陕西省咸阳市武功县2021届高三第二次质量检测数学(理)试卷(有答案)

陕西省咸阳市武功县2021届高三第二次质量检测
数学（理）试卷
一、选择题
1.已知集合{}{}2,1,0,1,2,0,1,2U A =--=,则U
A =( )
A.{}2,1,0--
B.{}2,1--
C.{}0,1,2
D.{}1,2
2.已知i 是虚数单位，若复数z 满足i
z
在复平面内对应的点位于第一象限，则复数z 在复平面内
对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知1a >,则“log log a a x y <”是“2x xy <”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若sin78m ︒=,则sin6︒= ( )
5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。

已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )
A ．2
B ．2+
C ．4+
D ．4+6.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是( )
A.sin()x x y e e -=+
B.sin()x x y e e -=-
C.cos()x x y e e -=-
D.cos()x x y e e -=+
7.已知函数()2sin f x x x =-+,若a f =22),(l 7)(og b f c f =--=则,,a b c 的大小关系为( ) A.a b c <<
B.b c a <<
C.a c b <<
D.c a b <<
8.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2,n n n S a S a +==则n S =( ) A.12n -
B.13()2
n - C.12()3
n - D.11()2
n -
9.已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()
PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）
A. -2
B. 32-
C. 43
- D. -1
10.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数
N 约为8010. 已知0.4771lg30.4772<<，则下列各数中与M N
最接近的是（ ）
A ．3310
B ．5310
C ．7310
D ．9310
11.已知,,,P A B C 是半径为2的球面上的点,O 为球心,2,90PA PB PC ABC ===∠=︒ , 则三棱锥O ABC -体积的最大值是( )
B.1
C.12
12.()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x <时,()()0,f x xf x '+<且()40f -=,则不等式()0xf x >的解集为( )
A.()()4,04,-⋃+∞
B.()()4,00,4-⋃
C.()(),40,4-∞-⋃
D.()(),44,-∞-⋃+∞
二、填空题
13.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,则20a 等于__________. 14.曲线5ln y x x =+在点()1,5处的切线方程为_____________.
15.为了积极稳妥疫情期间的复学工作,市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务,每个学校至少去1人,若甲､乙两人不能去同一所学校,则不同的分配方法种数为_____________.
16.已知函数()12()y f x x R =+-∈为奇函数,21
(),1
x g x x -=
-若函数()f x 与()g x 图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y 则
1
()m
i i
i
x y =+=∑______________.
三、解答题
17.在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,sin b
B
=
. (1)求A ;
(2)若2a =,且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-,求ABC △的面积.
18.某厂加工的零件按箱出厂,每箱有10个零件,在出厂之前需要对每箱的零件作检验,人工检验方法如下:先从每箱的零件中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,则停止检验;若抽取的零件至少有1个至多有3个次品,则对剩下的6个零件逐检验｡已知每个零件检验合格的概率为0.8,每个零件是否检验合格相互独立,且每个零件的人工检验费为2元. (1)设1箱零件人工检验总费用为X 元,求X 的分布列；
(2)除了人工检验方法外还有机器检验方法,机器检验需要对每箱的每个零件作检验,每个零件的检验
费为1.6元现有1000箱零件需要检验,以检验总费用的数学期望为依据,在人工检验与机器检验中,应该选择哪一个?说明你的理由.
19.如图,在三棱台ABC DEF -中,2,,BC EF AB BC BC CF =⊥⊥ ,G H ､分别为AC BC ､上的点,平面//FGH 平面ABED .
(1)求证:BC ⊥平面EGH ;
(2)若,22AB CF AB BC CF ⊥===,求二面角E FG D --的余弦值.
20.已知抛物线()2
20y px p =>上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ，焦点为F .线段AB 的中点为
()03,M y ，且,A B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC △面积的最大值. 21.已知函数()()3ln R f x x a x a =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()y f x =在区间(]1,e 上存在两个不同零点，求实数的取值范围. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2
x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数),直线l 的方程为y kx =.以
坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程;
(2)曲线C 与直线l 交于A B ､两点,若||||OA OB +=求k 的值. 23.函数()f x x a x b c =++-+,其中0,0,0a b c >>>. (1)当1a b c ===时,求不等式()4f x >的解集;
(2)若()f x 的最小值为3,求证:222
3.b c a a b c
++≥
参考答案
1.答案：B 解析：
2.答案：C 解析：
3.答案：A 解析：
4.答案：B 解析：
5.答案：D
解析：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC A B C '''-，
底面是一个直角三角形,2， 且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，
∴几何体的侧面积22224S =⨯+⨯=+， 故选：D.
6.答案：D
解析：当时0x =，00sin()sin 20y e e -=+=>，排除A 当时0x =，00sin()sin 00y e e -=-==，排除B 当时0x =，00cos()cos010y e e -=-==>，排除C 当时0x =，00cos()cos20y e e -=+=<，图象最契合
7.答案：C 解析： 8.答案：B 解析： 9.答案：B
解析：以BC 中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
则(0,3),(1,0),(1,0)A B C -,
设(,)P x y ,则()PA x y =-, (1,),(1,)PB x y PC x y =---=--,
则2
222
3()2224PA PB PC x y x y ⎡⎤⎛⎢⎥⋅+=-+=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,
∴当x 0,y ==
时, ()PA PB PC ⋅+取得最小值33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
,
故选B ． 10.答案：C 解析：lg
361lg380(92.2331,92.2692)M
N
=⋅-∈ 9392.269292.26920.7308101010(101)-=-92.26920.510(101)>-92.269210> 而92.2692731010-<92.269210，所以选C 11.答案：B 解析： 12.答案：C 解析： 13.答案：1 解析：
14.答案：610x y --= 解析： 15.答案：114 解析： 16.答案：3m 解析：
17.答案：解：（1）sin b B =
sin a A
=，
∴tan A =.
∵()0,πA ∈， ∴π6
A =.
（2）∵()cos B C -=2sin sin cos B C C - ∴cos cos sin sin B C B C +=2sin sin cos B C C -， ∴()cos cos B C C +=-， 即cos cos A C =，即A C =.∵π6
A =
， ∴2π3B =.∵2a =， ∴2a c ==.
∴1
sin 2ABC S ac B ==△1222⨯⨯= 解析：
18.答案：解：（1）X 的可能取值为8，20，
4480.80.20.41()12P X =+==， ()2010.41120.5888P X ==-=， 则X 的分布列为 X 8 20 P
0.4112
0.5888
（2）由（1）知，80.4112200.588815.0656EX =⨯+⨯=，
所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为100015065.6EX =元． 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000⨯⨯=元， 且1600015065.6>， 所以应该选择人工检验． 解析：
19.答案：解：（1）证明：因为平面//FGH 平面ABED ， 平面BCFE 平面ABED BE =，
平面BCFE
平面GHF HF =，所以//BE HF .因为//BC EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形，
所以BH EF =，因为2BC EF =，所以2BC BH =，H 为BC 的中点．同理G 为AC 的中点，所以//GH AB ，因为AB BC ⊥，所以GH BC ⊥，又//HC EF 且HC EF =，所以四边形EFCH 是平行
四边形，所以//CF HE ，又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥. 又,HE GH ⊂平面,EGH HE GH H =，所
以BC ⊥平面.EGH
（2）因为,//,//AB CF CF HE GH AB ⊥，所以HE GH ⊥.连接DG ，分别以,,HG HB HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，
则(001),(011),E F -，，，，(100),(101)G D ，，，， 设平面EFG 的一个法向量为111,,)m x y z =（， 因为(010),(101)EF EG =-=-，
，，， 则111
00y x z -=⎧⎨-=⎩，取11,x =得(1,0,1)m =．
设平面FGD 的一个法向量为222(,,)n x y z =， 因为()11
1(0,01)FG GD =-=，，，， 则2222
00x y z z +-=⎧⎨=⎩，取21(1,1,0)x n ==-，得
1
cos ,2
m n m n m n
⋅=
=
, 又二面角E FG D --为锐二面角，所以二面角E FG D --的余弦值为12
. 解析：
20.答案：（1）由题意知126x x +=，则12||||68AF BF x x p p +=++=+=，∴2p =， ∴抛物线的标准方程为24y x =；
（2）设直线():0AB x my n m =+≠由24x my n
y x
=+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2440y my n --=，
∴124y y m +=，∴()12
1224226x y x y m n n m =+++=+=，即232n m =-，
即()
21221216304812m y y m y y m ⎧=-
>⎪⎪
+=⎨⎪
⋅=-⎪
⎩
△，∴12||AB y y -= 设AB 的中垂线方程为：2(3)y m m x -=--，即(5)y m x =--，得点C 的坐标为()5,0，
∵直线2:32AB x my m =+-，即2230x my
m -+-=，
∴点C 到直线AB 的距离
d =
∴(
)21
||412
S AB d m =
⋅=+
t =
223(0m t t =-<<， ()244S t t =-⋅∴令()2()44f t t t =-⋅，∴()
2()443f t t '=-，
令()0f t '=
，则t =
⎛ ⎝⎭
上()0f t '>
；在⎝上()0f t '<， 故()f t
在⎛ ⎝⎭
单调递增，⎝单调递减，
∴当t =
m =
时，max S =
. 解析：
21.答案：（1）∵()32
33(0)a x a
f x x x x x
-'=-=>
①若0a ≤时，()0f x '>，此时函数在()0,+∞上单调递增； ②若0a >时，又()330x a
f x x
-'==
得：x
x ⎛∈ ⎝时()0f x '<
，此时函数在⎛ ⎝上单调递减；
当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时()0f x '>
，此时函数在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增； 综上：当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增
当0a >时，函数()f x
在在⎛ ⎝
上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增 （2）由题意知：3
ln x a x
=在区间(]1,e 上有两个不同实数解，
即函数y a =图像与函数()3
ln x g x x
=图像有两个不同的交点，
因为()()
()
22
3ln 1ln x x g x x -'=，令()0g x '=
得：x
所以当(x ∈时，()0g x '<
，函数在(上单调递减
当x e ⎤∈
⎦时，()0g x '>
，函数在
e ⎤⎦上单调递增；
则(
)min 3g x g e ==，而3
1
127
27
9127
2727ln e g e e e ⎛⎫
⎪==> ⎪⎝⎭，且()327g e e =<， 要使函数y a =图像与函数()3
ln x g x x
=图像有两个不同的交点，
所以的取值范围为(
3
3,e e ⎤⎦. 解析：
22.答案：解：（1）32
3sin x y αα
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩，22410x x y ∴-++=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.
（2）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,π)θθρθ=∈∈R ，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ. 1214cos ρρθ∴+=，1210ρρ=>，2116cos 40θ∆=->，
OA OB +=12ρρ+=12ρρ+=1cos θ∴= 满足∆>0，
1π6θ∴=
或5π6，l 的倾斜角为6π或5π
6，则1tan k θ==或． 解析：
23.答案：解：（1）当1a b c ===时，不等式()4f x >化为114||1x x ++-+>， 即113||x x +->+．
当1x ≥时，化为113x x ++->，解得3
2
x >
； 当11x -<<时，化为113()x x -->+，此时无解； 当1x ≤-时，化为(1)(1)3x x -+-->，解得3
2x <-．
综上可得，不等式()4f x >的解集为：3
3
(,)
(,)2
2
-∞-+∞； （2）证明：∵000a b c >>>，，，
∴由绝对值不等式得()|||||()()|3f x x a x b c x a x b c a b c =++-++--+=++=．
由基本不等式得：22b a b a +≥，22c b c b +≥=，
22a c a c +≥ 当且仅当1a b c ===时，上面三式等号成立．
三式相加得：222
222b c a a b c a b c a b c +++≥++++，
整理即得222
3b c a b b a c a c ≥+++=+．
故222
3b c a a b c
+≥+．。