动点问题

动点问题
1.如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒
1个单位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）．
（1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ．
2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，
当M 点在
BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．
3.如图，在梯形ABCD
中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动
点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
A
B
C
D E F
O
D
M A B
C
N
（09年济南中考） （1）求BC 的长。

（2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
4.如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3cm ，OB ＝4cm ，以点O 为坐标原点建
立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm /秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）
（1）求AB 的长，过点P 做PM ⊥OA 于M ，求出P 点的坐标（用t 表示）
（2）求△OPQ 面积S （cm 2），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？ （3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？
（4）若点P 运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ 为正三角形，求Q 点运动的速度和此时t 的值.
5、直线3
64
y x =-
+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．
（1）直接写出A B 、两点的坐标；
（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间
的函数关系式；
（3）当48
5
S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．
C
动点练习题答案：
1. 解：（1）当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）
由题意可知：ED =t ，BC =8，FD = 2t -4，
FC = 2t
．
∵ED ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ．∴
FD ED
FC BC
=． ∴
2428
t t
t -=．解得t =4． ∴当t =4时，两点同时停止运动；……（3
分）
（2）∵ED=t ，CF=2t ， ∴S =S △BCE + S △BCF =
12×8×4+1
2
×2t ×t =16+ t 2． 即S =16+ t 2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分） （3）①若EF=EC 时，则点F 只能在CD 的延长线上，
∵EF 2=222(24)51616t t t t -+=-+，
EC 2=222416t t +=+，∴251616t t -+=216t +．∴t =4或t=0（舍去）；
②若EC=FC 时，∵EC 2=222416t t +=+，FC 2=4t 2，∴216t +=4t 2．∴t = ③若EF=FC 时，∵EF 2=222(24)51616t t t t -+=-+，FC 2=4t 2， ∴251616t t -+=4t 2．∴t 1=16+t 2=16- ∴当t 的值为416-E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；………………………………………………………………………………（9分）
（4）在Rt △BCF 和Rt △CED 中，∵∠BCD =∠CDE =90°，
2BC CF
CD ED
==， 图2
A
B
C
D
E
F
∴Rt △BCF ∽Rt △CED ．∴∠BFC =∠CED ．………………………………………（10分） ∵AD ∥BC ，∴∠BCE =∠CED ．若∠BEC =∠BFC ，则∠BEC =∠BCE ．即BE =BC ． ∵BE 2=21680t t -+，∴21680t t -+=64． ∴t 1
=16+t 2
=16-
∴当t
=16-BEC =∠BFC ．……………………………………………（12分）
2. 解：（1）在正方形ABCD 中，
490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°，
90CMN AMB ∴∠+∠=°，
在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，
CMN MAB ∴∠=∠， Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，
（2）
Rt Rt ABM MCN △∽△，
44AB BM x
MC CN x CN
∴
=∴=-，， 244
x x CN -+∴=，
()22
2141144282102422ABCN
x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭
梯形·， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． （3）
90B AMN ∠=∠=°，
∴要使ABM AMN △∽△，必须有
AM AB
MN BM
=， 由（1）知
AM AB
MN MC
=， N
D
A
C D
B
M
BM MC ∴=，
∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．
3.解：（1）如图①，过A 、分别作于，于，则四边形
是矩形
∴
在中， 在中，由勾股定理得， ∴
（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形
∵ ∴ ∴ ∴
D AK BC ⊥K DH BC ⊥H ADHK 3KH AD ==．Rt ABK
△sin 454AK AB =︒==2
cos 4542
42
BK AB
=︒==Rt CDH △3HC ==43310BC BK KH HC =++=++=D DG AB ∥BC G ADGB MN AB ∥MN DG ∥3BG AD ==1037GC =-=（图①）
A D
C
B K
H
（图②）
A D
C
B
G
M
N
由题意知，当、运动到秒时， ∵ ∴ 又 ∴ ∴
即
解得， （3）分三种情况讨论：
①当时，如图③，即 ∴
②当时，如图④，过作于 ∵ ∴ ∴
M N t 102CN t CM t ==-，．DG MN ∥NMC DGC =∠∠C C =∠∠MNC GDC △∽△CN CM
CD CG =10257
t t -=50
17
t =
NC MC =102t t =-10
3
t =MN NC =N NE MC ⊥E 90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，NEC DHC △∽△NC EC
DC HC
= A
D
C
B M
N
（图③）
（图④）
A D C
B
M N
H E
即
∴ ③当时，如图⑤，过作于点.
∵ ∴
∴ 即
∴ 综上所述，当、或时，为等腰三角形
4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t ，QC=4-t ，DP=t ，BP=5-t ∵PQ ⊥BC ∴△BPQ ∽△BDC ∴BC BQ BD BP =即455t t =- ∴9
20=t 当9
20
=
t 时，PQ ⊥BC ……………………………………………………………………3分 （2）过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ∴△BPM ∽△BDC ∴3
55PM
t =- ∴)5(53t PM -=……………………4分
∴⨯=
t S 21)5(53t -=8
15
)25(103+--t …………………………………………5分 ∴当52
t =时，S 有最大值
15
8
．……………………………………………………6分 （3）①当BP=BQ 时，t t =-5， ∴2
5
=
t ……………………………………7分 553t t -=25
8
t =
MN MC =M MF CN ⊥F 1122
FC NC t =
=90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，MFC DHC △∽△FC MC
HC DC
=1102235
t
t
-=6017
t =
10
3
t =
258t =6017t =MNC △（图⑤）
A
D
C
B
H N
M
F
②当BQ=PQ 时，作QE ⊥BD ，垂足为E ，此时，BE=
2
521t BP -= ∴△BQE ∽△BDC ∴BD BQ BC BE = 即5
425t
t
=- ∴1325=t ……………………9分 ③当BP=PQ 时，作PF ⊥BC ，垂足为F, 此时，BF=
2
21t
BQ = ∴△BPF ∽△BDC ∴BD BP BC BF = 即5
542t
t
-= ∴1340=t ……………………11分 ∴14013
t =， 252t =，325
13t =，均使△PBQ 为等腰三角形． …………………………12分
5.解：1、A （8，0） B （0，6）
2、当0＜t ＜3时，S=t
2
当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t
提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。