多元正态分布及检验
第十二讲多元正态分布的参数估计与检验
三、均值的检验
（一） 协差阵V已知时，均值 的检验
设 X1, X2 ,, Xn(n p) 是来自多元正态总
体 N p( ,V )的简单样本，其中V 已知。考虑假设
检验问题
H0： 0，H1： 0
令 D n( X 0 )TV 1( X 0 ), 则可以证明当
H0 成立时，即 0时， D～ 2( p)
时拒绝 H0 ，否则接受H0 ，即拒绝域为
W F : F F1 ( p,n p)
（三） 两个正态总体均值相等的检验 设 X1, X 2 ,, X n1 (n1 p) 是来自多元正态总
体N p (1,V )的简单样本，Y1,Y2 ,,Yn2 (n2 p)是来 自多元正态总 N p(2 ,V ) 的简单样本，且两个样本
其中Vˆ
n1
1 n2
2 (S1
S2 )是协方差阵V
的估
计量。
可以证明当 H0成立时， 即1 2时，
F ～ F ( p, n1 n2 p 1)
而当
H
不成立时，
0
F
有偏大的趋势。因此，对
给定的显著性水平 ，拒绝域为
W F : F F1 ( p, n1 n2 p 1)
计。为简单计，仅考虑V 0 的情形。
设 X1, X2 ,, Xn(n p) 是来自多元正态总
体 N p( ,V )的简单样本，令
多元正态分布条件分布例题
多元正态分布条件分布例题
多元正态分布是指具有多个随机变量的正态分布。它的概率密度函数可以用矩阵符号来表示。对于一个具有n个变量的多元正态分布，其概率密度函数可以写作：
f(x) = (1 / ( (2π)^(n/2) |Σ|^0.5 )) exp(-0.5 (x-μ)' Σ^(-1) (x-μ))。
其中，x是一个n维向量，μ是一个n维向量，Σ是一个n×n 的对称正定矩阵，|Σ|表示Σ的行列式。这个概率密度函数描述了多元正态分布的形状和分布情况。
现在让我们来看一个条件分布的例题。假设我们有一个二维多元正态分布，其均值向量为μ = [1, 2]，协方差矩阵为Σ = [[2, 1], [1, 2]]。我们想要求在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布。
首先，我们可以计算边缘分布，即X1的边缘分布。X1的边缘
分布仍然是一个正态分布，其均值和方差可以通过均值向量和协方差矩阵的对应元素得到。
然后，我们可以计算条件分布。在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布也是一个正态分布，其均值和方差可以通过边缘分布的均值和方差以及协方差矩阵的相关元素计算得到。
通过这个例题，我们可以理解多元正态分布的条件分布是如何计算的，以及如何利用均值向量和协方差矩阵来描述多元正态分布的形状和分布情况。
多元正态分布的性质
多元正态分布的性质
正态分布是统计分析中最重要的概率分布之一，它能够帮助我们更好地理解数据的特性，也可以帮助我们做出更好的决策。多元正态分布可以用来描述一组随机变量之间的关系，在许多计量方法和定量分析中，它被广泛应用。本文尝试回答以下三个问题：一是什么是多元正态分布？二是多元正态分布的性质是什么？三是多元正态分布
如何使用？
首先，什么是多元正态分布？多元正态分布是指一个有两个或多个变量的正态分布，可以用来描述一组随机变量之间的关系，可以用来解释一个变量的分布特征。与单变量正态分布不同的是，多元正态分布的特征取决于对角矩阵中的参数，即协方差矩阵或协方差矩阵。与单变量正态分布不同，多元正态分布是以向量形式定义的，但可以使用同样的统计分析理论来描述多变量正态分布的性质，例如期望和方差。
其次，多元正态分布的性质是什么？多元正态分布存在着许多性质，根据多元数学理论可以列举出以下性质：
1.元正态分布的期望向量表示为 m = (m_1,m_2,...,m_n)，这里的m_i表示每个随机变量的期望值；
2.元正态分布的协方差矩阵S表示为：S=［s_ij］，sij表示第i 个和第j个随机变量之间的协方差；
3.元正态分布的方差向量表示为：
var=(var_1,var_2,...,var_n),其中var_i表示第i个随机变量的方
差；
4.元正态分布的对称性，即对于n个随机变量X_1,X_2,...,X_n 及其期望向量m和协方差矩阵S，当存在变换矩阵A，使得AX=y有解，则有：
E(X) = m
var(X) = S
多元正态分布参数的估计与假设检验-判别分析
注 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的.
三、贝叶斯风险
1、贝叶斯风险的定义 由第一小节内容可知，给定损失函数以后， 由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风 险函数定义为
Θ
为决策函数d在给定先验分布π θ 下的贝叶斯风险 下的贝叶斯风险， 为决策函数 在给定先验分布π(θ)下的贝叶斯风险，简 在给定先验分布 称为d的贝叶斯风险 的贝叶斯风险. 称为 的贝叶斯风险
2、贝叶斯风险的计算 当X与θ都是连续性随机变量时，贝叶斯风险为 与 都是连续性随机变量时，
R(d ) = E ( R(θ , d )) = ∫ R(θ , d )π(θ )dθ
Θ
=∫
Θ
∫
Χ
L(θ , d ( x ))q( x | θ )π(θ )dxdθ
=∫
Θ
∫
Χ
L(θ , d ( x ))h(θ | x )g(x )dxdθ
Θ
= ∫ g(x ){ ∫ L(θ , d ( x ))h(θ | x )dθ }dx
Χ
四 、贝叶斯估计
1、贝叶斯点估计 定义4.6 若总体 的分布函数F(x,θ)中参数θ为随机 定义 若总体X的分布函数 中参数θ 的分布函数 θ 中参数 变量， θ 为 的先验分布，若决策函数类D中存在 变量，π(θ)为θ的先验分布，若决策函数类 中存在 一个决策函数使得对决策函数类中的任一决策函数 均有
多元正态分布参数的假设检验
3.015 0.607
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1.111⎥⎦
⎡26.643
S2
=
⎢ ⎢
8.288
⎢18.290
⎢ ⎣
5.578
9.902 8.127 4.049
22.082 7.310
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 3.911⎥⎦
设 X1, X2 ,K, Xn为来自总体 X ~ N p ( μ1 , Σ) 的样本；
Y1, Y2 ,K, Ym 为来自总体 Y ~ N p ( μ2 , Σ) 的样本，且
两总体相互相互独立，Σ未知。要检验两总体均值是 否相等，即
H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2
15
武汉理工大学统计学系唐湘晋
显著差异。
20
武汉理工大学统计学系唐湘晋
例 为了判别两个不同产地的鸢尾花是否属于同一个
种，各取50个样本，量测了花的萼片长度X1，萼片宽 度X2，花瓣长度X3，花瓣宽度X4，共四个指标。希望 通过比较这些形态上的差异是否显著，作为分类的一
个依据。
解：1．提出假设 H0 : μ1 = μ2 , H1 : μ1 ≠ μ2
9
22.62 32.57 51.23 61.39
16
23.02 33.05 51.48 61.44
3
22.60 32.76 51.50 61.22
多元正态分布均值向量和协差阵的检验
且两组样本相互独立，有共同未知协方差阵 0
假设检验 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
构造统计量
F
(n＋m 2) (n＋m
p 2) p
H0：＝（0 0为已知向量），H1： 1
假设H
成立，检验统计量为
0
T02 n( X 0 )T 1( X 0 ) ~ 2 ( p)
给定检验水平，查 2分布表，使P T02 2 ＝，确定出临界值。
再由样本值计算出T02，比较
若T02
，则拒绝H
且
X＝1 n
n i 1
Xi,
Y＝ 1 m
m
Yi
i 1
(一)当协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验
(1)针对有共同已知协差阵的情形
H0：1＝2，H1：1 2
假设H
成立，检验统计量为
0
T02
nm nm
(X
Y )T
1( X
Y)
~
2( p)
给定检验水平，查 2分布表，使P T02 2 ＝，确定出临界值。
设X（1）, X（2）,，X（n）来自于p维正态总体N p (1, 1)，容量为n的样本，
多元正态分布参数的估计与假设检验
n
其观察值
s = ∑ ( xk − x )( xk − x )
k =1
n
T
它反映了总体协方差 矩阵的信息
S 1 n = ∑ ( X k − X )( X k − X )T n n k =1
3、样本矩的性质 定理8.1 定理8.1 设 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n )是 来 自 总 体 X 的 样 本 S X ~ N p ( µ , Σ ), Σ > 0 , 则 X , 分 别 是 µ 和 Σ 的 最 大 似 然 n ˆ = S. ˆ 估计量，即µ = X , Σ n 定理8.2 定理8.2 设 ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n )是 来 自 总 体 X 的 样 本 S X ~ N p ( µ , Σ ), Σ > 0 , 则 X , 分 别 是 µ 和 Σ的 最 小 方 差 n −1 ˆ = S . ˆ 无偏估计量，即µ = X , Σ n −1 证明略
于是
η = n( X − µ0 )T b
⋯ 设X 1 ,X 2 , ,X n为取自正态总体N p(µ , Σ)的样
2、协方差矩阵未知，关于均值向量的检验 协方差矩阵未知，
本，其中Σ = (σ ij )未知，µ = ( µ1 , µ2 , ⋯ , µn )T 未知.
H 0 : µ = µ 0 ↔ H1 : µ ≠ µ 0
多元正态分布的协方差检验
一、One sample covariance test
cov.equal=function(x,Sigma,a=0.05) {
##x i s t h e d a t a s e t
##S i g m a i s t h e a s s u m e d c o v a r i a n c e m a t r i x
## a i s t h e s i g n i f i c a n c e l e v e l s e t b y d e f a u l t t o 0.05 x=as.matrix(x)
Sigma=as.matrix(Sigma)
p=n c o l(x)##d i m e n s i o n a l i t y o f t h e d a t a
n=n r o w(x)##t o t a l s a m p l e s i z e
S=c o v(x) ## s a m p l e c o v a r i a n c e m a t r i x## t h e n e x t 2 l i n e s c o n s t r u c t t h e t e s t s t a t i s t i c
mesa=solve(Sigma)%*%S
test=sum(diag(mesa))-n*log(det(mesa))-n*p+n*p*log(n)
d f=0.5*p*(p+1)##t h
e d e g r e e s o
f f r e e d o m o f t h e
c h i-s q u a r e
有关多元正态分布的均值和方差检验
多元统计分析实验报告
基于spss多元正态分布均值和方差的检验
院（系）：
专业班级：
学号姓名：
指导老师：
成绩：
完成时间：
目录
基于多元正态分布均值和方差的检验 (1)
一、引言 (2)
二、实验目的 (2)
（一）掌握正态分布均值及方差检验方法 (2)
（二）熟悉运用EXCEL、SPSS软件 (2)
（三）培养动手操作能力 (2)
（四）学会理论知识与实践相结合 (2)
三、实验环境 (2)
四、实验内容 (2)
五、实验过程及分析 (3)
（一）实验步骤 (3)
1.输入数据
3
2.正态性检验
3
3.均值与方差的检验
4
4.不同分类经济发展水平的比较
4
（二）结果分析 (4)
六、实验体会 (8)
基于多元正态分布均值和方差的检验
摘要
多元正态分布是一种多元概率分布，在多元统计学中占有相当重要的位置。本文采用多元统计的分析方法利用SPSS实现了均值向量和协方差阵的检验，得到各指标权重系数，从而解决验证各指标是否具有显著性差异的问题。
关键词：多元正态分布，假设检验，显著差异，SPSS
一、引言
在基础统计学中，随机变量的正态分布在理论和实际应用中都有着重要的地位。同样，在多元统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是许多实际问题研究中的随机变量确实遵守或近似遵从多元正态分布；对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且可以得到许多完整的结果。
二、实验目的
（一）掌握正态分布均值及方差检验方法
（二）熟悉运用EXCEL、SPSS软件
（三）培养动手操作能力
（四）学会理论知识与实践相结合
三、实验环境
MS Excel 2016 、SPSS 21.0
多元正态分布的协方差检验
一、One sample covariance test
cov.equal=function(x,Sigma,a=0.05) {
##x i s t h e d a t a s e t
##S i g m a i s t h e a s s u m e d c o v a r i a n c e m a t r i x
## a i s t h e s i g n i f i c a n c e l e v e l s e t b y d e f a u l t t o 0.05 x=as.matrix(x)
Sigma=as.matrix(Sigma)
p=n c o l(x)##d i m e n s i o n a l i t y o f t h e d a t a
n=n r o w(x)##t o t a l s a m p l e s i z e
S=c o v(x) ## s a m p l e c o v a r i a n c e m a t r i x## t h e n e x t 2 l i n e s c o n s t r u c t t h e t e s t s t a t i s t i c
mesa=solve(Sigma)%*%S
test=sum(diag(mesa))-n*log(det(mesa))-n*p+n*p*log(n)
d f=0.5*p*(p+1)##t h
e d e g r e e s o
f f r e e d o m o f t h e
c h i-s q u a r e
多元正态分布的检验
多元正态总体均值的T2置信区间
置信域和T2置信区间的关系
置信域和T2置信区间的关系（续）
n
K=p
2
4 10
15
0.88 0.69 0.29
25
0.90 0.75 0.48
50
0.91 0.78 0.58
100
0.91 0.80 0.62
0.91 0.81 0.66
联合置信区间与单一置信区间的比较
§2.2 两个正态总体均值 的成组比较
一元情形的回顾
两个多元正态总体均值成组比较
均值差的T2置信区间
均值差的Bonferroni置信区间
§2.3 两个正态总体均值 的成对比较
两个一元正态总体均值的成对比较
两个多元正态总体均值的成对比较
样品
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
(1) 已知时
马氏距离 的n倍
( X ) 1 ( X )
(2) 未知时
例题：
设一个容量为n 3的随机样本取自二维正态总体， 其样本数据为
n
123
x1
6 10 8
x2
963
试对0 (9,5)计算T2的值。
多元正态总体均值的置信域
置信域和T2置信区间的关系（续）
一元正态总体均值的置信区间
商业实验室
x1i(BOD)
多元统计分析多元正态分布
定义与性质
性质
定义
均值向量
描述多元正态分布的期望值，表示分布的中心位置。
协方差矩阵
描述多元正态分布的各变量之间的方差和协方差，表示分布的散布程度和变量间的相关性。
维数
描述多元正态分布中随机变量的个数，不同维数的多元正态分布具有不同的形态和性质。
多元正态分布的参数
统计分析
多元正态分布在统计分析中广泛应用，如回归分析、因子分析、聚类分析等。
KNN分类
06
多元正态分布的可视化技术
Leabharlann Baidu
总结词
主成分分析（PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降维和数据可视化。
总结词
PCA可视化能够揭示数据中的模式和趋势，帮助我们理解数据的内在结构和关系。
详细描述
通过将数据投影到主成分上，我们可以将高维数据可视化为一组二维或三维图形，从而更直观地观察数据的分布、中心、离群值和聚类等特征。
机器学习
多元正态分布常用于高维数据的降维处理、分类和聚类等任务。
金融领域
多元正态分布用于描述金融数据的分布特征，如股票价格、收益率等。
生物医学研究
多元正态分布用于描述生物医学数据，如基因表达、蛋白质组学数据等。
多元正态分布的应用场景
02
多元正态分布的统计推断
多元正态分布的参数估计
最大似然估计
[理学]03_多元正态分布均值向量和协差阵的检验
![[理学]03_多元正态分布均值向量和协差阵的检验](https://img.taocdn.com/s3/m/26c33d3c844769eae009ed45.png)
态总体 N p (μ2 , Σ) 的容量为 m 的样本。两组样本相互独
立， n
p,m
p ，且 X
1 n
n i 1
X(i)
，Y
1 m
m i 1
Y( i )
。
1．针对有共同已知协差阵的情形 对假设
H0：μ1 μ2
进行检验。
H1：μ 1 μ 2
对此问题，假设 H 0 成立时，所构造的检验统计量为
T02
nm nm
(X
Y)Σ1(X
Y)
~
2(
p)
（3.8）
给出检验水平 ，查 2 ( p) 分布表使 P T02 2 ，可
确定出临界值 2 ，再用样本值计算出T02 ，若T02 2 ，则
否定 H 0 ，否则接受 H 0 。
这里，我们应该注意到，在单一变量统计中进行均值相等检验
Σ2 0 。对假设 H0：μ1 μ2
进行检验。
H1：μ1 μ2
1．针对 n m 的情形
令
Z(i) X(i) Y(i)
i 1,2,, n
Z
1 n
n i 1
Z(i)
XY
n
S (Z(i ) Z ) Z( i( ) Z ) i 1
多元正态分布
3
协方差矩阵检验
检验多元正态分布的协方差矩阵是否等于某个已 知矩阵，常用的方法有Box's M检验等。
方差分析
01
多元方差分析
在多个均值向量的假设下，分析 多个样本之间的差异，以确定哪 些因素对数据有影响。
02
多因素方差分析
03
方差成分分析
同时考虑多个因素对数据的影响， 分析各因素之间的交互作用和主 效应。
在聚类分析中的应用
K-均值聚类
基于多元正态分布的相似性度量，K-均值聚类算法可以将数 据集划分为多个簇，使得同一簇内的数据尽可能相似，不同 簇的数据尽可能不同。
高斯混合模型
高斯混合模型是一种基于多元正态分布的概率模型，用于对 数据进行聚类或异常检测。通过估计每个簇的中心、协方差 和簇中数据所占的比例，可以对数据进行分类或异常检测。
将数据的变异分解为多个成分， 以了解各成分对总变异的贡献程 度。
05
多元正态分布在统计和机器学习中的
应用
在回归分析中的应用
多元线性回归
多元正态分布常用于构建多元线性回归模型，以预测多个因变量的响应变量。 通过估计回归系数和误差方差，可以对因变量进行预测和解释。
稳健回归
在存在异常值或离群点的情况下，多元正态分布可以用于稳健回归分析，以减 少异常值对回归结果的影响。
长度与随机变量的维度相同。
4-多元正态分布的假设检验.
源自文库
use d331(firstobs=11); read all var xx into y; print y; lm={[10] 1} ; y0=(lm*y)/m; print y0; my=i(m)-j(m,m,1)/m; a2=y`*my*y; print a2; a=a1+a2; xy=x0-y0; ai=inv(a); print a ai; dd=xy*ai*xy`; d2=(m+n-2)*dd; t2=n*m*d2/(n+m) ; f=(n+m-1-p)*t2/((n+m-2)*p); print d2 t2 f; pp=1-probf(f,p,m+n-p-1); print pp; quit;
Y0
51.5 51 A2 502.5 60 175 -7.5 60 390 50 195 175 50 450 -100 -7.5 195 -100 322.5 40 70.5
The SAS System X0 4.64 45.4 XM 0.64 A -4.6 -0.035 9.965
08:48 Wednesday, March 10, 2008 4
54.708 190.19 -34.372 190.19 3795.98 -107.16 -34.372 -107.16 68.9255 AI 0.0308503 -0.001162 0.0135773 -0.001162 0.0003193 -0.000083 0.0135773 -0.000083 0.0211498 DD D2 T2 F
ch3 多元正态分布参数的检验
(1)
σ
其中x
=
1 n
n
∑
i=1
xi为样本均值。
当假设成立时,统计量u服从正态分布u ~ N(0,1),
从而拒绝域为| u |〉ua/2,ua/2为N(0,1)的上a / 2分位点
18
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一、 一个指标检验的回顾
当σ 2未知时,用S 2
=
n
∑
( xi
− x)2
作为σ 2的估计,用统计量
立,则称
F
=
X m
Y
所服从的分布为第一自由度为 m第二
n
自由度为 n 的中心 F 分布.记为F ∼ F(m,n) .F 分布本
质上是从正态总体 N (µ,σ 2 ) 随机抽取的两个样本方差
的比.
12
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三、 F中心分布与Wilks分布
定义3 设 W1 ∼ Wp (n1, ∑) , W2 ∼Wp(n2,∑) , ∑ > 0 , n1 > p, 且 W1 与 W2 相互独立,则称随机变量
{ } 给定检验水平α ，查 χ 2 分布表使 P T02 > χα2 = α ，可确定出
临界值 χα2 ，再用样本值计算出T02 ，若 T02 > χα2 ，则否定 H0 ， 否则接受 H0 。
23
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多元正态均值检验
H0 : 1 2 L k
H1 : 至少存在，使 i j i j
统计量的构造
组间协方差阵：B
k
n
X X
'
X X
1
组内协方差阵：E k
n
X
j
X
'
K
X
j
X
A
1 j1
样 甘油 本 三脂 号
X1 - 1.02
1 1.78 2 0.67 3 0.56 4 0.66 5 0.21
总胆 固醇
X 2 - 2.73
0.83 0.96 0.83 1.12 0.16
高密度脂蛋白 胆固醇
X3 - 2.04
-1.01 -0.84 -0.39 -1.03 -0.40
计算：
X - m0 = 骣 ççççççç桫- 000...775787604÷÷÷÷÷÷÷÷
1
11
2
x2
22
2
2
212
x1
1
11
x2
2
22
图1: 两个二元正态分布
11 22 且 12 0
11 22 且 12 0.75
多元正态分布的性质
0.245 4.267
, S2
=
轾 犏 犏 臌00..029588
0.258 6.619
Sc =
1 n1 + n2 -
2 轾 臌(n1 -
1)S1 + (n2 -
1)S2
= 1 创[5
6+ 7- 2
S1 + 6? S2 ]
1? 11
轾 犏 犏 臌12..370703
= 轾 犏 犏 臌00..215128
按方差分析的不同设计类型，相应地 有不同的协方差分析，协变量也可是一 个或多个。以下我们主要介绍最简单的 协方差分析，完全随机设计且只有一个 协变量的协方差分析。
基本思想：
是将线性回归与方差分析相结合的一种方法。 将那些定量变量X（未加控制或难以控制的因 素）对Y的影响看做协变量，建立应变量Y随 协变量X变化的线性回归关系，并利用这种回 归关系把X值化为相等后，再进行各组Y修正 均数间比较地假设检验，其实质就是从Y的总 离差平方和中扣除协变量X对Y的回归平方和， 对残差平方和作进一步分解后在进行方差分析， 以更好地评价各种处理的效应。
= 5? (0.776, 0.780,
0.574)鬃轾 犏 犏 犏 犏 犏 臌134787...535109
47.59 182.86 134.32
38.30 134.32 103.60
骣 ççççççç桫- 000...775877064÷÷÷÷÷÷÷÷
= 295.743
F = n - m T 2 = 5- 3 ? 295.743
(2)若A与x间无交互作用，则进一步检验 初始体重x与增重y间是否存在线性关系。 若不存在线性关系，则不能用协方差分 析比较三组均数间的差别。因为协方差 分析是利用协变量x与观察指标y间的线 性回归扣除x对y的影响。相应的检验假 设为x与y间的回归系数为0。
协方差分析
以前介绍的方差分析可用于两组或多组均数间 的比较，其处理因素一般是可以控制的。方差 分析要求各比较组除了所施加的处理因素不同 外，其他对观察指标有影响得因素齐同或均衡， 即要求控制对观察指标有影响的其它因素。在 实际工作中，有时有些因素无法加以控制，或 由于实验设计的疏忽、实验条件的限制等原因， 造成对观察指标有影响的个别因素未加控制或 难以控制。此时用方差分析不合适，应考虑用 协方差分析。
编号 血沉（X1） 抗“O”（X2） 白细胞数（X3）
1
A
2
3
┇
N1
1
B
2
3
┇
N2
┅
Leabharlann Baidu
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┇
┇
┇
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┅
┇
┇
┇
┅
┅
┅
这三项指标都是测得值越高病情越重，如果采用 t检验法对每个指标作检验，则只有出现下列情 况之一时，才能作出明确判断： 1．两组间三指标均有差异，且大小趋势一致。 2．两组间各指标均无差别，且P较大于0.05。
N k m ni nj
Di2j
F
一组资料（单样本）
对于单变量且服从正态分布资料的样本 与总体的比较，
变形
t = (X - m0) = n (X - m0)
S/ n
S
t2 = n(X - m0)S- 2 (X - m0)
当为多元资料时，此公式推广为HoTt2eling
T 2 = n(X - ) m0 ' S- (X - m0)
轾 犏 犏 臌30..1500
= 9.50
F = n1 + n2 - m - 1T 2 = 10 ? 9.50
(n1 + n2 - 2)m
22
4.32, df1 = 2, df2 = 10
SAS计算程序：
proc glm; class gr; model y1 y2=gr; contrast 'gr1 vs gr2' gr 1 -1 0; contrast 'gr1 vs gr3' gr 1 0 -1; contrast 'gr2 vs gr3' gr 0 1 -1; anova h=gr; run;
A2 x2 y2
17 97 16 90 18 100 18 95 21 103 22 106 19 99 18 94
A3 x3 y3
22 89 24 91 20 83 23 95 25 100 27 102 30 105 32 110
协方差分析中称需比较的因素为因子称 影响观察指标，需排除其影响的数量因 素为协变量。
53
9
3.00
45
4
3.64
50
10
3.35
47
5
3.60
52
11
2.60
50
6
4.00
55
12
3.15
50
13
3.55
52
计算：
X1 = 轾 犏 犏 臌531..6657 , X2 = 轾 犏 犏 臌438..1557 , X1 - X2 = 轾 犏 犏 臌30..1500
S1 = 轾 犏 犏 臌00..124425
(n - 1)m (5- 1)? 3
df1 = 3, df2 = 2
两组比较
对于单变量且服从正态分布资料的两样
本的比较 变形
t = (X1 - X2)
n1 + n2 n1n2
Sc2
( ) ( ) t2 = n1n2
n1 + n2
X1 -
X2
Sc- 2
X1 -
X2
当为多元资料时，此公式推广为HotelingT 2
0.252 5.550
2.773 61.049
Sc- 1 = 轾 犏 犏 臌- 09..432761
- 0.426 0.200
( ) ( ) T 2 = n1n2
n1 + n2
X1 -
X2
Sc- 1
X1 -
X2
= 42? (0.50
13
3.10)轾 犏 犏 臌- 09..432761
-
0.426 0.200
1i
x1i
2
n
x2 2i
x2i
2
n
协方差阵与逆阵
11 21
12
22
1
1
11
22
2 12
22
12
21
11
1122
2 12
11 22
1 2 12
样本协方差阵与逆阵
( ) ( ) T 2 = n1n2
n1 + n2
X1 -
X2
Sc- 1
X1 -
X2
其中 X1, X2为样本均数向量，S1, S2 为样本协方差阵， Sc 为合并 样本协方差阵。
Sc =
n1 +
1 n2 -
2 轾 臌(n1 -
1)S1 + (n2 -
1)S2
F = n1 + n2 - m - 1T 2
三种检验
(1)检验饲料A与初始体重x间是否存在交 互作用。、因为若两者有交互作用，则 意味着在x的不同取值下A对观察值的作 用不同，即可能对x的某些取值,A1的效 果最好，而对x的另一些取值，A2的效果 最好，因而撇开x谈A的主效应无多大意 义。相应的检验假设是A与x的交互效应 为0。
三种检验
(n1 + n2 - 2)m
df1 = m, df2 = n1 + n2 - m - 1
当n1, n2 较大时，F近似服从自由度为m的 c 2 分布。
例2：
编号
实验组
体重 身长 （kg） (cm)
编号
对照组
体重 身长 （kg） (cm)
1
3.05
50
7
3.20
50
2
4.10
50
8
3.00
46
3
3.50
x2 2i
2
x2i n
n 1
12 21 Corr X1, X 2 S21
x1i x2i
x1i n
n 1
x2i
12 21 /
11 22 r12
x1ix2i
x1i
x2i
n
x2
S11 S21
S12
S22
1
1 S11S22
S122
S22 S12
S21
S11
二维正态分布密度函数可写成：
1
f (x, x)
2
11 22
1 2 12
exp
2
1
1 2 12
x1
1．有限个多元正态的线性组合为多元正 态分布。 2．一个多元正态分布的所有子集分布有 一个多元正态分布。 3．零协方差意味着相应的随机变量是独 立的。 4 ．分量的条件分布是正态分布。
多元正态性的判定
通常对多元正态分布的判断采用对边缘 分布的判断，即：若对多元变量X而言它 所有的一元分布都是正态分布的话，就 认为X是多元正态分布，此时很少出现非 正态的多元数据集。
S = 轾 犏 犏 犏 犏 犏 臌- 000...302584
0.08 0.13 - 0.20
- 0.24 - 0.21
0.36
轾犏17.51 S- 1 = 犏犏47.59
犏犏臌38.30
47.59 182.86 134.32
38.30 134.32 103.60
T 2 = n(X - ) m0 ' S- (X - m0 )
反之，如果出现下列情况之一，就难以得出
结论： 1．两组指标虽有显著差别，但趋势不一。或无 显著差别，但P接近0.05。 2 ．两组间有些指标有显著差别，有些却无显著 差别。
多元正态分布 定义
P维正态分布定义：对随机变量 X=(X1,X2,…,XP) 的密度函数是
f (X )
2
1 X 1 X / 2 e p / 2 1/ 2
其中 X 为样本均数向量，S 为样本协方差阵，m0 总体均
数向量。
当
H0
成立时
n-
F=
(n -
m
1)m
T
2,
df1
=
m, df2 =
n-
m
例1：
如随机抽取某单位5名有冠心病的成年男 性，测量其甘油三脂（mmol/L），总 胆固醇（mmol/L），和高密度脂蛋白 胆固醇（mmol/L）含量，已知某单位 正常成年男性的甘油三脂、总胆固醇、 和高密度脂蛋白胆固醇的均数是1.02 mmol/L、2.73 mmol/L和 2.04mmol/L。问该单位冠心病成年男 性的血脂与正常成年男性有无差别？
p xi p
称之为多元正态分布，简记为 N p,
下面以二维正态分布介绍
n
x1i
1 E X1
X1
i 1
n
n
x2i
2
EX2
X2
i 1
n
11 D X1 S11
x2 1i
2
x1i n
n 1
22 D X2 S22
实例
为研究三种饲料(A1,A2,A3)对猪催肥效果， 用每种饲料喂养8头猪，实验用猪的初始 体重未控制。喂养一段时间后观察小猪 的增重，所得资料如下表，试分析三种 饲料对猪催肥效果是否相同。
三组小猪的初始体重与增重 (kg)
A1 x1 y1
15 85 13 83 11 65 12 76 12 80 16 91 14 84 17 90
1
总协方差阵：T k n
X
j
X
'
X
j
X
BE
1 j1
维尔克斯（Wilks）统计量（分布）
EE
T EB
1 0
两两比较的统计量
Di2j
Xi X j
E 1
'
Xi X j
(N k m 1)ninj
多变量统计描述
均数向量与离差矩阵
均数向量与离差矩阵
协方差矩阵
相关矩阵
多元正态分布及检验
多元正态分布
在许多医学问题中，当作均值的假设 检验时所依据的指标可能不止一个。 例如，当比较两组风湿性与类风湿性 关节炎患者的病情程度时，就不能仅 只用一个指标，如采用血沉、抗“O”、 白细胞计数三个指标，则数据呈下列 格式：