第六计算全息

j
代入上式得
F ( )
f ( x) exp
j2
x) dx
j2 1
F ( )
f ( x) exp
j2
x) dx
j2 1
F ( ) f ( j ) sinc( x j) exp( j2x)dx
j
利用
sinc(cx) 1 rect( )和平移不变定理
c
c
sinc( x j)exp( j2x)dx
f jk f ( j x, ky) j, k 为单元的序数
k( y)
3 2 1
3 2 1 0 1 2 3
1
j( x)
2
3
k( y )
3 2 1
3 2 1 0 1 0 3
1
j( x )
2
3
取 x 1 y 1
J x x x
K y y y
JK SW x y
二、离散傅里叶变换。
1
2Bx 和
1 的抽样值唯一地确定。
2By
2、函数的还原
将抽样函数作为输入，加到一个低通滤波器上，只要抽样函数 的频谱不产生混叠，总可以选择一个适当的滤波函数，使 Fs( ,)
中，n=0,m=0的项无畸变地通过，而滤去其它各项，这时滤波 器的输出就是复原的原函数，这一过程可由下面框图示意。
f (x, y)
将复值函数变换为实值非负函数的编码方法可以归纳为两大类 第一种方法是把一个复值函数表示为两个实值非负函数，例如 用振幅和相位两个实参数表示一个复数，分别对振幅和相位进 行编码。
第二种方法是仿照光学全息的办法，如引入离轴参考光，通 过和物光波的干涉产生干涉条纹的强度分布，成为实值非负函 数，因此每个样点都是实的非负值，可以直接用实参数来表示
Bx 10 / mm , By 10 / mm
图像的空间带宽积
SW 4 x y Bx By
4 40 401010 8002
对这样的图像制作全息图时，其抽样点数是 8002
下面以傅里叶变换全息图为例加以讨论
设平面物体的大小为 x y ，在x,y方向的抽样间距为 x y
抽样单元分别为J个和K个。 这样离散的物光波函数可以写成
x x x x
Fs ( )
Bx Bx
rect( / 2Bx )
comb( x ) x
x
2 x x x 2 x
fs(x)
x
2Bx sinc(2Bx x)
x
f (x)
x
1 1 1 1 x
2 x x x 2 x
Fs ( )
rect( / 2Bx )
F ( )
梳状函数的一些性质
comb( x) ( x m)
利用卷积定理得抽样函数的频谱
Fs ( ,)
com
b(
x x
)com
b(
y y
)
F
(
, )
xycomb(x )comb(y) F( ,)
( n , m ) F ( ,)
n m
x y
F ( n , m )
n m
x y
结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱 F( ,) 在频域
612计算全息图的制作程序一般计算全息的制作过程分为五步1抽样2计算3编码4绘制和缩小5再现以下是傅里叶变换全息图的制作流程数学函数抽样得离散样点分布离散傅里叶变换离散傅里叶变编码全息透过率函数绘图照相缩版计算全息图再现一抽样点数与空间带宽积设平面物体的大小为一个抽样单元制作一个全息图所需的抽样点数为dxdy称为空间带宽积它是物体所具有的信息量的量度利用它可以方便地确定制作计算全息图时所需要的抽样点的总数
2Bx 2By
由抽样过程示意图可知当
1 x 2Bx
1 y 2By
2 1 1 2 x
x x x x
Fs ( )
x 1 y 1
2Bx
2By
Bx Bx
Fs ( , ) 中的各个频谱就不会出现混叠现象，这样就有可能用
滤波的方法从 Fs ( , ) 中分离出原函数的频谱 F( ,)再由 F( ,) 恢复原函数。
F( ,)
fs(x, y)
Fs ( , )
h( x, y)
f ( x, y) fs ( x, y) h( x, y)
低通滤波器
H( ,) F ( ,) Fs ( ,) H( ,)
comb( x )comb( y )
x
y
若选矩形函数为滤波函数
H( ,) rect( )rect( )
2Bx
2By
2Bx
2By
f (x,
y)
n m
n f(
2Bx
m
,
2By
)
sin
c
2Bx
(
x
n
2Bx
)
sinc
2By
(
y
m )
2By
惠特克——香农（Whittaker-Shannon)抽样定理
它表明了只要抽样间隔满足 x 1 y 1
2Bx
2By
则在每一个抽样点上放置一个以抽样值为权重的sinc函数 为内插函数，由这些加权的sinc函数的线性组合可复原原 函数。 由以上讨论可知，由抽样函数还原原函数有两条途径
则
F (
, )
Fs (
, )
rect( 2Bx
)rect( 2By
)
这一频域的滤波过程，可以等效于空域中的卷积运算
f ( x, y) fs ( x, y) h( x, y)
fs ( x, y) x y f (n x, m y) ( x n x, y m y)
h( x, y)
rect (
抽样是制作计算全息图的一个重要的不可少的步骤，而抽 样定理是计算全息技术中的重要理论基础之一。
1、函数的抽样
先看函数的抽样和复原的图解分析过程
f (x)
x
comb( x )
x
x
2 x x x 2 x
fs(x)
x
2 x x x 2 x
2Bx sinc(2Bx x)
x
F ( )
2 1 1 2 x
(请用MATLAB编写二维FFT）
F( m,n ) 通常是复数，可以记为
F( m,n ) R( m,n ) jI( m,n )
F( m,n ) A( m,n )exp j ( m,n )
A( m,n ) R2( m,n ) I 2( m,n )
(
m
,n
)
arctg
I( R(
m,n ) m,n )
三、计算全息的编码方法
“编码”在通信中的意义是指把输入信息变换为信道上传 送的信号的过程。在计算全息中输入信息是待记录的光波的复 振幅，而中间的传递介质是全息图，其信息特征是全息图上的 透过率的变化，因此将二维光场复振幅分布变换为全息图的二 维透过率函数分布的过程，称为计算全息的编码。
由于成图设备的输出大多只能是实值非负函数，因此编码 问题归结为将二维离散复值函数变换为二维离散实值函数问 题。而且这种转换能够在再现阶段完成其逆转换，从二维离 散实值函数恢复二维复值函数。
光学图象信息往往具有连续分布的特点，但是在实现信息 记录、存贮、发送和处理时，由于物理器件有限的信息容量， 一个连续函数常常用它在一个离散点集上的函数值，即抽样值
来表示。已知一个函数为f (x),则其抽样值为
f (n) f (t0 nx)
n 0,1, , N 1
式中：t0 为抽样起始点，n为抽样点序号， x 是抽样间隔
j J
J
3
2
对于二维情况 有
F( m , n )
x y
J 1 K 1
1
2
2
j J k K
f
(
j
,
k
)
expK
2
2
J 1 K 1
F( m,n )
1
2 j J
2
f ( j, k)exp
k K
j2
jm J
kn K
2
2
不考虑前面的常系数，则
J 1 K 1
F( m,n )
因而能由抽样值还原原函数的条件是
（1） f ( x, y) 是限带函数
2 1 1 2 x
x x x x
（2）在x方向和y方向抽样点最大允许 间
Fs ( )
隔为
1
1
2Bx 2By
Bx Bx
1
1
2Bx 和 2By 称为奈魁斯特间隔。
抽样定理的另一种表达为：一个有限带宽的函数，它没有频率在
2Bx 2By 以上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小于
的周期性重复。
FS
( ,)
n
m
F (
n x
,
m) y
结论：函数在空间域被抽样，导致函数频谱 F( ,) 在频域
的周期性重复。
fs(x)
Fs ( )
x
x 2 x
11
x 2 x
空间域 的抽样间隔是 x 和 y ,空间频谱被重复的频谱中
心间距为
1 x
和
1 y
设f(x,y)是有限带宽函数，其频谱在空间频域的一个有限区域上 不为零。 , 方向上的谱的宽度分别为
6.1.2 计算全息图的制作程序
一般计算全息的制作过程分为五步 （1）抽样（2）计算（3）编码（4）绘制和缩小（5）再现
以下是傅里叶变换全息图的制作流程
数学函数
抽样得离散 样点分布
离散傅里叶变换
离散傅里叶变 换谱
编码
像
再现
绘图 计算全息图
照相缩版
全息透过 率函数
一、抽样点数与空间带宽积
设平面物体的大小为 x y 在x,y方向的抽样间距为 x y
在确定了抽样数和抽样间距以后，需要将 F( , )
计算出来。为此，我们要将连续傅里叶变换，变成离散的傅里叶 变换。
F ( , )
f
( x,
y) exp
j2 (
x
y) dxdy
在一维的情况下
f ( x)
j
j f(
2Bx
)
sin c
2Bx (
x
j 2Bx
)
空域插值
f ( j ) sinc x j
2 j J
2
f ( j, k)exp
k K
j2
jm J
kn K
2
2
这就是离散傅里叶变换。每作一次变换涉及到大量计算。
1965年库列——图基(Cooley-Tukey)提出矩阵分解 的新算 法，也就是快速傅里叶(FFT)变换算法，大大缩短了计算时间 ，才使二维图形的离散傅里叶变换在实际上成为可能，快速 傅里叶变换算法的程序可以各种语言版本中找到，使用时直 接调用相应的库函数就可以了。
j J
2
2
2
在谱平面上的抽样情况与物面上类似，其抽样间隔可分别取为
1 1
x
y
对于一个抽样点来说 m
n( )
3 2
F ( ) F (m) F ( m )
1
x
J 1
1 2
f ( j )exp( j2
jm )
j J
x
3
2 1 0
1
12
3 m( )
J
2 1
2
1 2
f ( j )exp( j2 jm )
2Bx
)rect (
2By
)
4Bx
By
sinc(2Bx
x)
sinc(2By
y)
f ( x, y) fs ( x, y) h( x, y)
4Bx By x y f (n x, m y)sinc 2Bx ( x n x)sinc 2By ( y m y) n m
取 x 1 y 1
f (n) 是抽样值或抽样值序列。直观上，抽样间隔越小，则抽样
序列越准确反映原来的连续函数。
但是抽样间隔越小，对于信息检测、传送、存贮和处理都提 出了更高的要求。如何选择一个合理的抽样间隔，以便做到 既不 丢失信息，又不对检测、处理等过程提出过分的要求， 并由这样的值恢复一个连续函数呢？这些正是抽样定理所要 回答的问题。
（1）频域滤波
（2）空域插值
严格说来，频带有限的函数在物理上并不存在，一个有限 宽度的函数，其频谱范围总是扩展到无穷。但表征大多数 物理量的函数，其频谱在频率高到一定程度时总是大大减 小，以致于略去高频分量所引入的误差是可以允许的。实 际上，信号的检测、传递过程采用的仪器都是有限通频带 宽的。所以很多物理量函数都可视为有限带宽函数，从而 可用离散的抽样序列代替。
sinc
(
x
j
)
e xp(
j2x)dx
1 rect( ) exp( j2 j )
代入上式
F( )
1 f ( j )rect ( ) exp( j2j )
j
F (
)
1
f ( j )rect( ) exp( j2
j
j )
J 1
1 2 f ( j ) exp( j2j )
comb(
x
) x (x m x)
x
comb( x) comb( )
com b( x ) xcom b(x )
x
利用梳状函数对连续函数f(x,y)抽样，得抽样函数 fs ( x)
它是由 函数的阵列构成
x
y
fs ( x,
y)
comb(
x
)comb(
) y
f
( x,
y)
x y f (n x, m y) ( x n x, y m y) n m
计算全息图不仅可以全面地记录光波的振幅和相 位，而且能综合出复杂的，或者世间根本不存在的 物体的全息图，因而具有独特的优点和极大的灵活 性。从光学发展的历史来看，计算全息首次将计算 机引入光学处理领域，计算全息图成为数字信息和 光学信息之间有效的联系环节，为光学和计算机科 学的全面结合拉开了序幕。
6.1.2 抽样定理
上述抽样定理的过程可以用下面的光学过程来说明
x
y
如图，物函数f(x,y)是透明片T字的透过率函数，在傅里叶变换 平面上T字的谱是一组衍射斑点。对于f(x,y)抽样，相当于在T 字处加一个光栅，光栅间距应满足抽样定理。这时在谱面上出 现许多组的衍射斑点。如果在谱面上加一个单缝，只允许中间 一组通过，则像面上的T字没栅格，与原物相同。 空间滤波之网络水演示.
根据抽样定理 x 1
y
1
取等号，有 x 1 y 1
xy 一个抽样单元
制作一个全息图所需的抽样点数为
SW
x y x y x y
4 x yBx By
dxdy dd 称为空间带宽积
它是物体所具有的信息量的量度，利用它可以方便地确定 制作计算全息图时所需要的抽样点的总数。如图像的尺寸 是40mm40mm,最高空间频率