【配套K12】天津市第一中学2018届高三数学下学期第五次月考试题 理

天津一中2017-2018高三年级五月考
数学试卷（理）
一、选择题：
1.已知集合{1,2,3,4}A =，{|32,}B y y x x A ==-∈，则A B ⋂=（ ） A ．{1} B ．{4} C ．{13}， D ．{14}，
2.已知实数x ，y 满足不等式组310
300x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩
，则22
x y +的最小值是（ ）
A
．
2 B ．9
2
C ．3
D ．9 3.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A
B
．0 D
． 4.已知数列{}n a 是等差数列，m ，p ，q 为正整数，则“2p q m +=”是“2p q m a a a +=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.已知圆C
：2
2
210x y x ++++=与双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的一条渐近线相
切，则双曲线的离心率为（ ）
A B C ．4
3
D
6.设0ω>，函数2cos()5
y x π
ω=+
的图象向右平移
5
π
个单位长度后与函数2sin()5
y x π
ω=+图象重合，则ω的最小值是（ ）
A ．12
B ．32
C ．52
D ．72
7.设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（ ）
A ．()1,+∞
B ．()(),01,-∞⋃+∞
C ．()(),00,-∞⋃+∞
D ．()0,+∞ 8.将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）
A ．180
B ．192
C ．204
D ．264 二、填空题：
9.设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z = ．
10.已知二项式2
1
()n
x x
+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是 ．
11.在极坐标系中，直线l ：4cos()106
π
ρθ-+=与圆C ：2sin ρθ=，则直线l 被圆C 截
得的弦长为 ．
12.如图，在ABC ∆中，已知3
BAC π
∠=，2AB =，3AC =，2DC BD =，3AE ED =，
则BE AC ⋅= ．
13.已知点(,)P x y 在椭圆222133
x y +=上运动，则22121x y ++最小值是 ．
14.已知函数2
()f x x a a x
=--
+，a R ∈，若方程()1f x =有且只有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：
15.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
16.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 3
b A a
c +
=.
（1）求cos B ；
（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，
且1AD =，3CD =，
BC =AB 的长.
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，AD CD ⊥，//AD BC ，且
22AD BC ==，CD =，PB =E 为AD 中点.
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）若线段PC 上存在点Q ，使得二面角Q BE C --的大小为30，求CQ
CP
的值； （3）在（2）的条件下，求点C 到平面QEB 的距离.
18.已知数列{}n a 中，11a =，11
,33,n n n
a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数
为偶数.
（1）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列；
（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ，并求满足0n S >的所有正整数n .
19.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三
个顶点，点3(1,)2
D 在椭圆上，直线y kx m =+与椭圆交于A ，P 两点，与x 轴，y 轴分别交于点N ，M ，且P M M N =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B . （1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段11A B ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由.
20.已知函数()(ln 1)f x x x k =--，k R ∈. （1）当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；
（2）若对于任意2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数k 的取值范围； （3）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：212k
x x e ⋅<.
参考答案一、选择题
1-5: DBAAB 6-8: CDC
二、填空题
9. 1+ 10. 10
11.
2
12.
3
4
13.
9
5
14.
11
,2
22
⎛⎛⎫
-+
-∞⋃
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
三、解答题
15.（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P，
11
65
11
1010
1
C C
P
C C
=-⋅，解出即可.
（2）顾客抽奖1次视为3次独立重复试验，判断出
1
3,
5
X B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，求出概率，得到X的分布列，然后求出数学期望和方差.
解析：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P，
11
65
11
1010
307
11
10010
C C
P
C C
=-⋅=-=.
（2）设该顾客在一次抽奖中或一等奖的概率为
1
P，
1
1
5
4
111
1010
201
1005
C
C
P
C C
=⋅==，
1
3,
5
X B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
. ()3
3
464
5125
P X C
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
，()
2
1
3
1448
1
55125
P X C
⎛⎫
==⨯=
⎪
⎝⎭
，
()2
2
3
1412
2
55125
P X C
⎛⎫
==⨯=
⎪
⎝⎭
，()
3
3
3
11
3
5125
P X C
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
，
故X的分布列为
数学期望3
55
EX=⨯=.
16.解：（1）在ABC
∆中，由正弦定理得
sin cos sin B A A C =，
又()C A B π=-+，所以sin cos sin()B A A A B =+，
故sin cos 3
B A A +
sin cos cos sin A B A B =+，
所以sin cos sin 3
A B A =
，
又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故cos B =
. （2）∵2D B ∠=∠，∴2
1cos 2cos 13
D B =-=-， 又在ACD ∆中，1AD =，3CD =，
∴由余弦定理可得2
2
2
2cos AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅11923()123
=+-⨯⨯-=，
∴AC =
在ABC ∆中，BC =AC =cos 3
B =
， ∴由余弦定理可得2
2
2
2cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，
即2
12623
AB AB =+-⋅，化简得2
60AB --=，解得AB =
故AB 的长为17.试题解析：
（1）证明：连接PE ，BE ，
∵PAD ∆是等边三角形，E 为AD 中点，∴PE AD ⊥，
又∵2AD =，∴PE =
，1DE =，∴//DE BC ，且DE BC =，
∴四边形BEDC 为矩形，∴BE CD ==BE AD ⊥，
∴2
2
2
BE PE PB +=，∴PE BE ⊥，
又∵AD BE E ⋂=，∴PE ⊥平面ABCD ，
又∵PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .
（2
）如图建系，(P
，()B
，()C -，()0,0,0E
，()
EB =，
设(
),CQ CP λλ==，(01)λ<<，
∴BQ BC CQ =+(
)()1,0,0,λ=-+
()
1,λ=-，
设平面EBQ 的法向量为(),,m x y z =，
∴(
)010
x y z λ=-=⎪⎩， ∴(
)
3,0,1m λλ=
-，
平面EBC 的法向量不妨设为()0,0,1n =， ∴
cos303m n m n
λ⋅=
=， ∴2
8
210λλ+-=，∴14λ=或1
2
-（舍）， ∴
1
4
CQ CP =.
（3）3
1
42CB m h m
⋅=
==. 18.解：（1）设23
2
n n b a =-
， 因为21221221
33(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--
=
=--2213(6)(21)3232n n a n n a -++-=-2211132332
n n a a -
==-，
所以数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是以232a -
即16-为首项，以1
3
为公比的等比数列. （2）由（1）得1
2311263n n n b a -⎛⎫
=-=-⋅ ⎪
⎝⎭1123n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即2113
232
n
n a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，
由2211(21)3n n a a n -=+-，得21233(21)n n a a n -=--1
1115
6232
n n -⎛⎫
=-⋅-+
⎪
⎝⎭
， 所以1212111233n n n n a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥
⎣⎦1692693n
n n ⎛⎫
-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭，
21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
21112333n
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
6(12)9n n -++⋅⋅⋅++
111332113
n
⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⋅
-(1)692
n n n +-⋅+
211363n
n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭213(1)23n
n ⎛⎫
=--+ ⎪⎝⎭
， 显然当*
n N ∈时，2{S }n 单调递减， 又当1n =时，2703S =
>，当2n =时，48
09
S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2122n n n S S a -=-2315
36232
n
n n ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭，
同理，当且仅当1n =时，210n S ->， 综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2.
19.（1
）由题意知b c
=
b =，224a
c =，22
3b c =，即2222143x y c c +=，
∵31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆上，∴229
14143c c +=，
21c =，24a =，23b =，
所以椭圆C 方程为22
143
x y +=. （2）存在. 设()0,M m ，,0m N k ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，∵DM MN =， ∴,2m P m k ⎛⎫
⎪⎝⎭，,2m Q m k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，()11,A x y ，()22,B x y ， 2
2
14
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2223484120k x kmx m +++-=① ∴12
834m km x k k +=-+，21241234m m x k k -⋅=+，
()
230QM m m k k m k
--=
=--
， 联立223143y k m x y =-+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，∴()222336244120k x kmx m +-+-=②
∴222
248336112m km km
x k k k +==
++， ∴12m m x x k k +++228811234km km
k k =-
++， ∴1222
88211234km km m
x x k k k
+=--++， 若N 平分线段11A B ，则22288211234m km km m
k k k k
-=--
++， 即228811234km km k k =++，22
11234k k +=+，∴12
k =±
， ∵2
14k =
，把①，②代入，得2
37
m =
，7m =±，
所以直线l
的方程为127y x =±
或127
y x =-±. 20.（1）1
'()ln 1ln f x x x k x k x
=
⋅+--=-，
①0k ≤时，因为1x >，所以'()ln 0f x x k =->，
函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无单调递减区间，无极值； ②当0k >时，令ln 0x k -=，解得k
x e =， 当1k x e <<时，'()0f x <；当k
x e >，'()0f x >.
所以函数()f x 的单调递减区间是(1,)k
e ，单调递增区间是(,)k
e +∞，
在区间(1,)+∞上的极小值为()(1)k k k
f e k k e e =--=-，无极大值. （2）由题意，()4ln 0f x x -<，
即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<对于2
[,]x e e ∈恒成立，
即(4)ln 1x x k x -+>
对于2
[,]x e e ∈恒成立， 令(4)ln ()x x g x x -=，则2
4ln 4
'()x x g x x
+-=， 令()4ln 4t x x x =+-，2
[,]x e e ∈，则4'()10t x x
=+>，
所以()t x 在区间2
[,]e e 上单调递增，故min ()()440t x t e e e ==-+=>，故'()0g x >，
所以()g x 在区间2[,]e e 上单调递增，函数2
max 28()()2g x g e e
==-
. 要使(4)ln 1x x k x -+>
对于2
[,]x e e ∈恒成立，只要max 1()k g x +>， 所以2812k e +>-，即实数k 的取值范围为28
(1,)e
-+∞.
（3）证法1：因为12()()f x f x =，由（1）知，函数()f x 在区间(0,)k
e 上单调递减，在区间(,)k
e +∞上单调递增，且1
()0k f e
+=.
不妨设12x x <，则1
120k k x e x e +<<<<，
要证212k
x x e <，只要证221
k e x x <，即证221k k
e e x x <<.
因为()f x 在区间(,)k
e +∞上单调递增，所以221
()()k
e f x f x <，
又12()()f x f x =，即证211
()()k
e f x f x <，
构造函数2()()()k e h x f x f x =-22(ln 1)(ln 1)k k
e e x k x k x x
=-----， 即()ln (1)h x x x k x =-+2ln 1(
)k x k e x x -+-，(0,)k x e ∈. '()ln 1(1)h x x k =+-+2221ln 1()k x k e x x
--=+222()(ln )k x e x k x -=-， 因为(0,)k x e ∈，所以ln 0x k -<，22k x e <，即'()0h x >，
所以函数()h x 在区间(0,)k e 上单调递增，故()()k h x h e <， 而2()()()0k
k k
k e h e f e f e =-=，故()0h x <， 所以211()()k e f x f x <，即2211
()()()k
e f x f x f x =<，所以212k x x e <成立. 证法2：要证212k x x e <成立，只要证：12ln ln 2x x k +<.
因为12x x ≠，且12()()f x f x =，所以1122(ln 1)(ln 1)x k x x k x --=--，
即1122ln ln x x x x -12(1)()k x x =+-，11212122ln ln ln ln x x x x x x x x -+-12(1)()k x x =+-， 即112122
()ln ln x x x x x x -+12(1)()k x x =+-， 122112ln
1ln x x x k x x x +=+-，同理1
12212ln 1ln x x x k x x x +=+-， 从而122ln ln k x x =+11
21221212ln
ln 2x x x x x x x x x x ++---， 要证12ln ln 2x x k +<，只要证11
21221212ln
ln 20x x x x x x x x x x +->--， 令不妨设12x x <，则12
01x t x <=<，
即证
ln ln 201
11t t t t
+->--，即证(1)ln 21t t t +>-， 即证1ln 21t t t -<+对(0,1)t ∈恒成立， 设1()ln 2(01)1
t h t t t t -=-<<+，22214(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++， 所以()h t 在(0,1)t ∈单调递增，()(1)0h t h <=，得证，所以212k x x e
<.。