第七章相关与回归分析

有十分显著的线性关系
第 3. 若IrI小于表上=5%相应的值，称变量x与y之间
一 节
没有明显的线性关系
相 4. 根据前例的r=0.9987>=5%(n-2)=0.553,表明人均
关 消费金额与人均国民收入之间有十分显著的线性
基 本
相关关系
概
念
第二节 简单线性回归分析
一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归方程的显著性检验 预测及应用
第 七 章 相 关 与 1. 回 归 分 析
第 2. 二 节
简 单 3. 线 性 回 归 分 析
回归分析与相关分析的区别
相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
第 七 章 相 关 与 回 1. 归 分 析 2.
第 二 节
简 单
3.
线
性
回
归
分
析
什么是回归分析？
（内容）
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式
对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
相
关 1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系
与 回

2. 等价于对回归系数 b1的检验
归 分
3. 采用 t 检验
析 4. 检验的步骤为
第 一
提出假设：H0： ；H1： 0
节
计算检验的统计量：t r n 2 ~ t(n 2)
相
1 r2
关
确定显著性水平，并作出决策
基 本
若t>t，拒绝H0
相
关 基 本
由于t=64.9809>t(13-2)=2.201，拒绝H0，人均消费金
额与人均国民收入之间的相关关系显著
概
念
第 七
相关系数的显著性检验
章
（相关系数检验表的使用）
相
关
与 回
1.
归
若IrI大于表上的=5%相应的值，小于表上＝
1%相应的值，称变量x与y之间有显著的线性关系
分 析 2.
若IrI大于表上=1%相应的值，称变量x与y之间
分
r =-1 为完全负正相关
析 3. r = 0 不存在线性相关关系
第 一
4. -1 r < 0
为负相关
节 5. 0 < r 1 为正相关
相
关 基
|r|越趋于1表示关系越密切；
本
|r|越趋于0表示关系越不密切
概
念
第 七
相关关系的测度
章 相
（相关系数取值及其意义）
关
与
回
归 完全负相关
无线性相关
完全正相关
归 分 2.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简
析 单相关系数
第 3. 一 节 相 4. 关 基 本 概 念
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称 为总体相关系数，记为
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关 系数，记为 r
第
七 章
相关关系的测度
相
（相关系数）
关
与 样本相关系数的计算公式:
回
归
分 析
回 归
值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
分
析
第 七 章
相
关
与 回 归 分 析
参数 b0 和 b1 的最小二
乘估计
第
二
节
简 单 线 性 回 归 分 析
第
七 章
最小二乘法
相
（概念要点）
关
与 回 归 分
1.
使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得 bˆ0 和 bˆ1 的方法。即
第
七
章
回归模型的类型
相
关
与
回 归 分
一个自变量
回归模型
两个及两个以上自变量
析
第
一元回归
多元回归
二
节
简 单
线性
线
回归
性
回
归
分
析
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第 七 章
相
关 与 回
回归模型与回归方
归
分 析
程
第 二 节
简 单 线 性 回 归 分 析
第
七
章
回归模型
相
关 与
1. 回答“变量之间是什么样的关系？”
概
若t<t，接受H0
念
第
七
相关系数的显著性检验（实例）
章
相 关
1. 对前例计算的相关系数进行显著性检(0.05)
与 回
提出假设：H0： ；H1： 0
归 分
计算检验的统计量:
析
t 0.9987 13 2 64.9809
第
1 0.99872
一
节 2.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.201
概
念
第
七 章
相关关系的类型
相
关
与
回
相关关系
归
分
析
线性相关 非线性相关 完全相关 不相关
第 一
节 正负 相 相相 关 关关
基 本 概 念
正负 相相 关关
第 七 章
相
关
与
回
归 分
相关系数及其计算
析
第 一 节 相 关 基 本 概 念
第
七 章
相关关系的测度
相
（相关系数）
关
与 回 1.
对变量之间关系密切程度的度量
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
13 9156173.99 12827.5 7457
1316073323.77 12827.52 13 5226399 74572
0.9987
人均国民收入与人均消费金额之间的相关系 数为 0.9987
第
七 章
相关系数的显著性检验（概念要点）
析
表7-1 我国人均国民收入与人均消费金额数据 单位:元
第
年份
人均
人均
国民收入 消费金额
年份
人均
人均
国民收入 消费金额
一 节
1981 1982
393.8 419.14
249 267
1988
1068.8
643
1989
1169.2
690
相
1983
460.86
289
关 基 本 概
1984 1985 1986 1987
第七章 相关与回归 分析
第一节 相关关系基本概念
第二节 简单线性回归分析
第三节 非线性回归分析
第
七
章
第一节 相关基本概念
相
关
与
回
变量相关的概念
归
分
析
相关系数及其计算
第 一 节
相 关 基 本 概 念
第 七 章
相
关
与
回
归 分
变量相关的概念
析
第 一 节 相 关 基 本 概 念
第
七 章
变量间的关系
相
（函数关系）
r (x x)( y y)
第
(x x)2 (y y)2
一
节
相 或化简为: r
nxy x y
关 基
n x2 x2 n y2 y2
本
概
念
第 七
相关关系的测度
章 相
（相关系数取值及其意义）
关 与
1. r 的取值范围是 [-1,1]
回 归
2. |r|=1 为完全相关 r =1，为完全正相关
章 相
（函数关系）
关 与
相关关系的例子
回
归
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
分
析
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
第
一
粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系
节
相 关
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
基
本
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
分 析
性回归
第 2. 对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线
二 节
性方程来表示它们之间的关系
简 3. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项
单 线
的方程称为回归模型
性
回
归
分
析
第
七 章
一元线性回归模型（概念要点）
相 对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为 关
与
y = b0 + b1 x + e
分
析
第 一
-1.0
-0.5
0
+0.5 +1.0
节
r
相
关
负相关程度增加 正相关程度增加
基
本
概
念
第 七
相关关系的测度
章
（相关系数计算例）
相
关
与 【例7.1】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额
回 记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到1981～1993年的样本
归 分
数据(xi ，yi)，i =1,2,…，13，数据见表8-1，计算相关系数。
析
第
n
n
Q(bˆ0 , bˆ1) ( yi yˆ)2 ei2 最小
二
i 1
i 1
节 2. 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的
简 单
关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
线
性
回
归
分
析
第 七 章
相
关
与 回
y
归
分
析
第 二 节
简 单 线 性 回 归 分 析
最小二乘法
（图示）
(x2 , y2)
回
归 2. 方程中运用
分 析
1 个数字的因变量(响应变量)
第 二
被预测的变量
节
1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量)
简
单
线
用于预测的变量
性
回 归
3. 主要用于预测和估计
分
析
第
七 章
一元线性回归模型
相 关
（概念要点）
与 回 1.
当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变
归 量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线
4. 各观测点分布在直线 周围
x
本
概
念
第
七 章
相关关系的图示
相
关
与
回 归 分 析
完全正线性相关
第
一
节 相
关 基
本
正线性相关
概
念
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
第
七 章
变量间的关系
相 关
（相关关系）
与
回
归
分
析
第 一 节 相 关 基 本 概 念
第 七
变量间的关系
对独于立一性个意特味定着的对x于值一，个它特所定对的应x的值y，值它 所对与应其的他εx与所其对他应x的值y所值对也应不的相ε不关相关
第 七
回归方程
章
相
（概念要点）
关 与
1.
描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x
回 的方程称为回归方程
归
分 析
2.
简单线性回归方程的形式如下
第
E( y ) = b0+ b1 x
回 归
y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项
分
析
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化
第
二
误差项 是随机变量
节
简
反映了除 x 和 y 之间的线性关
是不能由 x 和 y 之间的线
单 线
系之外的随机因素对 y 的影响
性关系所解释的变异性
性
回
归
b0 和 b1 称为模型的参数
分
析
第 七 章
据去估计
归 分 析
2.
用样本统计量 bˆ0 和 bˆ1代替回归方程中的未知参 数b0和 b1，就得到了估计的回归方程
第 二
3.
简单线性回归中估计的回归方程为
节 简
yˆ bˆ0 bˆ1x
单 线 性
其中：bˆ0是估计的回归直线在 y 轴上的截距，bˆ1是直线 的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计
关
与 回 1.
是一一对应的确定关系
归 分
2.
析
设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完 y
全依赖于 x ，当变量 x 取某
第 一 节 相 关
个数值时， y 依确定的关系
取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变
基量
本
x
二
节
方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
简
单
b0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值
线
性
b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位
回 归
时，y 的平均变动值
分
析
第
七 章
估计(经验)的回归方程
相
关
与 回
1.
总体回归参数
b
和
0
b1是未知的，必需利用样本数
(x1 , y1)
(xn , yn)
｝ ei = yi＾-yi
(xi , yi)
yˆ bˆ0 bˆ1x x
第
七 章
最小二乘法
相 关
（bˆ0和 bˆ的1 计算公式）
与 回
根据最小二乘法的要求，可得求解
bˆ0 和
归 分
bˆ1 的标准方程如下
析
第 二 节
基
原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
本
概
念
第
七 章
变量间的关系
相 关
（相关关系）
与 回 归 分 析 第 一 节
1. 变量间关系不能用函
数关系精确表达
2. 3.
一个变量的取值不能 由另一个变量唯一确 定 当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有
y
几个
相 关 基
相
关
与 回
1.
归
分
析
第 2.
二
节 3.
简 单 线 性 回 归 分 析
一元线性回归模型
（基本假定）
误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即 E(ε)=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望
值为E ( y ) =b 0+ b 1 x