深圳外国语学校必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ） A ．
111c a b
=+ B ．
221c a b
=+ C ．
122c a b
=+ D ．
212c a b
=+ 2．2017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子､落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与M
N
最接近的是（ ）(参考数据：lg30.48≈) A ．3310 B ．5310 C ．7310 D ．9310 3．设0.60.6a =， 1.20.6b =，0.61.2c =中，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ． a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
4．若实数a ，b ，c 满足232log log a
b c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b >
B ．log log a b b c >
C ．log b a c >
D ．b a c b >
5．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac >
C ．1ac =
D ．01ac <<
6．设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a b
m 的值为（ ）
A
B
C
．D
．±
7．已知函数2
22,1
()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则
52f f ⎡⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
（ ） A ．12
-
B ．-1
C ．-5
D ．
12
8．已知函数()()()2
331log 6log 1y x a a x x =--++在[]0,1x ∈内恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ） A
．
1
3
a <<B
．a >C
．
1
3
a <<D
．a >
9．已知函数()
a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，1
31
(())4
a f =，37(log )2
b f =，
13
(log 5)c f =，则a ，b
，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
11．已知()243,1log 2,1
a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有
()()
12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）
A ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
12．若函数112x
y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）
A ．1m ≤-
B ．10m -≤<
C ．m 1≥
D ．01m <≤
二、填空题
13．已知常数0a >，函数()22x
x f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．
14．函数f （x ）=lg （x 2-3x -10）的单调递增区间是______． 15．函数()()12
log 13y x x =-+的递增区间为______．
16．已知函数1(2)1,2
(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩
，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
_______． 17．若幂函数
()2()57m f x m m x =-+在R 上为增函数则
1
log 2
log 272lg5lg4m
m m
+-=_____．
18．函数()()
2
12
log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________．
19．已知函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点（m ，n ），且函数g （x ）＝mx 2﹣2bx +n 在[1，+∞）上单调递减，则实数b 的取值范围是________.
20．设函数122,1
()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.
三、解答题
21．已知函数()11
x
a
f x e =
++为奇函数. （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数； （2）求不等式()()2
230f t
f t +-≤的解集.
22．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，
()232f x ax ax =-+，（a R ∈）.
（1）求()f x 的函数解析式：
（2）当1a =时，求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围. 23．已知二次函数()f x 满足(0)(2)1f f ==-且(1)4f =-. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()(0x
y f a a =>且1)a ≠在[]1,1x ∈-上的最大值为8，求实数a 的值.
24．已知函数210
(),22,01
x
x ax a x f x a a x ⎧+--≤<=⎨-≤≤⎩，其中a >0且a ≠1. （1）当1
2
a =
时，求f (x )的值域； （2）函数y =f (x )能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a 的范围；如果不能，则给出理由；
（3）()2f x -在其定义域上恒成立，求实数a 的取值范围. 25．求函数(
)
log 2
3=-2-3y x x 的定义域、值域和单调区间. 26．函数(
)2
lg 34y x x
=-+的定义域为M ，x M ∈，求()2
2
34x x f x +=-⨯的最值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c
，最后根据对数运算法则化简. 【详解】
设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c
=， 而
11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+． 故选：B 【点睛】
本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1
log log a b b a
=
是关键. 2．D
解析：D 【分析】
设361
80310
M x N ==，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出M N . 【详解】
解：设361
80310
M x N ==，两边取对数
361
36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810
x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，
故选：D . 【点睛】 关键点睛:
本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令361
80310
x =，两边取对数后进行化简整理.
3．C
解析：C 【分析】
根据指数函数，幂函数的单调性即可判断． 【详解】
因为指数函数0.6x
y =是单调减函数，0.6 1.2<，所以0.6 1.20.60.6>，即a b >； 因为幂函数0.6
y x
=在()0,∞+上是增函数，0.6 1.2<，所以0.60.61.20.6>，即c a >．
综上，b a c <<． 故选：C ． 【点睛】
熟练掌握指数函数，幂函数的单调性是解题关键．
4．D
解析：D 【分析】
首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】
由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，
01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，
log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，
故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k k
b c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】
关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.
5．D
解析：D 【分析】
作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有
()()()f a f c f b >>，
∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.
6．D
解析：D 【分析】
利用换底公式先求解出+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果，然后利用换底公式将
log a b
m 变形为
1
log log m m a b
-，根据+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果求解出
log log m m a b -的结果，则log a b
m 的值可求.
【详解】
因为log log 4log log 2a b
a b m m m m +=⎧⎨⋅=⎩，所以114log log 112log log m m m m a b a b
⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，所以log +log 4log log 1log log 2m m m m m m a b a b a b ⎧=⎪⋅⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，所以
log +log 2
1log log 2m m m m a b a b =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩
， 又因为
11
log log log log a m m b
m
m a
a b b
=
=
-，
且()()2
2
log log =log log lo +42g log m m m m m m a b a b b a -⋅=-
，所以
log log m m a b -=
所以log a b
m ==，
故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是在于换底公式的运用，将
log a b
m 变形为
1
log log m m a b
-，
再根据方程根之间的关系求解出结果.
7．A
解析：A 【分析】
根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，即可得选项.
【详解】
因为函数2
22,1
()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以
2253log log 2122f ⎛⎫
=<= ⎪⎝⎭
，
23log 2531222222f f
⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
. 故选：A. 【点睛】
本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.
8．C
解析：C 【分析】
令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦，由题意得出()()0010g g ⎧>⎪⎨>⎪⎩
，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.
【详解】
令()()()22
333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦
， 由题意可得()()()()23301log 0
126log 0
g a g a ⎧=->⎪⎨=->⎪⎩，
可得311log 3
a -<<
，解得1
3a <<
故选：C. 【点睛】
思路点睛：求解一次函数不等式在区间上恒成立，一般限制一次函数在区间上的端点函数值符号即可，即可得出关于参数的不等式，求解即可.
9．C
解析：C 【分析】
由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】
由恬24a
=，2a =，22
2
log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩， 函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．
10．C
解析：C
【分析】
偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,化简
1333
(log 5)(log 5)(log 5)f f f =-=，利用中间量
比较大小得解. 【详解】
∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增
1333
(log 5)(log 5)(log 5)c f f f ∴==-=，
∵133317
0()1log log 542<<<<，
133317
(()(log )(log 5)42
)f f f << ∴a b c <<. 故选：C 【分析】
本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础题.
11．C
解析：C 【分析】
判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可． 【详解】
解：243,1log 2,1
a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，
所以：0121442a a a a
<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩
，解得12,23a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦． 故选C ． 【点睛】
本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．
12．B
解析：B 【分析】
11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2x
y -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可
得结果. 【详解】
11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2
x
y -=图象如图
可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】
本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.
二、填空题
13．6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的a 值【详解】函数f （x ）=的图象经过点P （p ）Q （q ）则：整理得：=1解得：2p+q=a2pq 由于：2p+q=36pq 所以：a2=36由于a ＞0故
解析：6 【分析】
直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值． 【详解】
函数f （x ）=22x
x ax
+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．
则：2261
12255p q p
q ap aq +=-=++， 整理得：2
2222222p q p q p q
p q p q aq ap aq ap a pq
+++++++++=1， 解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为6 【点睛】
本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
14．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减
解析：（5，+∞） 【分析】
确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论． 【详解】
由x 2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5，
∵u=x 2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu 是增函数
由复合函数的同增异减的法则可得，函数f （x ）=lg （x 2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）
故答案为（5，+∞）． 【点睛】
本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题
15．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-
【分析】
首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：
()()12
log 13y x x =-+
则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()2
1314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈
-，则12
log
y t =
因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；
12
log y t =在定义域上单调递减
根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12
log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增
故答案为：()1,1- 【点睛】
本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.
16．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤
【分析】
根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】
函数1
(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩
，在R 上单调递增 则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >
(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21
221a a --⨯+≤，即3a ≤
所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】
关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递
增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，
上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21
221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于
中档题.
17．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键
解析：3 【分析】
利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】
()()
257m f x m m x =-+在R 上为增函数，
2571
m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去）， 1log
2
log 2lg 5lg 4m
m m
∴+-=3
1log 2
3l l og 3
g1003+=
故答案为：3. 【点睛】
正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.
18．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点 解析：(),2-∞
【分析】
求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()
212
log 56f x x x =-+的单调递
增区间. 【详解】
对于函数
()()2
12
log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()
212
log 56f x x x =-+的定义域为()
(),23,-∞+∞，
内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数
12
log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.
故答案为：(),2-∞. 【点睛】
复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．
19．【分析】先求出m=-1n=3再利用二次函数的图像和性质分析得解【详解】因为函数f （x ）＝loga （x+2）+3的图象恒过定点所以m=-1n=3所以g （x ）＝-x2﹣2bx+3因为g （x ）＝-x2﹣2 解析：[)1,-+∞
【分析】
先求出m =-1,n =3.再利用二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】
因为函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点(1,3)-， 所以m =-1,n =3，
所以g （x ）＝-x 2﹣2bx +3，
因为g （x ）＝-x 2﹣2bx +3在[1，+∞）上单调递减， 所以对称轴1x b =-≤， 解得1b ≥-， 故答案为：[
)1,-+∞ 【点睛】
关键点点睛：本题考查了对数型函数过定点，可求出,m n 的值，利用了二次函数的单调性与对称轴的关系求出b 的范围.
20．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题
解析：[0,)+∞
【分析】
根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】
当1x ≤时，1()2
x
f x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，
当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：1
2
x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】
本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.
三、解答题
21．（1）2a =-；证明见解析；（2）[]3,1-. 【分析】
（1）根据()f x 为奇函数求得a 的值.利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上是增函数； （2）利用()f x 的奇偶性和单调性化简不等式()(
)2
2
2320f t t f t
-+-≤，结合一元二
次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】
（1）由已知()()f x f x -=-， ∴
1111x x
a a e e -⎛⎫
+=-+ ⎪++⎝⎭
， ∴22011
x x x ae a a e e ++=+=++， 解得2a =-. ∴2
()11
x f x e -=
++. 证明：12,x x R ∀∈，且12x x <， 则()()()
()()
2112
1212222
1111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++， ∵12x x <，
∴12x x e e <，∴210x x e e ->，又110x e +>，210x e +>， ∴()()()
()()
211
2
122011x x x x e e f x f x e
e ---=
<++，
∴()()12f x f x <， 故函数()f x 在R 上是增函数. （2）∵()2
(23)0f t f t +-≤，
∴()2
(23)f t
f t ≤--，
而()f x 为奇函数， ∴()2
(32)f t
f t ≤-，
∵()f x 为R 上单调递增函数， ∴223t t ≤-+， ∴2230t t +-≤， ∴31t -≤≤，
∴原不等式的解集为[]3,1-. 【点睛】
关键点点睛：根据奇函数的定义求出a ，利用定义证明函数为增函数，可将
()2(23)0f t f t +-≤转化，脱去“f ”，建立不等式求解，考查了转化思想，属于中档题.
22．（1）()2232,0
32,0
ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩；（2）()
()()()3,21,00,12,3---.
【分析】
（1）根据已知和函数的奇偶性可得0x <的解析式从而求得()f x ； （2）当1a =时，分别解每一段小于1的不等式，最后求两段的并集可得答案. 【详解】
（1）设0x <，0x ->，()2
32f x ax ax -=++，又∵()f x 为偶函数，
()()f x f x -=，∴()232f x ax ax =++. 综上：()22
32,0
32,0
ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩. （2）当1a =时，可知：0x >，(
)
2
232log 1x x -<+，
原不等式等价于22320
322
x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得()
()0,12,3x ∈，
同理可知：0x <，(
)
2
232log 1x x +<+，
原不等式等价于22320
322x x x x ⎧++>⎨++<⎩
，解得()
()1,03,2x ∈---，
综上：实数x 的取值范围为()()()()3,21,00,12,3---.
【点睛】
求分段函数的解析式，要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解，要注意定义域.
23．（1）2()361f x x x =--；（2）3a =或13
a = 【分析】
（1）由(0)(2)f f =，可知()f x 关于1x =对称，结合(1)4f =-、(0)1f =-，可求出函数()f x 的解析式；
（2）分1a >和01a <<两种情况，分别讨论函数()x
y f a =的最大值，令最大值等于8，
可求出实数a 的值. 【详解】
（1）∵(0)(2)1f f ==-，∴函数()f x 关于1x =对称，
又(1)4f =-，故设2
()(1)4f x b x =--，0b ≠，
而(0)1f =-，41b ∴-=-，解得3b =，
2()3(1)4f x x ∴=--，即2()361f x x x =--.
（2）①当1a >时，101a <
<，由11x -≤≤，则1
x a a a
≤≤， 由二次函数的性质可知，()x
f a 的最大值为1
(),()f f a a
中的较大者，
若2
11()3(1)48f a a
=--=，解得1
3
a =
或1a =-，都不符合题意，舍去； 若()2
3(1)48f a a =--=，解得3a =或1a =-，只有3a =符合题意. ②当01a <<时，
11a >，由11x -≤≤，则1x a a a
≤≤， 由二次函数的性质可知，()x
f a 的最大值为1
(),()f f a a
中的较大者，
若2
11()3(1)48f a a
=--=，解得13a =
或1a =-，只有1
3
a =符合题意； 若()2
3(1)48f a a =--=，解得3a =或1a =-，都不符合题意. 综上所述，实数a 的值为3a =或13
a =. 【点睛】
易错点睛：本题主要考查二次函数相关知识，属于中档题.解决该问题应该注意的事项： （1）要注意二次函数的开口方向、对称轴、顶点；
（2）开口向上的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越大；离对称轴越近，函数值越小；
（3）开口向下的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越小；离对称轴越近，函数值越大.
24．（1）()f x 的值域为9
[16
-，1]；（2）能，a 的取值集合为{2}；（3）232a -. 【分析】
（1）由二次函数和指数函数的值域求法，可得()f x 的值域；
（2）讨论1a >，01a <<，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；
（3）讨论x 的范围和a 的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围． 【详解】
（1）当10x -<时，2
1122y x x =+-，对称轴为1
[14
x =-∈-，0)， 可得y 的最小值为9
16
-
，y 的最大值为0； 当01x 时，12?()1[02
x
y =-∈，1]； 综上()f x 的值域为9
[16
-
，1]； （2）当1a >时，函数22x
y a a =-在[0，1]递增，
故二次函数2
y x ax a =+-在[1-，0]也要递增，
1222a
a a
⎧-
-⎪⎨
⎪--⎩，故只有2a =符合要求； 当01a <<时，函数22x
y a a =-在[0，1]递减， 故二次函数2
y x ax a =+-在[1-，0]也要递减，
02
22a
a a
⎧-
⎪⎨⎪--⎩，无解． 综上，a 的取值集合为{2}；
（3）①当[1x ∈-，0]时，22x ax a +--恒成立，
即有2
(1)2a x x ---，即221x a x
+-，
由2
21x y x
+=-，令1t x =-，[1t ∈，2]，
可得3
2232y t t
=+
--，当且仅当t =时，取得等号， 可得232a -；
②当[0x ∈，1]时，①当1a >时，22x y a a =-，
222x a a --，即有222a -，
求得2a ，故12a <； ②当01a <<时，成立， 综上可得a 的范围为232a -． 【点睛】
本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题． 25．定义域为(,1)
(3,)-∞-+∞，函数值域为R ，减区间是(,1)-∞-，增区间是
(3,)+∞．
【分析】
结合对数函数性质求解． 【详解】
由2230x x -->得1x <-或3x >，∴定义域为(,1)(3,)-∞-+∞．
由2230x x -->得y R ∈，函数值域为R ，
223y x x =--在(,1)-∞-上递减，在(3,)+∞上递增，
∴(
)
log 2
3=-2-3y x x 的减区间是(,1)-∞-，增区间是(3,)+∞． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的性质，掌握对数函数的性质是解题关键． 26．最大值为4
3
，无最小值. 【分析】
首先根据对数真数大于0，解不等式2340x x -+>求出定义域M ，然后利用换元法，即可求出函数()f x 的最值． 【详解】
由2340x x -+>，解得1x <或3x >，所以(,1)
(3,)M =-∞+∞，
22()234423(2)x x x x f x +=-⨯=⨯-⨯，
令2x t =，由x M ∈得02t <<或8t >，则原函数可化为
2224()433()33
g t t t t =-=--+，其对称轴为2
3t =，
所以当02t <<时，4
()(4,]3
g t ∈-；当8t >时，()(,160)g t ∈-∞-．
所以当23t =，即22
3
log x =时，()g t 取得最大值43，即函数()f x 取得最大值43，
函数()g t 无最小值，故函数()f x 无最小值．
【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法及换元法求函数最值．。