肇庆市必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．已知定义在0,
上的函数()f x ，f
x 是()f x 的导函数，满足
()()0xf x f x '-<，且()2f ＝2，则()0x x f e e ->的解集是（ ）
A ．(
)2
0,e
B ．()ln2+∞,
C ．()ln2-∞,
D ．(
)
2
e +∞,
2．已知函数
()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成
立，设12a f ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
，()2b f =，()3c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a <<
D ．a b c <<
3．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，当0x y <<时，都有
()()f x f y >，且112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（ ）
A ．[)1,0-
B ．[)4,0-
C ．(]3,4
D ．[)
(]1,03,4-
4．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(,1)-∞
D ．(1,)+∞
5．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式—
—双曲余弦函数：()cosh x f x c a c a =+=2
x
x
a a
e e a -
++⋅（e 为自然对数的底数）．当
0c
，1a =时，记(1)p f =-，12m f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，(2)n f =，则p ，m ，n 的大小关系为（ ）．
A ．p m n <<
B ．n m p <<
C ．m p n <<
D ．m n p <<
6．函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫
<+ ⎪⎝⎭
，那么（ ） A ．可能不存在单调区间 B ．()f x 是R 上的增函数 C ．不可能有单调区间
D ．一定有单调区间
7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =且对任意的正数a ，b (a
b )，有
()()0f a f b a b -<-，则不等式()
0f x x
<的解集是（ ）
A ．()()2021,02021,-+∞
B ．()()2021,00,2021-
C ．()
(),20212021,-∞-+∞ D ．()
(),20210,2021-∞-
8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有
()()()()12120x x f x f x -->成立，则不等式()()2120x f x x -->的解集是（ ）
A ．()
(),11,2-∞ B ．()()0,11,+∞
C ．()(),01,2-∞
D ．()()0,12,⋃+∞
9．已知函数()f x 的定义域为,(4)R f x +是偶函数，(6)3f =，()f x 在(,4]-∞上单调递
减，则不等式(24)3f x -<的解集为（ ） A ．(4,6)
B ．(,4)(6,)-∞⋃+∞
C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞
D ．(3,5)
10．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[1,1]x ∈-都有
()()f x f x -=-；②任意的,[0,1]m n ∈，当m n ≠，都有()()
0f m f n m n
-<-，则不等式
(12)(1)0f x f x -+-<的解集是（ ）
A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．11,
2⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭
D ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
11．设函数()()
21213
1
log 1313
x x
e e x
f x x -
-=++
++，则做得()()31f x f x ≤-成立的x 的
取值范围是（ ） A ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭ D ．11,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
12．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）(2)()f x f x -=；（2）
(2)(2)f x f x +=-；（3）12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->．则
(2019),(2020),(2021)f f f 的大小关系是（ ）
A ．(2021)(2020)(2019)f f f >>
B ．(2019)(2020)(2021)f f f >>
C ．(2020)(2021)(2019)f f f >>
D ．(2020)(2019)(2021)f f f >>
13．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A ．()f x =2
()f x =
B ．,0
(),0
x x f x x x ≥⎧=⎨
-<⎩与()||g t t =
C ．()f x =
()g x =．()
1f x x 与2
()1x g x x
=-
14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足下列两个条件： ①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-；
②x ∀∈R ，都有()()8f x f x +=.
若()7a f =-，()11b f =，()2020c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
15．下列函数中，在[)1,+∞上为增函数的是 A ．()2
2y x =-
B ．1y x =-
C ．11
y x =
+ D ．()2
1y x =-+
二、填空题
16．已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，则使不等式
(1)
0f x x
+≤成立的x 的取值范围是_________. 17．已知函数()2
42f x x a x =-++，[]4,4x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a 的取值范围是______．
18．设非零实数a ，b 满足224a b +=，若函数21
ax b
y x +=
+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=_________.
19．函数2
2y x x c =--在[]0,a 上的最大值为b ，则b a -最小值为__________．
20．记号{}max ,m n 表示m ，n 中取较大的数，如{}max 1,22=．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，()222max ,4x f x x x a a ⎧⎫
=-+-⎨⎬⎩⎭
．若0x <时，()f x 的最
大值为1，则实数a 的值是_________．
21．函数()1
2f x x
=
-的定义域为__________. 22．已知()f x =2243,0
23,0
x x x x x x ⎧-+≤⎨--+<⎩不等式()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成
立，则实数a 的取值范围是________.
23．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()3f x f x =+，若()21f =-，则
()2020f =______.
24．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式()()
f x f x x
--<0的解集
为________.
25．已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)(4)f a f -<，则a 的取值范围为____． 26．已知函数()1lg
11x
f x x
-=++，若()4f m =，则()f m -=______.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 由导数公式得出2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡
⎤=<⎢⎥⎣⎦
，从而得出函数()f x x 的单调性，将不等式()
0x
x
f e e ->可化为
()(2)2
x x
f e f e >
，利用单调性解不等式即可.
【详解】
因为2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦
，所以函数()f x x 在区间0,上单调递减
不等式()0x
x
f e e
->可化为
()(2)2
x x
f e f e >
，即2x
e <，解得ln 2x <
故选：C 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是由导数公式得出函数
()
f x x
的单调性，利用单调性解不等式. 2．A
解析：A 【分析】
推导出函数()f x 为()1,+∞上的增函数，且有()()11f x f x +=-，可得出52a f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
进而可得出a 、b 、c 的大小关系.
【详解】
当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x >， 所以，函数()f x 为()1,+∞上的增函数， 由于函数
()1f x +是偶函数，可得()()11f x f x +=-，
1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
5
3212>
>>，因此，b a c <<. 故选：A. 【点睛】 思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.
3．A
解析：A 【分析】
采用赋值法，令1x y ==求得()10f =，同理可求()21f =-，()42f =-； 化()()32f x f x -+-≥-为()
()2
34f x x f -≥，再结合单调性解不等式得结果.
【详解】
令1x y ==，得()()121f f =即()10f =，令1
2x =，2y =则()()1122f f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
得()21f =-，
令2x y ==，()()()4222f f f =+=-，所以由()()32f x f x -+-≥-得
()()234f x x f -≥；又因为函数()f x 的定义域为()0,∞+，且0x y <<时，都有
()()f x f y >，
所以203034x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ 即03
14x x x <⎧⎪
<⎨⎪-≤≤⎩
所以10x -≤<， 即不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为[)1,0-. 故选：A 【点睛】
思路点晴：抽象函数往往通过赋值法来解决问题.
4．C
解析：C 【分析】
先根据题意得幂函数解析式为3()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】
解：因为幂函数()(1)n
f x a x =-的图像过点(2,8)， 所以1128n
a -=⎧⎨
=⎩，所以23
a n =⎧⎨=⎩，所以3
()f x x =， 由于函数3()f x x =在R 上单调递增，
所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <． 故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C. 【点睛】
本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
5．C
解析：C 【分析】
先利用导数证明函数()f x 在区间0,上单调递增，再结合单调性比较大小即可.
【详解】
由题意知，()2x x e e f x -+=，21()22x x x x
e e e
f x e
--+-'== 当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在区间0,
上单调递增
1(1)(1)2
e e
f f -+-==
1
0122<
<<，1(1)(2)2f f f ⎛⎫
∴<< ⎪⎝⎭
，即m p n << 故选：C 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数()f x 的单调性，再结合单调性比较大小.
6．A
解析：A 【分析】
根据题意，举出两个满足()12f x f x ⎛⎫
<+ ⎪⎝⎭
的例子，据此分析选项可得答案. 【详解】
根据题意，函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛
⎫<+ ⎪⎝
⎭
， 则()f x 的解析式可以为：
()2,1 1.51,0.510,00.5
x f x x x ⎧
⎪<≤⎪⎪
=<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩
，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，
不是增函数，没有单调区间，
也可以为()f x x =，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭
， 是增函数，其递增区间为R ，
则()f x 可能存在单调区间，也可能不存在单调区间， 则A 正确；BCD 错误； 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数单调性的定义，构造反例是解决本题的关键.
7．C
解析：C 【分析】
首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据函数是奇函数，可知函数在(),0-∞的单调性和零点，最后结合函数的零点和单调性，求解不等式. 【详解】
对任意的正数a ，b (a
b )，有
()()
0f a f b a b
-<-，
()f x ∴在()0,∞+上单调递减，
定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =，
()f x ∴在(),0-∞单调递减，且()()202120210f f -=-=， ()
0f x x <等价于()00x f x >⎧⎨
<⎩ 或()00x f x <⎧⎨>⎩
， 解得：2021x >或2021x <-， 所以不等式解集是()(),20212021,-∞-+∞.
故选：C 【点睛】
方法点睛：一般利用函数奇偶性和单调性，解抽象不等式包含以下几点： 若函数是奇函数，首先确定函数在给定区间的单调性，然后将不等式转化为
()()12f x f x <的形式，最后运用函数的单调性去掉“f ”，转化为一般不等式求解；
若函数是偶函数，利用偶函数的性质()()()f x f x f
x -==，将不等式()()
1
2
f x f x <
转化为()()1
2
f x f x <，再利用函数在[)0,+∞的单调性，去掉“f ”，转化为一般不等式
求解.
8．C
解析：C 【分析】
根据条件先判断出()f x 的单调性，根据单调性得到()f x 取值的特点，根据1x -与0的关系，采用分类讨论的方法解不等式，从而求解出解集. 【详解】
因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()
12120x x f x f x -->成立，所以()f x 为R 上增函数，
又因为()f x 为R 上奇函数，所以0x <时，()0f x <；0x >时，()0f x >；0x =时，()0f x =；
当10x -=时，1x =，此时()()
2
012x f x x --=，不符合条件；
当10x ->时，因为()()2
120x f x x -->，所以220
10
x x x ⎧->⎨->⎩，解得0x <；
当10x -<时，因为()()2
120x f x x -->，所以220
10x x x ⎧-<⎨-<⎩
，解得12x <<；
所以()()
2
120x f x x -->的解集为()
(),01,2-∞，
故选：C. 【点睛】
结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有
()()()()12120x x f x f x -->或
()()1212
0f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；
（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有
()()()()12120x x f x f x --<或
()()
12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数. 9．D
解析：D 【分析】
由题知函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则有()f x 在[4,)+∞上单调递增，且有
(6)(2)3f f ==，再利用单调性解不等式即可得结果.
【详解】
因为(4)f x +是偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线4x =对称，则(6)(2)3f f ==.
因为()f x 在(,4]-∞上单调递减，所以()f x 在[4,)+∞上单调递增， 故(24)3f x -<等价于224x <-6<，解得35x <<. 故选：D 【点睛】
关键点睛：本题的关键是能得出函数()f x 的图象关于直线4x =对称，进而判断出函数的单调性来，要求学生能够熟悉掌握函数性质的综合应用.
10．D
解析：D 【分析】
根据题意先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式变形得(12)(1)f x f x -<-，再利用单调性和定义域列出关于x 的不等式求解. 【详解】
根据题意，由①知函数()f x 为奇函数，由②知函数()f x 在[0,1]上为减函数，所以可得函数()f x 在[]1,1-是奇函数也是减函数，所以不等式(12)(1)0f x f x -+-<，移项得
(12)(1)f x f x -<--，变形(12)(1)f x f x -<-，所以11121x x -≤-<-≤，得
203
x ≤<
. 故选：D. 【点睛】 本题考查的是函数单调性与奇偶性的综合问题，需要注意：
（1）判断奇偶性：奇函数满足()()f x f x -=-；偶函数满足()()f x f x -=； （2）判断单调性：增函数()[]
1212()()0x x f x f x -->；1212
()()
0f x f x x x ->-；
减函数：()[]1212()()0x x f x f x --<；
1212
()()
0f x f x x x -<-；
（3）列不等式求解时需要注意定义域的问题.
11．D
解析：D 【分析】
先判断()f x 是偶函数且在0,上递减，原不等式转化为31x x ≥-，再解绝对值不
等式即可. 【详解】
()()()21122
113
3
1
11log 13log 131313x x x
x
e e e e x
x
f x x x -
--
⎛⎫
=+++=+++ ⎪++⎝⎭，
()12
13
11log 1,,313x x
e e x
y x y y -
⎛⎫
=+== ⎪+⎝⎭在0,
上都递减
所以()f x 在0,
上递减，
又因为()()()
()1213
11log 1313x x
e e x
f x x f x ---
-⎛⎫
-=+-+
+= ⎪+⎝⎭
，
且()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数， 所以()()()()313131f x f x f x f x x x ≤-⇔≤-⇔≥-，
可得113142x x x x -≤-≤⇒≤≤，x 的取值范围是11,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 故选：D. 【点睛】
将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
12．B
解析：B 【分析】
根据已知可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，周期为4，且在[]1,3上为增函数，得出()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =，根据单调性即可比较(2019),(2020),(2021)f f f 的大小． 【详解】
解：∵函数()f x 满足：
(2)()f x f x -=，故函数的图象关于直线1x =对称；
(2)(2)f x f x +=-，则()()4f x f x +=，故函数的周期为4；
12,[1,3]x x ∈ 时，1212()[()()]0x x f x f x -->，故函数在[]1,3上为增函数；
故()()20193f f =，()()()202002f f f ==，()()20211f f =， 而()()()321f f f >>，所以(2019)(2020)(2021)f f f >>. 故选：B. 【点睛】
本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．
13．B
解析：B 【分析】
根据同一函数的概念及判定方法，分别求得两函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可
求解.
【详解】
对于A 中，函数()f x =R ，函数2()f x =的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B 中，函数,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与,0(),0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩
定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数；
对于C 中，函数()f x =210x -≥，解得1x ≤-或1≥x ，
即函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，
函数()g x =1010x x +≥⎧⎨-≤⎩
，解得11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[]1,1-，
两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D 中，函数()1f x x 的定义域为R ，函数2()1x g x x
=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，
两函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了同一函数的概念及判定，其中解答中熟记两个函数是同一函数的判定方法是解答得关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.
14．D
解析：D
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.
【详解】
解：由①对任意的1x ，[]24,8x ∈，且12x x ≠，都有()()
12120f x f x x x ->-可得()f x 在
[]4,8上单调递增，
根据偶函数的对称性可知，()f x 在[]8,4--上单调递减，且函数周期为8，
()7a f =-，()()()1135b f f f ===-，()()()202044c f f f ===-， 故a b c >>.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性周期性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思
想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
15．B
解析：B
【解析】
对于A ,函数()2
2y x =-的图象是抛物线，对称轴是x =2，当x <2时是减函数，x >2时是增函数，∴不满足题意； 对于B ,函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩
，∴当1≥x 时，是增函数，x <1时，是减函数，∴满足题意；
对于C ,函数11
y x =+，当x <−1，x >−1时，函数是减函数，∴不满足题意； 对于D ,函数()21y x =-+的图象是抛物线，对称轴是x =−1，当x >−1时是减函数，x <−1时
是增函数，∴不满足题意；故选B.
二、填空题
16．【分析】先由定义域为R 的偶函数在区间内单调递减且画出的草图结合图象对进行等价转化解不等式即可【详解】由题意可知在区间内为增函数函数的图象可看作是由的图象向左平移1个单位长度得到的作出和的大致图象如图 解析：[)()2,00,-⋃+∞
【分析】
先由定义域为R 的偶函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递减，且()10f -=，画出()f x 的草图，结合图象对
(1)0f x x +≤进行等价转化，解不等式即可. 【详解】
由题意可知()f x 在区间(),0-∞内为增函数，函数()1y f x =+的图象可看作是由()y f x =的图象向左平移1个单位长度得到的，作出()y f x =和()1y f x =+的大致图象，如图所示.
不等式(1)0f x x
+≤可化为： (
)010x f x <⎧⎨+≥⎩，当0x <时()10f x +≥，观察图象，得20x -≤<； ()010x f x >⎧⎨+≤⎩
，当0x >时()10f x +≤，观察图象，得0x >； 所以不等式的解集为[)()2,00,-⋃+∞
故答案为：[)()2,00,-⋃+∞.
【点睛】
常见解不等式的类型：
(1)解一元二次不等式用图象法或因式分解法；
(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；
(3)高次不等式用穿针引线法；
(4)含参数的不等式需要分类讨论．
17．【分析】等价于再画出函数的图象求出函数的最小值即得解【详解】∵的最大值是0∴函数∴当时恒成立当时∴∴设其函数图象如图：由图象可知当时∴实数的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到 解析：6a ≤-
【分析】 等价于2a x ≤--，再画出函数2y x =--，[]4,4x ∈-的图象求出函数的最小值即得解.
【详解】
∵()f x 的最大值是0，
∴函数()()
242220f x x a x x x a =-++=+-+≤， ∴当2x =-时，0f x
恒成立，当2x ≠-时，∴20x a -+≤， ∴2a x ≤--， 设2y x =--，[]4,4x ∈-，其函数图象如图：
由图象可知，当4x =-时，min 426y =---=-，
∴实数a 的取值范围为6a ≤-．
故答案为：6a ≤-．
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是找到原命题的等价命题，由()()220f x x x a =+-+≤得到2a x ≤--在[]4,4x ∈-上恒成立.再画函数的图象求函数的最小值就自然而然了. 18．2【分析】化简得到根据和得到解得答案【详解】则则即故即即故答案为：2【点睛】本题考查了函数的最值意在考查学生的计算能力和转化能力利用判别式法是解题关键
解析：2
【分析】
化简得到20yx ax y b -+-=，根据0∆≥和224a b +=得到
2222
b b y -+≤≤，解得答案.
【详解】 21
ax b y x +=+，则20yx ax y b -+-=，则()240a y y b ∆=--≥， 即22440y yb a --≤，224a b +=，故224440y yb b -+-≤，
()()22220y b y b -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即2222b b y -+≤≤，即22,22
b b m M -+==， 2M m -=.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键. 19．【分析】对称轴是因此的最大值在中取得然后分类讨论当时在中取得时在中取得求出然后作差根据不等式的性质求得的最大值【详解】设的对称轴是显然的最大值在中取得当时时此时若即时若时若时若即时时取等号若即时时取 解析：32
- 【分析】
22()2(1)1g x x x c x c =--=---，对称轴是1x =，因此()g x 的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得．然后分类讨论，当02a <<时，在(0)g ，(1)g 中取得，2a ≥时，在(1)g ，()g a 中取得．求出b ，然后作差b a -，根据不等式的性质求得b a -的最大值．
【详解】
设22
()2(1)1g x x x c x c =--=---，(0)g c =-，(1)1g c =--，2()2g a a a c =--，
()g x 的对称轴是1x =，显然()y g x =的最大值在(0)g ，(1)g ，()g a 中取得． 当02a <<时，
10c --≥，1c ≤-时，(0)b g c c ==-=-，此时b a c a -=--121>-=-，
10c --<，若1c c --≤-，即112
c -<≤-时，(0)b g c c ==-=-，13222
b a
c a -=-->-=-， 若1c c -->-，12c >-时，(1)111b g c c c ==--=+=+，1311222
b a
c a -=+->--=-， 若2a ≥时， 若2
12c a a c --≤--，即2212a a c --≤时，22()22b g a a a c a a c ==--=--， 2222
21(2)3333222a a a b a a a c a a -----=--≥--=≥-，2a =时取等号， 若2
12c a a c -->--，即2212a a c -->时，(1)11b g c c ==--=+1c =+，222141311222
a a a a
b a
c a a ---+-=+->+-=≥-，2a =时取等号．
综上所述，b a -的最小值是32-
． 故答案为：32
-
． 【点睛】 方法点睛：本题考查绝对值的最大值问题，解题关键是求出最大值b ，方法是分类讨论，
由于有绝对值符号，引入二次函数2()2g x x x c =--后确定b 只能在(0)g ，(1)g ，
()g a 中取得．然后分类讨论求得最大值．才可以作差b a -得其最小值．
20．【分析】首先将时函数写成分段函数的形式并求函数的最小值根据奇函数的性质可知时的最小值是建立方程求【详解】当时解得：此时令解得此时所以时函数又因为此时是定义在上的奇函数所以图象关于原点对称时函数的最小
解析：±
【分析】
首先将0x >时，函数()f x 写成分段函数的形式，并求函数的最小值，根据奇函数的性质可知0x >时的最小值是1-，建立方程求a
【详解】 当0x >时，22240x x x a a -+-+≥，解得：202x a <≤，此时()2
2x f x x a
=-+，令22240x x x a a
-+-+<，解得22x a >，此时()24f x x a =-， 所以0x >时，函数()22
2
224,2,02x a x a f x x x x a a
⎧-≥⎪=⎨-<≤⎪⎩，又因为此时()f x 是定义在R 上的奇函数，所以图象关于原点对称，0x ∴>时，函数的最小值是-1，
当22x a ≥时，函数单调递增，()222
min 242f x a a a =-=-， 当202x a <≤时，()2
22222124x a a f x x x a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭， 函数的()()22min 22f x f a a ==-，
所以0x >时，函数的最小值是22a -，即221a -=-，
解得：2a =±
.
故答案为：2
±
【点睛】
思路点睛：本题主要考查分段函数与函数性质的综合应用，首先根据新定义，正确写出函数()f x 的表达式，这是本题最关键的一点，然后就转化为分段函数求最值问题. 21．且【分析】令即可求出定义域【详解】令解得且所以函数定义域为且故答案为:且【点睛】本题考查了函数定义域的求解属于基础题 解析：{
1x x ≥-且}2x ≠
【分析】 令1020x x +≥⎧⎨-≠⎩
即可求出定义域. 【详解】
令1020
x x +≥⎧⎨-≠⎩ ，解得1x ≥-且2x ≠， 所以函数定义域为{1x x ≥-且}2x ≠
故答案为: {
1x x ≥-且}2x ≠.
【点睛】
本题考查了函数定义域的求解，属于基础题. 22．(－∞－2)【分析】讨论分段函数各区间上单调递减且在处连续可知在R 上单调递减结合在aa ＋1上恒成立根据单调性列不等式求参数范围即可【详解】二次函数的对称轴是x ＝2∴该函数在(－∞0上单调递减即在(－
解析：(－∞，－2)
【分析】
讨论分段函数()f x 各区间上单调递减，且在3x =处连续可知()f x 在R 上单调递减，结合()(2)f x a f a x +>-在[a ，a ＋1]上恒成立，根据单调性列不等式求参数范围即可
【详解】
二次函数2143y x x =-+的对称轴是x ＝2
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，即在(－∞，0]上13y ≥
同理，函数2223y x x =--+在(0，＋∞)上单调递减，即在(0，＋∞)上23y <
∴分段函数()f x 在3x =处连续，()f x 在R 上单调递减
由()(2)f x a f a x +>-有2x a a x +<-，即2x < a 在[a ，a ＋1]上恒成立
∴2(a ＋1) < a ，解得a <－2
∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)
故答案为：(－∞，－2)
【点睛】
本题考查了函数的单调性，确定分段函数在整个定义域内的单调性，再利用单调性和不等式恒成立的条件求参数范围
23．1【分析】首先根据题中所给的条件判断出函数的最小正周期结合奇函数的
定义求得结果【详解】因为所以函数是以3为周期的周期函数且是定义域为的奇函数所以故答案为：1【点睛】该题考查的是有关函数的问题涉及到的 解析：1
【分析】
首先根据题中所给的条件，判断出函数的最小正周期，结合奇函数的定义，求得结果.
【详解】
因为()()3f x f x =+，所以函数()f x 是以3为周期的周期函数，
且是定义域为R 的奇函数，
所以(2020)(67432)(2)(2)1f f f f =⨯-=-=-=，
故答案为：1.
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与周期性的综合应用，属于简单题目.
24．(－10)∪(01)【分析】首先根据奇函数f(x)在(0＋∞)上为增函数且f(1)＝0得到f(－1)＝0且在(－∞0)上也是增函数从而将不等式转化为或进而求得结果【详解】因为f(x)为奇函数且在(0
解析：(－1，0)∪(0，1)
【分析】
首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上
也是增函数，从而将不等式转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩
，进而求得结果. 【详解】
因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，
所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数. 因为()()f x f x x --＝2·()f x x
<0， 即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩
解得x ∈(－1，0)∪(0，1).
故答案为：(－1，0)∪(0，1).
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.
25．【分析】由偶函数的性质将不等式表示为再由函数在区间上的单调性得出与的大小关系解出不等式即可【详解】函数是上的偶函数所以由得函数在区间上单调递增得解得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查函数不 解析：17a -<<
【分析】
由偶函数的性质()()f x f x =将不等式表示为()()34f a f -<，再由函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性得出3a -与4的大小关系，解出不等式即可．
【详解】
函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()f x f
x =， 由()()34f a f -<，得()()34f a f -<，
函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，34a ∴-<，得434a -<-<， 解得17a -<<，因此，实数a 的取值范围是()1,7-，故答案为()1,7-．
【点睛】
本题考查函数不等式的求解，对于这类问题，一般要考查函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为()()12f x f x <（若函数为偶函数，可化为()()12
f x f x <），结合单调性得出1x 与2x 的大小（或1x 与2x 的大小）关系，考查推理能力与分析问题的能力，属于中等题．
26．【分析】首先构造新的函数然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性用整体思想求解出【详解】令则又为上的奇函数又故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性构造方法构造新的函数整体思想求出答案属于中档题 解析：2-
【分析】
首先构造新的函数，然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，用整体思想求解出()()12f m g m -=-+=-.
【详解】 令1()lg 1x g x x
-=+ (11)x -<<，则()()1f x g x =+， 又11()lg
lg ()11x x g x g x x x
+--==-=--+，()g x ∴为(1,1)-上 的奇函数， 又()4f m =，()()13g m f m ∴=-=，()()3g m g m ∴-=-=-，()()12f m g m ∴-=-+=-.
故答案为：2-.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，构造方法构造新的函数，整体思想求出答案 ，属于中档题.。