浅谈模型迁移，提高解题能力

弹性碰撞在高考中要求中只限于一维，这个知识点的综合应用是高考的重点，也是难点之一.而在处理此类问题时，通常都是
用动量守恒公式：
m 1v 1+m 2v 2=m 1v ′1+m 2v ′2，以及能量守恒公式：12m 1v 21+12m 2v 22=12m 1v ′2
1+12
m 2v ′22，求出相应的未知量，但是在常规的化简中会带来很多的麻烦.为能够更有效和简便的处理两质点弹性碰撞问题，下面从质心速度的角度来分析和解决此类问题，并对其模型进行相应的迁移，为高效解题提供有力的帮助.
1问题分析
例题如图1所示，光滑水平面上左端有一轻质弹簧，弹簧左端固定，右端与质量为m B 物块B 相连，B 处于静止状态.平面
与一光滑曲面平滑连接.现将质量m A 、可视为质点的物块A 从曲面上距水平面h =0.8m 处由静止释放.m B =3m A ，物块A 与B 发生的是弹性正撞.重力加速度g 取10m/s 2.（1）求物块A 与物块B 第一次碰撞前瞬间的速度大小；（2）如果物块B 每次碰撞后再回到最初静止的位置时都会立即被锁定，而当他们再次碰撞前瞬间锁定被解除，求出物块A 第3次碰撞后瞬间的速度大小.
解析一：动量守恒与能量守恒
（1）由于各接触面光滑，则由机械能守
恒得：m A g h =12
m A v 2A 所以A 与B 第一次碰撞前瞬间的速度大小为：
v A =4m/s .（2）由于A 、B 发生弹性碰撞，规定向右为正，由动量守恒：m A v A =m B v B +m A v ′A ，由
能量守恒：12m A v ′2A =12
m B v 2B +m A v ′2
A ，带入数据得：v ′A =2m/s .当A 再次与
B 发生弹性碰撞时，再用动量守恒及能量守恒进行计算，发生3次碰撞后A 的速度大小为
0.5m/s ，这样反复的化简增加了计算量，解
浅谈模型迁移，提高解题能力
贵州省安顺市关岭民族高级中学杨勇561300
摘要：在处理一维弹性碰撞时，通常的方法是利用动量守恒及能量守恒相结合求出相应的未知物理量.这是高中物理常用的方法，但是对于弹性碰撞的两个重要公式在化简上会有一些困难.因此本文将从质心速度的角度来探讨和分析一维弹性正碰的速度计算以及相应的模型迁移，帮助学生提高解题的能力.
关键词：质心速度；弹性碰撞；模型迁移
A
B
h =0.8m
图1
题效率并不高.
解析二：质心速度
由于A 、B 碰撞的一瞬间，弹簧还没有来得及发生形变，则A 、B 组成系统的合外力为零，选取地面为参考系，由于地面是惯性参考系，以A 、B 为系统的质点系的质心加速度为零，根据质点系的质心运动定理[2]，其质心速度必然是某一常数，假设质心速度为v c .设A 、B 两质点相对基本参考系的坐标分别
为x A 、x B ，
则质心坐标为：x c =m A x A +m B x B
m A +m B
，对其求导有x ′c =m A v A +m B v B
m A +m B =v c ①.从①可以
看出m A v A +m B v B =(m A +m B )v c ，由于A 、B 两物体做弹性碰撞，所以动量守恒，等式左边
m A v A +m B v B 为A 、B 碰撞之前的总量，等式右边(m A +m B )v c 为质心的动量，可以看出质心的动量等于A 、B 质点组相对于基本参考系的动量之和.由A 、B 系统的动量守
恒：m A v A +m B v B =m A v ′A +m B v ′B ②，由A 、B
系统的能量守恒：12m A v 2A +12m B v 2B =12m A v ′2
A
+12
m B v ′2B ③，由③有：m A v 2A +m B v 2B =m A v ′2
A +m
B v ′2B ④，
联立②、③式得：v A +v B =v B +v ′B ⑤，根据质心动量不变由①得：v c =m A v A +m B v B m A +m B =m A v ′A +m B v ′B
m A +m B
有：
2v c (m A +m B )=m A (v A +v ′A )+m B (v B +v ′B )⑥，结合⑤、⑥得：2v c (m A +m B )=m A (v A +v ′A )+m B (v A +v ′A )⑦,2v c (m A +m B )=m A (v B +v ′B )+m B (v B +v ′B )⑧，所以得到A 、B 两质点碰撞前后速度与质心速度的关系：2v c =v A +v ′A ⑨,2v c =v B +v ′B ⑩.
根据题意由①得A 、B 组成系统的碰
撞前的速度为：v c =1m/s （方向向左），由⑨得，碰撞之后A 的速度大小为：v ′A =2m/s （方向向右）.当A 碰后又返回，在第二次碰
撞之前质心速度为：v c =0.5m/s （方向向左），
由⑨得，第二次碰撞之后A 的速度大小为：
v ″A =1m/s （方向向右）.同理可以求出A 与B 发生第三次碰撞之后的速度大小为0.5m/s ，方向向右.
评价：在高中阶段，对于一维弹性碰撞的两体问题，通常是按照常规的化简，把②和③联立求解得碰撞之后A 、B 的速度公式：
v ′A =
(m A -m B )v A +2m B v B
m A +m B
⑪，
v ′B =(m B -m A )v B +2m A v A
m A +m B
⑫.
在计算一些特殊的物理问题时，对公式的记忆是有一定的快捷性，但是通过比较发现，对式子⑨、⑩记忆比⑪、⑫简单得多.因此，利用质心速度处理一维两体弹性碰撞问题不仅使问题简单化，而且对学生理解物理问题的能力和培养学生对问题的思考具有重要的意义.同理，可以把此方法延伸到其他类似的模型上，对学生的思维能力培养和解题能力的提高会有良好的效果.
2模型迁移
物理模型是物理学科进行科学研究的重要体现，是把实际生活物体在一定条件下抽象出来，用数学等相关知识表达出来.在高中阶段的物理学习中建立模型、还原模型、迁移模型，不仅是研究物理的重要方法，同时也是培养学生的创新思维能力和发散思维的合理方式.而模型迁移是把已知的模型规律迁移到具有相同规律的模型之上，比如：学了匀变速直线运动后，再学自由落体运动，最后把两种模型应用于平抛运动，再把平抛运动模型迁移到具有相同规律的类平抛运动（带电粒子垂直进入匀墙电场的运动等）；生活中的圆周运动模型迁移到天体运动、带电粒子在磁场中的运动.模型迁移是物理研究的一种重要的科学方法，也是解
决物理问题的有效方法.
迁移一：如图2所示，光滑水平面上左端与一光滑圆弧相切，质量为9m 的物块B 静止在水平面上，另一质量为m 的A 物块从曲面h =0.8m 的高度下滑，最后与B 物块发生弹性正碰，A 、B 两物块可以看成质点，假设水平面足够长，请分析判断A 、B 物块最多能碰几次？
解析：假设A 滑到水平面时速度为v A ，由机械能守恒得：m A g h =12m A v 2A 解得v A =4m/s 取速度向右为正，由于A 、B 发生弹性正碰，则以A 、B 为系统的质心速度为
v c =m A v A +m B v B
m A +m B
.由于碰撞之前B 物块处于
静止状态，所以质心速度v c =25
m/s ，根据⑧、
⑨式，求得，A 、B 碰撞后的速度分别为：v ′A =-165
m/s ，v ′B =45m/s .说明碰撞之后A
反弹，又回到曲面上某高度，最后以速度大小为||v ′A =165
m/s 追及物块B ，由于
||v ′A
>v ′
B
，则会发生第二次碰撞，根据质心
速度公式，当A 、B 第一次一起向右运动时
质心速度为：v ′C =2125
m/s .发生第二次碰撞后
由⑧、⑨式得：v ″A =-3825m/s,v ″B =2225m/s.由
于||v ″A >v ″B 所以A 、B 会碰撞第三次，根据质心公式，碰第三次之前的质心速度为：
v ″C =127125m/s .同理解得：v ‴A =-64125m/s ，
v ‴B =144125
m/s ，可以看出B 的速度大于A 的
速度，所以A 、B 不再碰撞.
评价:从以上的分析来看，用质心速度求解一维弹性碰撞问题，虽然也需要一定的计算过程，但是相对直接用动量守恒及能量守恒来说，应用质心速度计算时相对较为简单，而且过程也简洁.
迁移二：如图3所示，用力压质量为
0.2kg 的小球A 使弹簧压缩，静止时弹性势
能E P =0.4J ，弹簧左端固定在墙上，右端与
A 接触但是不连接，
B 小球静止在离A 较远的水平地面上，B 的质量是A 的3倍，两球可以视为质点，释放A 后，两小球发生弹性正碰，请计算A 、B 碰撞后的速度及分析
A 、
B 是否发生第二碰撞？
解析：由题意，当小球A 脱离弹簧时，由E P =12
m A v 2A ,所以A 的速度为v A =2m/s ，取向右的速度为正，则A 、B 组成系统的质心速
度为：v c =m A v A
m A +m B 0.5m/s ，当两小球碰撞后，
由质心速度与各质点速度的关系：2v c =v A
+v ′A ，2v c =v B +v ′B 带入数据得：v ′A =-1m/s ,v ′B =1m/s .由于A 、B 的速度大小相等，因此A 、B 不会碰第二次.
评价：此模型看似简单，包含了三个重要的物理过程，弹簧与小球A 组成系统的机械能守恒，A 、B 组成系统的动量守恒及能量守恒，这是很多学生在分析物理过程时容易弄错的过程，应用质心速度与各质点速度间的关系，这不仅培养了学生的思维能力，同时为学生在考试中赢得更多的时间，提高了解题的效率.
A
B
h =0.8m
图2
A
B
图3
迁移三：如图4所示，长度为l=2m的水平传送带左右两端与光滑的水平面等高，且平滑连接.传送带始终以2m/s的速率逆时针转动.传送带左端水平面上有一轻质弹簧，弹簧左端固定，右端与质量为m
B
的物块B相连，B处于静止状态.传送带右端水平面与一光滑曲面平滑连接.现将质量
m
A
、可视为质点的物块A从曲面上距水平面h=1.2m处由静止释放.已知物块A与传
送带之间的动摩擦因数μ=0.2，m
B =3m
A
，
物块A与B发生的是弹性正撞，碰撞时间极短，碰撞后B回到原来位置时立刻锁住，重力加速度g取10m/s2.通过计算说明物块A 与物块B第3次碰撞后的速度大小.
解析：本题是机械能守恒、传送带问题、动量守恒、一维弹性碰撞问题，计算时分成三个阶段，曲面上的机械能守恒，传送带上的运动问题，碰撞时动量守恒.在曲面上：
m
A g h=12m
A
v2
A
，v
A
=24m/s.在传送带上：物
块受到的合外力为f=μm g，则物块在传送带上的加速度大小为a=2m/s2，由于物块在传送带上先做匀减速直线运动，有：-2al=v2-v2
A
解得：v=4m/s.
说明物块在传送带上一直做匀减速直线运动，所以A与B碰撞之前的速度大小为v=4m/s，由于A、B发生弹性碰撞，取向右为正方向，则v
c
=-1m/s，由-2v
c
=-v+v
A
，
v
A
=2m/s.当A回到传送带上时做匀减速直线
运动，假设A的速度减到零，有-2as=0-v2
A
，解得s=1m，由于s<l，因此A再次回到传
送带左端时速度大小为v′
A
=2m/s，再次与B 发生弹性正碰，由质心速度与各质点速度间
的关系，碰撞后A的速度大小为v″
A
=1m/s，方向向右.同理可得，A、B发生第三次碰撞后瞬间A的速度大小为0.5m/s，方向向右.
评价：本题的模型虽然是与传送带结合的模型，但是与以上的模型具有相同的特点，发生弹性正碰后A球再次返回的速度特点与以上模型都一样，看似很复杂的模型，但是只要认真分析，其过程与迁移一、迁移二类似.
通过以上的分析，不难发现，解决一维弹性正碰的两体问题[2]，应用质心速度与各质点速度的关系比直接应用动量守恒及能量守恒要方便得多，同时把具有同类思想的问题模型进行联系及迁移，总结解题方法，提高解题效率.
参考文献
[1]漆安慎，杜婵英.普通物理教程.力学[M].北京
市:高等教育出版社，2005（06）.
[2]谢元喜.用质心速度讨论一维碰撞问题[J].大
学物理，1999（11）.
B v
图4。