八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点总结(2)

一、选择题
1．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD 的是（ ） A ． B ．
C ．
D ． D
解析：D
【分析】
点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，
∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，
故选择：D ．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 2．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限A
解析：A
【分析】
根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，以及循环的规律就可以得到．
【详解】
解：A 1与A 2关于x 轴对称，A 2与A 3关于y 轴对称，A 3与A 4关于x 轴对称，A 4与A 5关于y 轴对称，
A 1与A 5是同一个点，
四次一循环，
100÷4=25，
A 100与A 4重合，
即第一象限，
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．132°
D ．140°C
解析：C
【分析】 根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．
【详解】
解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，
由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，
∴PA PB PC ==，
∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，
∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，
∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
4．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S ．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4D
解析：D
【分析】 先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断． 利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】
解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，
∴∠BAC ＝60°，
由作法得AD 平分∠BAC ，所以①正确；
∴∠BAD ＝∠CAD ＝30°，
∴∠ADC ＝90°﹣∠CAD ＝60°，所以②正确；
∵∠B ＝∠BAD ，
∴DA ＝DB ，
∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD 中，∠CAD ＝30°，
∴CD ＝12AD ， ∴BC ＝CD+BD ＝12AD+AD ＝32AD ，S △DAC ＝12AC•CD ＝14AC•AD ． ∴S △ABC ＝12AC•BC ＝12AC•32AD ＝34
AC •AD ，
∴S △DAC ：S △ABC ＝14AC•AD ：34
AC•AD ＝1：3， ∴S △DAC ：S △ABD ＝1：2．即S △ABD ＝2S △ACD ，故④正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =100°，AD 是BC 边上的中线，CE 平分BCA ∠交AB 于点E ，AD 、CE 相交于点F ，则∠CFA 的度数是（ ）
A ．100°
B ．105°
C ．110°
D ．120°C
解析：C
【分析】
根据等腰三角形的性质得BCA ∠的度数，再根据角平分线算出ACF ∠的度数，再由“三线合一”的性质得CAD ∠的度数，即可求出结果．
【详解】
解： ∵AB AC =， ∴180100402
BCA ︒-︒∠=
=︒， ∵CE 平分BCA ∠， ∴1202
ACF BCA ∠=∠=︒， ∵AB AC =，AD 是BC 上的中线，
∴1502
CAD BAC ∠=
∠=︒， ∴180110CFA CAD ACF ∠=︒-∠-∠=︒．
故选：C ．
【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
6．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）
A ．∠1＝2∠2
B ．∠1+∠2＝180°
C ．∠1+3∠2＝180°
D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D
【分析】
根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．
【详解】
解：∵2∠是ACD △的外角，
∴12C ∠+∠=∠，
∴∠C=∠2-∠1，
∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
∵AB BD =，
∴2BAD ∠=∠，
∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，
∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，
∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．
故选：D ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 7．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若
30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．45°
B ．40°
C ．35°
D ．30°A
解析：A
【分析】 由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．
【详解】
解：∵△AEC ≌△BED ，
∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，
∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，
∴∠BEO=∠CED,
∵∠AED=30°，∠BEC=120°，
∴∠BEO=∠CED=120302︒-︒=45°， 在△EDC 中，
∵EC=ED ，∠CED=45°，
∴∠C=∠EDC=67.5°，
∴∠BDE=∠C=67.5°，
∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，
故选A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质．
8．如果等腰三角形两边长分别是8cm 和4cm ，那么它的周长（ ）
A ．8cm
B ．20cm
C ．16cm 或20cm
D ．16cm B
解析：B
【分析】
解决本题要注意分为两种情况4cm 为底或8cm 为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．
【详解】
解：∵等腰三角形有两边分别分别是4cm 和8cm ，
∴此题有两种情况：
①4cm 为底边，那么8cm 就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，
②8底边，那么4cm 是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．
∴该等腰三角形的周长为20cm ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）
A ．6cm
B ．6.5cm
C ．7cm
D ．8cm D
解析：D
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．
【详解】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，
AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴AN BC ⊥，BN CN =，
∴90ANB ANC ∠=∠=，
60EBC E ∠=∠=，
∴EBM △是等边三角形，
6BE cm =，
∴6EB EM BM cm ===，
//DF BC ，
∴60EFD EBM ∠=∠=，
∴EFD △是等边三角形，
2DE cm =，
∴2EF FD ED cm ===，
∴4DM cm =，
EBM △是等边三角形，
∴60EMB ∠=，
∴30NDM ∠=，
∴2NM cm =，
∴4BN BM NM cm =-=，
∴28BC BN cm ==．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．
10．如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 的垂直平分线EF 交AB 于点D ，连接CD ，如
果CD＝6，那么AB的长为（）
A．6 B．3 C．12 D．4．5C
解析：C
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB=6，则∠DCB=∠B，由
∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD，DA=DC=6，则AB=AD+DB便可求出．
【详解】
∵EF是线段BC的垂直平分线，DC =6，
∴DC=DB=6，
∴∠DCB=∠B，
又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴DA=DC=6，
∴AB=AD+DB=6+6=12．
故选：12．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟记性质是解题的关键．
二、填空题
P-向右平移4个单位得到点P'，则点P'关于x轴的11．在平面直角坐标系中，将点(3,2)
对称点的坐标为________．【分析】先根据向右平移4个单位横坐标加4纵坐标不变求出点的坐标再根据关于x轴对称横坐标不变纵坐标相反解答【详解】解：∵将点P（3-2）向右平移4个单位得到点∴点的坐标是（7-2）∴点关于x轴的对称点
解析：(7,2)
【分析】
先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【详解】
解：∵将点P（3，-2）向右平移4个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（7，-2），
∴点P '关于x 轴的对称点的坐标是（7， 2）．
故答案为：（7， 2）
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x 轴、y 轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
12．如图，等腰ABC 的周长为36，底边上的高12AD =，则ABD △的周长为________．
30【分析】根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18再结合
AD=12即可求得的周长【详解】∵△ABC 为等腰三角形AD 为底边上的高∴AB=ACBD=DC ∵△ABC 的周长等于36∴AB+BD+DC+A
解析：30
【分析】
根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18，再结合AD=12，即可求得ABD △的周长．
【详解】
∵△ABC 为等腰三角形，AD 为底边上的高，
∴AB=AC ，BD=DC ，
∵△ABC 的周长等于36，
∴AB+BD+DC+AC=36，即AB+BD=18，
∵AD=12，
∴△ABD 的周长等于=AD+BD+AB=12+18=30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形三线合一（底边上的中线、底边上的高线，顶角的平分线重合）是解题关键．
13．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．
35°【分析】连接OB 同理得AO=OB=OC 由等腰三角
形的性质得∠A=∠ABO∠C=∠CBO进而得到∠A+∠C=∠ABC由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD∠BOE=∠COE由平角的定义得∠DO
解析：35°
【分析】
连接OB，同理得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．
【详解】
解：连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO=OB=OC，
∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠A+∠C=∠ABC，
∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，
∴∠DOE=145°，
∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；
故答案为：35°
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为
___________．25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论不合题意的舍去据此即可求解【详解】解：当腰长为10时三边分别为10105构成三角形周长为10+10+5=25；当腰长为5时三边分别为5510∵5+5=1
解析：25
【分析】
分腰长为10和腰长为5两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．
【详解】
解：当腰长为10时，三边分别为10、10、5，构成三角形，周长为10+10+5=25；
当腰长为5时，三边分别为5、5、10，∵5+5=10，无法构成三角形，不合题意．
故答案为：25
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键． 15．如图，在等边三角形ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ．
（1）ACM ∠的大小=__________（度）；
（2）AMC ∠的大小=__________（度）；
（3）已知4AB =，点D 为射线CM 上一点，作∠DCE=60︒，()CE CD CD AB =≠，连接DE 交射线CB 于点F ，连接BD ，BE 当以B ，D ，M 为顶点的三角形与BEF 全等时，线段CF 的长为__________．2或6或【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；（3）根据题意分两种情况：当点D 在线段CM 上时当点D 在线段CM 的延长线上时分别画出图形利用全
解析：30 90︒ 2或6或23
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解；
（2）根据等边三角形的三线合一的性质解答；
（3）根据题意分两种情况：当点D 在线段CM 上时，当点D 在线段CM 的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答．
【详解】
（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60︒，
∵CM 平分ACB ∠，
∴∠ACM=12
∠ACB=30， 故答案为：30；
（2）∵△ABC 是等边三角形，CM 平分ACB ∠，
∴CM ⊥AB ，
∴∠AMC=90︒，
故答案为：90︒；
（3）∵∠DCE=60︒，CD=CE ，
∴△CDE 是等边三角形，
∴DE=CE=CD ，
∵∠BCM=∠ACM=30，
∴∠BCE=30，
∴CF 平分∠DCE ，
∵CD=CE ，
∴CB 垂直平分DE ，
①当点D 在线段CM 上时，
当△BDM ≌△BEF 时，如图1，
∴BF=BM=2，
∴CF=CB-BF=4-2=2；
当△BDM ≌△EBF 时，如图1，
则EF=BM=2，
∴CD=DE=4，,
∵AB=4，CD<CM<4,
∴此种情况不成立，舍去；
②当点D 在线段CM 的延长线上时，
当△BDM ≌△BEF 时，如图2，
∴BF=BM=2，
∴CF=BC+BF=4+2=6,；
当△BDM ≌△EBF 时，如图3，
则EF=BM=2，
∴CE=2EF=4， ∴2223CF CE EF =-=，
故答案为： 2或6或23．
．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
16．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果9cm AC =，那么AD = ___________cm ．
6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°进而得AD=BD 设AD=BD=x(cm)
列出关于x 的方程即可求解【详解】∵在中∴∠ABC=60°∵BD 平分
∴∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABD=∠A ∴AD
解析：6
【分析】
先求得∠ABD=∠CBD=30°，进而得AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，列出关于x 的方程，即可求解．
【详解】
∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
∴∠ABC=60°,
∵BD 平分ABC ∠，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠ABD=∠A ，
∴AD=BD ，
设AD=BD=x(cm)，
∵AC=9cm ，
∴CD=(9-x)cm ， ∴912
x x -=，即：x=6， ∴AD =6．
故答案是：6
【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．
17．如图，一棵大树在一次强台风中于距地面5米处倒下，则这棵树在折断前的高度为________米．
15【分析】如图在Rt △ABC 中∠ABC
＝30°由此即可得到AB＝2AC而根据题意找到CA＝5米由此即可求出AB也就可以求出大树在折断前的高度【详解】如图在Rt△ABC中∵∠ABC＝30°∴AB＝2 解析：15
【分析】
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，由此即可得到AB＝2AC，而根据题意找到CA＝5米，由此即可求出AB，也就可以求出大树在折断前的高度．
【详解】
如图，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，
∵CA＝5米，
∴AB＝10米，
∴AB＋AC＝15米．
所以这棵大树在折断前的高度为15米．
故答案为：15．
【点睛】
本题主要利用定理−−在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．
18．已知等边三角形ABC．如图，
（1）分别以点A，B为圆心，大于1
2
AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（2）作直线MN交AB于点D；
（3）分别以点A ，C 为圆心，大于
12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （4）作直线HL 交AC 于点E ； （5）直线MN 与直线HL 相交于点O ；
（6）连接OA ，OB ，OC ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①2OC OD =；②2AB OA =；③OA OB OC ==；④120DOE ∠=︒，正确的是____________．①③④【分析】根据题意可得点O 是三边中垂线的交点从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可【详解】由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点即：MN ⊥ABHL ⊥AC ∴根据等边三角形 解析：①③④
【分析】
根据题意可得点O 是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可．
【详解】
由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点，即：MN ⊥AB ，HL ⊥AC ， ∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE ，
∴△ADO ≌△AEO ，
∴OD=OE ，
又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，
∴在Rt △COE 中，OC=2OE ，
∴OC=2OD ，故①正确；
在Rt △ABE 中，显然AB=2AE ，而OA ＞AE ，
∴AB≠2OA ，故②错误；
根据中垂线性质可得OA=OB ，OA=OC ，
∴OA=OB=OC ，故③正确；
在四边形ADOE 中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，
∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题意中所作图形的本质是解题关键．
19．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________．7
【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数列方程求解即可
【详解】解：∵点A （a-13）与点B （2-2b-1）关于x 轴对称∴a-1=2-2b-1=-3解得a=3b=1∴=2×3+1=7故
解析：7
【分析】
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．
【详解】
解：∵点A（a-1，3）与点B（2，-2b-1）关于x轴对称，
∴a-1=2，-2b-1=-3，
解得a=3，b=1，
∴2a b+=2×3+1=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
20．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A，点C均在格点上，点P为x轴上任△周长的最小值为________．
意一点，则PAC
【分析】根据勾股定理可得AC的长度作点C关于x
轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P利用勾股定理求出AP+PC的最小值从而得出答案【详解】AC=如图作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P 解析：21022
+
【分析】
根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求出AP+PC的最小值，从而得出答案．
【详解】
AC=22
2222
+=，
如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，
则AP+PC=AP+PC′=AC′，
此时AP+PC 取得最小值，最小值为2226210+=，
所以△PAC 周长的最小值为21022+，
故答案为：21022+．
【点睛】
本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AB 边的中垂线PQ 与△ABC 的外角平分线交于点P ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．
（1）求证：BD =AE ；
（2）若BC =6，AC =4．求CE 的长度．
解析：（1）见解析；（2）CE =1
【分析】
（1）连接PA 、PB ，根据角平分线的性质得到PD=PE ，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB ，证明Rt △AEP ≌Rt △BDP ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ；
（2）结合图形计算得到答案．
【详解】
（1）连接PA 、PB ，
∵CP 是∠BCE 的平分线，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，
∴PD =PE ，
在Rt △CDP 和Rt △CEP 中，
PD PE PC PC
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDP ≌Rt △CEP （HL ）
∴CD =CE ，
∵PQ 是线段AB 的垂直平分线，
∴PA =PB ，
在Rt △AEP 和Rt △BDP 中，
PE PD PA PB =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △AEP ≌Rt △BDP （HL ），
∴AE =BD ；
（2）AC +CE +CD =BD +CD =BC =6， ∴1(64)12
CE CD ==
⨯-=． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动． （1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？
（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．
解析：（1）点P 、Q 运动103
秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为
403秒． 【分析】
（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】
解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，
如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，
∵三角形APQ 是等边三角形，
,AP AQ ∴=
∴102t t =-，解得103t =
， ∴点P 、Q 运动103
秒后，可得到等边三角形APQ ．
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，
102x x +=，解得：10x =．
∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下： 由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，
如图②，假设APQ 是等腰三角形，
∴AP AQ =，
∴APQ AQP ∠=∠，
∴APC AQB ∠=∠，
∵ACB △是等边三角形，
∴C B ∠=∠，
在ACP △和ABQ △中，
,,
,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
， ∴ACP △≌ABQ △， ∴CP BQ =，
设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形， 由题意得：10CP y =-，302QB y =-，
∴ 10302y y -=-， 解得：403y =， P 的最长运动时间为
2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ， 由403
＜15， ∴ 403y =
符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时
间为
403
秒． 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．
23．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．
()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；
()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系．
解析：（1）证明见解析；（2）结论不成立．图见解析，三者关系为AF AB BD +＝或,BD AB AF +＝
【分析】
（1）易证∠FBA=∠FCE ，结合条件容易证到△FAB ≌△DAC ，从而有FA=DA ，就可得到AB=AD+BD=FA+BD ．
（2）如图2中，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ．如图3中，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ．证明方法类似（1）．
【详解】
解：（1）证明：如图1，
∵BE ⊥CD ，即∠BEC=90°，∠BAC=90°，
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．
∴∠FBA=∠FCE ．
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，
∴∠FAB=∠DAC ．
∵AB=AC ，
∴△FAB ≌△DAC ．
∴FA=DA ．
∴AB=AD+BD=FA+BD ．
（2）如图2，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ，
理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠BAF=90°
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°
∴∠FBA=∠FCE ，
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°
∴∠FAB=∠DAC
在△FAB 和△DAC 中，
FAB DAC AB AC
FBA DCA ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），
∴FA=DA ，
∴AF=AD=BD+AB ．
如图3，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ，
理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠CAD=90°
∴∠AFB+∠FBA=90°，∠EFC+∠FCE=90°，
∵∠AFB=∠EFC ，
∴∠FBA=∠FCE ，
在△FAB 和△DAC 中，
90FAB DAC AB AC
FBA DCA ∠∠=︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），
∴AF=AD ，
∴BD=AB+AD=AB+AF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题． 24．如图，在△ABC 中， AB =AC ．过点A 作BC 的平行线交∠ABC 的角平分线于点D ，连接CD ．
(1)求证：△ACD 为等腰三角形．
(2)若∠BAD =140°，求∠BDC 的度数．
解析：（1）证明见解析；（2）50BDC ∠=︒．
【分析】
（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADB=∠ABD ，从而可得AB=AD ，再依据等量代换即可得出结论；
（2）根据等腰三角形等边对等角可求得∠ADB=20°，再依据角平分线的性质、平行线的性质和等腰三角形等边对等角求得70ADC ∠=︒，最后利用角的和差即可求得结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠DBC ，
∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=∠DBC ，
∴∠ADB=∠ABD ，
∴AB=AD ，
∵AB =AC ，
∴AC=AD ，即△ACD 为等腰三角形；
（2）∵AB=AD ，∠BAD =140°，
∴∠ADB=∠ABD=1802
BAD ︒-∠=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠ABD=40°，
∵AB =AC ，
∴∠ACB=∠ABC=40°,
∵AD ∥BC ，
∴∠DAC=∠ACB=40°,
∵AC=AD ， ∴180702
DAC ADC ACD ︒-∠∠=∠=
=︒, ∴50AD DC AD C B B ∠-∠=∠=︒． 【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的有关证明．（1）中需正确识别角平分线与平行线所构成的等腰三角形；（2）中能根据等边对等角依次计算角度是解题关键．
25．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒．
求作：直线CD ，使得直线CD 将ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB 的垂直平分线MN ，与斜边AB 相交于点D ；②作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，
∴DC DB =．（_______）（填推理的依据）
∴∠_______=∠__________．
∵90ACB ∠=︒，
∴90ACD DCB ∠=︒-∠，
90A ∠=︒-∠_________．
∴ACD A ∠=∠．
∴DC DA =．（_______）（填推理的依据）
∴DCB 和DCA △都是等腰三角形．
解析：（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB ，DBC ；DBC ；等角对等边．
【分析】
（1）根据题意，按照尺规作图的基本要求，完成作图即可；
（2）根据证明过程可分析得出：此题的证明思路是利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，则可根据推理过程补充相应的内容即可．
【详解】
解：（1）补全的图形如下：
（2）证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，
∴DC ＝DB ．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴∠DCB ＝∠DBC ．
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＝90°−∠DCB ，
∠A ＝90°−∠DBC ．
∴∠ACD ＝∠A ．
∴DC ＝DA ．（等角对等边）
∴△DCB 和△DCA 都是等腰三角形．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB ，DBC ；DBC ；等角对等边．
【点睛】
本题考查了作图−应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定．
26．如图，,ABC AEF ∆∆均为等边三角形，连接BE ，连接并延长CF 交BE 于点D ． （1）求证：CAF BAE ∆≅∆;
（2）连接AD ，求证DA 平分CDE ∠.
解析：（1）见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）利用SAS 证明即可；
（2）逆用角的平分线性质定理证明.
【详解】
(1)∵△ABC,△AEF 是等边三角形,
∴AC=AB,AF=AE,∠CAB=∠EAF,
∴∠CAB-∠FAB =∠EAF-∠FAB,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△CAF ≌△BAE;
(2)过点A 分别作AH ⊥CD 于点H,AG ⊥BE,交BE 的延长线于点G,
由（1）知，△CAF ≌△BAE ，
∴CF=BE ，CAF BAE S
S =, ∴1122
CE AH BE AG ⨯⨯=⨯⨯， ∴AH=AG ，
∴DA 平分∠CDE.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，准确选择全等判定方法，活用角的平分线的逆定理是解题的关键.
27．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，Rt △ABC 的每个顶点都在格点上，利用网格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要
求画图．
（1）画△ABC 的角平分线CD 交AB 于点D ；
（2）画AB 边的垂直平分线l 交直线CD 于点P ．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）取格点T ，连接CT 交AB 于点D ，线段CD 即为所求．
（2）取格点G ，R ，作直线GR 交直线CT 于点P ，点P 即为所求．
【详解】
解：（1）如图，线段CD 即为所求．
（2）如图，直线l 即为所求．
【点睛】
本题考查作图的应用与设计，线段的垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28．（1）如图①，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE BD CE =+．
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a ∠=∠=∠=，其中a 为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状．（不需要说明理由）
解析：（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）DEF 为等边三角形
【分析】
（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ADB ≌△CEA ，则AE=BD ，AD=CE ，于是DE=AE+AD=BD+CE ；
（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC ，就可以求出∠BAD=∠ACE ，进而由AAS 就可以得出△BAD ≌△ACE ，就可以得出BD=AE ，DA=CE ，即可得出结论；
（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD ≌△ACE ，就有BD=AE ，进而得出△BDF ≌△AEF ，得出DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，而得出∠DFE=60°，即可推出△DEF 为等边三角形．
【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，
∴90BDA CEA ∠=∠=︒
∵90BAC ∠=︒，
∴90BAD CAE ∠+∠=︒
∵90BAD ABD ∠+∠=︒，
∴CAE ABD ∠=∠．
在ADB △和CEA 中：CAE ABD BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADB CEA AAS ≌（）
△△． ∴AE BD =，AD CE =．
∴DE AE AD BD CE =+=+．
（2）成立．证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
又∵DBA ADB BAC CAE ∠+∠=∠+∠
∴∠DBA=∠CAE ，
在ADB △和CEA 中：DBA CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ADB CEA AAS ≌
△△． ∴AE BD =，AD CE =，。