部编版2020学年高一数学5月月考试题 理人教 新版

2019高一下第二次月考
数学(理科)试题
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卡的相应位置）
1．ππ
2sin cos 1212
的值是 （ ）
A ．1
B ．
2
C ．12
D ．1
4
2. 已知)0,1(=，)1,(λ=，若+与垂直，则λ的值是( ) A ．1 B ．1- C ．0 D ．1±
3.设m ，n 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ∥n ，n α⊂，则m α∥ B ．m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥
C. αβ∥，m α⊂，则m β∥ D ．m α⊂，n β⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥ 4. 数列{n a }中，()1n
n a n =-，则1210a a a ++
+=（ ）
A . 5
B . 5-
C . 10
D . 10-
5.已知5
2
)tan(,21tan -=-=βαα，那)2tan(βα-的值为（ ）
A ．43
B ．89 C.89- D ．12
1
6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A ． 4
B ．2 C. 6+．7. 函数2()2sin log f x x x π=-的零点的个数是（ ） A. 2 B 3
C 4
D 5
8. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()
1
2log 7a f -=，
)3(log 2f b =，()0.6
0.2c f =，则,,a b c 的大小关系是( )
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．a b c <<
9. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，
到A 处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30︒（即 30BAC ∠=︒）的方向上；行驶600m 后到达B 处， 测得此山顶在西偏北75︒（即75CBE ∠=︒）的方向 上，且仰角为30︒．则此山的高度CD ＝( )
A ．m
B ．
C ．
D ．
10. 三棱柱111A B C ABC -中，1A A ABC ⊥平面，AC BC ⊥ 1A A 1AC =、2
BC =，则该三棱柱111A B C ABC -的外接球的体积 ( )
A B C D ．8π
11. 如图，ABC ∆的外接圆的圆心为O ,2AB =,3AC =,
BC =则⋅AO BC 等于( )
A .
3
2
B . 3
C . 2
D .
52
12. 已知函数21(0)
(),()(1)(0)
x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实
数a 的取值范围为（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．[0,1)
D ．[0,)+∞
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分.）
13．已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点1(,)2
P m ，则tan α= ．
14. 已知数列{}n a ，11a =，1
122n n n a a --=+, 则5a =__
15. 若向量a 与b 满足：||2,||2,||2a b a b ==+=，则a 与b 的夹角为________ 16. 如图所示，1111D C B A ABCD -为正方体，给出以下五个结论： ① //BD 平面11D CB ； ② 1AC ⊥平面11D CB ；
③ 1AC 与底面ABCD 所成角的正切值是2； ④ 二面角111C D B C --的正切值是2；
⑤ 过点1A 且与异面直线AD 和 1CB 均成70°角的直线有4条． 其中，所有正确结论的序号为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）
17. （本小题10分）已知)3,1(,4||-==. （1）若//，求的坐标；
（2）若与的夹角为0
120，求||-
18、（本小题12分）
已知函数R x x x x x f ∈++=,1cos sin 3cos )(2
（1）求)(x f 的最小正周期和最值 （2）设(
,)123ππ
α∈，且21(),1210f πα+=求 cos(2)12
π
α+的值。

19．（本小题12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2AD ＝2，PD ⊥底面
ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点． (1)求证：EF ∥平面PAD ；
(2)求证：平面PDE ⊥平面PEC . 20．（本小题12分）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，
4AP AC +=．
（Ⅰ）求边AC 的长；
（Ⅱ）若APB ∆的面积是23sin BAP ∠的值．
21. （本小题12分）如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形ABCD ，沿着较短的对角线BD 对折，使得平面ABD BCD ⊥平面平面，O 为BD 的中点.
（Ⅰ）求证：；平面BCD AO ⊥ （Ⅱ）求三棱锥D ABC -的体积； （Ⅲ）求二面角D BC A --的余弦值.
22.（12分）已知函数2() 1 (,),,f x ax bx a b x =++∈R 为实数() (0)
() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩
（1）若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当[2, 2]x ∈-时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围;
（3）设0,0m n ><, ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零?请说明理由。

2019高一下第二次月考
13 . 80 15 . 23
π 16 . ① ② ④ ⑤ 17、解：（1）∵)3,1(-=，∴2||=，与共线的单位向量为)23
,21(|
|-±==b .
∵//,4||=，∴)32,2(||-==或)32,2(-.
（2）∵0120,,2||,4||>=<==，∴4,cos ||||->=<=⋅，
∴
282)(2
2
2
=+⋅--=-，∴72||=-. 18、解：(1)12sin 2
3
212cos )(+++=
x x x f ………………………………..2分 2
32sin 232cos 21++=x x B O
C D A
2
3
)62sin(++=πx ………………………………………………………………..4分
)(x f 函数∴的最小正周期是π，最大值为25，最小值为2
1
…………………..6分 （2）21(),1210f πα+= 则321sin 2()126210ππα⎡
⎤+++=⎢⎥⎣
⎦
则3
sin(2)35πα+=
……………….7分
(,)123ππα∈，2(,)32
ππ
απ∴+∈ 4cos(2)35πα∴+=-……………….8分
又cos(2)cos[(2)]1234
πππ
αα+
=+- ……………….10分
cos(2)12πα∴+
cos(2)cos sin(2)sin 3434
ππππ
αα=+++……………….11分
43()55210
=-+=-……………………………..12分
19．证明 (1)如图1，取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，
所以GF ∥DC ，且GF ＝1
2
DC .
又E 是AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝1
2
DC ，
所以GF ∥AE ，且GF ＝AE ，
所以四边形AEFG 是平行四边形，故EF ∥AG . 又AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .
图1
AD AE ∴= BC BE = 045AED BEC ∴∠=∠= DE CE ∴⊥
20． 解（Ⅰ）在APC ∆中，设AC x =，则4AP x =-由余弦定理得：
2222cos PC AC AP AC AP PAC =+-∠g
即：22
14(4)2(4)2
x x x x =+--⨯⨯-⨯
解之得：122x x == 即边AC 的长为2
（Ⅱ）由（1）得APC ∆为等边三角形
作AD BC ⊥于D ，则sin 60AD PA =︒=
∴122APB S PB AD ∆=
⨯=2
PB = 故4PB = 2
3
BPA π∠=
∴在ABP ∆中，由余弦定理得：
AB ==∴在ABP ∆中由正弦定理得：
sin sin PB AB
BAP BPA =∠∠ ∴4sin BAP =∠
∴sin 7BAP ∠==
21. （1）证明 AO BD ⊥
ABD BCD D ⊥又
平面平面且交线为B AO ABD ⊂平面
AO D ∴⊥平面BC …………….3分
（Ⅱ）324
3
2=⨯=
∆BCD S , D ABC A BCD V V --=
11
133
D BCD BCD V S AO -∴=⋅== ……………….6分
（Ⅲ）解法一：过E BC OE O 连结于作,⊥，连接
AE ， BCD AO 平面⊥ ，
OE BCD AE 上的射影为
在平面∴ BC AE ⊥∴
的平面角为二面角D BC A AEO --∠∴ ….9分
2tan 233==
∠∴=
=∆OE AO
AEO OE AO AEO RT ，，中，在
5
5
cos =∠∴AEO …….11分
即二面角D BC A --的余弦值为5
5
. …….12分
22.（12分）已知函数2() 1 (,),,f x ax bx a b x =++∈R 为实数() (0)
() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩
（1）若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当[2, 2]x ∈-时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围;
（3）设0,0m n ><, ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零?请说明理由。

22. （1） ∵0)1(=-f , ∴10a b -+= ①
又函数()f x 的值域为),0[∞+ , 所以0a ≠
且由224()24b a b y a x a a -=++知2
404a b a
-=即240a b -= ②
由①②得 1,2a b ==
∴22)1(12)(+=++=x x x x f . ∴⎪⎩⎪⎨⎧
<+->+=)
0( )1()0( )1()(2
2
x x x x x F （2） 由（1）有1)2(12)()(2
2
+-+=-++=-=x k x kx x x kx x f x g
2
22(2)()124k k x --=++-
, 当222k -≥或222
k -≤-时,
即6k ≥或2k ≤-时, ()g x 是具有单调性.
（3） ∵()f x 是偶函数
∴,1)(2+=ax x f ∴2
2
1 (0)() 1 (0)
ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨
--<⎪⎩, ∵0,0,m n ><设,m n >则0n <.又0, 0,m n m n +>>->
∴|| ||m n >-
∴)(m F ＋)(n F 2222()()(1)1()0f m f n am an a m n =-=+--=->, ∴()F m ＋()F n 能大于零.。