数学应用软件作业6 用Matlab求解微分方程的解析解和数值解

注：上机作业文件夹以自己的班级姓名学号命名，文件夹包括如下上机报告和Matlab程序。上机报告模板如下：

分别用函数ode45和ode15s计算求解，分别画出图形，图形分别标注标题。

4、求解微分方程

=y

-

y

+

y

t

,1

)0(

,1

+

'=

先求解析解，在[0,1]上作图；

再用ode45求数值解(作图的图形用“o”表示)，在同一副图中作图进行比较，用不同的颜色表示。

三. 上机方法与步骤

给出相应的问题分析及求解方法，并写出Matlab程序，并有上机程序显示截图。

题1：直接用命令dsolve求解出微分方程的通解。

Matlab程序：

dsolve('D3y-D2y-3*Dy+2*y','x')

题2：将微分方程组改写为

5cos2exp(2)

5cos2exp(2)

(0)2,(0)0

dx

t t x y

xt

dy

t t x y

dt

x y

⎧

=+---

⎪

⎪

⎪

=-+-+-

⎨

⎪

==

⎪

⎪

⎩

，再用命令dsolve求解微分方

程的通解。

Matlab程序：

建立如下：

[x,y]=dsolve('Dx=5*cos(t)+2*exp(-2*t)-x-y','Dy=-5*cos(t)+2*exp(-2*t)+x-y','x(0)=2,y(0) =0','t')

x=simple(x)

y=simple(y)

题3：由于所给的微分方程为一阶微分方程，则直接用函数ode45和ode15s求解微分方程的数值解，具体程序如下：

（1）Matlab程序：

建立M文件，如下：

function dy=fun2(t,y);

dy=zeros(2,1);

dy(1)=*(1-y(1))-(1-y(2))*y(1)+*((1-y(2))^2); dy(2)=-10000*y(1)+3000*((1-y(2))^2);

取t0=0,tf=100,建立程序如下：

t0=0;tf=100;

[T,Y]=ode45('fun2',[0 100],[1 1]);

plot(T,Y(:,1),'+',T,Y(:,2),'*');

title('ode45图形');

（2）Matlab程序：

建立M文件，如下：

function dy=fun1(t,y);

dy=zeros(2,1);

dy(1)=*(1-y(1))-(1-y(2))*y(1)+*((1-y(2))^2); dy(2)=-10000*y(1)+3000*((1-y(2))^2);

取t0=0,tf=100,建立程序如下：

t0=0;tf=100;

[T,Y]=ode15s('fun1',[0 100],[1 1]);

plot(T,Y(:,1),'+',T,Y(:,2),'*');

title('ode15s图形');

题4：

Matlab程序：

(1)先建立程序如下：

y=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t')

截图如下：

作图：建立程序如下：

ezplot('t + 1/exp(t)',[0,1]) title('t + 1/exp(t)')

（2）先建立M文件，如下：function dy=fun3(t,y)

dy=zeros(1,1);

dy(1)=-y(1)+t+1;

再取t0=0,tf=1,建立程序如下：t0=0;tf=1;

[T,Y]=ode45('fun3',[0 1],[1]); plot(T,Y,'ro');

title('比较图');

t=0::1;

y=t+1./exp(t);

hold on

plot(t,y,'b');

四.上机结果

题1结果为：

ans =

C4*exp(2*x) + C2*exp(x*(5^(1/2)/2 - 1/2)) + C3/exp(x*(5^(1/2)/2 + 1/2))

题2结果为：

x =

4*cos(t) - 2/exp(2*t) + 3*sin(t) - (2*sin(t))/exp(t) y =

sin(t) - 2*cos(t) + (2*cos(t))/exp(t)

题3结果为：

题4结果为：

解析解为：

y =

t + 1/exp(t)

作图如下：