动点问题

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动点问题
1.如图,已知在矩形ABCD 中,AD =8,CD =4,点E 从点D 出发,沿线段DA 以每秒
1个单位长的速度向点A 方向移动,同时点F 从点C 出发,沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动,当B ,E ,F 三点共线时,两点同时停止运动.设点E 移动的时间为t (秒).
(1)求当t 为何值时,两点同时停止运动;
(2)设四边形BCFE 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式,并写出t 的取值范围; (3)求当t 为何值时,以E ,F ,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形; (4)求当t 为何值时,∠BEC =∠BFC .
2. 正方形ABCD 边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,
当M 点在
BC 上运动时,保持AM 和MN 垂直,
(1)证明:Rt Rt ABM MCN △∽△;
(2)设BM x =,梯形ABCN 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式;当M 点运动到什么位置时,四边形ABCN 面积最大,并求出最大面积;
(3)当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△,求此时x 的值.
3.如图,在梯形ABCD
中,3545AD BC AD DC AB B ====︒∥,,,.动
点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t 秒.
A
B
C
D E F
O
D
M A B
C
N
(09年济南中考) (1)求BC 的长。

(2)当MN AB ∥时,求t 的值.
(3)试探究:t 为何值时,MNC △为等腰三角形.
4.如图,在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,OA =3cm ,OB =4cm ,以点O 为坐标原点建
立坐标系,设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动,速度均为1cm /秒,设P 、Q 移动时间为t (0≤t ≤4)
(1)求AB 的长,过点P 做PM ⊥OA 于M ,求出P 点的坐标(用t 表示)
(2)求△OPQ 面积S (cm 2),与运动时间t (秒)之间的函数关系式,当t 为何值时,S 有最大值?最大是多少? (3)当t 为何值时,△OPQ 为直角三角形?
(4)若点P 运动速度不变,改变Q 的运动速度,使△OPQ 为正三角形,求Q 点运动的速度和此时t 的值.
5、直线3
64
y x =-
+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止.点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1位长度,点P 沿路线O →B →A 运动.
(1)直接写出A B 、两点的坐标;
(2)设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间
的函数关系式;
(3)当48
5
S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标.
C
动点练习题答案:
1. 解:(1)当B ,E ,F 三点共线时,两点同时停止运动,如图2所示.………(1分)
由题意可知:ED =t ,BC =8,FD = 2t -4,
FC = 2t

∵ED ∥BC ,∴△FED ∽△FBC .∴
FD ED
FC BC
=. ∴
2428
t t
t -=.解得t =4. ∴当t =4时,两点同时停止运动;……(3
分)
(2)∵ED=t ,CF=2t , ∴S =S △BCE + S △BCF =
12×8×4+1
2
×2t ×t =16+ t 2. 即S =16+ t 2.(0 ≤t ≤4);………………………………………………………(6分) (3)①若EF=EC 时,则点F 只能在CD 的延长线上,
∵EF 2=222(24)51616t t t t -+=-+,
EC 2=222416t t +=+,∴251616t t -+=216t +.∴t =4或t=0(舍去);
②若EC=FC 时,∵EC 2=222416t t +=+,FC 2=4t 2,∴216t +=4t 2.∴t = ③若EF=FC 时,∵EF 2=222(24)51616t t t t -+=-+,FC 2=4t 2, ∴251616t t -+=4t 2.∴t 1=16+t 2=16- ∴当t 的值为416-E ,F ,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形;………………………………………………………………………………(9分)
(4)在Rt △BCF 和Rt △CED 中,∵∠BCD =∠CDE =90°,
2BC CF
CD ED
==, 图2
A
B
C
D
E
F
∴Rt △BCF ∽Rt △CED .∴∠BFC =∠CED .………………………………………(10分) ∵AD ∥BC ,∴∠BCE =∠CED .若∠BEC =∠BFC ,则∠BEC =∠BCE .即BE =BC . ∵BE 2=21680t t -+,∴21680t t -+=64. ∴t 1
=16+t 2
=16-
∴当t
=16-BEC =∠BFC .……………………………………………(12分)
2. 解:(1)在正方形ABCD 中,
490AB BC CD B C ===∠=∠=,°, AM MN ⊥, 90AMN ∴∠=°,
90CMN AMB ∴∠+∠=°,
在Rt ABM △中,90MAB AMB ∠+∠=°,
CMN MAB ∴∠=∠, Rt Rt ABM MCN ∴△∽△,
(2)
Rt Rt ABM MCN △∽△,
44AB BM x
MC CN x CN

=∴=-,, 244
x x CN -+∴=,
()22
2141144282102422ABCN
x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭
梯形·, 当2x =时,y 取最大值,最大值为10. (3)
90B AMN ∠=∠=°,
∴要使ABM AMN △∽△,必须有
AM AB
MN BM
=, 由(1)知
AM AB
MN MC
=, N
D
A
C D
B
M
BM MC ∴=,
∴当点M 运动到BC 的中点时,ABM AMN △∽△,此时2x =.
3.解:(1)如图①,过A 、分别作于,于,则四边形
是矩形

在中, 在中,由勾股定理得, ∴
(2)如图②,过作交于点,则四边形是平行四边形
∵ ∴ ∴ ∴
D AK BC ⊥K DH BC ⊥H ADHK 3KH AD ==.Rt ABK
△sin 454AK AB =︒==2
cos 4542
42
BK AB
=︒==Rt CDH △3HC ==43310BC BK KH HC =++=++=D DG AB ∥BC G ADGB MN AB ∥MN DG ∥3BG AD ==1037GC =-=(图①)
A D
C
B K
H
(图②)
A D
C
B
G
M
N
由题意知,当、运动到秒时, ∵ ∴ 又 ∴ ∴

解得, (3)分三种情况讨论:
①当时,如图③,即 ∴
②当时,如图④,过作于 ∵ ∴ ∴
M N t 102CN t CM t ==-,.DG MN ∥NMC DGC =∠∠C C =∠∠MNC GDC △∽△CN CM
CD CG =10257
t t -=50
17
t =
NC MC =102t t =-10
3
t =MN NC =N NE MC ⊥E 90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠,NEC DHC △∽△NC EC
DC HC
= A
D
C
B M
N
(图③)
(图④)
A D C
B
M N
H E

∴ ③当时,如图⑤,过作于点.
∵ ∴
∴ 即
∴ 综上所述,当、或时,为等腰三角形
4.(1)由题意知:BD=5,BQ=t ,QC=4-t ,DP=t ,BP=5-t ∵PQ ⊥BC ∴△BPQ ∽△BDC ∴BC BQ BD BP =即455t t =- ∴9
20=t 当9
20
=
t 时,PQ ⊥BC ……………………………………………………………………3分 (2)过点P 作PM ⊥BC ,垂足为M ∴△BPM ∽△BDC ∴3
55PM
t =- ∴)5(53t PM -=……………………4分
∴⨯=
t S 21)5(53t -=8
15
)25(103+--t …………………………………………5分 ∴当52
t =时,S 有最大值
15
8
.……………………………………………………6分 (3)①当BP=BQ 时,t t =-5, ∴2
5
=
t ……………………………………7分 553t t -=25
8
t =
MN MC =M MF CN ⊥F 1122
FC NC t =
=90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠,MFC DHC △∽△FC MC
HC DC
=1102235
t
t
-=6017
t =
10
3
t =
258t =6017t =MNC △(图⑤)
A
D
C
B
H N
M
F
②当BQ=PQ 时,作QE ⊥BD ,垂足为E ,此时,BE=
2
521t BP -= ∴△BQE ∽△BDC ∴BD BQ BC BE = 即5
425t
t
=- ∴1325=t ……………………9分 ③当BP=PQ 时,作PF ⊥BC ,垂足为F, 此时,BF=
2
21t
BQ = ∴△BPF ∽△BDC ∴BD BP BC BF = 即5
542t
t
-= ∴1340=t ……………………11分 ∴14013
t =, 252t =,325
13t =,均使△PBQ 为等腰三角形. …………………………12分
5.解:1、A (8,0) B (0,6)
2、当0<t <3时,S=t
2
当3<t <8时,S=3/8(8-t)t
提示:第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;
第(3)问是分类讨论:已知三定点O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边,②OP 为边、OQ 为对角线,③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。

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