2015南京大学量子力学真题(word 编辑版)
量子力学经典题目及解答
2 2
(J1取 号 J2 下 ) 上 ，取 号
o
a
ψΙ = ⋯ 由波函数有限性要求，ψΙΙΙ = 0,(x < 0, x > a)⋯ (2)
ψ (1)式改写为 ′′(x) + (1)式
∂ψ ∂ψ E =E , = ψ⋯ (2) 定 ：ℏ 态 i ψ ∂t ∂t iℏ ∂ψ* ∂ψ* E * * 取 共 ： iℏ 复 轭 =E , ψ = ψ ⋯ ) (3 ∂t ∂t −iℏ ∴ 态 率 度 布 随 间 化 即 定 几 密 分 不 时 变 ， ： ∂w ∂ψ* ∂ψ E * E =ψ +ψ* =ψ ψ +ψ* ψ = 0 ∂t ∂t ∂t −iℏ iℏ ∂w 由1 ( )， iJ = − ∇ = 0， ∂t ∴ iJ与 间 关 即 为 t无 的 矢 。 ∇ 时 无 ， J 与 关 常 量 ∂t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
µ e s4
2n 2ℏ 2
试由驻波条件求粒子能量的可能值。 试由驻波条件求粒子能量的可能值。 λx h nh 解：驻波条件 1
p2 3.粒子被限制在长宽高分别为 1 3.粒子被限制在长宽高分别为 a , a2, a3 的箱中动， 的箱中动， E = 2µ
a1 = n1
2
， px = ∴
λx
=
2a1
3
a
2x 2x 2A 5 a5 = A2[ (a − x) + ∫ dx] = x = 3*4 3*4 3*4*5 0 30 0 0 30 30 ∴A = 5 , A = 5 a a
2
4
免费的南大历年《量子力学》的真题
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
量子力学习题集(NJU)
h ¯ k2
Note:
∫
∞
−∞
[ ( )] dx exp − α2 x2 + iβx + iγx2 =
(
π α2 + iγ
)1/2
−β 2 (α2 − iγ ) exp 4 (α4 + γ 2 )
[
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; V (x) = ∞, 其它情况. 求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。 参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为 ψ (x, y ) = 0. 在势井内部，定态薛定谔方程为 h ¯2 2 h ¯2 ∂2 ∂2 − ∇ ψ (x, y ) = − ( 2 + 2 )ψ (x, y ) = Eψ (x, y ). 2µ 2µ ∂x ∂y 这里，µ为粒子质量。做变量分离 ψ (x, y ) = f (x)g (y ), 我们有 其中，c > 0。 求解上面两个方程，我们有 f (x) = α eikx x + α e−ikx x , 1 2 g (y ) = β1 eiky y + β2 e−iky y ,
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
2 2
4
h ¯ 2 π 2 n2 . 2ma2
于是， 1 ψ (x, 0) = √ [ψ1 (x) + eiϕ ψ2 (x)]. 2 (2) 1 h h ψ (x, t) = √ [ψ1 (x)e−iE1 t/¯ + eiϕ ψ2 (x)e−iE2 t/¯ ]. 2 |ψ (x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ (x, t) E1 − E2 1 2 2 (x) + ψ2 (x) + 2ψ1 (x)ψ2 (x) cos(ϕ + t)]. = [ψ1 2 h ¯ (3) ∫ ⟨x ˆ⟩ = 利用， ∫
南京大学期末试卷2015-2016大学物理I期中答案
设弹簧的最大压缩量为 x ，由机械能守恒：
1 2
(m
+
m1 )v12
=
1 2
kx 2
+
1 (m 2
+
m1
+
m2 )v2
将 v1 和 v 代入上式
kx 2 = m 2v0 2 − m 2v0 2 m + m1 m + m1 + m2
x=
(m
+
m2 m1)(m +
m1
+
m2
)k
mv0
3
2015—2016 学年第一 学期
解：由能量动量关系 E 2 = E02 + ( pc)2 ，对于中微子 ：
p = E c
由动量守恒，可知 + 子的动量大小也为 p = E ，所以对 + 子，有： c
E 2 = m 2c 4 + p 2c 2 = m 2c 4 + E 2 ；
由能量守恒： m c 2 = E + E
由以上两式解得： E
P
A
B
a n O
解： tan
=
a an
， a
= an
tan
an
=v2 R，R=l 2 cos
a=
a 2 + an 2 = an
1 + tan 2 = an = v 2 = 2v 2 cos R cos l
二、（10 分）角动量为 L ，质量为 m 的人造卫星，在半径为 r 的圆轨迹上运行，试求它 的动能、势能和总能量。
t
0
− Mdt = Jd
0
0
−
1 4
量子力学练习题答案
一、 简答题 1． 简述光电效应中经典物理学无法解释的实验现象。 答：光电效应中经典物理学无法解释的实验现象有： （1）对入射光存在截止频率ν0 ，小于该频率的入射光没有光电子逸出；（2） 逸出的光电子的能量只与入射光的频率ν 有关，入射光的强度无关；（3） 截止频率只与材料有关而与光强无关；（4）入射光的强度只影响逸出的光 电子的数量；（5）无论多弱的光，只要其频率大于截止频率，一照射到金 属表面，就有光电子逸出。 2． 简述 Planck 的光量子假设。 答：Planck 的光量子假设为，对于一定的频率为ν 的辐射，物体吸收或发 射的能量只能以 hν 为单位来进行。 3． 写出 Einstein 光电方程，并阐述 Einstein 对光电效应的量子解释。 答：Einstein 光电方程为 hν = 1 mv2 + W 。
⎤ ⎥ ⎦
16． 简述粒子动量与位置的不确定关系。
答：若要想精确地知道粒子的动量值，就无法得知粒子的具体位置；要想
精确地知道粒子的位置，就无法得知粒子的具体动量值，位置分布的均方
差和动量分布的均方差受到下面关系的制约
Δx ⋅ Δp ≥ = 2
17． 简述量子力学的态叠加原理。
答：量子力学的态叠加原理是指如果ψ1 、ψ 2 、ψ 3 ……均是体系的可能状态，
Wmk =| am (t) |2
∫ ∫ 其中
am
(t)
=
1 i=
t 0
eiωmkτ
H
′
mk
dτ
，
H
′
mk
=
ϕm* Hl ′(t)ϕkdτ ，ωmk = (Em − Ek ) / =
二、 证明题 1． 证明黑体辐射的辐射本领 E(ν ,T ) 与 E(λ,T ) 之间的关系。 证明：黑体的辐射本领是指辐射体单位面积在单位时间辐射出来的、单位 频率间隔内的能量，用 E(ν ,T ) 表示。由于ν = c / λ ，所以黑体的辐射本领也 可以表示成 E(λ,T ) 。由定义得单位面积、单位时间内辐射的能量为
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解一、考试解读：part 1 学院专业考试概况：①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:量子力学的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含南师大物理学专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含南师大考研专业课量子力学各部分的命题规律及出题风格。
part 2 历年题型分析及对应解题技巧：根据南师量子力学各专业考试科目的考试题型（简答题、计算题、证明题、综合题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。
part 3 近年真题分析：最新真题是南师考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的南师考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。
part 4 未来考试展望：根据上述相关知识点及真题试卷的针对性分析，提高考生的备考与应试前瞻性，令考生心中有数，直抵南师大考研的核心要旨。
part 5 南师大考试大纲：①复习教材罗列（官方指定或重点推荐+拓展书目）：不放过任何一个课内、课外知识点。
②官方指定或重点教材的大纲解读：官方没有考试大纲，高分学长学姐为你详细梳理。
③拓展书目说明及复习策略：专业课高分，需要的不仅是参透指定教材的基本功，还应加强课外延展与提升。
part 6 专业课高分备考策略：①考研前期的准备；②复习备考期间的准备与注意事项；③考场注意事项。
part 7 章节考点分布表：罗列南师大考研专业课量子力学的专业课试卷中，近年试卷考点分布的具体情况，方便考生知晓南师大考研专业课试卷的侧重点与知识点分布，有助于考生更具针对性地复习、强化，快准狠地把握高分阵地。
二、南师大历年真题与答案详解：整理南师大该科目的1997-2018年考研真题，并配有2010-2018年真题答案详解，本部分包括了（解题思路、答案详解）两方面内容。
北京大学南京大学量子力学考研试题题库
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现代物理（量子力学考试习题）
现代物理（量⼦⼒学考试习题）思考题（程守诛江之永《普通物理学》）1两个相同的物体A 和B,具有相同的温度，如A 物体周围的温度低于A ，⽽B物休周围的温度⾼于B.试问:A 和B 两物体在温度相同的那⼀瞬间．单位时间内辐射的能量是否相等？单位时间内吸收的能量是否相等？2绝对⿊体和平常所说的⿊⾊物体有何区别？绝对⿊体在任何温度下，是否都是⿊⾊的？在同温度下，绝对⿊体和⼀般⿊⾊物休的辐出度是否⼀样？ 3你能否估计⼈体热辐射的各种波长中，哪个波长的单⾊辐出度最⼤？4有两个同样的物体，⼀个是⿊⾊的，⼀个是⽩⾊的且温度相同．把它们放在⾼温的环境中，哪⼀个物体温度升⾼较快？如果把它们放在低温环境中．哪⼀个物体温度降得较快？5 若⼀物体的温度（绝对温度数值）增加⼀倍．它的总辐射能增加到多少倍？ 6在光电效应的实验中，如果：(1)⼊射光强度增加1倍；(2)⼊射光频率增加1倍，按光⼦理论，这两种情况的结果有何不同？；7已知⼀些材料的逸出功如下：钽4.12eV ,钨4.50eV ,铝 4.20eV ,钡2. 50eV ，锂2. 30eV .试问：如果制造在可见光下⼯作的光电管，应取哪种材料？8在彩⾊电视研制过程中．曾⾯临⼀个技术问题：⽤于红⾊部分的摄像管的设计技术要⽐绿、蓝部分困难，你能说明其原因吗？·9光⼦在哪些⽅⾯与其他粒⼦（譬如电⼦）相似？在哪些⽅⾯不同？ 10⽤频率为v 1的单⾊光照射某光电管阴极时，测得饱和电流为I 1，⽤频率为v 2的单⾊光以与v1的单⾊光相等强度照射时，测得饱和电流为I2,:若I2>I1,v 1和v 2的关系如何？11⽤频率为v1的单⾊光照射某光电管阴极时，测得光电⼦的最⼤动能为E K1 ；⽤频率为v 2的单⾊光照射时，测得光电⼦的最⼤动能为E k2 ,若E k1 >E k2，v 1和v 2哪⼀个⼤？12⽤可见光能否观察到康普顿散射现象？13光电效应和康普倾效应都包含有电⼦与光⼦的相互作⽤，这两过程有什么不同？14在康普顿效应中，什么条件下才可以把散射物质中的电⼦近似看成静⽌的⾃由电⼦？15在康普顿效应中，反冲电⼦获得的能量总是⼩于⼊射光⼦的能量这是否意味着⼊射光的光⼦分成两部分，其中的⼀部分被电⼦吸收．这与光⼦的粒⼦性是否⽭盾？16 (1) 氢原⼦光谱中．同⼀谱系的各相邻谱线的间隔是否相等？(2) 试根据氢原⼦的能级公式说明当量⼦数n 增⼤时能级的变化情况以及能级间的间距变化情况．17了由氢原⼦理论可知．当氢原⼦处于 n=4的激发态时，可发射⼏种波长的光？18如图所⽰．被激发的氢原⼦跃迁到低能级时，可发射波长为λ1、λ2、λ3的辐射．问三个波长之间的关系如何？19设实物粒⼦的质量为m, 速度为v, 由德布罗意公式mV h mc hv /,2==λ得 V c v /2=λλ根据Vv=得Vc=显然以上的结论是错误的，试问错误的根源何在？8-20为什么说不确定度关系与实验技术或仪器的改进⽆关？习题1、估测星球表⾯温度的⽅法之⼀是：将星球看成⿊体，测量它的辐射峰值波长。
免费的南大历年《量子力学》的真题
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
2015江苏卷
2015
2015
（2）该同学按正确的步骤进行实验（记为“实验 ①”），将磁铁从管口处释放，打出一条纸带，取 开始下落的一段，确定一合适的点为 点，每隔一个 计时点取一个计数点，标为1，2，…，8．用刻度尺 量出各计数点的相邻两计时点到 点的距离，记录在 江 纸上，如题 11–2图所示． 苏 卷
b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约
江 为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径
苏 卷
的 1 .该中心恒星与太阳的质量比约为 A．201 B．1 C．5 D．10
10
B
4.电磁感应
4. 如图所示，用天平测量匀强磁场的磁感应强度．下 列各选项所示的载流线圈匝数相同，边长 MN相等，将 它们分别挂在天平的右臂下方．线圈中通有大小相同 的电流，天平处于平衡状态．若磁场发生微小变化， 天平最容易失去平衡的是
12B. （1）BC （2）1.5
不容易
（3）设折射角为 γ ，由折射定律 sin 30 n sin 由几何关系可知 sin PB－OA ，
OP 且 OP （PB－OA）2 AB2
代入数据解得 n 449 （或 n 1.5 ）
14
3-5光电效应
2015
[选修3-5]（12分）
进行发电,
235 U
92
是核电站常用的核燃料．235 92
U受一个中子
轰击后裂变成144 56
Ba和 89 36
Kr两部分，并产生
__________
个中子．要使链式反应发生，裂变物质的体积要
___________（选填“大于”或“小于”）临界体
2016年南京大学物理学院博士生量子力学入学考试真题
2015年南京大学物理学院博士生“申请-考核”制入学
专业课程笔试试题
考试科目： 量子力学 考试时间：三小时
本试卷共计五大题
一、基本概念题
简述量子力学的基本原理。
二、设一个质量为m 的粒子处于区域为(0, a )的一维无限深势阱中， 其状态波函数为2=sin cos x
x
a a ππψ ，试求：
1)、一维无限深势阱的本征值问题；
2)、测量到粒子处于不同能量本征态的几率。
三、设两个算子ˆA
与ˆB 满足交换关系式：ˆˆˆˆˆˆ[,]1A B AB BA =-=，试求： 1)、n 为正整数， ˆˆ[,]n A
B ； 2)、()f x 为解析函数，ˆˆ[,()]A
f B 。
四、 已知两个算子ˆa 与ˆa +满足ˆˆˆˆ1a a aa ++=-，令ˆˆˆN a a +=，且有ˆN
n n n =， 求证：n 为实数。
五、量子力学中的韦尔(Weyl)波动方程式为：
(,)(,)i r t c r t t i ψσψ∂
=⋅∇∂
，
其中=x x y y z z e e e σσσσ++
为泡利矩阵所组成的矢量，
(,)r t ψ 为泡利二 分量波函数，其它为量子力学标准符号。
求
1)、该系统的韦尔定态方程式与力学量完全集；
2)、该系统的能量本征值并说明其物理意义；
3)、该系统的本征波函数。
大学物理-量子力学基础习题思考题及答案word精品文档5页
习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。
解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c =+ 可得（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：m meU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：22-3．一中子束通过晶体发生衍射。
已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长 A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。
22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。
解：由测不准关系： 3424101.0510 5.2510220.110h p x ---⨯∆===⨯∆⨯⨯ 由波长关系式：Ec h =λ 可推出： E E c h ∆=∆λ 22-6．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为A 102-，计算原子处在被激发态上的平均寿命。
解：能量hcE h νλ==，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两者之间的关系为：2hcE λλ∆=∆由测不准关系，/2,E t ∆∆≥平均寿命τ=Δt ，则22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67-⨯=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19-，计算该信号的波长宽度λ∆。
量子力学试题
量子力学试题(共21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n m a E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为 ()()()133;134;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
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2015年南京大学物理学院博士生“申请-考核”制入学
专业课程笔试试题
考试科目： 量子力学 考试时间：三小时
本试卷共计五大题
一、基本概念题
简述量子力学的基本原理。
二、设一个质量为m 的粒子处于区域为(0, a )的一维无限深势阱中， 其状态波函数为2=sin cos x
x
a a ππψ ，试求：
1)、一维无限深势阱的本征值问题；
2)、测量到粒子处于不同能量本征态的几率。
三、设两个算子ˆA
与ˆB 满足交换关系式：ˆˆˆˆˆˆ[,]1A B AB BA =-=，试求： 1)、n 为正整数， ˆˆ[,]n A
B ； 2)、()f x 为解析函数，ˆˆ[,()]A
f B 。
四、 已知两个算子ˆa 与ˆa +满足ˆˆˆˆ1a a aa ++=-，令ˆˆˆN a a +=，且有ˆN
n n n =， 求证：n 为实数。
五、量子力学中的韦尔(Weyl)波动方程式为：
(,)(,)i r t c r t t i ψσψ∂
=⋅∇∂ ，
其中=x x y y z z e e e σσσσ++为泡利矩阵所组成的矢量，
(,)r t ψ为泡利二 分量波函数，其它为量子力学标准符号。
求
1)、该系统的韦尔定态方程式与力学量完全集；
2)、该系统的能量本征值并说明其物理意义；
3)、该系统的本征波函数。