山东省济南市历下区2018年4月中考数学一模试题

3 2018 年九年级学业水平第一次模拟考试
数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
6. 下列运算结果正确的是（ ）
A ．3a 2－a 2 = 2
B ．a 2·a 3= a 6
C ．(－a 2)3 = －a 6
D ．a 2÷a 2 = a
7. 如图所示，从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB ，切点为 B ，连接AO
第 7 题图
第 I 卷（选择题 共 48 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．济南市某天的气温： - 5 ~8℃，则当天最高温与最低温的温差为（ ） A ．13
B ．3
C ．－13
D ．－3 并延长交圆于点 C ，连接 BC ．已知∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为（ ） A ．32°
B ．30°
C ．26°
D ．13°
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个．大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹， 小马有 y 匹，那么可列方程组为( )
2. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
x + y = 100 A ． {
3x + 3y = 100 x + y = 100 x + y = 100 B ． {
x + 3y = 100 x + y = 100 C ． {
3x + 1 y = 100
D ． {
3x + y = 100
3
9．若 x = 是关于 x 的方程 x 2 - 4 3x + m = 0 的一个根，则方程的另一个根是（
）
A.
B ．
C ．
D ． 3．一个几何体的三视图如图所示，那么
这个几何体是（
）
A.9 B ．4
C ． 4
D ． 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，OC 是△OAB 的中
线，点
B 、
C 在反比例函数 y = 2
(x > 0) 的图象上，则△OAB 的面积等于（ ）
x
A ．2
B ．3
C ．4
D ． 6
A.
B ．
C ．
D ．
第 3 题图
4．2014 年底，国务院召开了全国青少年校园足球工作会议，明确由教育部正式牵头负责校园足球工作．2018 年 2 月 1 日，教育部第三场新春系列发布会上，王登峰司长总结前三年的工作时提到：校园足球场地，目前全国校园里面有 5 万多块，到 2020 年要达到 85000 块．其中 85000 用科学记数法可表示为（ ）
第 10 题图
第 11 题图
A ． 0.85 ⨯105
B ． 8.5 ⨯104
C ． 85 ⨯10-3
D ． 8.5 ⨯10-4
11. 如图，直立于地面上的电线杆 AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是
5．如图，AB ∥CD ，CE 交 AB 于点 E ，EF 平分∠BEC ，交 CD 于点 F ，若∠ECF =50°， 则∠CFE 的度数为（
）
A ．35°
B ．45° B
C 、C
D ，测得 BC =6 米，CD =4 米，∠BCD =150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30°，则电线杆 AB 的高度为（
）
C ．55°
D ．65°
第 5 题图
A ． 2 + 2
B ． 4 + 2
C ． 2 + 3
D ． 4 + 3 3 3
3 3
2
2
3
．
12．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿折线A-B-C 运动，当点E 到达点C
时停止运动，过点E 做FE⊥AE，交CD 于F 点，设点E 的运动路程为x，FC=y，
三．解答题（本大题共9 个小题，共78 分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分6 分）
如图2 所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最
大长度是2 ，则矩形ABCD 的面积是( )
5
先化简，再求值：（x - y）2 + y( y + 2x) ，其中x = ，y = ．
20．（本题满分6 分）
A．23 B．25 C．6 D．5
解方程：
2x
x - 2
= 1 -
1
2 -x
．
5 4
第II 卷（非选择题共102 分）
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分．把正确答案填在题中横线上）
13．分解因式：x2 -y2 = ．
14.已知扇形AOB 的半径OA=4，圆心角为90°，则扇形AOB 的面
积为．
15.一次函数y =kx +b 的图象如图所示，则当kx +b > 0 时，x 的
取值范围为．
21．（本题满分6 分）
如图，在□ABCD 中，点E、F 是对角线BD 上的两点，且BF=DE，连接AE、
CF．求证：AE∥CF．
16.菱形ABCD 中，∠A=60°，其周长为32，则菱形的面积为
第15 题图
第21 题图
17.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，将△ABC
折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若
AE=2，则sin∠BFD 的值为．
18.规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x）表示不小
于x 的最小整数，[x）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，
n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2.
第17 题图
22．（本题满分8 分）
如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C，BE∥CO．
(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；
则下列说法正确的是.(写出所有正确说法的序号)
①当x=1.7 时，[x] + (x) + [x) = 6；
②当x=−2.1时，[x] + (x) + [x) = -7 ；
③方程4[x] + 3(x) + [x) = 11的解为1 < x < 1.5 ；
④当-1 < x < 1时，函数y = [x] + (x) + x 的图象与正比例函数y = 4x 的图象有两个
交点.
(2)若DC=8，⊙O 的半径OA=6，求CE 的长．
第22 题图图1第12 题图图2
2
23．（本题满分8 分）
“食品安全”受到全社会的广泛关注，济南市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
第23 题图25．（本题满分10 分）
如图，直角坐标系中，直线y = -
1
x 与反比例函数y =
k
的图象交于A、B 两点．
2 x
已知A 点的纵坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y = -
1
x 沿x 轴向右平移6 个单位后，与反比例函数在第二象限内交
2
于点C．动点P 在y 轴正半轴上运动，当线段PA 与线段PC 之差达到最大时，
求点P 的坐标．
(1)接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的
圆心角为°；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该中学共有学生900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全
知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
(4)若从对食品安全知识达到“了解”程度的2 个女生和2 个男生中随机抽取2 人参加
食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1 个男生和1 个女生的概率．
24．（本题满分10 分）
为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年
的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2015 年图书借阅总量是7500
本，2017 年图书借阅总量是10800 本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2015 年至2017 年的年平均增长率；
（2）已知2017 年该社区居民借阅图书人数有1350 人，预计2018 年达到1440 人，
若2017 年至2018 年图书借阅总量的增长率不低于2015 年至2017 年的年平均
增长率，设2018 年的人均借阅量比2017 年增长a%，求a 的值至少是多少？
第25 题图
26．（本题满分12 分）
以四边形ABCD 的边AB、AD 为底边分别作等腰三角形ABF 和ADE．
（1）当四边形ABCD 为正方形时（如图①），以边AB、AD 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形ABF 和ADE，连接EB、FD，线段EB 和FD 的数量关系是；
（2）当四边形ABCD 为矩形时（如图②），以边AB、AD 为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角三角形ABF 和ADE，连接EF、BD，线段EF 和BD 具有怎样
的数量关系？请说明理由；
（3）当四边形ABCD 为平行四边形时，以边AB、AD 为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰三角形ABF 和ADE，且△EAD 与△FBA 的顶角都为α，连接EF 、
BD，交点为G．请用α表示出∠EGD，并说明理由．
第26 题图27．（本题满分12 分）
如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x 轴于A、B 两点，交y 轴于点C，点
B 的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，4）．连接BC．
（1）求二次函数的解析式和直线BC 的解析式；
（2）点M 是线段BC 上的一个动点（不与B、C 重合），过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N，交x 轴于点P.
①如图1，求线段MN 长度的最大值；
②如图2，连接AM，QN，QP．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN 与
△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；
如果不存在，说明理由．
图1 图2 备用图
第27 题图
图①图②图③。