F x F x y λλλ （λ≠λn
，即λ不是特征值） (1) 右边的级数是绝对且一致收敛的，式中F n 由下式决定：
⎰⎰=b
a
n b
a
n n dx x y x F dx x y F )()()]([2
（n =1,2, ） (2)
[核的展开定理] 一个对称核K (x ,ξ)可展开为级数
∑∞
=1
)
()(n n
n n y x y λξ
这个级数对任意固定的ξ，有
0)()(),(l i m 2
1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎰∑=∞→dx y x y x K b
a m
n n n n m λξξ [具有非对称核的积分方程] 设核K (x ,ξ)不是对称的，但可表为如下形式
K (x ,ξ)=r (ξ)G (x ,ξ)
式中r (ξ)在（a ,b ）内连续且不变号，而G (x ,ξ)是对称的，这时有以下性质：
1° 对应于不同特征值λm 和λn 的两个特征函数y m (x )和y n (x )在[a ,b ]上关于权函数r (x )是正交的，即
0)()()(=⎰
b
a
n m dx x y x y x r
2° K (x ,ξ)的特征值都是实数。

3° 若非齐次第二类Fr 方程有一个解，则这个解由(1)给出，并以权函数r (x )去乘(2)式两边所包含的被积函数。

[具有埃尔米特核的积分方程] 设核K (x ,ξ)为一复核，如果
_________
),(),(ξξx K x K =
则称K (x ,ξ)为埃尔米特核，式中),(x K 表示K (x ,ξ)的共轭复函数。

具有埃尔米特核的积分方程有以下性质：
1° 对应于不同特征值λm 和λn 的两个特征函数y m (x )和y n (x )在[a ,b ]上是按埃尔米特意义正交的：
0)()(=⎰
b
a
n m dx x y x y
2° 在[a ,b ]上与埃尔米特核相联系的特征值都是实数。

3° 设特征函数按埃尔米特意义是标准化的：
⎩
⎨⎧=≠=⎰n m n
m dx x y x y b a n m ,1,0)()(
如果非齐次第二类Fr 方程有一个解，那末这个解由(1)给出，并且(2)式改为
⎰⎰==b
a
n b a
n n n n dx x F x y dx x y x y F F )()()()( （n =1,2, ）
[具有反对称核的积分方程] 设K (x ,ξ)满足条件
K (ξ,x )=-K (x ,ξ)
则称K (x ,ξ)为反对称核，这时iK (x ,ξ)是埃尔米特核。

因此，具有反对称核的积分方程
⎰+=b
a
d y x K x F x y ξξξλ)(),()()(
如果以λi 代替λ，则得到具有埃尔米特核的积分方程
⎰+=b
a
d y x iK x F x y ξξξλ)(),()()(
由此可见，具有反对称核的积分方程必有特征值，而且都是纯虚数。

[伴随核与自伴随核] 设u (x )是一复核K (x ,ξ)(它不一定是埃尔米特核)对应于特征值λ的一个特征函数，v (x )是核),(x K ξ对应于特征值μ的一个特征函数，若μλ≠，则
⎰
=b
a
dx x v x u 0)()(
这里),(x K ξ称为K (x ,ξ)的伴随核。

如果),(x K ξ= K (x ,ξ)，那么K (x ,ξ)称为自伴随核，显然实对称核与埃尔米特核都是自伴随核。

五、第二类Fr 方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解
[逐次逼近法] 在某种情形下，第二类Fr 方程可用逐次逼近法来解。

为此，设方程 ⎰+=b
a d y x K x F x y ξξξλ)(),()()( (1)
的解可用λ的幂级数来表达：
y (x )=y 0(x )+y 1(x)λ+y 2(x )λ2+ (2) 如果级数(2)在区间[a ,b ]上关于x 是一致收敛的，那末把它代入(1)中，可逐项积分，比较λ的系数就得到确定y n (x )的递推公式
y 0(x )=F (x ), ⎰-=b
a n n d y x K x y ξξξ)(),()(1 (n =1,2, ) (3)
式中y n (x ) (n =1,2, )都是连续函数。

若λ充分小，则级数(2)关于x 绝对且一致收敛，于是级数(2)是连续函数并且是积分方程(1)的解。

[叠核 ⋅ 预解核 ⋅ 诺伊曼级数解] 设K (x ,ξ)为核，经递推公式
K 1(x ,ξ)=K (x ,ξ),⎰-=b
a n n d K x K x K 1111),(),(),(ξξξξξ (n =2,3,4, ) (4)
产生的K n (x ,ξ)称为已知核K (x ,ξ)的n 次叠核。

它满足下面公式
⎰=+b
a
q p q p d K x K x K 111),(),(),(ξξξξξ
式中p ,q 为任意正整数。

由于F (x )和K (x ,ξ)分别在[a ,b ]上和k 0(a ≤x ≤b ，a ≤ξ≤b ）上连续，所以各有极大值m 和M ：
m x F ≤)(， M x K ≤|),(|ξ
当)(1
a b M -<λ时，级数∑∞
=+0
1),(n n n x K λξ在k 0内绝对且一致收敛，记作
∑∞
=+=0
1),();,(n n n x K x R λξλξ (5)
如果用自由项F (x )来表达y n (x ),则由(3),(4)推出
⎰=b
a
n n d F x K x y ξξξ)(),()(
并把它代入级数(2)得到
∑⎰∞
=++=0
1)(),()()(n b
a n n d F x K x F x y ξξλξλ (6)
因为级数(5)在k 0内一致收敛，所以对[a ,b ]上任一固定值x ,它在区间内关于ξ一致收敛，故得
积分方程(1)的解
⎰+=b
a d F R x F x y ξξλξτλ)();,()()(， )
(1
a b M -<
λ (7)
式中不依赖于自由项F (τ)的函数R (x ,ξ ;λ)称为核的（或Fr 方程的）预解核，级数(5)称为诺伊曼级数。

[存在性与唯一性定理] 如果把级数(5)改写为
∑∑⎰∞=∞
=+++=+=0
1112),(),(),(),(),(),(n n b
a
n n n n d K x K x K x K x K x R ξξξξλλξξλλξλξ;
由(5)上式化为
⎰+=b
a
d R x K x K x R 111),(),(),(),(ξλξξξλξλξ;;
改变符号可写为
⎰+=b
a
d y R x K y x K y x R ξλξξλλ),(),(),(),(;;
因此，当把方程(1)中F (x )换为K (x ,y )时，上式表明存在预解核R (看作两个变量x ,y 与参数λ的函数)是方程(1)的唯一解。

例 举例说明预解核的实际算法。

设积分方程(1)中
K (x ,ξ)=1-3x ξ
由公式(4)算出它的各次叠核：
ξξξξξξξx x d x x K 3)(2
3
1)31)(31(),(101112++-=--=⎰
)31(41
),(),(),(1011213ξξξξξξx d K x K x K -==⎰
所以413K
K =，从此容易推出4
2-=n n K K （n ≥3）,于是有
24
21423221)16
41()1641(K K K K K R +++++++=+++=λλλλλλλ
即
])1(3)(23
)1[(4
11);,(2ξλξλλλλξx x x R --+-+-
= )2(<λ
值得注意的是，由此式可以给出一切λ值（λ=±2除外）的预解核，但相应的诺伊曼级数只当2<λ时才收敛。

六、弗雷德霍姆的理论
[Fr 方母] 预解核R (x ,ξ;λ)可以用关于λ的两个幂级数之比来表达，这两个级数对一切λ值都是收敛的。

若预解核表成
)
()
;,();,(λλξλξ∆=x D x R (1)
式中
-+-=),(!2),(1),();,(22
1
ξλξλξλξx D x D x K x D ! (2) -+-=∆22
1!2!11)(c c λλλ (3)
Δ(λ)称为Fr 分母，它与变量x ,ξ无关。

式中系数c n 与函数D n (x ,ξ)可由下列递推公式逐次算出：
⎰=b a dx x x K c ,),(1 ⎰-=b
a
d K x K x K c x D 11111),(),(),(),(ξξξξξξ ⎰=b
a
dx x x D c ,),(12 ⎰-=b
a
d D x K x K c x D 111122),(),(2),(),(ξξξξξξ
⎰-=b
a
n n dx x x D c ,),(1 ⎰--=b
a
n n n d D x K n x K c x D 1111),(),(),(),(ξξξξξξ
那末方程
⎰+=b
a
d y x K x F x y ξξξλ)(),()()(
的解可将（1）代入上段（7）式中得到，其形式为
⎰+=b
a
d F x D x F x y ξξλξλ∆λ)();,()()()( （4）
当K (x ,ξ)是可分离时，这个结果与本节三中所得到的解一致，这时级数(2)与(3)都只包含有限项。

更一般地，若级数(2)与(3)之比用关于λ的幂级数(由除法或其他方法)来表达，结果将化为上段的(6)式的级数形式，而它只对充分小的λ)(1λλ<值收敛;但是(4)中最后一项的分子和分母的级数展开式对λ的一切值都收敛。

分母∆(λ)只当λ取一特征值时等于零，在这个情形下，Fr 方程或者无解或者有无穷多个解，并且(4)不再成立。

[∆(λ)的零点与Fr 方程] 应用存在性与唯一性定理，有以下结论： 1° 若λ不是∆(λ)的零点，则对任意的F (x ),(4)式是Fr 方程的唯一解。

2° 函数∆(λ)的一切零点都是预解核的极点。

3° 若λc 是∆(λ)的零点，则齐次方程
⎰=b
a
c d y x K x y ξξξλ)(),()(
有非零解。

于是∆(λ)的一切零点都是上面积分方程的特征值，就是说，这时齐次方程
⎰=b
a d y x K x y ξξξλ)(),()( (5)
有非零解。

若λ不是∆(λ)的零点，则由1o ，非齐次Fr 方程对任意的F (x )有唯一解，特别，这时上面齐次方程只有零解，即
若λ是∆(λ)的零点，则它是特征值，若λ不是∆(λ)的零点，则它不是特征值，于是得到 4° 积分方程的特征值都是∆(λ)的零点。

5° 在λ平面的任何有限区域内只有有限个特征值。

[转置积分方程] 形如
⎰+=b
a d y x K x G x y ξξξλ)(),()()( (6)
的方程叫做Fr 方程
⎰+=b
a
d y x K x F x y ξξξλ)(),()()(
的转置积分方程，它的相应的齐次方程为
⎰=b
a d y x K x y ξξξλ)(),()( (7)
这个方程的核记作
K 0(x ,ξ)=K (ξ, x )
转置积分方程具有以下性质： 1° 齐次方程(5)与它的转置方程(7)或同时仅有零解，或同时有非零解。

2° 齐次方程(5)与它的转置方程(7)有相同个数的线性无关的解。

3° 若λ是特征值，则非齐次Fr 方程可解的充分必要条件是：自由项F (x )满足条件
0)()(=⎰
b
a
x x F ψ
式中)(x ψ是转置方程的任何特征函数，即齐次方程(7)的任何解。

若这个条件满足，则Fr 方程有无穷多个解，而一切这样的解取形式
∑=+=r
j j j x c x y x y 1
0)()()(ϕ
式中y 0(x )为Fr 方程的任意特解，r ϕϕϕ ,,21为方程(5)的r 个非平凡的线性无关的解，c 1,c 2, ,c r 为任意常数。

应当指出，上式结果与n 个变量的n 个线性代数方程组的关于解的存在和唯一性的对应结果完全类似。