郭正光-经济数学第17次授课提纲

四、微分在近似计算中的应用 y f( x 0 ) x o ( x )
当 x 很小时, 得近似等式: y f( x 0 x ) f( x 0 )f(x0)x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x 令 xx0x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
dcscxcscxcotxdx
darccosx 1 dx
1x2
darccotx11x2dx
d ex exdx
dln x 1 dx
x
函数和、差、积商的微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
1.d(uv)dudv 2.d(Cu)Cdu (C 为常数)
3.d(uv) vduudv
复合函数的微分
解: 利用一阶微分形式不变性 ,有
d (y sx i) n d(x c y ) o ) 0 s( sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0
dy yco x ssix ny )(dx sixn y ()sixn
例4 设函数 y y(x) 由方程 xeylny50 所确定，求 d y 。
三、微分计算 基本初等函数的微分公式：
dc 0
dsinxcosxdx
dtanxsec2xdx
dsecxsecxtanxdx
darcsinx 1 dx
1x2
darctanx11x2 dx
dax axlnadx
dloga
x 1 dx
xlna
d x x1dx
dcosxsinxdx
dcotxcsc2xdx
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
很小时, 有近似公式
ydy
例如, y x3,
d y x 2 3x2 dx x 2 0.24
dx 0.02
经济数学授课提纲
第一学期第十七次授课
授课教师：郭正光
第五节 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的计算 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则A x2, 当 x 在 x 0 取
例6. 计算 5 245的近似值 .
1
解: 5 245 (2432)5
35 243
3(1
2
1
)5
243
(1x)1x
3 (11 2 ) 5 练习二单数题
5 245 3.004942
dx 0.02
又如, yarctxa, n
dy
1 1 x2
dx
二、微分的几何意义
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ydy
y y f(x)
y
当y x时，
记
yx dx
O 称x为自变量的微分, 记作 d x
x0
x
x0 x
则有 dyf(x)dx
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x0 2
2x0x(x)2
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为
y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
d yf(x0) x
“充分性” 已知 yf(x)在点 x 0 可导, 则
limy x0x
f
(x0)
xyf(x0)
(lim0) x0
故 y f ( x 0 ) x x f(x 0 ) x o ( x )
即 dyf(x0) x
f ( x0 ) 0 时 此项为 y的
线性主部
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du 微分形式不变
例2 设 yf x esin2x ，求 d y
例3 设 y sx i c nx o y ) s 0 , (求 d y .
(4) taxnx
(5)ln 1 (x)x
例5. 求 sin29的近似值 .
解: 设 f(x)sixn,
取
x0 30
π 6
,
则 dx π
180
x29 29 π 180
sin29 sin 29 π sin π cos π ( π )
180
6
6 180
1 3 (0.017)5 22
0.485 sin2 90.48 48
使用原则: 1 )f(x0),f(x0)好;算 2) x与x0靠近 .
特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
常用近似公式: ( x 很小)
(1) (1x)1x
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2) sixnx
(3) e x 1x
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 yf(x)在点 x 0 可微, 而 Ax 称为 f (x)在 点 x0 的微分, 记作 d y 或d f , 即
dyAx
定理: 函数 yf(x)在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x)在点 x0处可且 导 A ， f(x0),即
d yf(x0) x
定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x0) x
证: “必要性”
已知 yf(x)在点 x 0 可微 , 则
y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x) lim ylim (Ao( x))A
x 0 x x 0 x
故 yf(x)在点 x 0 可导, 且 f(x0)A
定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即