理论力学第十三章动能定理

例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系 图示弹簧原长 ， 一端固定在点O， 数k=4.9KN/m,一端固定在点 ，此点 一端固定在点 在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧 的圆周上。 在半径为 的圆周上 的另一端由点B拉至点 和由点A拉至 拉至点A和由点 的另一端由点 拉至点 和由点 拉至 垂直BC， 和 为直径 为直径。 垂直 点D，AC垂直 ，OA和BD为直径。 分别计算弹簧力所作的功。 分别计算弹簧力所作的功。
1 2 ⇒ d( mυ ) =δw 2
——质点动能定理 ——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 ——质点动能定理 m 2 − m 1 =W ——质点动能定理 υ υ2 12 2 2 的积分形式
在质点运动的某个过程中， 在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。 作用于质点的力作的功。
0−0 = mgl(1−cosϕ1) −
mgl(1−cosϕ2) −W k
冲断试件需要的能量为
W = 78.92J k
[例3] 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r 为均质圆盘；曲柄重Q 作用一力偶, 矩为M 常量), 为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由 静止开始转动； 的函数表示) 静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角ϕ 的函数表示) 和角加 速度。 速度。 解：取整个系统为研究对象
dt
由 δW = F·dr 得 ，
dr P = F⋅ = F ⋅ v = Fv t dt 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
第十三章 动能定理
1313-1 力的功 力的功——是力沿路程累积效应的度量。 是力沿路程累积效应的度量。 力的功 是力沿路程累积效应的度量 1. 常力在直线运动中的功 常力在直线运动中的功:
W = Fcosθ ⋅ s
α 力的功是代数量。 < 时, 力的功是代数量。 2 π ,功为零； π 正功； 正功； = 时 功为零； > α α 2 2 时,负功。 负功。 π
= N ⋅ dr − N ⋅ dr = 0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑） ——无位移 ——无位移 对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。 对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题： 质点系内力作功问题： 质点系内力作功之和不一定等于零。 质点系内力作功之和不一定等于零。 内力作功之和不一定等于零 1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 ）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与 ）当力作用点有滑动摩擦时， 物体的相对位移相反，摩擦力作负功。 物体的相对位移相反，摩擦力作负功。 刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。 刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
⇒M −m g Sinθ·S = ϕ 2
υC2
4
(2m +3m ) (a) 1 2
(M −m gR Sinθ)S 2 1 ⇒υC = 2 R (2m +3m ) 1 1 2
是函数关系式， 求导， 式(a)是函数关系式，两端对 求导， 是函数关系式 两端对t求导
1 υC (2m +3m )υCaC = M −m g Sinθ·υC 1 2 2 2 R 1
δ w= F cosθ·ds = F ds = F R ϕ τ τ d = Mzdϕ
从角ϕ转动到角ϕ2 的功为： 过程中力 F 的功为： 1
F 令 τ = F cosθ
W = ∫ Mzdϕ 12
ϕ2
ϕ1
若 Mz =常量
W = Mz (ϕ2 −ϕ1) 12
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。 用一力偶所作的功。
——质点系动能定 ——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量， 质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量， 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3、理想约束 、 定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。 定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。 理想约束 1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直 ——力与位移垂直
B C D
O
A
解：对于弹簧作功： 对于弹簧作功：
k 2 2 W 由 12 = (δ1 −δ2 ) 2 （ δ1 =O l = 0.1 2 −0.1 m） B− k 2 2 ∴ BA = (δ1 −δ2 ) = −0.2 J）δ2 =O l = 0.1 m） W A− （ （ 2 （ k δ'1 =O l= 0.1 m） A− 2 2 W = (δ '1 −δ '2 ) = 0.2 J） （ AD 2 δ'2 =O l = 0.1 2 −0.（m） D− 1
（2）定轴转动刚体的动能 ）
1 2 1 2 2 1 2 T = ∑ mvi = ∑ mω r = ω ∑mr 2 即 T = 1 J ω2 i i i i i z 2 2 2 2
（3）平面运动刚体的动能 ） 速度瞬心： 速度瞬心：P
1 2 T = J pω 2 1 = (JC +md2)ω2 2 1 2 1 2 T = mvC + JCω 2 2
r2 ⇒W = ∫ r 12 1
r
2r
−k(r − l0 )dr
2r
k 2 2 即 W = (δ1 −δ2 ) 12 2 式中 δ1 = r −l0,δ2 = r −l0 1 2
弹性力的功只与弹 簧在初始和末了位置 的变形有关， 的变形有关，与作用 点路径无关。 点路径无关。
3. 定轴转动刚体上作用力的功
2(M −m g R Sinθ) 2 1 ⇒aC = (2m +3m )R 1 2 1
[例2] 冲击试验机 例 冲击试验机m=18kg , l=840mm, 杆重不计，在 ϕ =70° 杆重不计， 1 时静止释放，冲断试件后摆至 时静止释放，
ϕ2 =29°求：冲断试件需用的能量
解： T = 0, T = 0 1 2 设冲断试件所损失的能量为WK 设冲断试件所损失的能量为
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。 与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ] 13上面结论也适用于刚体的任意运动。 上面结论也适用于刚体的任意运动。
1313-3 动能定理 1、质点的动能定理 、
dυ m = F 两端乘 υdt = dr ， dt
υ ⇒m ⋅dυ = F ⋅dr
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m 单位 （焦耳）
2. 变力在曲线运动中的功 变力在曲线运动中的功: 元功 δ w= F cosθ·ds
= F dx + Fydy + F dz x z
令： = F i + F j + Fk F x y z
dr = dxi +dyj +dzk
自然形式） W = ∫ F cosθ·ds（自然形式） 12
i1
− zi 2 )
2、弹性力的功 弹性力： 弹性力：F =−k(r −l0)er
k——弹簧刚度系数 (N/m) 弹簧刚度系数
弹性力的功： 12 弹性力的功：W = F ⋅ dr ∫
A 1
A 2
= ∫ −k(r −l0)er ⋅ dr
A 1
A 2
er
因 e ⋅dr = r ⋅dr = 1 d(r ⋅ r ) = 1 d(r2) = dr r
Fx = Fy = 0, F = −mg z
2 W = ∫z1 −mgdz = mg(z1 − z2) 12 z
质点系: 质点系
ΣW = ∑ m g(z
12 i
ΣW = mg(zC1 − zC2) 12
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。 重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
m 由 mzC = Σ i zi
其中： 其中：JO = mR2 J = 1 m R 2 ω1 = υC ,ω2 = υC 1 1 C 2 2 R R2 2 1 S ϕ 2 W = M −m gSinθ·S ϕ = 12 R 1
W 由 12 =T −T 2 1
已知： 均质轮C的 纯滚动, 已知：轮O的R1、m1,; 均质轮 的R2、m2纯滚动 初始静止 ;θ, M为 的 为 常力偶。 常力偶。 求：轮心 走过路程 时的速度和加速度 轮心C走过路程 走过路程S时的速度和加速度
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 例 已知： 的 质量分布在轮缘上; 均质轮C 质量分布在轮缘上 均质轮 纯滚动, 的R2、m2纯滚动 初始静止 ;θ, M为常力偶。 为常力偶。 为常力偶 轮心C走过路程 走过路程S时的速度 求：轮心 走过路程 时的速度 和加速度 解： T = 0 1
1 2 2 T = JOω1 + 1 m2υ22 + 1 JCω2 2 2 2 2
2、质点系的动能定理 、
1 2 d( mυi ) =δ w i i 2
求和
1 2 ∑d(2miυi ) = ∑δ wi ——质点系动能定 ——质点系动能定 dT = δ w i 理微分形式
∑
质点系动能的增量， 质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的 元功的和。 元功的和。
T −T = ∑w 2 1 i
∑W = Mϕ
2 3 gMϕ ⇒ω = l 2Q + 9 P ⇒α = ( 2Q + 9 P )l 2