河北省衡水中学12—13上学期高三数学(理科)第三次调研考试试卷

河北衡水中学2012—2013学年度上学期三调考试
高三年级数学试卷(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确
答案的序号填涂在答题卡上)
1．若0>>b a ，则下列不等式不成立的是( ) A ．ab b a 2<+
B ．2
12
1b a >
C ．b a ln ln >
D ．b
a 3.03.0<
2．函数)
1(log 2
32)(22---=x x x x f 的定义域是( )
A ．)2,2
1(-
B ．),2[]2
1,(+∞⋃--∞ C ．),2(+∞
D ．),1[+∞
3．下列命题中的真命题为( )
A ．}{n a 为等比数列，则数列}{3++n n a a 一定是等比数列；
B ．等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为q ．若01>a 且1>q ，则对于任意正整数n ，
都有n n a a >+1；
C ．已知数列}{n a 的前n 项和,13+=n n S 则132-⋅=n n a ．
D ．已知等差数列}{n a 的前n 项和m n S n +-=2)1(2，则0=m ．
4．已知公差不为0的正项等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若421lg ,lg ,lg a a a 也成等差数列，,105=a 则5S 等于( ) A ．30
B ．40
C ．50
D ．60
5．在直角坐标平面内，已知函数)10(3)2(log )(≠>++=a a x x f a 且的图像恒过定点
P ，若角θ的终边过点P ，则θθ2sin cos 2+的值等于( )
A ．
2
1 B ．
10
7 C ．10
7-
D ．2
1-
6．已知数列}{n a 的前n 项和),40(-=n n S n 则下列判断正确的是( ) A ．0,02119<>a a B ．0,02120<>a a C ．0,02119><a a
D ．0,02019><a a
7．设函数)3
π
2sin()(+
=x x f ，则下列结论正确的是( ) A ．)(x f 的图像关于直线3π
=x 对称
B ．)(x f 的图像关于点)0,4
π
(对称
C ．把)(x f 的图像向左平移12
π
个单位，得到一个偶函数的图像
D ．)(x f 的最小正周期为π，且在]6
π
,0[上为增函数
8．函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的图像大致是( )
9．已知偶函数)(x f y =在]0,1[-上为减函数，又βα,为锐角三角形的两内角，则必须( )
A ．)(cos )(sin βαf f >
B ．)(cos )(sin βαf f <
C ．)(sin )(sin βαf f >
D ．)(cos )(cos βαf f >
10．设曲线)N (*∈=n x y n 与x 轴及直线1=x 围成的封闭图形的面积为n a ，设
1+=n n n a a b ，则=+++201221b b b ( )
A ．
1007
503
B ．
2012
2011
C ．
2013
2012
D ．
2014
2013
11．若实数t 满足t t f -=)(，则称t 是函数)(x f 的一个次不动点．设函数x x f ln )(=与
函数x x g e )(=(其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m ，则( ) A ．0<m
B ．0=m
C ．10<<m
D ．1>m
12．设不等式组)N (40
0*∈⎪⎩
⎪
⎨⎧+-≤>>n n nx y y x 表示的平面区域为n n a D ,表示区域n D 中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点)，则
=++++)(2012
1
2012642a a a a ( ) A ．1012
B ．2012
C ．3021
D ．4001
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上) 13．已知
2
2
)4
π
sin(2cos =
-αα，则ααsin cos +等于________． 14．已知p q p ,0,0>>与q 的等差中项为
21，且q
q y p p x 1
,1+=+=，则y x +的最小值为________．
15．在直角坐标系中，O 是坐标原点，),(),,(222111y x P y x P 是第一象限的两个点，若
4,,,121x x 依次成等差数列，而8,,,121y y 依次成等比数列，则△21P OP 的面积是
________．
16．下列几个命题：
①不等式
11
3
+<-x x 的解集为}2,2|{>-<x x x 或；
②已知b a ,均为正数，且
14
1=+b
a ，则
b a +的最小值为9； ③已知9,42222=+=+y x n m ，则ny mx +的最大值为2
13
；
④已知y x ,均为正数，且023=-+y x ，则1273++y
x
的最小值为7； 其中正确的有________．(以序号作答)
三、解答题(共6个小题，第17题10分，其余每个小题12分，共70分) 17．(本小题满分10分)已知函数)R (cos 3cos sin 2sin )(22∈+-=x x x x x x f
(Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期； (Ⅱ)当]π,24
π
19[
∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．
18．(本小题满分12分)
已知数列}{n a 满足：)N ,2(,,1*11∈≥+==-n n n a a a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设n
n a b 1
=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．
19．(本小题12分)已知函数,2cos 3)3
π
2sin()3π2sin()(m x x x x f -+-++
=若)(x f 的最大值为1
(1)求m 的值，并求)(x f 的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，角C B A 、、的对边c b a 、、，若13)(-=B f ，且
c b a +=3，试判断三角形的形状．
20．(本题满分12分)
已知：.3,2,1,)1()1(,)(221 =⋅-=-+++=n n f x a x a x a x f n n n n n (1)求;321a a a 、、
(2)求数列}{n a 的通项公式； (3)求证：1)3
1(<n f
21．(本小题满分12分)已知函数),1()1ln(
)(+-+=x a x x x f 其中a 为常数． (Ⅰ)若当),1[+∞∈x 时，0)('>x f 恒成立，求a 的取值范围； (Ⅱ)求1
)(')(+-=x ax
x f x g 的单调区间．
22．(本小题满分12分)
设.3)(,ln )(23--=+=
x x x g x x x
a
x f (1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线的斜率；
(2)如果存在]2,0[,21∈x x ，使得M x g x g ≥-)()(21成立，求满足上述条件的最大整数M ；
(3)如果对任意的]2,2
1[,∈t s ，都有)()(t g s f ≥成立，求实数a 的取值范围．
2012—2013学年度上学期三调考试
高三年级数学试卷(理)答案
一、选择题
ACBAD CCBAA BC 二、填空题 13．2
1-
14．5 15．1 16．②④
三、解答题(共6个小题，第17题10分，其余每个小题12分，共70分) 17．解：
x x x f 2cos 22sin 1)(+-=
)4
π
2cos(222sin 2cos 2++=-+=x x x ……3分
(Ⅰ))(x f 的周期是：π=T ……5分 (Ⅱ)π24π19≤≤x
4
π
94π2π611≤+≤∴x
1)4
π
2cos(22≤+≤∴
x ……8分 22)(3:,22)4
π
2cos(223+≤≤+≤++≤∴x f x 即
∴函数)(x f 的最小值为3，最大值为22+……10分
18．解：
(Ⅰ))N ,2(*1∈≥=--n n n a a n n
)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a
)N (,2
)
1(321*∈+=
++++=n n n n 当1=n 时满足上式，2)
1(+=∴n n a n ．……6分
(Ⅱ))1
11(2)1(21+-=+==
n n n n a b n n ……9分 n n b b b S +++=∴ 21
)]111()3121()211[(2+-++-+-=n n
1
2)111(2+=+-=n n
n ……12分
19．解：
(1)1)(=x f m x m x x -+
=-+)3
π
2sin(22cos 32sin ……3分 m x f -=2)(max 所以1=m ，……4分
令)Z (π22
π
3π2π22π∈+≤+≤+-
k k x k 得到 单调增区间为Z )12
π
π,12π5π(∈+-k k k ……6分 (2)因为6
π
,131)3π2sin(2,13)(=-=-+-=B B B f 则……8分
又)6
π
5sin(
21sin 3,sin sin sin 3,3A A C B A c b a -+=+=+=则 (10)
分
3π,21)6πsin(==-A A ，所以2
π
=C ，故△ABC 为直角三角形……12分
20．解：
(Ⅰ)由已知,1)1(11-=-=-a f 所以11=a
2)1(212=+-=-a a f ，所以32=a
,3)1(3213-=-+-=-a a a f 所以53=a ……3分
(Ⅱ)n n f f a n n n n n n ⋅--+⋅-=---=⋅-++++)1()1()1()1()1()1(1111
n n a n ++=∴+)1(1
即121+=+n a n
所以对于任意的*
N ∈n ，12-=n a n ……7分 (Ⅲ)n n x n x x x x f )12(53)(32-++++=
n n n f )31
)(12()31(5)31(331)31(32-++++=∴ ①
1432)3
1
)(12()31(5)31(3)31()31(31+-++++=⋅n n n f ② ①－②，得
132)3
1
)(12()31(2)31(2)31(231)31(32+--+++=n n n n f ……9分 n n n n n )31(32232)31)(12(3
11])31(1[923111--=----+=+-。