2023-2024学年吉林省长春市高一上册期末数学试题5(含解析)

2023-2024学年吉林省长春市高一上册期末数学试题
一、单选题
1．设集合{}41A x x =-<<-，{}2B x x =≤-，则()A B =R ð（）
A ．{}42x x -<≤-
B ．{}21x x -≤<-
C ．{}
21x x -<<-D ．{}
1x x <-【正确答案】C
【分析】先求出B 的补集，再由交集定义计算．
【详解】由题可得{}2R B x x =>-ð，所以(){}21R A B x x ⋂=-<<-ð，故选：C.
2．已知扇形的圆心角为3弧度，弧长为6cm ，则扇形的面积为（）2cm .A ．2
B ．3
C ．6
D ．12
【正确答案】C
【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果.【详解】因为扇形的圆心角为3弧度，弧长为6cm ，所以其所在圆的半径为6
23
r ==，因此该扇形的面积是11
62622
S lr ==⨯⨯=2cm .故选：C
3．函数2()log (1)f x x x =+-的零点所在的区间为（
）
A ．1
(,1)
2
B ．53(,)
42C ．3(,2)
2D ．5
(2,)
2
【正确答案】B
【分析】求出()f x 的定义域为()1,+∞，然后把区间端点代入，根据函数零点存在定理进行判断．
【详解】()f x 的定义域为()1,+∞，255153
(log 2044444f =+=-=-<，233
131log 1022
222f ⎛⎫=+=-=> ⎪⎝⎭，(2)20f =>，
2553
(log 0222
f =+>，
因为5
3()042f f
⎛⎫
⋅< ⎪⎝⎭
，由函数零点存在定理得：零点所在的区间为53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭．
故选：B ．
4．下面四个条件中，使b a <成立的必要不充分条件是（）
A ．2
1
a b c -
>B ．2
1a b c +
>C ．a b >D ．33
a b >【正确答案】B
【分析】根据不等式的性质和必要不充分条件的定义判断．【详解】A ，21a b c ->，即2
1a b c ->，能推出b a <，但反之不成立，所以2
1
a b c ->是b a <充分不必要条件，A 不选；B ，21a b c +
>，即21
a b c
->-推不出0a b ->，即b a <，反之b a <，即0a b ->可得2
1
a b c ->-，所以21
a b c
+
>是b a <成立的必要不充分条件，B 可选.C ，a b >推不出b a <，反之也不成立，
所以a b >是b a <即不充分也不必要条件，C 不选.
D ，33a b >可得b a <，反之也成立，所以33a b >是b a <成立的充分必要条件，D 不选.故选：B ．
5．若()2
32ln ln ,2ln ln2,ln2a b c e π⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系为（
）
A ．b a c <<
B ．c<a<b
C ．b<c<a
D ．a b c
<<【正确答案】D
【分析】根据对数的运算性质以及指数函数和对数函数的单调性即可判断．
【详解】因为()1
3
2ln ln
2ln ln ,2ln ln2,2ln23e
a b c ππ
⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，而函数()2ln f x x =在定义
域()0,∞+上递增，1
0ln ln 2123
e
π
<<<<，所以a b c <<．
故选：D ．
6．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫=
=+> ⎪⎝⎭
且1)a ≠的图象可能是A ．B ．
C ．
D ．
【正确答案】D
本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1
x
y a =
过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x
y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭过定
点1(,02
）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.
7．已知1cos 3α=，()cos βα-=，且0βαπ<<<，则cos β=
A ．9
-
B ．3
-
C D ．
9
【正确答案】D
【分析】利用同角三角函数之间的关系求出()33
sin sin αβα=-=-
，再利用()cos cos ββαα=-+⎡⎤⎣⎦求解即可.
【详解】 1cos 3α=
，()cos βα-=，且0βαπ<<<，
0πβα∴-<-<，
(),3sin sin αβα∴==-==()cos cos ββαα⎡⎤∴=-+⎣⎦
()()cos cos sin sin βααβαα
=---1
33⎛=⨯= ⎝⎭
D.三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
8．已知()()()cos (0π,0)f x x x ωϕωϕϕω=+-+<<>对任意实数x 都有
ππ22f x f x ⎛⎫⎛
⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．且函数()f x 的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，
则π4f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值等于（）
A
B ．
C ．1
D ．1
-
【正确答案】D
【分析】利用辅助角公式化简()f x ，根据已知条件可得()f x 的周期为π，进而可得2ω=，由图象平移变换可得平移后的解析式π2sin 26y x ϕ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再由()ππZ 6k k ϕ+=∈结合ϕ的
范围求得ϕ的值可得()f x 的解析式，将π
4
x =代入即可求解.
【详解】()()()πcos 2sin 6f x x x x ωϕωϕωϕ⎛
⎫=+-+=+- ⎪⎝
⎭，
因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛
⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以()()πf x f x =+，可得()f x 的周期为π，
则
2π
πω=，2ω=，所以()π2sin 26f x x ϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，
将函数()f x 的图象向左平移
π
6
个单位后得到
πππ2sin 22sin 2666y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫
⎛
⎫=++-
=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，因为关于原点对称，所以()ππZ 6k k ϕ+
=∈，()π
πZ 6
k k ϕ=-+∈，因为0πϕ<<，所以1k =，5π6ϕ=
，()5ππ2π2sin 22sin 2663f x x x ⎛⎫⎛⎫
=+
-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，所以ππ2π7π12sin 22sin
2144362f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+==⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选：D.
二、多选题
9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则下列结论正确的是（）
A ．()00
f =B ．若()f x 在[)0,∞+上有最小值－1，则()f x 在(],0-∞上有最大值1
C ．若x ＞0时，()22f x x x =-，则x ＜0时，()2
2f x x x
=--D ．若()f x 在[)1,+∞上为增函数，则()f x 在(],1-∞-上为减函数【正确答案】AB
【分析】根据函数的性质逐项分析.
【详解】对于A ，()()()()000,00f f f f =--=-∴=，正确；
对于B ，由于()f x 是在R 上的奇函数，若0x ≥则0x -≤，由()()f x f x -=-且()1f x ≥-，所以()1f x -≤，即(],0-∞上最大值为1，正确；
对于C ，当0x <时，()()()()2
222f x f x x x x x =--=---=+，错误；
对于D ，根据函数图像关于原点对称，当()f x 在[)1,+∞上是增函数，则在(],1-∞-也是增函数，错误；故选：AB.
10．关于函数()ln 2f x x =-，下列描述不正确的有（）
A ．函数()f x 在区间()1,2上单调递增
B ．函数()y f x =的图像关于直线2x =对称
C ．若12x x ≠，但()()12f x f x =，则122x x +=
D ．函数()f x 有且仅有一个零点【正确答案】CD
【分析】通过函数图像的变化，得出()ln 2f x x =-的草图，即可对选项一一判断.【详解】函数()ln 2f x x =-由函数ln y x =变化得，先将x 轴下方的图像翻折到上方可得函数ln y x =的图像，
再将y 轴右侧图像翻折到左侧，右侧不变，可得函数ln ln y x x ==-的图像，再将函数图像向右平移2个单位，可得函数()ln 2ln 2y x x =--=-的图像，则函数()ln 2f x x =-的图像如图所示，
由图像可得函数()f x 在区间()1,2上单调递增，故选项A 正确；由图像可得函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，故选项B 正确；
若12x x ≠，但()()12f x f x =，若1x 、2x 关于直线2x =对称，则124x x +=，故选项C 错误；
由图像得函数()f x 有两个零点，故选项D 错误；综上所述：选项CD 不正确，故选：CD.
11．已知函数242,0,
()21,0,x x x x f x x ⎧-+≥=⎨+<⎩
则（
）
A ．R x ∀∈，()2
f x ≥-
B ．直线9
10
y =
与()f x 的图像有2个交点C ．R x ∃∈，()()
=f x f x -D ．函数()()sin g x f x x =-只有1个零点【正确答案】ABC
【分析】绘制函数()f x 的图像，根据()f x 的性质逐项分析.
【详解】
函数()f x 的图像如上图，其中21x y =+的渐近线是1y =，21x y =+()0x <的值域是
()
1,2，
242y x x =-+的对称轴是2x =，定点坐标是()2,2-，
对于A ，由以上分析可知正确；对于B ，92110-<
< ，910
y ∴=与()f x 由2个交点，正确；对于C ，x ∃使得()()=f x f x -的几何意义是函数()f x 上是否存在两点关于y 轴对称，
构造函数()21
x
g x -=+()0x >，则()g x 与()210x
y x =+<关于y 轴对称，
所以以上问题就等价于()g x 与242y x x =-+在0x >时是否存在交点，构造函数
()()2242221x F x g x x x x x =-+-=-+-，
则有()()22
521312224210,525251160432
F F --=-+⨯-=
>=-+⨯-=-+<，所以存在[]02,5x ∈时，存在()00F x =，正确；
对于D ，()02sin 020g =-=>，()2
22422sin 22sin 20g =-⨯+-=--<，
所以在[]0,2x ∈时存在零点；又()2
44442sin 42sin 40g =-⨯+-=->，
所以在[]2,4x ∈时存在零点，错误；
故选：ABC.
12．函数
2()12sin cos f x x x x ωωω=--的最小正周期为π，下列结论正确是（）
A ．函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
B ．若()()124f x f x -=，则12x x -的最小值为π
C ．将函数()f x 的图像向右平移
3
π
个单位长度后，其图像关于y 轴对称D ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递减
【正确答案】AD
【分析】先求出()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析.
【详解】()2
12sin cos cos 222cos 23f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=--=-=+ ⎝
⎭，
由于最小正周期是π，()22,1,2cos 23f x x T ππωω⎛
⎫∴===+ ⎪⎝
⎭，对于A ，将12x π=
代入()f x 的解析式得：2cos 22cos 0121232f ππππ⎛⎫⎛
⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，,012π⎛⎫ ⎪
⎝⎭是对称点，正确；
对于B ，()()124f x f x -=，表示最大值与最小值之差，所以12x x -的最小值是1
2个周期，即
2
π
，错误；对于C ，()f x 向右平移
3
π
得：()2cos 22cos 23333g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，不是偶函数，其图像不关于y 轴
对称，错误；对于D ，当63x ππ-≤≤时，023x ππ≤+≤，所以()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递减，正确；故选：AD.
三、填空题
13．已知角π
6
α-
的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(，则πsin 23α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭___________．
【分析】根据三角函数的定义和正弦二倍角公式即可求解．【详解】角π6α-
的终边经过点(
，所以sin 2π6α⎛
⎫= ⎪⎭-⎝
1cos 2π6α⎛⎫= ⎪⎭-⎝，
所以ππππsin 2sin 222
66sin c s 36o αααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫-=-=--=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭．
故
2
14．若函数214,0
()21,0x
x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪-+>⎩
则((3))f f -=__________.【正确答案】13
【分析】利用分段函数的性质，先算()3f -，再算((3))f f -即可.
【详解】因为3
1(3)48442f -⎛⎫
-=-=-= ⎪⎝⎭
，所以2((3))(4)44113f f f -==-+=.
故答案为.13
15．若函数()()
2
13
log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为________．
【正确答案】()25，
##[2,5)【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性规则来求()f x 的单调递增区间即可.
【详解】由已知2450x x -++>，得15x -<<，即()f x 的定义域为()1,5-，
求()f x 的单调递增区间，即求函数245y x x =-++在()1,5-上的单调减区间，由二次函数的性质可得函数245y x x =-++在()1,5-上的单调减区间为()2,5.故答案为.()25，
16．若函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，02
π
ϕ<<)的部分图像如图所示，则函数()
f x 在[π-，0]上的单调增区间为_______．
【正确答案】(3,0)-(区间开闭皆可)
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间．
【详解】由图象，知A ＝2，T ＝4
[5(1)]3--＝8，所以，2πω＝8，4πω=，
函数过点（5，－2），所以，2sin(5)24πϕ⨯+=-，即5sin()1
4
π
ϕ+=-因为02
π
ϕ<<
，所以，
5342
ππϕ+=，得：4π
ϕ=，
函数为：()2sin()44f x x ππ
=+，
由：222
4
4
2
k x k π
π
π
π
ππ-
+≤
+
≤
+，得：3818k x k -+≤≤+，
令k ＝0，得函数()f x 在[π-，0]上的单调增区间为()3,0-故答案为()3,0-(区间开闭皆可)
函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π
.T ω
=
(3)由()π
π2
x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22
k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.
四、解答题17．已知2απ<<π，4
sin 5
α=.（1）求
sin cos 2sin cos αα
αα
+-的值；
（2）求cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的值.【正确答案】（1）111
；（2）2225.（1）先计算得到4tan 3
α=-，再根据齐次式计算得到答案.（2）化简得到2cos 2sin 12sin cos 2παααα⎛⎫++=-+ ⎪⎝
⎭，代入数据计算得到答案.【详解】（1）2απ<<π，且4sin 5
α=，∴3cos 5α=-，∴4tan 3α=-.1sin cos tan 11382sin cos 2tan 11113αααααα-
++===----（2）2cos 2sin 12sin cos 2παααα⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭163221225525=-⨯-=-.本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.
18．已知函数2()(1)1(,)R f x a x bx a b =++-∈．
(1)当a ＝b ＝－3时，求函数()f x 的零点；
(2)对任意b ＜－1，函数()f x 恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．
【正确答案】(1)1211,2
x x =-=-(2)5,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】对()f x 作因式分解求出零点；
恒有2个零点意味着0∆>，据此求出a 的范围.
【详解】（1）依题意()()()2231121f x x x x x =---=-++，所以零点为1211,2
x x =-=-；（2）由题意()22
410,14b b a a ∆=++>∴>--，251,144
b b <-∴--<- ，即54a ≥-；综上，（1）零点为121,2x x =-=-，（2）5,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.19．已知()()()()3πsin 2πtan πsin 2πsin tan 3π2f αααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝
⎭=.(1)若()0,2πα∈，且()12
f α=-，求α的值.
(2)若()3π125f f αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
α，求tan α的值.【正确答案】(1)7π6α=或11π6
α=；(2)43
-.【分析】（1）利用诱导公式结合sin tan cos ααα
=化简()f α，再解方程结合()0,2πα∈即可求解；（2）结合（1）中()f α将已知条件化简可得1sin cos 5αα+=
，再由同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】（1）()()()()()()sin tan cos cos 3πsin 2πtan πsin 2πsin tan 3π2tan f ααααααααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝
-⋅-=-⋅⎭=-sin sin cos cos sin cos cos ααααααα⋅⋅=⋅2sin sin sin ααα==.所以()1sin 2
f αα==-，因为()0,2πα∈，则7π6α=，或11π6α=.（2）由（1）知：()sin f αα=，
所以()3π3π1sin sin sin cos 225f f αααααα⎛⎫⎛⎫-+==-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即1sin cos 5αα+=，所以1sin cos 5
αα=-，所以2
21cos cos 15αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即()()5cos 410cos 60αα-+=，可得4cos 5
α=或3cos 5α=-.因为π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
α，则3cos 5α=-，所以1sin cos 5αα=-134555⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.所以sin 454tan cos 533ααα⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，故4tan 3
α=-.20．已知函数(
)22cos cos sin 1f x x x x x ωωωω=⋅+--0ω<x R ∈，且函数()f x 的最
小正周期为π．
(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)若5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的取值范围．【正确答案】(1),36x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
Z (2)[]
3,0-【分析】（1）根据恒等变换和二倍角公式对函数()f x 化简，可得()2sin 216f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，再根据函数的周期公式，即可求出ω的值，令222,262
k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，即可求出函数()f x 的单调递增区间；
（2）因为5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得22,636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣
⎦，再根据正弦函数的性质可得1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，由此即可求出结果.
【详解】（1）（1）()22cos cos sin 12cos 21
f x x x x x x x ωωωωωω=⋅+--=+-所以()2sin 216f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭因为函数()f x 的最小正周期为π，所以22ππω
=，即1ω=；所以()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，令222,262
k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，所以,36k x k k π
π
ππ-+≤≤+∈Z ，
即函数()f x 的单调递增区间,36x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
Z ；（2）解:因为5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎢⎝
⎭⎣⎦所以[]2sin 213,06x π⎛⎫+-∈- ⎪⎝
⎭，即()f x 的取值范围[]3,0-.21．已知奇函数()1ln
1
ax f x x +＝－．(1)求实数a 的值；
(2)判断函数f (x )在()1,+∞上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)当x [2，5]，时，ln(1+x )＞m ＋ln(x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．
【正确答案】(1)a＝1;(2)f(x)在(1，＋∞)上为减函数;(3)
3
ln
2 m<
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义，推出结果即可；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）推出m的表达式，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．【详解】解：
(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即ln＝－ln．
∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，
经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1．
(2)f(x)＝ln，f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
下面证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝ln－ln＝ln(·)＝ln
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，＞1，
∴f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)为(1，＋∞)上的减函数．
(3)由已知得m＜ln(1＋x)－ln(x－1)，即m＜ln．
由(2)知f(x)＝ln在[2，5]上为减函数．
则当x＝5时，(ln)min＝
3 ln 2
于是
3
ln
2
m<．.
本题考查函数恒成立函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．。