《方差》教案精品 2022年数学

20.2数据的波动程度
第1课时方差
1．掌握方差的定义和计算公式；(重点)
2．会用方差公式进行计算，会比拟数据的波动大小．(重点)
一、情境导入
在生活和生产实际中，我们除了用平均数、中位数和众数来描述一组数据的集中程度外，有时需要了解一组数据的离散程度．乒乓球的标准直径为40mm，质检部门对甲、乙两厂生产的乒乓球的直径进行检测．
甲、乙两厂生产的乒乓球中各抽样调查了10只，检测的结果如下(单位：mm)：
甲厂：40.0，40.1，39.9，40.0，39.8，40.2，40.0，40.1，40.0，39.9；
乙厂：40.1，39.8，39.9，40.3，39.8，40.2，40.1，40.2，39.7，39.9.
你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢？
二、合作探究
探究点一：方差的计算
【类型一】根据数据直接计算方差
为了从甲、乙两名同学中选拔一个射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两个在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7
(1)求x甲，x乙，s2甲，s2乙；
(2)你认为该选择哪名同学参加射击比赛？为什么？
解析：方差就是各变量值与其均值差的平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
解：(1)x甲＝(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4)÷10＝7，s2甲＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]÷10＝3，x乙＝(9＋5＋7＋8＋6＋8＋7＋6＋7＋7)÷10＝7，s2乙＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]÷10＝1.2；
(2)∵s2甲＞s2乙，∴乙的成绩稳定，选择乙同学参加射击比赛．
方法总结：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均〞得到的结果就是方差．
【类型二】原数据的方差，求新数据的方差
数据x1，x2，x3，…，x20的平均
数是2，方差是
1
4，那么数据4x1－2，4x2－2，4x3－2，…，4x20－2的平均数和方差是() A．2，
1
4B．4，4C．6，
1
4D．6，4
解析：∵x＝
1
20(x1＋x2＋x3＋…＋x20)＝
2，x
新＝
1
20(4x 1
－2＋4x 2－2＋4x 3－2＋…＋4x 20－2)＝6；s 2＝
1
10
[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋…＋(x 20－2)2]＝14，s 24x －2＝1
20[(4x 1－2
－6)2＋(4x 2－2－6)2＋(4x 3－2－6)2＋…＋(4x 20－2－6)2]＝1
4
×16＝4.应选D.
方法总结：掌握数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数是此题的关键．
【类型三】 根据统计图表判断方差的大小
如图是2021年1～12月份某市居
民消费价格指数、工业产品出厂价格指数以及原材料等购进价格指数的折线统计图．由统计图可知，三种价格指数方差最小的是( )
A ．居民消费价格指数
B ．工业产品出厂价格指数
C ．原材料等购进价格指数
D ．不能确定
解析：从折线统计图中可以明显看出居民消费价格指数的波动最小，故方差最小的是居民消费价格指数．应选A.
方法总结：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
探究点二：由方差判断数据的波动程度
为了考察甲、乙两种小麦的长势，
分别从中抽取10株麦苗，测得苗高如下(单位：cm)：
甲：12，13，14，13，10，16，13，13，15，11
乙：6，9，7，12，11，16，14，16，20，19
(1)将数据整理，并通过计算后把下表填全： 小麦 中位数 众数 平均数 方差 甲 13 13 乙
16
21
麦长势较好．
解析：(1)中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；出现次数最多的这个数即为这组数据的众数；(2)方差越小，数据越稳定，小麦长势较好．
甲 10 11 12 13 13 13 13 14 15 16
乙 6 7 9 11 12 14 16 16 19 20
小麦 中位数 众数 平均数 方差 甲 13 13 13 2.8 乙
13
16
13
21
(2)因为甲种小麦苗高的方差远小于乙
种小麦苗高的方差，故甲种小麦苗高整齐，而两种小麦苗高的中位数和平均数相同，故甲种小麦长势较好．
方法总结：平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
三、板书设计 1．方差的概念 2．方差的计算公式
通过这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能让学生到达对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维．
第3课时 多项式
1．理解多项式的概念；(重点)
2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数；
3．能正确区分单项式和多项式．(重点)
一、情境导入 列代数式：
(1)长方形的长与宽分别为a 、b ，那么长方形的周长是________；
(2)图中阴影局部的面积为________；
(3)某班有男生x 人，女生21人，那么这个班的学生一共有________人．
观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？假设不是，它又是什么代数式？
二、合作探究
探究点一：多项式的相关概念
【类型一】 单项式、多项式与整式的识别
指出以下各式中哪些是单项式？
哪些是多项式？哪些是整式？x 2＋y 2
，－x ，
a ＋b
3，10，6xy ＋1，1x ，17m 2n ，2x 2
－x －5，2x 2＋x
，a 7.
解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．
解：
2x 2
＋x ，1
x 的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．
单项式有：－x ，10，17m 2n ，a 7
；
多项式有：x 2
＋y 2
，a ＋b
3
，6xy ＋1，2x
2
－x －5；
整式有：x 2
＋y 2，－x ，
a ＋b
3
，10，6xy
＋1，17
m 2n ，2x 2－x －5，a 7
.
方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．
【类型二】 确定多项式的项数和次数
写出以下各多项式的项数和次
数，并指出是几次几项式．
(1)23x 2
－3x ＋5； (2)a ＋b ＋c －d ；
(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2
.
解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数
最高的单项式的次数，可得答案．
解：(1)23x 2
－3x ＋5的项数为3，次数为
2，二次三项式；
(2)a ＋b ＋c －d 的项数为4，次数为1，一次四项式；
(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2
的项数为3，次数为4，四次三项式．
方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项． 【类型三】 根据多项式的概念求字母的取值
－5x m ＋104x m －4x m y 2
是关于x 、y
的六次多项式，求m 的值，并写出该多项式．
解析：根据多项式中次数最高的项的次
数叫做多项式的次数可得m ＋2＝6，解得m
＝4，进而可得此多项式．
解：由题意得m ＋2＝6，
解得m ＝4，
此多项式是－5x 4＋104x 4－4x 4y 2
. 方法总结：此题考查了多项式，解题的
关键是弄清多项式次数是多项式中次数最
高的项的次数．
【类型四】 与多项式有关的探究性问题
假设关于x 的多项式－5x 3
－mx
2
＋(n －1)x －1不含二次项和一次项，求m 、
n 的值．
解析：多项式不含二次项和一次项，那么二次项和一次项系数为0.
解：∵关于x 的多项式－5x 3－mx 2
＋(n
－1)x －1不含二次项和一次项，
∴m ＝0，n －1＝0，那么m ＝0，n ＝1.
方法总结：多项式不含哪一项，那么哪一项的系数为0.
探究点二：多项式的应用
如图，某居民小区有一块宽为2a
米，长为b 米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a 米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？
解析：四个角围成一个半径为a 米的圆，阴影局部面积是长方形面积减去一个圆面
积．
解：花台面积和为πa 2
平方米，草地面
积为(2ab －πa 2
)平方米．所以需资金为[100
πa 2＋50(2ab －πa 2
)]元．
方法总结：用式子表示实际问题的数量
关系时，首先要分清语言表达中关键词的含
义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．
三、板书设计
多项式：几个单项式的和叫做多项式． 多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．
常数项：不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．
整式：单项式与多项式统称整式．
这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握．虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了．事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约．。