2.2.2事件的相互独立性课件-人教A版高二数学选修2-3

题型四 综合应用与实际应用 【例题4】某学生语、数、英三科考试成绩在一 次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学 为0.8，英语为0.85，求在一次考试中(1)三科成绩 均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩 未获得第一名的概率是多少？
[解析] 分别记该学生语、数、英考试成绩排 名全班第一的事件为 A,B,C，则 A,B,C 两两互 相独立,且 P(A)=0.9,P(B)=0.8，P(C)=0.85. (1)“ 三 科 成 绩 均 未 获 得 第 一 名 ” 可 以 用 －A －B －C 表示，P(－A －B －C )＝P(－A )P(－B )P(－C )
事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生 的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立 事件。即P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)
因而有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) 如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，
A与B是不是相互独立的？ 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
2．2 二项分布及其应用
2.2.2 事件的相互独立性
石首一中高二数学组
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？ 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如 果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生， 这样的两个互斥事件叫对立事件. ②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式 是什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
[解析] ①事件A与B是互斥事件，故A与B不是 相互独立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反 面没有影响，∴A与B相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件A的发 生对事件B发生的概率没有影响，∴A与B相互 独立．
题型二 求相互独立事件的概率 【例题2】甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌
【跟踪训练 2】甲、乙、丙三人参加了一家公 司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表 示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人 面试都合格就一同签约．否则两人都不签约．设
每人面试合格的概率都是1，且面试是否合格 2
互不影响，求： (1)至少有 1 人面试合格的概率； (2)签约人数ξ的分布列．
[解析] 用 A、B、C 分别表示事件甲、乙、 丙面试合格．由题意知 A、B、C 相互独立，
分别为0.8、0.6、0.5，且各题答对与否相互之 间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率
是___0_._4_6___ ．
[解析] 设“同学甲答对第 i 个题”为事件 Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3) ＝0.5，且 A1、A2、A3 相互独立，同学甲得分 不低于 300 分对应于事件 A1A2A3∪A1－A 2A3∪ －A 1A2A3 发生，故所求概率为
P( A B) P( A) P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时发 生的概率，等于每个事件的概率的积。
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立， 那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件 发生的概率的积，即
P(A1·A2·……·An)=P(A1)·P(A2)·……·P（An）
如.判断下列事件是否为相互独立事件.
[分析] 解答本题可先看两个事件中其中一个事 件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影 响，再判断两事件是否相互独立．
[解析] (1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否 发生，对“从乙组选出1名女生”这一事件发生 的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是
击中敌机的可能性，所以 A与B独立,进而
A 与 B独立.
C A B AB
P(C) 1 P(C ) 1 P( A)P(B ) 1 [1 P( A)][1 P(B)] 1 (1 0.6)(1 0.5) = 0.8
注意：
A B AB AB A B
列表比较
互斥事件
定义 不可能同时发 生的两个事件
且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝12. (1)至少有 1 人面试合格的概率是 1－P( A— B— C—)＝1－P( A )P( B )P( C )＝ 1－(12)3＝78.
(2)ξ的可能取值为 0、1、2、3. P(ξ=0)=P( A—B C—)+P( A— B—C)+P( A— B— C—)
P( A B A B) P( A) P(B) P(A)P(B)
P( A)P(B)
P(A B A B A B)
1
1 P(A)P(B)
题型探究
题型一 相互独立事件的判断
【例题1】判断下列各对事件是否是相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生、3名女 生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比 赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选 出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个 黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是 白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出 的还是白球”．
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003， 即三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以 用(－A BC)∪(A－B C)∪(AB－C )表示．
由于事件 －A BC、A－B C 和 AB －C 两两互斥， 根据概率加法公式和相互独立事件的意 义，所求的概率为：
P(－A BC)＋P(A－B C)＋P(AB－C ) =P(－A )P(B)P(C)+P(A)P(－B )P(C)+P(A)P(B)P(－C ) =[1 － P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1 － P(B)]P(C) ＋ P(A )P(B )[1－P(C)] ＝ (1 － 0.9)×0.8×0.85 ＋ 0.9×(1 － 0.8)×0.85 ＋ 0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329.
① 篮球比赛的“罚球两次”中，
事件A：第一次罚球，球进了. 是
事件B：第二次罚球，球进了.
②袋中5个球（3红2白），采取不放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
不是
③袋中5个球（3红2白），采取有放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
【跟踪训练1】
下面所给出的两个事件A与B相互独立吗？
①抛一枚骰子,事件A=“出现1点”,事件B=“出现2点”；
②先后抛掷两枚均匀硬币，事件A＝“第一枚出现正 面”，事件B＝“第二枚出现反面”；
③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一 个小球，观察颜色后放回袋中，事件A＝“第一次取到
绿球”，B＝“第二次取到绿球”．
白球”的概率为5，若这一事件发生了，则“从 8
剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白
球”的概率为4；若前一事件没有发生，则后一 7
事件发生的概率为5，可见，前一事件是否发生， 7
对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是 相互独立事件．
两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由 事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互 影响．(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概 率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的 积，则事件A，B为相互独立事件．(3)条件概率 法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
如果是不放回呢?
问题探究：
我们知道，当事件A的发生对事件B的 发生有影响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般 是不相等的，但有时事件A的发生，看上去对事 件B的发生没有影响，比如依次抛掷两枚硬币的 结果（事件A）对抛掷第二枚硬币的结果（事件 B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则 称事件A与事件B相互独立。
0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋ 0.4×0.5×0.8 ＋ 0.6×0.5×0.8)×0.6 ＋ 0.4×0.5×0.8 ＝ 0.492.
【跟踪训练3】 同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题， 竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得 100分、100分、200分，答错或不答均得零 分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率
＝ P( A )P(B)P( C ) ＋ P( A )P( B )P(C) ＋ P( A )P( B )P( C )＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝1)＝P(A B C)＋P(AB C )＋P(A B— C—) ＝ P(A)P( B )P(C) ＋ P(A)P(B)P( C ) ＋ P(A)P( B )P( C )＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38. P(ξ＝2)＝P( A BC)＝P( A )P(B)P(C)＝18. P(ξ＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝18.
所以，ξ的分布列是
ξ0123
P
3 8
Байду номын сангаас
3 8
1 8
1 8
题型三 多个事件的相互独立性 【例题3】甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击， 设击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.8，如果只 有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果 有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果 三人都击中，则飞机一定被击落．求飞机被击 落的概率．
P＝P(A1A2A3∪A1－A 2A3∪－A 1A2A3) ＝P(A1A2A3)＋P(A1－A 2A3)＋P(－A 1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(－A 2)·P(A3)＋P(－A 1)P(A2)P(A3) ＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
[分析]利用相互独立事件同时发生的概率求解．
[解析] 设甲、乙、丙三人击中飞机的事件分 别为 A、B、C，依题意知，A、B、C 相互独 立，故所求概率为
P ＝ [P(A· B · C ) ＋ P( A ·B· C ) ＋
P( A ·B ·C)]×0.2＋[P(A·B·C )＋P(A·B ·C)＋
P( A ·B·C)]×0.6 ＋ P(A·B·C) ＝ (0.4×0.5×0.2 ＋
是
思考1.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中
敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求
敌机被击中的概率. 解 设 A={ 甲击中敌机 },B={ 乙击中敌机 },
C={敌机被击中 } 则C=A∪B 依题设,P(A)=0.6,P(B)=0.5 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙
机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有
一人击中敌机的概率为( D )
A．0.9 B．0.2 C．0.7
D．0.5
[解析] 设事件 A、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，
则 P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为
P(A B ＋ A B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.
相互独立事件
事件A是否发生对事件 B发生的概率没有影响
概率 公式
P(A+B)=
P(AB)=
P(A)+P(B)
P(A)P(B)
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
常见类型如下： A、B互斥
A、B独立
P(A B) P(A B)
P(A) P(B) 1 P( A)P(B)
0
P(A) P(B)
P( A B) 1[P(A) P(B)] P( A)P(B)
注意条件：必须 P(A)>0
思考1.甲盒子里有3个白球和2个黑球，乙盒子里 有2个白球和2个黑球，记A=从甲盒子里摸出1个 球，得到白球;B=从乙坛子里摸出1个球，得到白 球,试问事件A是否发生会影响事件B发生的概率 大小吗?(即P(B)=P(B|A)吗?)
思考2.盒中有5个球(3白2黑),每次取出一个,有放 回地取两次,记A=第一次抽取取到白球,B=第二 次抽取取到白球. 试问事件A是否发生会影响事 件B发生的概率大小吗?(即P(B)=P(B|A)吗?)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾 ④.条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A 发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
⑤.条件概率计算公式: P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)