2018年福建省泉州市南安市九年级(上)第一次月考数学试卷

2018年福建省泉州市南安市九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）
A．2x2+3=2x（5+x）B．ax2+c=0
C．（a+1）x2+6x+1=0 D．（a2+1）x2﹣3x+1=0
2．方程x2﹣5x=0的解是（）
A．x1=0，x2=﹣5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0
3．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则此三角形的周长是（）
A．24 B．24或16 C．16 D．22
4．若一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
5．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）
A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800
C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=800
6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
7．对于任意实数x，多项式x2﹣5x+8的值是一个（）
A．非负数B．正数C．负数D．无法确定
8．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）
A． B．C．
D．
9．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C （﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
10．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．同一坐标系中，抛物线y=（x﹣a）2与直线y=a+ax的图象可能是（）
A． B． C．
D．
12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）
A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．计算：=．
14．方程x（x﹣2）=0的根是．
15．计算：=．
16．计算=．
17．当x取值时，代数式x2﹣4x+7有最小值是．
18．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=．
三、解答题（共90分）
19．计算：|﹣3|﹣+（）0．
20．计算：×﹣+．
21．化简：（+2）﹣．
22．解方程：x2+4x﹣2=0．
23．已知x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．25．某商店将进价为每件80元的某种商品按每件100元出售，每天可售出100件．经过市场调查，发现这种商品每件每降低1元，其销售量就可增加10件．（1）设每件商品降低售价x元，则降价后每件利润元，每天可售出件（用含x的代数式表示）；
（2）如果商店为了每天获得利润2160元，那么每件商品应降价多少元？26．计算并观察下列式子，探索它们的规律，并解决问题．
=．
=．
=．
…
（1）试用正整数n表示这个规律，并加以证明；
（2）求的值．
27．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如
的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．
2018年福建省泉州市南安市九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）
A．2x2+3=2x（5+x）B．ax2+c=0
C．（a+1）x2+6x+1=0 D．（a2+1）x2﹣3x+1=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断．
【解答】解：A、由2x2+3=2x（5+x）得到：10x﹣3=0，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、当a=0时，ax2+c=0不是一元二次方程，故本选项错误；
C、当a+1=0时，（a+1）x2+6x+1=0不是一元二次方程，故本选项错误；
D、由a2+1＞0知（a2+1）x2﹣3x+1=0是一元二次方程，故本选项正确；
故选：D．
2．方程x2﹣5x=0的解是（）
A．x1=0，x2=﹣5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法．
【解答】解：直接因式分解得x（x﹣5）=0，
解得x1=0，x2=5．
故选：C．
3．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则此三角形的周长是（）
A．24 B．24或16 C．16 D．22
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】把方程左边因式分解得到（x﹣10）（x﹣2）=0，再把方程化为两个一元一次方程x﹣10=0或x﹣2=0，解得x1=10，x2=2，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为10，
然后计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣12x+20=0，
∴（x﹣10）（x﹣2）=0，
∴x﹣10=0或x﹣2=0，
∴x1=10，x2=2，
而三角形两边的长分别是8和6，
∵2+6=8，不符合三角形三边关系，x=2舍去，
∴x=10，即三角形第三边的长为10，
∴三角形的周长=10+6+8=24．
故选A．
4．若一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】常数项为0，即m2﹣4=0，再根据方程是一元二次方程，须满足m﹣2≠0，问题可求．
【解答】解：由题意，得：m2﹣4=0，
解得m=±2．
又m﹣2≠0，即m≠2，
故m=﹣2．
故选B．
5．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元．如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）
A．100（1+x）2=800 B．100+100×2x=800
C．100+100×3x=800 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=800
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为100×（1+x），
∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，
∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800，
故选D．
6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【考点】根的判别式．
【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．
【解答】解：分类讨论：
①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；
②当a﹣5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根
∴16+4（a﹣5）≥0，
∴a≥1．
∴a的取值范围为a≥1．
故选：A．
7．对于任意实数x，多项式x2﹣5x+8的值是一个（）
A．非负数B．正数C．负数D．无法确定
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据完全平方公式，将x2﹣5x+8转化为完全平方的形式，再进一步判断．
【解答】解：x2﹣5x+8=x2﹣5x++=（x﹣）2+，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以（x﹣）2+的最小值是，
故多项式x2﹣5x+8的值是一个正数，
故选：B．
8．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛
物线的解析式为（）
A． B．C．
D．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】确定出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可．
【解答】解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴得到的抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3．
故选B．
9．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C （﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=1，图象开口向上；利用y随x的增大而增大，可判断y1＜y2，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y3＞y2＞y1．
【解答】解：A（，y1），B（2，y2）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，因为＜2，故y1＜y2，
根据二次函数图象的对称性可知，C（﹣，y3）中，|﹣﹣1|＞|2﹣1|，故有y3＞y2；
于是y3＞y2＞y1．
故选D．
10．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，
∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，
∴x=h＜4．
故选：D．
11．同一坐标系中，抛物线y=（x﹣a）2与直线y=a+ax的图象可能是（）A． B． C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；
B、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＜0，此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，矛盾，故错误；
C、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜0，矛盾，故错误；
D、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＞0，此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，故正确；
故选D．
12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）
A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，
∴ac≤4，且a≠0；
A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；
C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；
D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．计算：=2．
【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即=|a|．
【解答】解：==2．
故答案为2．
14．方程x（x﹣2）=0的根是0，2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”来解该题．
【解答】解：x（x﹣2）=0
即：x=o或x﹣2=0
解得x=0或x=2
故答案为：0，2．
15．计算：=．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先化简=2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：=2﹣=．
故答案为：．
16．计算=2．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】先把分子化简为2，与分母约分即可求解．
【解答】解：==2
17．当x取2值时，代数式x2﹣4x+7有最小值是3．
【考点】配方法的应用．
【分析】先把代数式x2﹣4x+7整理成（x﹣2）2+3的形式，再根据负数的性质求出x的值即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+7=（x﹣2）2+3，
∴当x=2时，它有最小值，是3．
故答案为：2，3．
18．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=2026．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣
mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．
【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，
又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2015
=2（n+3）﹣mn+2m+2015
=2n+6﹣mn+2m+2015
=2（m+n）﹣mn+2021
=2×1﹣（﹣3）+2021
=2+3+2021
=2026．
故答案为：2026．
三、解答题（共90分）
19．计算：|﹣3|﹣+（）0．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】根据绝对值、算术平方根和零指数幂的意义计算．
【解答】解：原式=3﹣﹣4+1
=﹣．
20．计算：×﹣+．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=××﹣2+
=3﹣2+
=4﹣2．
21．化简：（+2）﹣．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】分别求出（+2）=a+2，===a，再合并同类二
次根式即可．
【解答】解：原式=a+2﹣a
=2．
22．解方程：x2+4x﹣2=0．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先移项，得x2+4x=2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原方程．
【解答】解：移项，得x2+4x=2，
两边同加上22，得x2+4x+22=2+22，
即（x+2）2=6，
利用开平方法，得或，
∴原方程的根是，．
23．已知x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
【分析】将x1=﹣1代入原方程，可求出m的值，进而可通过解方程求出另一根．【解答】解：由题意得：（﹣1）2+（﹣1）×m﹣5=0，解得m=﹣4；
当m=﹣4时，方程为x2﹣4x﹣5=0
解得：x1=﹣1，x2=5
所以方程的另一根x2=5．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；
（2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为x2﹣2x+1=0，根据根与系数的关系，可得x1+x2=2，x1x2=1，再将x12+x22﹣x1x2变形为（x1+x2）2﹣3x1x2，则可求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=8﹣4m＞0，
解得m＜2，
故整数m的最大值为1；
（2）∵m=1，
∴此一元二次方程为：x2﹣2x+1=0，
∴x1+x2=2，x1x2=1，
∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．
25．某商店将进价为每件80元的某种商品按每件100元出售，每天可售出100件．经过市场调查，发现这种商品每件每降低1元，其销售量就可增加10件．（1）设每件商品降低售价x元，则降价后每件利润20﹣x元，每天可售出100+10x件（用含x的代数式表示）；
（2）如果商店为了每天获得利润2160元，那么每件商品应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）利润=售价﹣进价，降低1元增加10件，可知降低x元增加10x 件，列出算式即可．
（2）根据上题列出方程，一件商品的利润乘以销售量得到总利润．
【解答】解：（1）原来售价100，进价80，利润为20元，又降价x元后，利润为（20﹣x）．
每降价一元，销量增加10件，说明降价x元，销量增加10x件，现在的销量为；
（2）设每件商品降价x元．
（20﹣x）×=2160，
解得：x1=2，x2=8，
答：每件商品应降价2元或8元．
26．计算并观察下列式子，探索它们的规律，并解决问题．
=2．
=2．
=2．
…
（1）试用正整数n表示这个规律，并加以证明；
（2）求的值．
【考点】分母有理化．
【分析】（1）已知等式计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果．
【解答】解：（+）（﹣）=2；
（+）（﹣）=2；
（+）（﹣）=2，
故答案为：2；2；2；
（1）以此类推，（ +）（﹣）=2；
（2）原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣1）=5．
27．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如
的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．
第11页（共12页）
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；
（2）证明：根据题意，得
△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab
∵a2+b2=c2
∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b= c
∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6
∴3c=6
∴c=2
∴a2+b2=c2=4，a+b=2
∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S
△ABC =ab=1．
第12页（共12页）。