陕西省咸阳市武功县2021届高三第二次质量检测数学(理)试卷(有答案)

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陕西省咸阳市武功县2021届高三第二次质量检测
数学(理)试卷
一、选择题
1.已知集合{}{}2,1,0,1,2,0,1,2U A =--=,则U
A =( )
A.{}2,1,0--
B.{}2,1--
C.{}0,1,2
D.{}1,2
2.已知i 是虚数单位,若复数z 满足i
z
在复平面内对应的点位于第一象限,则复数z 在复平面内
对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知1a >,则“log log a a x y <”是“2x xy <”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若sin78m ︒=,则sin6︒= ( )
5.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。

已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为( )
A .2
B .2+
C .4+
D .4+6.已知某函数的图像如图所示,则下列函数中,图像最契合的函数是( )
A.sin()x x y e e -=+
B.sin()x x y e e -=-
C.cos()x x y e e -=-
D.cos()x x y e e -=+
7.已知函数()2sin f x x x =-+,若a f =22),(l 7)(og b f c f =--=则,,a b c 的大小关系为( ) A.a b c <<
B.b c a <<
C.a c b <<
D.c a b <<
8.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2,n n n S a S a +==则n S =( ) A.12n -
B.13()2
n - C.12()3
n - D.11()2
n -
9.已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()
PA PB PC ⋅+的最小值是( )
A. -2
B. 32-
C. 43
- D. -1
10.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数
N 约为8010. 已知0.4771lg30.4772<<,则下列各数中与M N
最接近的是( )
A .3310
B .5310
C .7310
D .9310
11.已知,,,P A B C 是半径为2的球面上的点,O 为球心,2,90PA PB PC ABC ===∠=︒ , 则三棱锥O ABC -体积的最大值是( )
B.1
C.12
12.()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x <时,()()0,f x xf x '+<且()40f -=,则不等式()0xf x >的解集为( )
A.()()4,04,-⋃+∞
B.()()4,00,4-⋃
C.()(),40,4-∞-⋃
D.()(),44,-∞-⋃+∞
二、填空题
13.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,则20a 等于__________. 14.曲线5ln y x x =+在点()1,5处的切线方程为_____________.
15.为了积极稳妥疫情期间的复学工作,市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务,每个学校至少去1人,若甲、乙两人不能去同一所学校,则不同的分配方法种数为_____________.
16.已知函数()12()y f x x R =+-∈为奇函数,21
(),1
x g x x -=
-若函数()f x 与()g x 图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y 则
1
()m
i i
i
x y =+=∑______________.
三、解答题
17.在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,sin b
B
=
. (1)求A ;
(2)若2a =,且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-,求ABC △的面积.
18.某厂加工的零件按箱出厂,每箱有10个零件,在出厂之前需要对每箱的零件作检验,人工检验方法如下:先从每箱的零件中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,则停止检验;若抽取的零件至少有1个至多有3个次品,则对剩下的6个零件逐检验。已知每个零件检验合格的概率为0.8,每个零件是否检验合格相互独立,且每个零件的人工检验费为2元. (1)设1箱零件人工检验总费用为X 元,求X 的分布列;
(2)除了人工检验方法外还有机器检验方法,机器检验需要对每箱的每个零件作检验,每个零件的检验
费为1.6元现有1000箱零件需要检验,以检验总费用的数学期望为依据,在人工检验与机器检验中,应该选择哪一个?说明你的理由.
19.如图,在三棱台ABC DEF -中,2,,BC EF AB BC BC CF =⊥⊥ ,G H 、分别为AC BC 、上的点,平面//FGH 平面ABED .
(1)求证:BC ⊥平面EGH ;
(2)若,22AB CF AB BC CF ⊥===,求二面角E FG D --的余弦值.
20.已知抛物线()2
20y px p =>上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ,焦点为F .线段AB 的中点为
()03,M y ,且,A B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求ABC △面积的最大值. 21.已知函数()()3ln R f x x a x a =-∈. (1)讨论函数()f x 的单调性;
(2)若函数()y f x =在区间(]1,e 上存在两个不同零点,求实数的取值范围. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2
x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数),直线l 的方程为y kx =.以
坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程;
(2)曲线C 与直线l 交于A B 、两点,若||||OA OB +=求k 的值. 23.函数()f x x a x b c =++-+,其中0,0,0a b c >>>. (1)当1a b c ===时,求不等式()4f x >的解集;
(2)若()f x 的最小值为3,求证:222
3.b c a a b c
++≥
参考答案
1.答案:B 解析:
2.答案:C 解析:
3.答案:A 解析:
4.答案:B 解析:
5.答案:D
解析:根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC A B C '''-,
底面是一个直角三角形,2, 且侧棱与底面垂直,侧棱长是2,
∴几何体的侧面积22224S =⨯+⨯=+, 故选:D.
6.答案:D
解析:当时0x =,00sin()sin 20y e e -=+=>,排除A 当时0x =,00sin()sin 00y e e -=-==,排除B 当时0x =,00cos()cos010y e e -=-==>,排除C 当时0x =,00cos()cos20y e e -=+=<,图象最契合
7.答案:C 解析: 8.答案:B 解析: 9.答案:B
解析:以BC 中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
则(0,3),(1,0),(1,0)A B C -,
设(,)P x y ,则()PA x y =-, (1,),(1,)PB x y PC x y =---=--,
则2
222
3()2224PA PB PC x y x y ⎡⎤⎛⎢⎥⋅+=-+=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,
∴当x 0,y ==
时, ()PA PB PC ⋅+取得最小值33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
,
故选B . 10.答案:C 解析:lg
361lg380(92.2331,92.2692)M
N
=⋅-∈ 9392.269292.26920.7308101010(101)-=-92.26920.510(101)>-92.269210> 而92.2692731010-<92.269210,所以选C 11.答案:B 解析: 12.答案:C 解析: 13.答案:1 解析:
14.答案:610x y --= 解析: 15.答案:114 解析: 16.答案:3m 解析:
17.答案:解:(1)sin b B =
sin a A
=,
∴tan A =.
∵()0,πA ∈, ∴π6
A =.
(2)∵()cos B C -=2sin sin cos B C C - ∴cos cos sin sin B C B C +=2sin sin cos B C C -, ∴()cos cos B C C +=-, 即cos cos A C =,即A C =.∵π6
A =
, ∴2π3B =.∵2a =, ∴2a c ==.
∴1
sin 2ABC S ac B ==△1222⨯⨯= 解析:
18.答案:解:(1)X 的可能取值为8,20,
4480.80.20.41()12P X =+==, ()2010.41120.5888P X ==-=, 则X 的分布列为 X 8 20 P
0.4112
0.5888
(2)由(1)知,80.4112200.588815.0656EX =⨯+⨯=,
所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为100015065.6EX =元. 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000⨯⨯=元, 且1600015065.6>, 所以应该选择人工检验. 解析:
19.答案:解:(1)证明:因为平面//FGH 平面ABED , 平面BCFE 平面ABED BE =,
平面BCFE
平面GHF HF =,所以//BE HF .因为//BC EF ,所以四边形BHFE 为平行四边形,
所以BH EF =,因为2BC EF =,所以2BC BH =,H 为BC 的中点.同理G 为AC 的中点,所以//GH AB ,因为AB BC ⊥,所以GH BC ⊥,又//HC EF 且HC EF =,所以四边形EFCH 是平行
四边形,所以//CF HE ,又CF BC ⊥,所以HE BC ⊥. 又,HE GH ⊂平面,EGH HE GH H =,所
以BC ⊥平面.EGH
(2)因为,//,//AB CF CF HE GH AB ⊥,所以HE GH ⊥.连接DG ,分别以,,HG HB HE 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -,
则(001),(011),E F -,,,,(100),(101)G D ,,,, 设平面EFG 的一个法向量为111,,)m x y z =(, 因为(010),(101)EF EG =-=-,
,,, 则111
00y x z -=⎧⎨-=⎩,取11,x =得(1,0,1)m =.
设平面FGD 的一个法向量为222(,,)n x y z =, 因为()11
1(0,01)FG GD =-=,,,, 则2222
00x y z z +-=⎧⎨=⎩,取21(1,1,0)x n ==-,得
1
cos ,2
m n m n m n
⋅=
=
, 又二面角E FG D --为锐二面角,所以二面角E FG D --的余弦值为12
. 解析:
20.答案:(1)由题意知126x x +=,则12||||68AF BF x x p p +=++=+=,∴2p =, ∴抛物线的标准方程为24y x =;
(2)设直线():0AB x my n m =+≠由24x my n
y x
=+⎧⎪⎨=⎪⎩,得2440y my n --=,
∴124y y m +=,∴()12
1224226x y x y m n n m =+++=+=,即232n m =-,
即()
21221216304812m y y m y y m ⎧=-
>⎪⎪
+=⎨⎪
⋅=-⎪

△,∴12||AB y y -= 设AB 的中垂线方程为:2(3)y m m x -=--,即(5)y m x =--,得点C 的坐标为()5,0,
∵直线2:32AB x my m =+-,即2230x my
m -+-=,
∴点C 到直线AB 的距离
d =
∴(
)21
||412
S AB d m =
⋅=+
t =
223(0m t t =-<<, ()244S t t =-⋅∴令()2()44f t t t =-⋅,∴()
2()443f t t '=-,
令()0f t '=
,则t =
⎛ ⎝⎭
上()0f t '>
;在⎝上()0f t '<, 故()f t
在⎛ ⎝⎭
单调递增,⎝单调递减,
∴当t =
m =
时,max S =
. 解析:
21.答案:(1)∵()32
33(0)a x a
f x x x x x
-'=-=>
①若0a ≤时,()0f x '>,此时函数在()0,+∞上单调递增; ②若0a >时,又()330x a
f x x
-'==
得:x
x ⎛∈ ⎝时()0f x '<
,此时函数在⎛ ⎝上单调递减;
当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时()0f x '>
,此时函数在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增; 综上:当0a ≤时,函数()f x 在()0,+∞上单调递增
当0a >时,函数()f x
在在⎛ ⎝
上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增 (2)由题意知:3
ln x a x
=在区间(]1,e 上有两个不同实数解,
即函数y a =图像与函数()3
ln x g x x
=图像有两个不同的交点,
因为()()
()
22
3ln 1ln x x g x x -'=,令()0g x '=
得:x
所以当(x ∈时,()0g x '<
,函数在(上单调递减
当x e ⎤∈
⎦时,()0g x '>
,函数在
e ⎤⎦上单调递增;
则(
)min 3g x g e ==,而3
1
127
27
9127
2727ln e g e e e ⎛⎫
⎪==> ⎪⎝⎭,且()327g e e =<, 要使函数y a =图像与函数()3
ln x g x x
=图像有两个不同的交点,
所以的取值范围为(
3
3,e e ⎤⎦. 解析:
22.答案:解:(1)32
3sin x y αα
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩,22410x x y ∴-++=, 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.
(2)设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,π)θθρθ=∈∈R ,其中1θ为直线l 的倾斜角, 代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ. 1214cos ρρθ∴+=,1210ρρ=>,2116cos 40θ∆=->,
OA OB +=12ρρ+=12ρρ+=1cos θ∴= 满足∆>0,
1π6θ∴=
或5π6,l 的倾斜角为6π或5π
6,则1tan k θ==或. 解析:
23.答案:解:(1)当1a b c ===时,不等式()4f x >化为114||1x x ++-+>, 即113||x x +->+.
当1x ≥时,化为113x x ++->,解得3
2
x >
; 当11x -<<时,化为113()x x -->+,此时无解; 当1x ≤-时,化为(1)(1)3x x -+-->,解得3
2x <-.
综上可得,不等式()4f x >的解集为:3
3
(,)
(,)2
2
-∞-+∞; (2)证明:∵000a b c >>>,,,
∴由绝对值不等式得()|||||()()|3f x x a x b c x a x b c a b c =++-++--+=++=.
由基本不等式得:22b a b a +≥,22c b c b +≥=,
22a c a c +≥ 当且仅当1a b c ===时,上面三式等号成立.
三式相加得:222
222b c a a b c a b c a b c +++≥++++,
整理即得222
3b c a b b a c a c ≥+++=+.
故222
3b c a a b c
+≥+.。

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