专题16 等腰三角形的性质_答案
--2021年春人教版数学九年级中考专题复习课件 等腰三角形
【对应训练1】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线， DE∥BC交AC于点E，若AC＝15 cm，AE＝7 cm，则DE＝__8_cm.
等边三角形 【例2】(2020·营口)如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC， 垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点， 连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为_3___3_．
∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE＝ AC2＋EC2 ＝ 122＋42 ＝4 10 ， ∴DP＝PA＝PE＝12 AE＝2 10 ，∵EF＝13 AF，AP＝PE， ∴PF＝EF＝12 PE＝ 10 ，∵∠DPF＝90°，∴DF＝ DP2＋PF2 ＝5 2
A．3
3 4
B．3 8 3
C．
3 4
D．
3 8
20．(2020·眉山)如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，
边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E. 若△ABD的周长为26，则DE的长为___1_45_．
21．(2020·襄阳)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， 点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE. (1)特例发现：如图①，当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②推断：∠ACE＝90°； (2)探究证明：如图②，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并 说明理由；
∴△ADM∽△AEC，∴∠ACE＝∠AMD＝90°，
即∠ACE的度数为定值90°
(3)连接EK.∵∠BAC＋∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴AECB ＝AEFF ＝13 ， 设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a－136 ，∵DA＝DE，DK⊥AE， ∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a－136 ，∵EK2＝CK2＋EC2， ∴(3a－136 )2＝(136 )2＋a2，解得a＝4或0(舍去)，
专题16等腰三角形与直角三角形(共50题)【解析版】
专题16等腰三角形与直角三角形（共50题）一．选择题（共24小题）1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（ ）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解析】如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意运用两直线平行，同旁内角互补．3．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．4．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（ ）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解析】设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（ ）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解析】∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．本题的关键．6．（2022•广元）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）A．B．3C．2D．【分析】利用勾股定理求出AB，再利用相似三角形的性质求出AE即可．【解析】在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，∵BD＝CB＝6，∴AD＝AB＝BC＝4，由作图可知EF垂直平分线段AD，∴AF＝DF＝2，∵∠A＝∠A，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE＝，故选：A．【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．7．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（ ）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解析】如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．8．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF 于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（ ）A．B．C．2D．【分析】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF＝AB＝m，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL＝FM，设AL＝FM＝x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2＝（m）2，可解得x＝m，有AL＝FM＝m，FL＝2m，从而可得AP＝，FP＝m，BP＝，即知P为AB中点，CP＝AP＝BP＝，由△CPN∽△FPA，得CN＝m，PN＝m，即得AN＝m，而tan∠BAC＝＝＝，又△AEC∽△BCH，得＝【解析】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，∴△CPN∽△FPA，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC ∽△BCH ，∴＝，∵CE ＝+，∴＝，∴CH ＝2，故选：C ．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度．9．（2022•安徽）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是（ ）A ．B ．C ．3D ．【分析】如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，证明△PAB 的面积是定值，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．因为△PAB 的面积是定值，推出点P 的运动轨迹是直线PM ，求出OT 的值，可得结论．【解析】如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，∵S △PAB +S △ABC ＝S △PBC +S △PAC ，∴S 1+S 0＝S 2+S 3，∵S 1+S 2+S 3＝2S 0，∴S1+S 1+S 0＝2，∴S 1＝S 0，∵△ABC 是等边三角形，边长为6，∴S 0＝×62＝9，∴S 1＝，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．∵△PAB 的面积是定值，∴点P 的运动轨迹是直线PM ，∵O 是△ABC 的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OD的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB 的面积是定值．10．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（ ）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解析】∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDF+∠FDB＝90°，∵∠CDF+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（ ）A．25B．22C．19D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解析】由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴∵△ABD的周长是19，故选：C．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2022•河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝，则正确的是（ ）A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整【分析】由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可．【解析】由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，①当CA⊥BA时，∵∠B＝45°，BC＝2，∴AC＝BC•sin45°＝2×＝，即此时d＝，②当CA＝BC时，∵∠B＝45°，BC＝2，∴此时AC＝2，即d＞2，综上，当d＝或d＞2时能作出唯一一个△ABC，故选：B．【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．13．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（ ）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】①正确．证明△BAD≌△DAE（SAS），可得结论；②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；③正确．设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，求出AO，CJ，可得结论；④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，设PD＝t，则BD＝AD＝t，构建方程求出t，可得结论．【解析】如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△DAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．故选：B．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14．（2022•眉山）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（ ）A．9B．12C．14D．16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周长＝2△DEF 的周长．【解析】如图，点E，F分别为各边的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3，EF＝AB＝2，DF＝AC＝4，∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．故选：A．【点评】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．15．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（ ）A．2B．C．D．【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得tanα的值．【解析】由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2+b2＝5，a﹣b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合题意，舍去），∴tanα＝＝＝2，故选：A．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．16．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（ ）A．B．C．D．【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC＝＝BC＝AB，可得BD＝．【解析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∠DOE＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝，在Rt△AOB中，OB＝＝，∵OB+BD＝OD＝m，∴+＝m，化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝，故选：C．【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．17．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解析】A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）A．12B．9C．6D．3【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，AD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出ED，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD＝BC＝3，AD⊥BC，在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，∴ED＝BD＝3，＝BC•ED＝×6×3＝9，∴S△EBC故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．19．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（ ）A．2B．3C．2D．4【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．【解析】∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝AC＝AD＝4，故选：D．【点评】三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD 的长．20．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F 与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解析】∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．21．（2022•达州）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝80°，则∠PNM等于（ ）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝80°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°，即可得到结论．【解析】∵AB∥CD，∴∠DNM＝∠BME＝80°，∵∠PND＝45°，∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝80°﹣45°＝35°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．【解析】将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，∵圆柱的底面直径为AB，∴点B是展开图的一边的中点，∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，∴C选项符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键．23．（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（ ）A．B．C．4D．【分析】根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．【解析】作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出EF和CF的长．24．（2022•遂宁）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（ ）A．6B．8C．10D．12【分析】过点A作AM⊥BC于交DE于点N，则AN⊥DE，设AN＝a，根据DE∥BC，证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DE＝a，列出△DEF面积S的函数表达式，根据配方法求最值即可．【解析】如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设AN＝a，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝a，∴△DEF面积S＝×DE×MN＝×a•（6﹣a）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣3）2+6，∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6．故选：A．【点评】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，列出△DEF面积S的函数表达式，根据配方法求最值是解题的关键．二．填空题（共15小题）25．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3 ．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．26．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 6 ．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解析】∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．27．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 40°或100° ．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解析】当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．28．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为 30° ．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解析】∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．29．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 （，﹣3） ．【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称，进而可以解决问题．【解析】因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（﹣，3），所以A点的坐标是（，﹣3），故答案为：（，﹣3）．【点评】本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．30．（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 （8+2） cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，求得四边形AB'C'C的四边即可求得结论．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，∴AB＝2BC＝4，∴AC＝＝2．∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，∴B′C′＝BC＝2，AA′＝CC′＝1，A′B′＝AB＝4，∴AB′＝AA′+A′B′＝5．∴四边形AB'C'C的周长为AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2＝（8+2）cm．故答案为：（8+2）．【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．31．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 3 ．【分析】根据题意先求出a、b、c，再代入公式进行计算即可．【解析】根据a：b：c＝4：3：2，设a＝4k，b＝3k，c＝2k，则4k+3k+2k＝18，解得：k＝2，∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3＝6，c＝2k＝2×2＝4，∴S＝＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的运算，要注意运算顺序，解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握．32．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少 370 m（结果取整数，参考数据：≈1.7）．【分析】解法一：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°，分别计算AD，CG，AG，BG的长，由线段的和与差可得AM和AN的长，最后由勾股定理可得MN的长，计算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得MN的长，从而得结论．【解析】解法一：如图，延长DC，AB交于点G，∵∠D＝60°，∠ABC＝120BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△BCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30°的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可．33．（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 4 ．【分析】连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，可证得△ABE≌△ADF（SAS），可得∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，从而可得∠EAF＝90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN （SAS），可得EN＝FN，设DN＝x，则EN＝FN＝x+5，CE＝x+3，由勾股定理解得x＝12，可得AB＝CD＝20，由勾股定理可得AE＝5，从而可得AM＝EM＝FM＝，由勾股定理可得MN＝，即可求解．【解析】如图，连接AE，AF，EN，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，∴∠EAF＝90°，∴△EAF为等腰直角三角形，∵AN⊥EF，∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），∴EN＝FN，设DN＝x，∵BE＝DF＝5，CN＝8，∴CD＝CN+DN＝x+8，∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，在Rt△ECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2＝EN2，即82+（x+3）2＝（x+5）2，解得：x＝12，∴AB＝CD＝x+8＝20，EN＝x+5＝17，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE＝＝＝5，∴AM＝EM＝FM＝＝，在Rt△EMN中，由勾股定理可得：MN＝＝＝，∴AN＝AM+MN＝+＝4，故答案为：4．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．34．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 80 ．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解析】过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用全等三角形的性质进行求解．35．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为26，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m （m≥3，m为正整数），则其弦是 m2+1 （结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解析】∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2+1，综上所述，其弦是m2+1，故答案为：m2+1．【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．36．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 10 ．【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．【解析】∵E，F分别为BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，∴AB＝2EF＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，∴CD＝AB＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得AB的长是解本题的关键．37．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ∠B＝60° ．【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可．【解析】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故答案为：∠B＝60°．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．。
专题16三角形及全等三角形(共40题)-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题16三角形及全等三角形（共40题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B【分析】 根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ，再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∠AB ∠CD ，∠∠ABC =∠BCD ，∠CB 平分∠DCE ，∠∠BCE =∠BCD ，∠∠BCE =∠ABC ，∠∠AEC =∠BCE +∠ABC =40°，∠∠ABC =20°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．3．（2021·陕西中考真题）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B【分析】 由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∠25B ∠=︒，50C ∠=︒，∠在Rt ∠BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒，∠35A ∠=︒，∠170BEC A ∠=∠-∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键． 4．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知直线1l 、2l 、3l 两两相交，且13l l ⊥．若50α=︒，则β的度数为（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒【答案】C【分析】 由垂直的定义可得∠2=90°；根据对顶角相等可得510α∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求得140β∠=︒．【详解】∠13l l ⊥，∠∠2=90°；∠510α∠=∠=︒，∠125090140β∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选C ．【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解决问题的关键．5．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∠//BC EF ，∠45FDB F ∠=∠=︒，∠180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 6．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒【答案】D【分析】 连接BD ，根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD ，∠∠BCD =100°，∠∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°，∠∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°，故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 7．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，ACD ∠是ABC 的外角．求证：ACD A B ∠=∠+∠．下列说法正确的是（）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：.B【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．8．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA=3，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 603c R C ===︒，∠3R = ∠S 圆=2221633R OA ππππ⎛=== ⎝⎭．方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∠∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∠OA =OB ，∠∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∠OD ∠AB ，AB 为弦，∠AD =BD =122AB =，∠AD =OA cos30°，∠OA =343cos30223AD ÷︒=÷=， ∠S 圆=222431633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．9．（2021·重庆中考真题）如图，在ABC 和DCB 中，ACB DBC ∠=∠ ，添加一个条件，不能．．证明ABC 和DCB 全等的是（ ）A ．ABC DCB ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．A D ∠=∠【答案】B【分析】 根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．【详解】选项A ，添加ABC DCB ∠=∠，在ABC 和DCB 中，ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠ABC ∠DCB （ASA ），选项B ，添加AB DC =， 在ABC 和DCB 中，AB DC =，BC CB =，ACB DBC ∠=∠，无法证明ABC ∠DCB ； 选项C ，添加AC DB =，在ABC 和DCB 中，BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （SAS ）；选项D ，添加A D ∠=∠，在ABC 和DCB 中，A D ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （AAS ）；综上，只有选项B 符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．10．（2021·重庆中考真题）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断∠ABC ∠∠DEF的是（ ）A ．AB =DE B ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∠FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】 解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断∠ABC ∠∠DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∠FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤∠至∠折叠两次得图∠，然后剪出图∠中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．矩形D ．菱形【答案】D【分析】 此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．【详解】解：由题可知，AD 平分BAC ∠,折叠后AEO △与AFO 重合，故全等，所以EO =OF ;又作了AD 的垂直平分线，即EO 垂直平分AD ，所以AO =DO ，且EO ∠AD ；由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF 为平行四边形；又AD ∠EF ，所以平行四边形AEDF 为菱形．故选：.D【点睛】本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．12．（2021·四川遂宁市·中考真题）下列说法正确的是（ ）A ．角平分线上的点到角两边的距离相等B ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，x π，42b a+是分式 D ．若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，42b a +是分式，故选项错误； D.若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A ．【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．13．（2021·湖南娄底市·中考真题）2,5,m ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4 【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ，374m m =-+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简． 14．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D【分析】 根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∠∠6=∠7=45°；A 、∠∠1=60°，∠6=45°，∠∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n ，∠∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∠∠7=45°，m ∠n ，∠∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∠∠8=75°，∠∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∠∠7=45°，∠∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．15．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，∠//,140m n ∠=︒，∠∠4=∠1=40°，∠230∠=︒，∠34270∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．16．（2021·海南中考真题）如图，已知//a b ，直线l 与直线a b 、分别交于点AB 、，分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，若140∠=︒，则ACB ∠的度数是（ ）A ．90︒B ．95︒C ．100︒D ．105︒【答案】C【分析】 根据题意可得直线MN 是线段AB 的垂直平分线，进而可得CB AC =，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得40CAB CBA ∠=∠=︒，所以可求得100ACB ∠=︒．【详解】∠已知分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，∠直线MN 垂直平分线段AB ，∠CB AC =，∠//a b ，140∠=︒，∠140CBA ∠=∠=︒，∠40CAB CBA ∠=∠=︒，∠180100ACB CBA CAB ∠=︒-∠-∠=︒．故选：C．【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线MN垂直平分线段AB 是解题关键．17．（2021·四川广元市·中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段CD为ABC的角平分线的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．【详解】A：所作线段为AB边上的高，选项错误；B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；C：CD为ACB的角平分线，满足题意。
专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)
专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ． （1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由； （2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】 一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（ ）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（ ） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是 ．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒， 又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠； 故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且 ，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者 在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。
八年级数学竞赛专题训练16 等腰三角形的性质(附答案)
八年级数学竞赛专题训练16 等腰三角形的性质阅读与思考等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论．⑴ 图1中，01802A B ∠=-∠，01802AB C -==∠∠∠，22DAC B C ==∠∠∠．⑵ 图2中，只要下述四个条件：①AB AC =；②12=∠∠；③CD DB =；④AD BC ⊥中任意两个成立，就可以推出其余两个成立．例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB 上，且AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =BE ， 则∠A =___________．（五城市联赛试题）解题思路：图中有很多相关的角，用∠A 的代数式表示这些角，建立关于∠A 的等式．【例2】如图，在△ABC 中，已知∠BAC =900，AB =AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB =∠CDF ．（安徽省竞赛试题）解题思路：∠ADB 与∠CDF 对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．BC AD 图1A BC1 2图2A BCD E A BCD EF【例3】如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又AE =12BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线． （北京市竞赛试题）解题思路：∠ABC 的角平分线与AE 边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．【例4】如图，在△ABC 中，∠BAC =∠BCA =440，M 为△ABC 内一点，使∠MCA =300，∠MAC =160，求∠BMC 度数．（北京市竞赛试题）解题思路：作等腰△ABC 的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB 为一边，向点C 所在的一侧作等边△ABN ，连结CN ，MN (如图2)；或以AC 为一边，向点B 所在的一侧作等边△ACN ，连结BN (如图3)．BCMAA EBCDB C M A 图 1 DO BC M A 图 2NBC MA 图 3 N【例5】如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =1200的等腰三角形，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形．求证：△AMN 的周长等于2．（天津市竞赛试题）解题思路：欲证△AMN 的周长等于2，只需证明MN =BM +CN ，考虑用补短法证明．【例6】如图，△ABC 中，∠ABC =460，D 是BC 边上一点，DC =AB ，∠DAB =210，试确定∠CAD 的度数．（北京市竞赛试题）解题思路：解本题的关键是利用DC =AB 这一条件．能力训练A 级1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________． 2．如图，已知∠A =150，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =_____________．3．如图，在等边△ABC 的AC ，BC 边上各取一点P 、Q ，使AP =CQ ，AQ ，BP 相交于点O ，则 ∠BOQ =____________.4．如图，在△ABC 中，∠BCA =900，∠BAC =600，BC =4，在CA 的延长线取点D ，使AD =AB ，则D ，B 两点之间的距离是____________．BD ABACDN M (第2题)ACEM NABC QPO(第3题)ABC D(第4题)5．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 上一点，BF =CD ，CE =BD ，那么∠EDF 等于（ ） A ．900-12∠A B ．900-∠AC ．1800-∠AD ．450-12∠A 6．如图，在△ABC 中，∠ACB =900，AC =AE ，BC =BF ，则∠ECF =（）A ．600B ．450C ．300D ．不确定（安徽省竞赛试题）B第5题图 第6题图7．△ABC 的一个内角的大小是400，且∠A =∠B ，那么∠C 的外角的大小是（ ）A ．1400B ．800或1000C ．1000或1400D ．800或1400(“希望杯”邀请赛试题) 8．三角形三边长a ，b ，c 满足1111a b c a b c -+=-+，则三角形一定是（ ） A ．等边三角形 B ．以a 为底边的等腰三角形C ．以c 为底边的等腰三角形D ．等腰三角形（北京市竞赛试题）9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 分别是腰AB ，AC 延长线上的点，且BD =CE ，连结DE 交BC 于G ，求证：DG =EG ．（湖北省竞赛试题）ABC D GE ABEF10．如图，在△ABC 中，∠BAC =900，AB =AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE ，求证：CE =12BD ． （江苏省竞赛试题）11．已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =900，D 为AB 边中点，∠EDF =900，将∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC ，BC (或它们的延长线)于E 、F ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1)，易证：S △DEF +S △CEF =12S △ABC ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（牡丹江市中考试题）12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =800，O 为△ABC 内一点，且∠OBC =100，∠OCA =200，求∠BAO 的度数．（天津市竞赛试题）BA B CAB CAB CE D FE DF DF图1图2图3A B C D EB 级1．如图，在△ABC 中，∠ABC =1000，AM =AN ，CN =CP ，则∠MNP =_________．2．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =900，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下4个结论：①AE =CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =12S △ABC；④EF =AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A ，B 重合)．上述结论正确的是____________．（苏州市中考试题）3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，M ，N 为BC 边上两点，并且∠BAM =∠CAN ，MN =AN ，则∠MAC 的度数是____________．4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC 与∠ACB 的平分线相交于D ，∠ADC =1300，那么∠CAB 的大小是（ ）A ．800B ．500C ．400D ．2005．如图，在△ABC 中，∠BAC =1200，AD ⊥BC 于D ，且AB +BD =DC ，则∠C 的大小是（ ）A ．200B ．250C ．300D ．450 6．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 交AC 的延长线于M ，连CD ，下列四个结论：①∠ADC =450；②BD =12AE ；③AC +CE =AB ；④AB -BC =2MC ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，已知△ABC 为等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，并且使AE =BD ，连结CE 、DE ，求证：CE =DE ．ABCNP (第1题)ABC PEF(第2题)AB CN M(第3题)A(第4题)BCD(第5题)ABCD ABD ECM(第6题)A BCDE8．如图，△ABC 中，已知∠C =600，AC ＞BC ，又△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C 都是△ABC 外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC =DC ．⑴ 证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； ⑵ 证明：△AC ′D ≌△DB ′A ；⑶ 对△ABC 、△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C ，从面积大小关系上，你能得出什么结论？（江苏省竞赛试题）9．在△ABC 中，已知AB =AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数．（江苏省扬州中学测试题）10．如图，在△ABC 中，∠C =900，∠CAD =300，AC =BC =AD ，求证：CD =BD ．11．已知△ABC 中，∠B 为锐角，从顶点A 向边BC 或BC 的延长线引垂线交BC 于H 点，又从顶点C 向边AB 或AB 的延长线引垂线交AB 于K ，试问：当2BH BC ，2BKAB是整数时，△ABC 是怎样的三角形？并证明你的结论．（“智能杯”通讯赛试题）ABCDA ′B ′C ′AC D专题16 等腰三角形的性质例1 45°例2 提示：过点A作∠A的平分线BD交于G，先证明△ABG≌△ACF，再证明△AGD≌△CFFD例3 提示：延长BC，AE交于一点.、例4 提示：如图，作BD⊥AC于D，则∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°，∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.例5 如图，在AC延长线上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB= ∠M1DC.∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN周长：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.例6 解法1 如图a，作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC，则∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，∠CDE=113°－67°=56°，连CE，可证△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE，则AO=CO，∠OCA=∠OAC，∠COE=2∠ACO，∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.从而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠DAE+∠EAC=67°.解法2 如图b，过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB，连接EC.∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，∴∠DCE=∠CED=12×（180°－46°）=67° ∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67° ∴∠ADC=∠DCE ，，∴AD=EC. ∴梯形ADCE 为等腰梯形∴AC=DE （等腰梯形对角线相等），∴AB=AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=67°.A 级1. 67.5°或22.5° 2.75°3.60°4.85.A6.B7.B8.D 提示：由已知得(b －c)(a －b)(a+c)=0，故b=c 或a=b.9. 提示：过D 作DF ∥AC 交BC 于F ，证明△DFG ≌△ECG .10. 提示：延长CE 交BA 的延长线于F ，证明△BEC ≌△BEF ，再证明△AFC ≌△ADB. 11. 提示：图2成立，联系图1，可证明△ECD ≌△FBD ，12DEF CEF ECD CDF FBD CDF CDB ACB S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+=+==图3不成立，此时12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=12.作∠BAC 的角平分线与CO 的延长线交于D ，连BD ，则△ABD ≌△ACD ，则∠ABD=∠ACD=30°， ∠OBD=∠ABC －∠OBC －∠ABD=20°=∠ABD ， ∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB ，从而△ABD ≌△OBD ，AB=OB ，即△ABO 为等腰三角形，得∠BAO=12（180°－40°）=70° B 级1.40°2.①②③ 提示：连AP.3. 60°提示：设∠CAN =∠BAM =α，∠MAN =β，则∠C =∠BAC =2α+β，∠AMN =β4. D5.A6.D7. 提示：延长BD 到F ，使DF =BC ，则△BEF 为等边三角形，再证明△BCE ≌△FDE8.⑴证明略；⑵由①得C ´D =AC =AB ´，由②得DB ´=BA =C ´A ，又AD =AD ，∴△AC ´D ≌△DB ´A ；⑶S △AB ´C ＞S △ABC ´＞S △ABC ＞S △A ´BC ，S △ABC + S △ABC ´= S △AC ´B + S △A ´BC 9.满足题意的图形有以下四种情形：10.提示：在△ACD 内以CD 为边作等边△ECD ，连AE ，则△ACE ≌△ADE .∴∠CAE =12∠CAD =15°，又∵∠DCB =90°-∠ACD =90°-75°=15°，∴∠CAE =∠BCD =∠ECA . 又∵AC =BC ，CE =CD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠DBC =∠EAC =15°. ∴∠DCB =∠DBC ，∴DC =DB .ABE C图bABC F图c图dABC GABD C图a11.设2BHm BC =，2BK n AB =，因BH ＜BA ，BK ＜BC ，故mn ＜4，得11m n =⎧⎨=⎩；12m n =⎧⎨=⎩；13m n =⎧⎨=⎩；21m n =⎧⎨=⎩；31m n =⎧⎨=⎩ ①当m =n =1时，BH =12BC ，BK =12AB ，△ABC 是等边三角形.②当m =1，n =2时，BH =12BC ，BK =AB ，△ABC 是∠A 为直角的等腰直角三角形. ③当m =1，n =3时，BH =12BC ，BK =32AB ，△ABC 是∠A 为120°的等腰三角形. ④当m =2，n =1时，△ABC 是以∠C 为直角的等腰直角三角形. ⑤当m =3，n =1时，△ABC 是以∠C 为120°的等腰三角形.A CB ED。
分类讨论之等腰三角形
分类讨论之等腰三角形一．填空题（共11小题）1．（2013秋•临沭县期末）等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为．2．（2009•昆明）等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为．3．（2011•鹤岗模拟）等腰三角形一边上的高等于一边的一半，则它的顶角度数为．4．如果等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它顶角的度数是．5．（2011春•微山县月考）用36根火柴棒首尾相接围成一个等腰三角形，最多你能围成种不同的等腰三角形．6．（2014春•海盐县校级期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．在直线BC 或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有个．（在图上作出点P的位置）7．（2013春•九江期末）Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为．8．（2014春•丹东期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为．9．（2012•丹东）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q 为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）11．（2011春•沙坪坝区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC 的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是腰长为5的等腰三角形时，AP的长度为．12．（2014•上城区二模）在凸四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC把四边形ABCD分成两个等腰三角形，则∠ABC的度数为．二．解答题（共6小题）13．（2014秋•江阴市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA运动，求出点P运动所有的时间t，使得△PBC 为等腰三角形．14．（2014秋•嘉善县校级期中）如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？15．（2014秋•涞水县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？16．（2013秋•甘井子区校级月考）如图，已知AB=2的线段在线段MN上左右平移，MN=5，以A为中心顺时针旋转针M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点，构成△ABC，设AM=x．（1）求x的取值范围；（2）探究：△ABC是否可能为等腰三角形？若可能，求出此时x的值，不可能请说明理由．17．（2014秋•自贡期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？18．（2009•鸡西）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）分类讨论之等腰三角形参考答案与试题解析一．填空题（共11小题）1．（2013秋•临沭县期末）等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为100°或40°．2．（2009•昆明）等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为80°或20°．3．（2011•鹤岗模拟）等腰三角形一边上的高等于一边的一半，则它的顶角度数为30°、90°、120°或150°．BC=AB=，BC=AC ACD=，BC=CD=BDBA=，4．如果等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它顶角的度数是30°或150°．ABABACABABAC5．（2011春•微山县月考）用36根火柴棒首尾相接围成一个等腰三角形，最多你能围成8种不同的等腰三角形．6．（2014春•海盐县校级期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．在直线BC 或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有6个．（在图上作出点P的位置）7．（2013春•九江期末）Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为3．8．（2014春•丹东期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为2s或6s．cm=2×=3cmcmBP=2ss9．（2012•丹东）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q 为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有5个．10．（2011春•沙坪坝区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC 的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是腰长为5的等腰三角形时，AP的长度为2或3或8．BC=×QE=BE==11．（2014•上城区二模）在凸四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC把四边形ABCD分成两个等腰三角形，则∠ABC的度数为60°、90°、150°．AD二．解答题（共6小题）12．（2014秋•江阴市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA运动，求出点P运动所有的时间t，使得△PBC 为等腰三角形．t=BP=AB=；，t=BP=秒或秒13．（2014秋•嘉善县校级期中）如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？14．（2014秋•涞水县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？15．（2013秋•甘井子区校级月考）如图，已知AB=2的线段在线段MN上左右平移，MN=5，以A为中心顺时针旋转针M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点，构成△ABC，设AM=x．（1）求x的取值范围；（2）探究：△ABC是否可能为等腰三角形？若可能，求出此时x的值，不可能请说明理由．，＜＜16．（2014秋•自贡期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？17．（2009•鸡西）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）==m=10+10+420+==xx=AD+BD+AB=++10=m。
2020中考数学专项解析：等腰三角形
【文库独家】等腰三角形一、选择题1. （•广东，第9题3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A． 17 B． 15 C． 13 D．13或17考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．解答：解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选A．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．2. （•广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（），3．（·浙江金华，第8题4分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是【】A．70°B．65°C．60°D．55°【答案】B．【解析】4. （•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）（第1题图）=，MN二.填空题1. （•广东，第16题4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于﹣1．考点：旋转的性质．分析：根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．2. （•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为8．=；OA=3. （•广西贺州，第17题3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是50°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．解答：解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．4．(年天津市，第17 题3分)如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为45（度）．考点：等腰三角形的性质．菁优网分析：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．解答：解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为45．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．5．（•新疆，第12题5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是．（6．（年云南省，第13题3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=18°．考点：等腰三角形的性质．分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．解答：解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．∵BD⊥AC于点D，∴∠CBD=90°﹣72°=18°．故答案为：18°．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．7. （•益阳，第13题，4分）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC 重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是60°．（第1题图）8. （•泰州，第15题，3分）如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为y=（x＞0）．（第2题图）为=，=，（9. （•扬州，第10题，3分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为35cm．10.（•呼和浩特，第13题3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为63°或27°．三.解答题1. （•湘潭，第25题）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m 为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．（第1题图）==m×mm m﹣×m．m m+2（（．其中＜3﹣+33=．==．=，．=．2. （•益阳，第20题，10分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．（第2题图），解得，=，即正方形的边长为3. （•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形AB C．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．（第3题图）=，×××的面积为=====．==，=．=的长度为4. （•泰州，第23题，10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥A C．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．（第4题图）=BD×==2，=2．5. （•泰州，第26题，14分）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、B．（第5题图）（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．的纵坐标分别为、﹣，根据两点（））（﹣）﹣（=，），，）=﹣，（），而×=的纵坐标分别为、﹣，（）（﹣）））））﹣﹣=（，，）﹣，﹣（﹣），（6. （•扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP 上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB 于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．DC AP ===．=====PQ QB P==4PB=22．7．（•温州，第20题10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．8.（年广东汕尾，第19题7分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．分析：（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．点评：本题考查的是作图﹣基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．9.（•襄阳，第21题6分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=O C．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．10.（•滨州，第24题10分）如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程．11.（•菏泽，第16题6分）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．=。
等腰三角形的轴对称性
等腰三角形的轴对称性1.知识.能力聚焦1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。
（2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）2.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。
3.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
在应用该性质时应注意以下两点：（1）必须是在直角三角形中；（2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。
4.等边三角形（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。
（2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质：①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
②等边三角形是每个角都等于60°（3）识别：判定等边三角形有如下三种方法:①三边相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
创新.思维拓展等腰三角形性质的拓展由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质；（1）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。
（2）等腰三角形两底角的平分线相等。
（3）等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。
（4）在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等，并且大边对大角。
再探直角三角形的性质在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。
EDCB A第2题图习题1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ；(2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ； (3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或152．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=BE ，则∠ADE 是 °．3．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为( )A ．80°、80°、20°B ．80°、50°、50°C ．80°、80°、20°或80°、50°、50°D ．以上答案都不对4．（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o5． 如图，已知E 、F 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，BF ＝CE ，你能判断线段AF 和AE 的大小关系吗?说明理由．(用两种不同的方法说明)6．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．专题二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半10．在直角三角形ABC 中，如果斜边上的中线CD=3cm ，斜边上的高为2cm ，△ABC 的面积是___________．11．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是 ( ) A ．21B ．18C ．13D ．1512．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△ADE 的周长是_________．(结果保留根号)DCBAEDACBAAEFMCB第11题图专题三：等腰三角形的判定13．（2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC 中， ∠A ＝36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，图中共有等腰三角形( )A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个14．把一张长方形纸，按如图所示折叠，重合部分是什么形状？请说明理由．15．如图，等边△ABC 中，点D 在延长线上，CE 平分∠ACD ，且CE=BD ． 说明：△ADE 是等边三角形．16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=90°，D 、E 分别为AB 、BC 上的动点，且BD=CE ，M 是AC 的中点，试探究在DE 运动的过程中，△DEM 的形状是否发生变化？它是什么形状的三角形？AD CE B1ABC DE5423 第12题图C‘EDCB AMEDCBA。
专题训练(三) 等腰三角形的性质和判定的综合
解：(1)PD＝PE.连接 CP，则 CP⊥AB，CP 平分∠ACB，∴∠BPC＝90°， ∠PCD＝∠PCB＝∠B＝45°，∴PC＝PB，又∠DPE＝90°，易证∠DPC ＝∠EPB，∴△PCD≌△PBE(ASA)，∴PD＝PE (2)能，当点 E 在 CB 上 时，分三种情况：①若 PB＝PE，则∠PEB＝∠ABC＝45°，此时，∠BPE ＝90°，点 D 与点 A 重合，点 E 与点 C 重合；②若 PE＝BE，则∠EPB 1 ＝∠ABC＝45°，∠PEB＝90°；③若 BE＝PB，则∠PEB＝∠BPE＝ × 2 (180°－∠ABC)＝67.5°；当点 E 在 CB 的延长线上时，∠PBE＝135°， 是钝角，只能做顶角，故只有一种情况，即 BE＝PB，则∠PEB＝∠BPE 1 ＝ ×(180°－135°)＝22.5°.综上可知，∠PEB 为 45°，90°，67.5°， 2 22.5°时，△PBE 能构成等腰三角形
6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放 在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交 射线AC，CB于点D，E，图①，②，③是旋转得到的三种图形． (1)观察图①，②，③中线段PD和PE之间有怎样的大小关系，并以图②为 例，加以说明； (2)△PBE是否能构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请 说明理由．
解：(1)∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝∠ABC＝45°，∴BD ＝CD， 又∠BDF＝∠CDA＝90°， BE⊥AC， ∴∠DBF＋∠A＝∠ACD ＋∠ A＝ 90 ° ，∴∠ DBF ＝∠ ACD ， ∴△ BDF ≌△ CDA(ASA) ， ∴ BF ＝AC (2)∵在△ABC 中，BE⊥AC，BE 平分∠ABC，∴∠BCE＝∠ 1 1 BAE，∴BA＝BC，∴CE＝ AC，又 AC＝BF，∴CE＝ BF (3)BG＞ 2 2 CE.证明：连接 CG，∵BD＝CD，H 为 BC 的中点，∴DH⊥BC，即 DH 为 BC 的垂直平分线，∴BG＝CG.在 Rt△CEG 中，CG＞CE，∴ BG＞CE
等腰三角形的性质专题练习
【典型例题分析】题型一：【例1】△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型二：【例2】等腰三角形的一个内角为80°，则另两个内角的度数为.【例3】（变式）等腰三角形的一个内角为35°，则另两个内角的度数为. 【例4】（变式）等腰三角形的一个内角为90°，则另两个内角的度数为. 【例5】（变式）等腰三角形的一个内角为120°，则另两个内角的度数为. 【例6】（变式）等腰三角形的一个内角为170°，则另两个内角的度数为. 【借题发挥】1.等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角为（）A.50°;B.130°;C.65°;D.50°或65°.2．已知等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求此三角形顶角的度数.题型三：【例7】等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为.【例8】（变式）等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为. 【借题发挥】1.等腰三角形的两边长分别为8cm和17cm，则它的周长为.2.等腰三角形的周长为60cm，且其中一边长为18cm，求此等腰三角形的底边长.【例9】已知：AD既是是△ABC的角平分线、高线又是△ABC的中线.求证△ABC为等腰三角形AB CD【借题发挥】1．已知：AD既是△ABC的角平分线又是△ABC的中线.求证△ABC为等腰三角形AB CD2．已知：AD既是△ABC的高线又是△ABC的中线.求证△ABC为等腰三角形AB CD3．已知：AD既是是△ABC的角平分线又是△ABC的高线.求证△ABC为等腰三角形AB CD【例10】已知：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°.求该等腰三角形的顶角度数.【例11】已知：等腰三角形的顶角为150度，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数.【借题发挥】1、已知等腰三角形的底角为40°，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数.2、已知等腰三角形的一个内角的度数为40°，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数【例12】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点M、N在BC上，且BM=CN。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题16 图形的变化之填空题(3)(23道题)(解析版)(1)
专题16 图形的变化之填空题（3）参考答案与试题解析一．填空题（共23小题）1．（2019•徐汇区校级一模）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝16.8米．【答案】解：过A作AC⊥BE于C，则AC＝DE＝15，根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，则BE＝BC+CE＝16.8（米），故答案为：16.8．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．2．（2019•奉贤区一模）如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是16米．【答案】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，∴AM＝BN＝2.5x，故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，解得：x＝16，即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．3．（2019•宝山区一模）我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【答案】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．4．（2019•嘉定区一模）小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度．【答案】解：由题意可得，∠BAO＝42°，∵BC∥AD，∴∠BAO＝∠ABC，∴∠ABC＝42°，即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度，故答案为：42．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2019•崇明区一模）在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么cosα＝．【答案】解：过点A作AB⊥x轴于点B，∵A（4，3），∴OB＝4，AB＝3，∴由勾股定理可知：OA＝5，∴cosα＝cos∠A，故答案为：【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基础题型．6．（2019•闵行区一模）某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为2米．【答案】解：由已知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为1：2.4．设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为x米，则水平宽度为2.4x米，由勾股定理得x2+（2.4x）2＝5.22，解之得x＝2（负值舍去）．故答案为：2．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．7．（2019•青浦区一模）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．【答案】解：连接CD，如右图所示，设每个小正方形的边长为a，则CD，BD＝2a，BC a，∵（2a）2+（a）2＝（a）2，∴△BCD是直角三角形，∴tan∠ABC＝tan∠DBC，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．8．（2019•闵行区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A，那么BC＝2．【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A，∴可设BC＝a，AC＝3a，∵BC2+AC2＝AB2，∴a2+（3a）2＝（2）2，解得a＝2，∴BC＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．9．（2019•金山区一模）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C，那么GE＝．【答案】解：作EF⊥BC于点F，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C，∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，∴AD∥EF，BC＝8，∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，∴，BF＝6，∴DG＝1，∴BG，∴，得BE，∴GE＝BE﹣BG，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2019•金山区一模）已知α是锐角，sinα ，那么cosα＝．【答案】解：∵α是锐角，sinα ，∴α＝30°，∴cosα ．故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值．11．（2019•黄浦区一模）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果cos C，那么tan A＝．【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BD⊥AC于点D，∵cos C，∴，，设CD＝x，BC＝4x，由于AB＝AC，∴CE＝2x，∴AC＝8x，∴AD＝AC﹣CD＝7x，∴由勾股定理可知：BD x，∴AB＝AC＝8x，∴tan∠BAC，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理以及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．12．（2019•青浦区一模）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝70度．【答案】解：∵sinα＝cos20°，∴α＝90°﹣20°＝70°．故答案为：70．【点睛】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．13．（2019•浦东新区一模）已知某斜面的坡度为1：，那么这个斜面的坡角等于30度．【答案】解：设该斜面坡角为α，∵某斜面的坡度为1：，∴tanα ，∴α＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡度的定义以及坡度与坡角之间的关系．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．14．（2019•青浦区一模）如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为39米．【答案】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，∴DE＝15m，则，故EC＝2.4×15＝36（m），则在Rt△DEC中，DC39（m）．故答案为：39．【点睛】此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．15．（2019•金山区一模）如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A 的仰角为30°，那么铁塔的高度AB＝20米．【答案】解：由题意可得：tan30°，解得：AB＝20，答：铁塔的高度AB为20m．故答案为：20．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．16．（2019•辽阳模拟）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于（22）千米．（结果保留根号）【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝42（km），AD＝AC•cos30°＝42（km），∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2（km），故答案是：（22）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．17．（2019•普陀区一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【答案】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．18．（2019•杨浦区一模）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是270cm．【答案】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．19．（2019•黄浦区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B，则BC的长为4．【答案】解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝6，cos B，∴cos B，解得：BC＝4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．20．（2019•虹口区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A，BC＝4，那么AB＝6．【答案】解：∵在Rt△ABC中，sin A，且BC＝4，∴AB6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．21．（2019•奉贤区一模）计算：sin30°tan60°＝．【答案】解：sin30°tan60°．故答案为：．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．22．（2019•邹平县模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sin A，BC＝4，则AB值是10．【答案】解：∵sin A，即，∴AB＝10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．23．（2019•嘉定区一模）在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cos B的值＝．【答案】解：如图，作AD⊥BC于D点，∵AB＝AC＝4，BC＝6，∴BD BC＝3，在Rt△ABD中，cos B．故答案为．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质.。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
中考数学专题16等腰三角形与直角三角形(共5题)(全国通用解析版)
等腰三角形与直角三角形一．选择题（共24小题）1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm.则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm.而没有明确腰、底分别是多少.所以要进行讨论.还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】当3cm是腰长时.3.3.5能组成三角形.当5cm是腰长时.5.5.3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系.已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况.分类进行讨论.还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.这点非常重要.也是解题的关键．2．（2022•泰安）如图.l1∥l2.点A在直线l1上.点B在直线l2上.AB＝BC.∠C＝25°.∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°.利用平行线的性质得到∠BEA＝95°.再根据三角形外角的性质即可求解．【解析】如图.∵AB＝BC.∠C＝25°.∴∠C＝∠BAC＝25°.∵l1∥l2.∠1＝60°.∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°.∵∠BEA＝∠C+∠2.∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.平行线的性质以及三角形外角的性质.解决问题的关键是注意运用两直线平行.同旁内角互补．3．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°.则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为（2x+20）°.根据三角形内角和是180°列出方程.解方程即可得出答案．【解析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为（2x+20）°.根据题意得：x+x+2x+20＝180.解得：x＝40.故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.考查了方程思想.掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．4．（2022•天津）如图.△OAB的顶点O（0.0）.顶点A.B分别在第一、四象限.且AB⊥x轴.若AB＝6.OA＝OB＝5.则点A的坐标是（）A．（5.4）B．（3.4）C．（5.3）D．（4.3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC.根据勾股定理求出OC.根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解析】设AB与x轴交于点C.∵OA＝OB.OC⊥AB.AB＝6.∴AC＝AB＝3.由勾股定理得：OC＝＝＝4.∴点A的坐标为（4.3）.故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2022•台湾）如图.△ABC中.D点在AB上.E点在BC上.DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C.且∠EAC＞90°.则根据图中标示的角.判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2.∠1＜∠3B．∠1＝∠2.∠1＞∠3C．∠1≠∠2.∠1＜∠3D．∠1≠∠2.∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质.等腰三角形的性质解答即可．【解析】∵DE为AB的中垂线.∴∠BDE＝∠ADE.BE＝AE.∴∠B＝∠BAE.∴∠1＝∠2.∵∠EAC＞90°.∴∠3+∠C＜90°.∵∠B+∠1＝90°.∠B＝∠C.∴∠1＞∠3.∴∠1＝∠2.∠1＞∠3.故选：B．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质.熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．6．（2022•广元）如图.在△ABC中.BC＝6.AC＝8.∠C＝90°.以点B为圆心.BC长为半径画弧.与AB交于点D.再分别以A、D为圆心.大于AD的长为半径画弧.两弧交于点M、N.作直线MN.分别交AC、AB于点E、F.则AE的长度为（）A．B．3C．2D．【分析】利用勾股定理求出AB.再利用相似三角形的性质求出AE即可．【解析】在Rt△ABC中.BC＝6.AC＝8.∴AB＝＝＝10.∵BD＝CB＝6.∴AD＝AB＝BC＝4.由作图可知EF垂直平分线段AD.∴AF＝DF＝2.∵∠A＝∠A.∠AFE＝∠ACB＝90°.∴△AFE∽△ACB.∴＝.∴＝.∴AE＝.故选：A．【点评】本题考查勾股定理.相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.属于中考常考题型．7．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图.建立平面直角坐标系后.学校和体育场的坐标分别是（3.1）.（4.﹣2）.下列各地点中.离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系.然后根据勾股定理.可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离.再比较大小即可．【解析】如右图所示.点O到超市的距离为：＝.点O到学校的距离为：＝.点O到体育场的距离为：＝.点O到医院的距离为：＝.∵＜＝＜.∴点O到超市的距离最近.故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系.解答本题的关键是明确题意.作出合适平面直角坐标系．8．（2022•温州）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.以其三边为边向外作正方形.连结CF.作GM⊥CF于点M.BJ⊥GM于点J.AK⊥BJ于点K.交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.CE＝+.则CH的长为（）A．B．C．2D．【分析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.设正方形JKLM边长为m.根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.得AF＝AB＝m.证明△AFL ≌△FGM（AAS）.可得AL＝FM.设AL＝FM＝x.在Rt△AFL中.x2+（x+m）2＝（m）2.可解得x＝m.有AL＝FM＝m.FL＝2m.从而可得AP＝.FP＝m.BP＝.即知P为AB中点.CP＝AP＝BP＝.由△CPN∽△FP A.得CN ＝m.PN＝m.即得AN＝m.而tan∠BAC＝＝＝.又△AEC∽△BCH.得＝.即＝.故CH＝2．【解析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.如图：设正方形JKLM边长为m.∴正方形JKLM面积为m2.∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.∴正方形ABGF的面积为5m2.∴AF＝AB＝m.由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF.∠ALF＝90°＝∠FMG.AF＝GF.∴△AFL≌△FGM（AAS）.∴AL＝FM.设AL＝FM＝x.则FL＝FM+ML＝x+m.在Rt△AFL中.AL2+FL2＝AF2.∴x2+（x+m）2＝（m）2.解得x＝m或x＝﹣2m（舍去）.∴AL＝FM＝m.FL＝2m.∵tan∠AFL＝＝＝＝.∴＝.∴AP＝.∴FP＝＝＝m.BP＝AB﹣AP＝m﹣＝.∴AP＝BP.即P为AB中点.∵∠ACB＝90°.∴CP＝AP＝BP＝.∵∠CPN＝∠APF.∠CNP＝90°＝∠F AP.∴△CPN∽△FP A.∴＝＝.即＝＝.∴CN＝m.PN＝m.∴AN＝AP+PN＝m.∴tan∠BAC＝＝＝＝.∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形.∴△AEC∽△BCH.∴＝.∵CE＝+.∴＝.∴CH＝2.故选：C．【点评】本题考查正方形性质及应用.涉及全等三角形判定与性质.相似三角形判定与性质.勾股定理等知识.解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．9．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心.点P在△ABC外.△ABC.△P AB.△PBC.△PCA的面积分别记为S0.S1.S2.S3．若S1+S2+S3＝2S0.则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【分析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.证明△P AB的面积是定值.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T．因为△P AB的面积是定值.推出点P的运动轨迹是直线PM.求出OT的值.可得结论．【解析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.∵S△P AB+S△ABC＝S△PBC+S△P AC.∴S1+S0＝S2+S3.∵S1+S2+S3＝2S0.∴S1+S1+S0＝2.∴S1＝S0.∵△ABC是等边三角形.边长为6.∴S0＝×62＝9.∴S1＝.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T．∵△P AB的面积是定值.∴点P的运动轨迹是直线PM.∵O是△ABC的中心.∴CT⊥AB.CT⊥PM.∴•AB•RT＝.CR＝3.OR＝.∴RT＝.∴OT＝OR+TR＝.∵OP≥OT.∴OP的最小值为.当点P在②区域时.同法可得OD的最小值为.如图.当点P在①③⑤区域时.OP的最小值为.当点P在②④⑥区域时.最小值为.∵＜.故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质.解直角三角形.三角形的面积等知识.解题的关键是证明△P AB的面积是定值．10．（2022•南充）如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.∠BAC的平分线交BC于点D.DE∥AB.交AC于点E.DF⊥AB于点F.DE＝5.DF＝3.则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理.可以求得CD和CE的长.再根据平行线的性质.即可得到AE的长.从而可以判断B和C.然后即可得到AC的长.即可判断D.再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长.从而可以判断A．【解析】∵AD平分∠BAC.∠C＝90°.DF⊥AB.∴∠1＝∠2.DC＝FD.∠C＝∠DFB＝90°.∵DE∥AB.∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴AE＝DE.∵DE＝5.DF＝3.∴AE＝5.CD＝3.故选项B、C正确.∴CE＝＝4.∴AC＝AE+EC＝5+4＝9.故选项D正确.∵DE∥AB.∠DFB＝90°.∴∠EDF＝∠DFB＝90°.∴∠CDF+∠FDB＝90°.∵∠CDF+∠DEC＝90°.∴∠DEC＝∠FDB.∵tan∠DEC＝.tan∠FDB＝.∴.解得BF＝.故选项A错误.故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答．11．（2022•宜昌）如图.在△ABC中.分别以点B和点C为圆心.大于BC长为半径画弧.两弧相交于点M.N．作直线MN.交AC于点D.交BC于点E.连接BD．若AB＝7.AC＝12.BC＝6.则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC.即可得到DB＝DC.然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC.从而可以求得△ABD的周长．【解析】由题意可得.MN垂直平分BC.∴DB＝DC.∵△ABD的周长是AB+BD+AD.∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC.∵AB＝7.AC＝12.∴AB+AC＝19.∴∵△ABD的周长是19.故选：C．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质.三角形的周长.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答．12．（2022•河北）题目：“如图.∠B＝45°.BC＝2.在射线BM上取一点A.设AC ＝d.若对于d的一个数值.只能作出唯一一个△ABC.求d的取值范围．”对于其答案.甲答：d≥2.乙答：d＝1.6.丙答：d＝.则正确的是（）A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整【分析】由题意知.当CA⊥BA或CA＞BC时.能作出唯一一个△ABC.分这两种情况求解即可．【解析】由题意知.当CA⊥BA或CA＞BC时.能作出唯一一个△ABC.①当CA⊥BA时.∵∠B＝45°.BC＝2.∴AC＝BC•sin45°＝2×＝.即此时d＝.②当CA＝BC时.∵∠B＝45°.BC＝2.∴此时AC＝2.即d＞2.综上.当d＝或d＞2时能作出唯一一个△ABC.故选：B．【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识.熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．13．（2022•宜宾）如图.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形.∠BAC＝∠DAE＝90°.点D是BC边上的动点（不与点B、C重合）.DE与AC交于点F.连结CE．下列结论：①BD＝CE.②∠DAC＝∠CED.③若BD＝2CD.则＝.④在△ABC内存在唯一一点P.使得P A+PB+PC的值最小.若点D在AP的延长线上.且AP的长为2.则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】①正确．证明△BAD≌△DAE（SAS）.可得结论.②正确．证明A.D.C.E四点共圆.利用圆周角定理证明.③正确．设CD＝m.则BD＝CE＝2m．DE＝m.OA＝m.过点C作CJ⊥DF于点J.求出AO.CJ.可得结论.④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°.PB ＝PC.AD⊥BC.设PD＝t.则BD＝AD＝t.构建方程求出t.可得结论．【解析】如图1中.∵∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC.AD＝AE.∴△BAD≌△DAE（SAS）.∴BD＝EC.∠ADB＝∠AEC.故①正确.∵∠ADB+∠ADC＝180°.∴∠AEC+∠ADC＝180°.∴∠DAE+∠DCE＝180°.∴∠DAE＝∠DCE＝90°.取DE的中点O.连接OA.OA.OC.则OA＝OD＝OE＝OC.∴A.D.C.E四点共圆.∴∠DAC＝∠CED.故②正确.设CD＝m.则BD＝CE＝2m．DE＝m.OA＝m.过点C作CJ⊥DF于点J.∵tan∠CDF＝＝＝2.∴CJ＝m.∵AO⊥DE.CJ⊥DE.∴AO∥CJ.∴＝＝＝.故③正确．如图2中.将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.∴BP＝BN.PC＝NM.∠PBN＝60°.∴△BPN是等边三角形.∴BP＝PN.∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN.∴当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°.PB＝PC.AD⊥BC.∴∠BPD＝∠CPD＝60°.设PD＝t.则BD＝AD＝t.∴2+t＝t.∴t＝+1.∴CE＝BD＝t＝3+.故④错误．故选：B．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质.全等三角形的判定和性质.四点共圆.圆周角定理.解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线.构造特殊三角形解决问题.属于中考选择题中的压轴题．14．（2022•眉山）在△ABC中.AB＝4.BC＝6.AC＝8.点D.E.F分别为边AB.AC.BC 的中点.则△DEF的周长为（）A．9B．12C．14D．16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边.并且等于第三边的一半.可得出△ABC的周长＝2△DEF的周长．【解析】如图.点E.F分别为各边的中点.∴DE、EF、DF是△ABC的中位线.∴DE＝BC＝3.EF＝AB＝2.DF＝AC＝4.∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．故选：A．【点评】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．15．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时.用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图）.并用它证明了勾股定理.这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1.α为直角三角形中的一个锐角.则tanα＝（）A．2B．C．D．【分析】根据题意和题目中的数据.可以先求出大正方形的面积.然后设出小直角三角形的两条直角边.再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长.然后即可求得tanα的值．【解析】由已知可得.大正方形的面积为1×4+1＝5.设直角三角形的长直角边为a.短直角边为b.则a2+b2＝5.a﹣b＝1.解得a＝2.b＝1或a＝1.b＝﹣2（不合题意.舍去）.∴tanα＝＝＝2.故选：A．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形.解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．16．（2022•苏州）如图.点A的坐标为（0.2）.点B是x轴正半轴上的一点.将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m.3）.则m的值为（）A．B．C．D．【分析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.可得△ABC是等边三角形.又A（0.2）.C（m.3）.即得AC＝＝BC＝AB.可得BD＝＝.OB＝＝.从而+＝m.即可解得m＝．【解析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.如图：∵CD⊥x轴.CE⊥y轴.∠DOE＝90°.∴四边形EODC是矩形.∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.∴AB＝AC.∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形.∴AB＝AC＝BC.∵A（0.2）.C（m.3）.∴CE＝m＝OD.CD＝3.OA＝2.∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1.∴AC＝＝＝BC＝AB.在Rt△BCD中.BD＝＝.在Rt△AOB中.OB＝＝.∵OB+BD＝OD＝m.∴+＝m.化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0.解得m＝或m＝﹣（舍去）.∴m＝.故选：C．【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换.解题的关键是熟练应用勾股定理.用含m的代数式表示相关线段的长度．17．（2022•扬州）如图.小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了.需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据.为了方便表述.将该三角形记为△ABC.提供下列各组元素的数据.配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB.BC.CA B．AB.BC.∠B C．AB.AC.∠B D．∠A.∠B.BC 【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解析】A．利用三角形三边对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.B．利用三角形两边、且夹角对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.C．AB.AC.∠B.无法确定三角形的形状.故此选项符合题意.D．根据∠A.∠B.BC.三角形形状确定.故此选项不合题意.故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用.正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．（2022•湖州）如图.已知在锐角△ABC中.AB＝AC.AD是△ABC的角平分线.E 是AD上一点.连结EB.EC．若∠EBC＝45°.BC＝6.则△EBC的面积是（）A．12B．9C．6D．3【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3.AD⊥BC.根据等腰直角三角形的性质求出ED.根据三角形的面积公式计算.得到答案．【解析】∵AB＝AC.AD是△ABC的角平分线.∴BD＝CD＝BC＝3.AD⊥BC.在Rt△EBD中.∠EBC＝45°.∴ED＝BD＝3.∴S△EBC＝BC•ED＝×6×3＝9.故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．19．（2022•宁波）如图.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.E为BD上一点.F为CE中点．若AE＝AD.DF＝2.则BD的长为（）A．2B．3C．2D．4【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长.再根据AE＝AD.可以得到AD的长.然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系.可以求得BD的长．【解析】∵D为斜边AC的中点.F为CE中点.DF＝2.∴AE＝2DF＝4.∵AE＝AD.∴AD＝4.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.∴BD＝AC＝AD＝4.故选：D．【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线.解答本题的关键是求出AD的长．20．（2022•云南）如图.OB平分∠AOC.D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点.D、E、F与O点都不重合.连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个.就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC.得∠DOE＝∠FOE.由OE＝OE.可知∠ODE＝∠OFE.即可根据AAS得△DOE≌△FOE.可得答案．【解析】∵OB平分∠AOC.∴∠DOE＝∠FOE.又OE＝OE.若∠ODE＝∠OFE.则根据AAS可得△DOE≌△FOE.故选项D符合题意.而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE.故选项A不符合题意.增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE.故选项B不符合题意.增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE.故选项C不符合题意.故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定.解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．21．（2022•达州）如图.AB∥CD.直线EF分别交AB.CD于点M.N.将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放.若∠EMB＝80°.则∠PNM等于（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝80°.由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°.即可得到结论．【解析】∵AB∥CD.∴∠DNM＝∠BME＝80°.∵∠PND＝45°.∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝80°﹣45°＝35°.故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质.等腰直角三角形的性质.熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22．（2022•金华）如图.圆柱的底面直径为AB.高为AC.一只蚂蚁在C处.沿圆柱的侧面爬到B处.现将圆柱侧面沿AC“剪开”.在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线.正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形.而点B是展开图的一边的中点.再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．【解析】将圆柱侧面沿AC“剪开”.侧面展开图为矩形.∵圆柱的底面直径为AB.∴点B是展开图的一边的中点.∵蚂蚁爬行的最近路线为线段.∴C选项符合题意.故选：C．【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图.最短路径问题.掌握两点之间线段最短是解题的关键．23．（2022•舟山）如图.在Rt△ABC和Rt△BDE中.∠ABC＝∠BDE＝90°.点A 在边DE的中点上.若AB＝BC.DB＝DE＝2.连结CE.则CE的长为（）A．B．C．4D．【分析】根据题意先作出合适的辅助线.然后根据勾股定理可以得到AB和BC 的长.根据等面积法可以求得EG的长.再根据勾股定理求得EF的长.最后计算出CE的长即可．【解析】作EF⊥CB交CB的延长线于点F.作EG⊥BA交BA的延长线于点G.∵DB＝DE＝2.∠BDE＝90°.点A是DE的中点.∴BE＝＝＝2.DA＝EA＝1.∴AB＝＝＝.∵AB＝BC.∴BC＝.∵＝.∴.解得EG＝.∵EG⊥BG.EF⊥BF.∠ABF＝90°.∴四边形EFBG是矩形.∴EG＝BF＝.∵BE＝2.BF＝.∴EF＝＝＝.CF＝BF+BC＝+＝.∵∠EFC＝90°.∴EC＝＝＝.故选：D．【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形.解答本题的关键是明确题意.求出EF和CF的长．24．（2022•遂宁）如图.D、E、F分别是△ABC三边上的点.其中BC＝8.BC边上的高为6.且DE∥BC.则△DEF面积的最大值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN＝a.根据DE ∥BC.证出△ADE∽△ABC.根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DE＝a.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值即可．【解析】如图.过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN＝a.∵DE∥BC.∴∠ADE＝∠B.∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴＝.∴＝.∴DE＝a.∴△DEF面积S＝×DE×MN＝×a•（6﹣a）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣3）2+6.∴当a＝3时.S有最大值.最大值为6．故选：A．【点评】本题考查了三角形的面积.平行线的性质.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值是解题的关键．二．填空题（共15小题）25．（2022•岳阳）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.若BC＝6.则CD＝3．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点.即可求出CD的长．【解析】∵AB＝AC.AD⊥BC.∴CD＝BD.∵BC＝6.∴CD＝3.故答案为：3．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．26．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍.这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”.底边BC的长为3.则腰AB的长为6．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”.可知AB＝2BC或BC＝2AB.若AB ＝2BC＝6.可得AB的长为6.若BC＝3＝2AB.因1.5+1.5＝3.故此时不能构成三角形.这种情况不存在.即可得答案．【解析】∵等腰△ABC是“倍长三角形”.∴AB＝2BC或BC＝2AB.若AB＝2BC＝6.则△ABC三边分别是6.6.3.符合题意.∴腰AB的长为6.若BC＝3＝2AB.则AB＝1.5.△ABC三边分别是1.5.1.5.3.∵1.5+1.5＝3.∴此时不能构成三角形.这种情况不存在.综上所述.腰AB的长是6.故答案为：6．【点评】本题考查三角形三边关系.涉及新定义.解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．27．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°.则△ABC的顶角度数是40°或100°．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论.即可解答．【解析】当∠A是顶角时.△ABC的顶角度数是40°.当∠A是底角时.则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°.综上.△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.此类题目.难点在于要分情况讨论．28．（2022•滨州）如图.屋顶钢架外框是等腰三角形.其中AB＝AC.立柱AD⊥BC.且顶角∠BAC＝120°.则∠C的大小为30°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解析】∵AB＝AC且∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．29．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣.3）.则A点的坐标是（.﹣3）．【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称.进而可以解决问题．【解析】因为点A和点B关于原点对称.B点的坐标是（﹣.3）.所以A点的坐标是（.﹣3）.故答案为：（.﹣3）．【点评】本题考查了正六边形的性质.中心对称图形.解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．30．（2022•金华）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.∠A＝30°.BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.连结CC'.则四边形AB'C'C的周长为（8+2）cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.求得四边形AB'C'C的四边即可求得结论．【解析】∵在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.∠A＝30°.BC＝2cm.∴AB＝2BC＝4.∴AC＝＝2．∵把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.∴B′C′＝BC＝2.AA′＝CC′＝1.A′B′＝AB＝4.∴AB′＝AA′+A′B′＝5．∴四边形AB'C'C的周长为AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2＝（8+2）cm．故答案为：（8+2）．【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.熟练掌握平移的性质是解题的关键．31．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂.余半之.自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之.为实．一为从隅.开平方得积．”若把以上这段文字写成公式.即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c ＝4：3：2.则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为3．【分析】根据题意先求出a、b、c.再代入公式进行计算即可．【解析】根据a：b：c＝4：3：2.设a＝4k.b＝3k.c＝2k.则4k+3k+2k＝18.解得：k＝2.∴a＝4k＝4×2＝8.b＝3k＝3×2＝6.c＝2k＝2×2＝4.∴S＝＝＝3.故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的运算.要注意运算顺序.解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握．32．（2022•十堰）【阅读材料】如图①.四边形ABCD中.AB＝AD.∠B+∠D＝180°.点E.F分别在BC.CD上.若∠BAD＝2∠EAF.则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②.在某公园的同一水平面上.四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m.∠D＝60°.∠ABC＝120°.∠BCD＝150°.道路AD.AB上分别有景点M.N.且DM＝100m.BN＝50（﹣1）m.若在M.N之间修一条直路.则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m（结果取整数.参考数据：≈1.7）．【分析】解法一：如图.作辅助线.构建直角三角形.先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°.分别计算AD.CG.AG.BG的长.由线段的和与差可得AM和AN 的长.最后由勾股定理可得MN的长.计算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：构建【阅读材料】的图形.根据结论可得MN的长.从而得结论．【解析】解法一：如图.延长DC.AB交于点G.∵∠D＝60°.∠ABC＝120°.∠BCD＝150°.∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°.∴∠G＝90°.∴AD＝2DG.Rt△CGB中.∠BCG＝180°﹣150°＝30°.∴BG＝BC＝50.CG＝50.∴DG＝CD+CG＝100+50.∴AD＝2DG＝200+100.AG＝DG＝150+100.∵DM＝100.∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100.∵BG＝50.BN＝50（﹣1）.∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50.Rt△ANH中.∵∠A＝30°.∴NH＝AN＝75+25.AH＝NH＝75+75.由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1）.∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图.延长DC.AB交于点G.连接CN.CM.则∠G＝90°.∵CD＝DM.∠D＝60°.∴△BCM是等边三角形.∴∠DCM＝60°.由解法一可知：CG＝50.GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50.∴△CGN是等腰直角三角形.∴∠GCN＝45°.∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°.∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD.由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50.∵AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质.勾股定理.二次根式的混合运算等知识与方法.解题的关键是作出所需要的辅助线.构造含30°的直角三角形.再利用线段的和与差进行计算即可．33．（2022•山西）如图.在正方形ABCD中.点E是边BC上的一点.点F在边CD 的延长线上.且BE＝DF.连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF.垂足为点M.交边CD于点N．若BE＝＝8.则线段AN的长为4．【分析】连接AE.AF.EN.由正方形的性质可得AB＝AD.BC＝CD.∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°.可证得△ABE≌△ADF（SAS）.可得∠BAE＝∠DAF.AE ＝AF.从而可得∠EAF＝90°.根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点.由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS）.△EMN≌△FMN（SAS）.可得EN ＝FN.设DN＝x.则EN＝FN＝x+5.CE＝x+3.由勾股定理解得x＝12.可得AB＝CD＝20.由勾股定理可得AE＝5.从而可得AM＝EM＝FM＝.由勾股定理可得MN＝.即可求解．【解析】如图.连接AE.AF.EN.∵四边形ABCD为正方形.∴AB＝AD.BC＝CD.∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°.∵BE＝DF.∴△ABE≌△ADF（SAS）.∴∠BAE＝∠DAF.AE＝AF.∴∠EAF＝90°.∴△EAF为等腰直角三角形.∵AN⊥EF.∴EM＝FM.∠EAM＝∠F AM＝45°.∴△AEM≌△AFM（SAS）.△EMN≌△FMN（SAS）.∴EN＝FN.设DN＝x.∵BE＝DF＝＝8.∴CD＝CN+DN＝x+8.∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5.CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3.在Rt△ECN中.由勾股定理可得：CN2+CE2＝EN2.即82+（x+3）2＝（x+5）2.解得：x＝12.∴AB＝CD＝x+8＝20.EN＝x+5＝17.在Rt△ABE中.由勾股定理可得：AE＝＝＝5.∴AM＝EM＝FM＝＝.在Rt△EMN中.由勾股定理可得：MN＝＝＝.∴AN＝AM+MN＝+＝4.故答案为：4．【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.等腰三角形的性质.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.构建全等三角形解决问题．34．（2022•武汉）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＞BC.分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL.ACDE.BCFG.连接DF．过点C作AB的垂线CJ.垂足为J.分别交DF.LH于点I.K．若CI＝5.CJ＝4.则四边形AJKL的面积是80．【分析】过点D作DM⊥CI于点M.过点F作FN⊥CI于点N.由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM.△BCJ≌△CFN.可得DM＝CJ.FN＝CJ.可证得△DMI ≌△FNI.由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI.由勾股定理可得MI.NI.从而可得CN.可得BJ与AJ.即可求解．【解析】过点D作DM⊥CI.交CI的延长线于点M.过点F作FN⊥CI于点N.∵△ABC为直角三角形.四边形ACDE.BCFG为正方形.过点C作AB的垂线CJ.CJ＝4.∴AC＝CD.∠ACD＝90°.∠AJC＝∠CMD＝90°.∠CAJ+∠ACJ＝90°.BC＝CF.∠BCF＝90°.∠CNF＝∠BJC＝90°.∠FCN+∠CFN＝90°.∴∠ACJ+∠DCM＝90°.∠FCN+∠BCJ＝90°.∴∠CAJ＝∠DCM.∠BCJ＝∠CFN.∴△ACJ≌△CDM（AAS）.△BCJ≌△CFN（AAS）.∴AJ＝CM.DM＝CJ＝4.BJ＝CN.NF＝CJ＝4.∴DM＝NF.∴△DMI≌△FNI（AAS）.∴DI＝FI.MI＝NI.∵∠DCF＝90°.∴DI＝FI＝CI＝5.在Rt△DMI中.由勾股定理可得：MI＝＝＝3.∴NI＝MI＝3.∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8.BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2.∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10.∵四边形ABHL为正方形.∴AL＝AB＝10.∵四边形AJKL为矩形.∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80.故答案为：80．【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.利用全等三角形的性质进行求解．35．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三.股修四.经隅五”．观察下列勾股数：3.4.5.5.12.13.7.24.25.….这类勾股数的特点是：勾为奇数.弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数.弦与股相差为2的一类勾股数.如：6.8.10.8.15.17.….若此类勾股数的勾为2m（m≥3.m为正整数）.则其弦是m2+1（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理列方程即可得到结论．【解析】∵m为正整数.∴2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理得.（2m）2+a2＝（a+2）2.解得a＝m2+1.综上所述.其弦是m2+1.故答案为：m2+1．【点评】本题考查了勾股数.勾股定理.熟练掌握勾股定理是解题的关键．36．（2022•台州）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.D.E.F分别为AB.BC.CA的中点．若EF的长为10.则CD的长为10．【分析】根据三角形中位线定理求出AB.根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．【解析】∵E.F分别为BC.CA的中点.∴EF是△ABC的中位线.∴EF＝AB.∴AB＝2EF＝20.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.D为AB中点.AB＝20.。
等腰三角形和勾股定理
等腰三角形和勾股定理1、等腰三角形（1）定义:有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
①相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底。
②两腰的夹角叫做顶角。
③腰与底的夹角叫做底角。
说明：顶角=180°- 2底角 底角=顶角顶角21-902180︒=-︒可见，底角只能是锐角。
（2）性质①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。
②等边对等角。
③三线合一（顶角）。
（3）判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2、等边三角形（1）定义:三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
（2）性质①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
（3）判定①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个内角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（4）重要结论:在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
➢ 典例精析题型一：等腰三角形的判定【例1】已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．AFBCDE练习1、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．题型二：等腰三角形性质的应用【例1】等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___.举一反三：练习1、如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ． （1）已知∠A =︒30，求∠ACB 的度数； （2）已知∠A =︒40，求∠ACB 的度数； （3）已知∠A =︒x ，求∠ACB 的度数； （4）请你根据解题结果归纳出一个结论．练习2、等腰△ABC 中，若∠A =30°，则∠B =________．练习3、等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等于___________．题型三：等边三角形性质的应用【例3】如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．B ABO EFCBDAB F 练习1、如图1，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ， 则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
2020年中考数学必考专题16 全等三角形判定和性质问题(解析版)
专题16 全等三角形判定和性质问题1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2．全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
4．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
5．直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例题1】（2019•贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【解答】选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；专题知识回顾专题典型题考法及解析选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：A．【例题2】（2019•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC和△DEF中，△B＝△E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC△△DEF，则还需添加的一个条件是_________（只填一个即可）．【答案】AB＝DE．【解析】添加AB＝DE；△BF＝CE，△BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，△△ABC△△DEF（SAS）【例题3】（2019•铜仁）如图，AB＝AC，AB△AC，AD△AE，且△ABD＝△ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。
2016年中考数学试题分项版解析(第02期)专题16 压轴题
专题16 压轴题一、选择题1．（2016四川省凉山州）已知，一元二次方程28150x x -+=的两根分别是⊙O 1和⊙O 2的半径，当⊙O 1和⊙O 2相切时，O 1O 2的长度是（ ）A ．2B ．8C ．2或8D ．2＜O 2O 2＜8 【答案】C ．考点：1．圆与圆的位置关系；2．根与系数的关系；3．分类讨论．2．（2016四川省宜宾市）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2 【答案】A ． 【解析】试题分析：首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，可求得OA =OD =5，△AOD 的面积，然后由S △A O D =S △A O P +S △D O P =12OA •PE +OD •PF 求得答案． 试题解析：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形A B C D=AB •BC =48，OA =OC ，OB =OD ，AC =BD =10，∴OA =OD =5，∴S △A C D =12S 矩形A B C D=24，∴S △A O D =12S △A C D =12，∵S △A O D =S △A O P +S △D O P =12OA •PE +12OD •PF =12×5×PE +12×5×PF =52（PE +PF ）=12，解得：PE +PF =4.8．故选A ．考点：1．矩形的性质；2．和差倍分；3．定值问题．3．（2016四川省宜宾市）宜宾市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B．故选B．考点：1．二元一次方程组的应用；2．方案型．4．（2016四川省泸州市）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A B C．D【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．分类讨论．5．（2016四川省自贡市）圆锥的底面半径为4cm ，高为5cm ，则它的表面积为（ ）A ．12πcm 2B ．26πcm 2C cm 2D ．16)πcm 2【答案】D ． 【解析】试题分析：利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．试题解析：底面半径为4cm ，则底面周长=8πcm ，底面面积=16πcm 2；由勾股定理得，母线长cm ，圆锥的侧面面积=182π⨯=cm 2，∴它的表面积=16π+=16)π cm 2，故选D ． 考点：1．圆锥的计算；2．压轴题．6．（2016甘肃省白银市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A．当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=12•（4﹣x）•x=2122x x-+，故选A．考点：1．动点问题的函数图象；2．分类讨论．二、填空题7．（2016四川省凉山州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=P是四边形ABCD四条边上的一个动点，若P到BD的距离为52，则满足条件的点P有个．【答案】2．考点：1．点到直线的距离；2．分类讨论．8．（2016四川省宜宾市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4．【答案】①②⑤．考点：相似形综合题．9．（2016四川省自贡市）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为cm2．【答案】16．考点：1．一次函数综合题；2．压轴题．10．（2016江苏省宿迁市）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．【答案】4．考点：1．矩形的性质；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理；4．分类讨论．11．（2016江西省）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．【答案】5．【解析】试题分析：分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE AE=②当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；③当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论．试题解析：如图所示：①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE AE=②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边考点：1．矩形的性质；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理；4．分类讨论．12．（2016甘肃省兰州市）对于一个矩形ABCD 及⊙M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3y =-交x 轴于点M ，⊙M 的半径为2，矩形ABC D 沿直线运动（BD 在直线l 上），BD =2，AB ∥y 轴，当矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点C 的坐标为 ．【答案】（12，2-）或（32，2）． 【解析】试题分析：根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x 轴和y 轴两交点的坐标，和矩形的长和宽；有两种情况：①矩形在x 轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG 和DH 的长，从而求出CG 的长，根据坐标特点写出点C 的坐标；②矩形在x 轴上方时，也分别过C 、B 两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出C 的坐标．考点：1．圆的综合题；2．新定义；3．分类讨论．三、解答题13．（2016上海市）如图，抛物线25y ax bx =+-（a ≠0）经过点A （4，﹣5），与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC =5OB ，抛物线的顶点为点D ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且∠BEO =∠ABC ，求点E 的坐标．【答案】（1）245y x x =--；（2）18；（3）E （0，32）．（2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标为（2，﹣9）．连接AC ，∵点A 的坐标是（4，﹣5），点C 的坐标是（0，﹣5），又S △ABC =12×4×5=10，S △ACD =12×4×4=8，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18； （3）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵S △ABC =12×AB ×CH =10，AB =，∴CH =，在RT △BCH 中，∠BHC =90°，BC =，BH ==，∴tan ∠CBH =23CH BH =．∵在RT △BOE 中，∠BOE =90°，tan ∠BEO =BO EO，∵∠BEO =∠ABC ，∴BO EO =23，得EO =32，∴点E 的坐标为（0，32）． 考点：二次函数综合题．14．（2016上海市）如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，AD =15，AB =16，BC =12，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且∠AGE =∠DAB ．（1）求线段CD 的长；（2）如果△AEC 是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如果点F 在边CD 上（不与点C 、D 重合），设AE =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．【答案】（1）7；（2）15或252；（3）22518x y x -=（2592x <<）．考点：1．四边形综合题；2．相似三角形综合题；3．分类讨论；4．压轴题．15．（2016北京市）在等边△ABC中：（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC 的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．【答案】（1）40°；（2）①作图见解析；②证明见解析．考点：三角形综合题．16．（2016北京市）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x =3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．【答案】（1）①2；②1y x =- 或 1y x =-+；（2）1≤m ≤5 或者51m -≤≤-．考点：1．圆的综合题；2．新定义．17．（2016吉林省长春市）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG，设点E运动的时间为t秒（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；（2）求点H与点D重合时t的值；（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之间的函数关系式；（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为；当OO′⊥AD时，t的值为．【答案】（1）EF=t；（2）t=83；（3）228(0)383 (4)3tSt⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩；（4）t=4；t=3．考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．分段函数；5．压轴题．18．（2016吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中．有抛物线2(3)4y a x =-+和2()y a x h =-.抛物线2(3)4y a x =-+经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ．P 是抛物线2(3)4y a x =-+上一点，且在x 轴上方．过点P 作x 轴的垂线交抛物线2()y a x h =-于点Q ．过点Q 作PQ 的垂线交抛物线2()y a x h =-于点'Q （不与点Q 重合），连结'PQ .设点P 的横坐标为m ．（1）求a 的值；（2）当抛物线2()y a x h =-经过原点时，设△'PQQ 与△OAB 重叠部分图形的周长为l ．②求l 与m 之间的函数关系式；（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、Q 、'Q 为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h 的值．【答案】（1）49a =-；（2）①43；②24 (03)1171010(36)163m m l m m m <≤⎧⎪=⎨-++<<⎪⎩；（3）h =3或3-3+考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．压轴题．19．（2016四川省凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【答案】（1）A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）共有三种方案，详见解析，购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；考点：1．一元一次不等式组的应用；2．二元一次方程组的应用；3．最值问题；4．方案型．20．（2016四川省凉山州）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）． 【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA =AC 、②MA =MC 、③AC =MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c =++中，得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．综合题；4．动点型．21．（2016四川省宜宾市）如图，已知二次函数21y a x b x =+过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数1y 的解析式；（2）将1y 沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线2y ，直线y =m （m ＞0）交2y 于M 、N 两点，求线段MN 的长度（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，1y 、2y 交于A 、B 两点，如果直线y =m 与1y 、2y 的图象形成的封闭曲线交于C 、D 两点（C 在左侧），直线y =﹣m 与1y 、2y 的图象形成的封闭曲线交于E 、F 两点（E 在左侧），求证：四边形CEFD 是平行四边形．【答案】（1）21132y x x =--；（2）（3）证明见解析．CD =12x x -==，由219(1)22y m y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，消去y 得到22820x x m +-+=，设两个根为1x ，2x ，则EF =12x x -==∴EF =CD ，EF ∥CD ，∴四边形CEFD 是平行四边形．考点：二次函数综合题．22．（2016四川省巴中市）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE +CD =AD ．连结CE ，求证：C E 平分∠BCD ．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．和差倍分．23．（2016四川省巴中市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线245y mx mx m =+-（m ＜0）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），该抛物线的对称轴与直线3y x =相交于点E ，与x 轴相交于点D ，点P 在直线y x =上（不与原点重合），连接PD ，过点P 作PF ⊥PD 交y 轴于点F ，连接DF ．（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为 （2）求A 、B 两点的坐标；（3）如图②所示，小红在探究点P 的位置发现：当点P 与点E 重合时，∠PDF 的大小为定值，进而猜想：对于直线3y x =上任意一点P （不与原点重合），∠PDF 的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．【答案】（1）2333y x x =--+；（2）A （﹣5，0）、B （1，0）；（3）∠PDF =60°．考点：1．二次函数综合题；2．定值问题．24．（2016四川省广安市）如图，抛物线2y x bx c =++与直线132y x =-交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． （3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标．【答案】（1）2932y x x =+-；（2）P （2-1--，（﹣1，132-），（﹣3，152-）；（3）P （32-，152-）． 【解析】试题分析：（1）先确定出点A 坐标，然后用待定系数法求抛物线解析式；（2）先用m 表示出PD ，当PD =OA =3，故存在以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形，得到243m m +=，分两种情况进行讨论计算即可；（3）由△PAM 为等腰直角三角形，得到∠BAP =45°，从而求出直线AP 的解析式，最后求出直线AP 和抛物线的交点坐标即可． 试题解析：（1）∵直线132y x =-交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，∴A （0，﹣3），∵B （﹣4，﹣5），考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题．25．（2016四川省成都市）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以CB 为半径作⊙C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接ED ，BE ． （1）求证：△ABD ∽△AEB ； （2）当43AB BC 时，求tanE ； （3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F ，若AF =2，求⊙C 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）12；（3）8．考点：圆的综合题．26．（2016四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)3y a x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，83-），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧． （1）求a 的值及点A ，B 的坐标；（2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式；（3）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）13a =，A （－4，0），B （2，0）；（2）y ＝2x ＋2或4433y x =--；（3）存在，N （－132-， 1）． 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=3832312x x y k kx y ，∴038)32(312=---+k x k x ，∴1223x x k+=-+，212123y y kx k kx k k +=+++=，∵点M 是线段PQ 的中点，∴由中点坐标公式的点M （312k -，232k ）．假设存在这样的N 点如图，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y =kx +k ﹣3，由⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=38323132x x y k kx y ，解考点：1．二次函数综合题；2．压轴题．27．（2016四川省攀枝花市）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）3011；（2；（3）0＜t ≤1813或3011＜t ≤5．考点：1．圆的综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．28．（2016四川省攀枝花市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3） （1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．（3）直线l 经过A 、C 两点，点Q 在抛物线位于y 轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B 和点Q ，是否存在直线m ，使得直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式，若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758；（3）存在，113y x =-．在223y x x =--中，令y =0可得2023x x =--，解得x =﹣1或x =3，∴A 点坐标为（﹣1，0），∴AB =3﹣（﹣1）=4，且OC =3，∴S △ABC =12AB •OC =12×4×3=6，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴直线BC 解析式为y =x ﹣3，设P 点坐标为（x ，223x x --），则M 点坐标为（x ，x ﹣3），∵P 点在第四限，∴PM =23(23)x x x ----=23x x -+，∴S △PBC =12PM •OH +12PM •HB =12PM •（OH +HB ）=12PM •OB =32PM ，∴当PM 有最大值时，△PBC 的面积最大，则四边形ABPC 的面积最大，∵PM =23x x -+=239()24x --+，∴当x =32时，PM max =94，则S △PBC =3924⨯=278，此时P 点坐标为（32，154-），S 四边形ABPC =S △ABC +S △PBC =6+278=758，即当P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758；考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．动点型；6．压轴题．29．（2016四川省泸州市）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．【答案】（1）证明见解析；（2）考点：1．圆的综合题；2．三角形的外接圆与外心；3．切线的判定．30．（2016四川省泸州市）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线2=+相交于A（1，，B（4，0）两点．y mx nx（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△B C N、S△P M N满足S△B C N=2S△P M N，求出MNNC的值，并求出此时点M的坐标．【答案】（1）2y=+；（2）D（1，0）或（0）或（0）；（3），M（1，）．综上可知存在满足条件的D 点，其坐标为（1，0）或（0，2）或（0，2）；（3）如图2，过P 作PF ⊥CM 于点F ，∵PM ∥OA ，∴Rt △ADO ∽Rt △MFP ，∴MF ADPF OD==∴MF =，在Rt △ABD 中，BD =3，AD =∴tan ∠ABD =∴∠ABD =60°，设BC =a ，则CN =a ，在Rt △PFN 中，∠PNF =∠BNC =30°，∴tan ∠PNF =3PF PN =，∴FN =，∴MN =MF +FN =PF ，∵S △B C N =2S △P M N ，∴22122=⨯⨯，∴a =PF ，∴NC =a =PF ，∴MNNC ==，∴MN =NC ==a ，∴MC =MN +NC =（）a ，∴M 点坐标为（4﹣a ，（）a ），又M 点在抛物线上，代入可得2))a a -+-=（）a ，解得a =3或a =0（舍去），OC =4﹣a =1，MC =，∴点M 的坐标为（1，）．考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．存在型；5．压轴题． 31．（2016四川省资阳市）已知抛物线与x 轴交于A （6，0）、B （54-，0）两点，与y 轴交于点C ，过抛物线上点M （1，3）作MN ⊥x 轴于点N ，连接OM ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，将△OMN 沿x 轴向右平移t 个单位（0≤t ≤5）到△O ′M ′N ′的位置，MN ′、M ′O ′与直线AC 分别交于点E 、F ．①当点F 为M ′O ′的中点时，求t 的值；②如图2，若直线M ′N ′与抛物线相交于点G ，过点G 作GH ∥M ′O ′交AC 于点H ，试确定线段EH 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）241921515y x x =-++；（2）①1；②t =2时，EH 最大值为考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．存在型；5．平移的性质；6．压轴题．32．（2016山东省临沂市）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？【答案】（1）22 (01)157 (1)x xyx x<<⎧=⎨+>⎩甲，=163y x+乙；（2）当12＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜12或x＞4时，选甲快递公司省钱．当0＜x ＜12或x ＞4时，选甲快递公司省钱． 考点：1．一次函数的应用；2．分段函数；3．方案型．33．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣2x +10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA =QA ？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21566y x x =-，直角三角形；（2）103；（3）M 1（52），M 2（52，M 3（52，2），M 4（52，2-）．（3）存在，∵21566y x x =-，∴抛物线的对称轴为x =52，∵A （5，0），B （0，10），∴AB = 设点M （52，m ）；①若BM =BA 时，∴225()(10)1252m +-=，∴m 1=202+，m 2=202-M 1（52，202+），M 2（52②若AM =AB 时，∴225()1252m +=，∴m 3=2，m 4=2-，∴M 3（52，2），M 4（52，2-）； ③若MA =MB 时，∴222255(5)()(10)22m m -+=+-，∴m =5，∴M （52，5），此时点M 恰好是线段AB 的中点，构不成三角形，舍去；∴点M 的坐标为：M 1（52，202+），M 2（52，202-），M 3（52，2），M 4（52，2-）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题．34．（2016山东省德州市）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，交BC 于点D ，过点E做直线l∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：B E=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．【答案】（1）直线l与⊙O相切；（2）证明见解析；（3）214．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴BE CE，∴∠BOE=∠COE．又∵OB=OC，∴OE⊥BC．∵l∥BC，∴OE⊥l，∴直线l与⊙O相切．（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．又∵∠EFB =∠BAE +∠ABF ，∴∠EBF =∠EFB ，∴BE =EF ．（3）由（2）得BE =EF =DE +DF =7．∵∠DBE =∠BAE ，∠DEB =∠BEA ，∴△BED ∽△AEB ，∴DE BE BE AE =，即477AE=，解得；AE =494，∴AF =AE ﹣EF =494﹣7=214． 考点：圆的综合题．35．（2016山东省德州市）已知，m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）△BCD 是直角三角形；（3）S =2213(03)2213 (03)22t t t t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪-<>⎪⎩或．考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论．36．（2016江苏省宿迁市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将二次函数21y x =-的图象M 沿x 轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N ． （1）求N 的函数表达式；（2）设点P （m ，n ）是以点C （1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M 与x 轴相交于两点A 、B ，求22PA PB +的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M 与N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．【答案】（1）245y x x =-++；（2）38+（3）25．。
专题16 反比例函数中的三角形问题(解析版)
专题16 反比例函数中的三角形问题知识对接考点一、反比例函数中的三角形问题类型1 单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积类型2 双曲线上不在同一象限上两点一垂线形成的三角形的面积类型3 双曲线上在同一象限上任意两点与原点形成的三角形的面积作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，S⊥OAM＝S四边形MEFB，S⊥AOB ＝S直角梯形AEFB专项训练一、单选题1．如图所示，双曲线y＝1x上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等1腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（ ）AB2C ．1D．【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形性质得出S ⊥OAB ＝12OA •OB ＝12OA ²，先求得OA 取最小值时A 的坐标，即可求得OA 的长，从而求得⊥OAB 面积的最小值． 【详解】解：⊥⊥AOB 是等腰直角三角形，OA ＝OB ， ⊥S ⊥OAB ＝12OA •OB ＝12OA ²，⊥OA 取最小值时，⊥OAB 面积的值最小， ⊥当直线OA 为y ＝x 时，OA 最小，解1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩， ⊥此时A 的坐标为（1，1）， ⊥OA，⊥S ⊥OAB ＝12OA ²＝212⨯＝1，⊥⊥OAB 面积的最小值为1， 故选：C ． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 2．两个斜边长为2全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个ABC 的直角项点A 重合．若ABC 固定，当另一个三角形绕点A 旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边BC 交于点E ，F ，设BF x =，CE y =，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）3A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由题意得∠B=∠C =45°，∠G=∠EAF =45°，推出⊥ACE ⊥⊥FBA ，得到⊥AEC =⊥BAF ，根据相似三角形的性质得到AB CEBF AC=，于是得到结论． 【详解】 解：如图，由题意得⊥B=⊥C=45°，⊥G=⊥EAF=45°，⊥⊥AFE=⊥C+⊥CAF=45°+⊥CAF ，⊥CAE=45°+⊥CAF ， ⊥⊥AFB=⊥CAE ， ⊥⊥ACE⊥⊥FBA ， ⊥⊥AEC=⊥BAF ，AB CEBF AC=， 又⊥⊥ABC 是等腰直角三角形，且BC=2，又BF=x ，CE=y ，=， 即xy=2（1＜x ＜2）， 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证⊥FBA⊥⊥ACE 是解题的关键．3．如图，123,,P P P 是双曲线上的三点．过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形11P AO 、22P A O 、33P A O ，设它们的面积分别是123,,S S S ，则( )．A ．S 1=S 2=S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 1<S 2<S 3【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到答案． 【详解】⊥123,,P P P 是双曲线上的三点．过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形11P AO 、22P A O 、33P A O ，⊥1232kS S S ===， 故选A ． 【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义，是解题的关键．4．如图，已知A ，B 是反比例函数y=kx（k ＞0，x ＞0）图象上的两点，BC⊥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P 作PM⊥x 轴，垂足为M ．设三角形OMP 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于x 的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【详解】设⊥AOM=α，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S=(cos)(sin)122at atαα⋅⋅⋅=a2•cosα•sinα•t2，由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知⊥OPM的面积为12k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，⊥OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选A．点睛：本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式．5．过反比例函数y＝222m mx+-图象上一点向A分别向x轴作垂线，垂足为B，若三角形OAB的面积为3，则此函数图象必经过点（）A．(4，3)B．(﹣2，﹣3)C．(1，﹣3)D．(3，﹣1)【答案】B【分析】根据三角形OAB的面积为3，可得出m2+2m-2的值，再根据图象上的点，纵横坐标的积等于m2+2m-2，进行验证即可得出答案．【详解】解：⊥三角形OAB的面积为3，⊥m2+2m-2＝6 或m2+2m-2＝﹣6（舍去），而选项中只有(﹣2)×(﹣3)＝6，因此选项B符合题意，故选：B．【点睛】5本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数ky x=（k 为常数，k ≠0）图象上任一点P ，向x 轴和y 轴作垂线你，以点P 及点P 的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数k ，以点P 及点P 的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于12k ．也考查了一元二次方程根的判别式． 6．如图，点P 在y 轴正半轴上运动，点C 在x 轴上运动，过点P 且平行于x 轴的直线分别交函数4y x =-和2y x=于A 、B 两点，则三角形ABC 的面积等于( )A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】C 【分析】设点P 的纵坐标为a ，利用双曲线解析式求出点A 、B 的坐标，然后求出AB 的长度，再根据点C 到AB 的距离等于点P 的纵坐标，利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】设点P 的纵坐标为a ， 则4a x -=，2a x=， 解得42,x x a a=-=所以点42,,,A a B a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以246AB a a a⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， AB 平行于x 轴，∴点C 到AB 的距离为a ，ABC ∆∴的面积1632a a =⨯⋅=.故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，设点P 的纵坐标表示出点A 、B 的坐标，然后求出AB的长度是解题的关键．7．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是⊥P1A1O、⊥P2A2O、⊥P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S1＝S2＝S3【答案】D【分析】由于P1、P2、P3是同一反比例图像上的点，则围成的三角形虽然形状不同，但面积均为1||2k．【详解】根据反比例函数的k的几何意义，⊥P1A1O、⊥P2A2O、⊥P3A3O的面积相同，均为1||2k，所以S1=S2=S3，故选D．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，而围成的三角形的面积为1||2k，本知识点是中考的重要考点，应高度关注．8．三角形面积为7cm2，底边上的高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B7【分析】根据题意有：xy =2S =8cm 2，故高y 与底边x 之间的函数关系图象为反比例函数，且x 、y 应大于0，即可得出答案． 【详解】⊥xy =2S =8cm 2，⊥y =8x （x ＞0，y ＞0）． 故选B ． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 9．以下说法：⊥若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5； ⊥两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ⊥长度等于半径的弦所对的圆周角为30°⊥反比例函数y=﹣2x ，当＞0时y 随x 的增大而增大，正确的有（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】C 【解析】试题分析：分别利用勾股定理、全等三角形的判定、圆周角定理及反比例函数的性质判断： ⊥若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5或√7，故错误； ⊥两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确； ⊥长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°，故错误； ⊥反比例函数y=﹣2x ，当＞0时y 随x 的增大而增大，正确，故选C ．考点：1、反比例函数的性质；2、全等三角形的判定；3、勾股定理；4、圆周角定理 10．如图，点A 是反比例函数m y x =（m 是常数，0x >）上的一个动点，过点A 作x 轴、y轴的平行线交反比例函数k y x =（k 为常数，0k >）于点B 、C ．当点A 的横坐标逐渐增大时，三角形ABC 的面积( )9A ．先变大再变小B ．先变小再变大C ．不变D ．无法判断 【答案】C 【解析】试题分析：设点A 的坐标为00x y （，），则点B 坐标为10x y （，），点C 坐标为02x y （，），ABC ∆的面积为010200021012111()()()222ABC S AB AC x x y y x y x y x y x y ∆=⋅=-⋅-=--+121()2k m m x y =--+.因为2120y x y ky =且00m x y =，02m x y =，则20y k y m =，所以212k x y m =，所以21()2ABC k S k m m m ∆=--+，故点A 的横坐标逐渐增大，ABC 的面积的面积不变. 【考点】反比例函数. 二、填空题11．如图，已知点A 是双曲线y =2x 在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边⊥ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，则三角形ABC 面积最小值等于____．【答案】【分析】根据等边三角形的面积求解公式可知当AB 最小时，三角形ABC 面积最小，即AB 在一、三象限角平分线上时为所求，故可求解．【详解】依题意可得当AB 最小时，三角形ABC 面积最小， 此时AB 在一、三象限角平分线上，即y =x联立2y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩⊥A，B （⊥AB4=⊥三角形ABC224==故答案为： 【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、一次函数与反比例函数的特点．12．两个反比例函数36,y y x x==在第一象限内的图象如图所示，点123,,P P P ，…，2019P 在反比例函数6y x=图象上，它们的横坐标分别是123,,x x x ，…，2019x ，纵坐标分别是1，3，5，…，共2019个连续奇数，过点123,,P P P ，…，2019P 分别作y 轴的平行线，与3y x=的图象交点依次是111222333(,),(,),(,)Q x y Q x y Q x y ，…，2019Q 20192019(,)x y ，则2019y ＝_________，三角形20192019P OQ 的面积为__________.【答案】40372、 32【分析】11首先根据P 2019在6y x=上，可得P 2019的纵坐标为4037，再计算x 2019,再结合3y x =可得y 2019,2019201913(63)22P OQ S =-=【详解】根据题意可得P 2019的纵坐标为2201914037⨯-= 2019P 在6y x=上 64037y x∴== 20196(,4037)4037P ∴ 2019Q 和2019P 的横坐标相同201934037624037y ∴== 2019201913(63)22P OQ S =-=【点睛】本题主要考查反比例函数的解析式，关键在于比例函数的横纵坐标的乘积不变． 13．如图，双曲线()30y x x=>经过四边形OABC 的顶点90A C ABC ∠=︒、，，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，//AB x 轴， 将ABC 沿AC 翻折后得AB C '，'B 点落在OA 上，则三角形ABC 的面积是________．【答案】34【分析】延长BC ，交x 轴于点D ，设点C （x ，y ），AB=a ，由翻折的性质得，,90,BC B C AB C ABC ''=∠=∠=︒由AB⊥x 轴，得出BD⊥y 轴，由角平分线的性质得，CD CB '=，即可得出,BC B C CD '==从而得到点A （x -a ，2y ），根据反比例函数系数k 的几何意义从而得出三角形ABC 的面积． 【详解】解：延长BC ，交x 轴于点D ， 设点C （x ，y ），AB=a ， 由翻折的性质得，,90,BC B C AB C ABC ''=∠=∠=︒ ⊥AB⊥x 轴， ⊥BD⊥y 轴，⊥OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角， ⊥CD CB '=， ⊥,BC B C CD '== ⊥B （x ，2y ）， ⊥点A （x -a ，2y ）， ⊥2y （x -a ）=3， ⊥xy=3 ⊥3,2ay =⊥11133.22224ABCSAB BC ay ===⨯=故答案为3.4【点评】本题考查反比例函数的系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，翻折的性质以及角平分线的性质，表示出A 的坐标是解题的关键．14．如图，已知平面直角坐标系中A 点坐标为(0，3)，以OA 为一边在第一象限作三角形OAB ．E 为AB 中点，OB ＝4．若反比例函数y ＝kx的图象恰好经过点B 和点E ，则k 的值为______．13【分析】设B 点坐标为（a ，b ）（a 、b 均大于0），则有a 2+b 2=16,点E 的坐标为（2a ，32b +），然后再将B 、E 的坐标代入y ＝kx求解即可．【详解】解：设B 点坐标为（a ，b ）（a 、b 均大于0） ⊥a 2+b 2=16，点E 的坐标为（2a ，32b +） ⊥反比例函数y ＝kx的图像恰好经过点B 和点E⊥k=ab ，k=()34a b + ⊥a 2+b 2=16b=1【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数图像的性质、两点间距离公式、中点坐标公式等知识点，其中根据函数图像列出关系式是解答本题的关键． 15．如图，点A 是反比例函数(0)ky k x=>图象第一象限上一点，过点A 作AB x ⊥轴于B 点，以AB 为直径的圆恰好与y 轴相切，交反比例函数图象于点C ，在AB 的左侧半圆上有一动点D ，连结CD 交AB 于点.E 记BDE 的面积为1S ，ACE 的面积为2S ，连接BC ，则ACB 是______三角形，若12S S -的值最大为1，则k 的值为______．【答案】等腰直角；4 【分析】（1）如下图，连接O′C ，过点C 作CH⊥x 轴于点H ，由O′和两坐标轴相切可知O′和反比例函数 (0)k y k x=>的图象都关于直线y=x 对称，若设点A 的坐标为（m ，2m ），则点C 的坐标为（2m ，m ），结合题意易证四边形BHCO′是正方形，从而可得⊥ABC=45°，由AB 为O′直径可得⊥ACB=90°，由此可得⊥ABC 是等腰直角三角形；（2）由下图，连接DO′，并延长交BC 于点F ，由已知易得S 1-S 2=S ⊥BCD -S ⊥ABC ， S ⊥ABC 是定值，BC 是定值，从而可得当DF 最长，即当DF⊥BC 时，S 1-S 2的值最大，用含m 的代数式表达出S ⊥BCD 和S ⊥ABC 的面积，结合S 1-S 2的最大值为1列出方程，解方程求得m 的值即可得到点A 的坐标，从而可得k 的值. 【详解】解：（1）如下图，连接O′C ，过点C 作CH⊥x 轴于点H ，由O′和两坐标轴相切可知O′和反比例函数 (0)ky k x=>的图象都关于直线y=x 对称， ⊥若设点A 的坐标为（m ，2m ），则点C 的坐标为（2m ，m ）， ⊥BO′=CH=m ，BO′⊥CH ， ⊥四边形BHCO′是平行四边形， ⊥BH=CH ，⊥BHC=90°， ⊥四边形BHCO′是正方形． ⊥⊥ABC=45°， ⊥AB 为O′直径，⊥⊥ACB=90°，⊥⊥ACB 是等腰直角三角形；（2）由下图，连接DO′，并延长交BC 于点F ，⊥由图可得S 1-S 2=S ⊥BCD -S ⊥ABC ， S ⊥ABC 是定值，BC 是定值， ⊥当DF 最长，即当DF⊥BC 时，S 1-S 2的值最大，⊥⊥ABC 中，⊥ACB=90°，⊥ABC=45°，AB=2m ，且DF⊥BC ，，DF=DO′+O′F=m ， 又⊥S 1-S 2=S ⊥BCD -S ⊥ABC =1，⊥11()2122m m m ⨯+-⨯⨯=，化简得：22m =，⊥点A （m ，2m ）在反比例函数函数 (0)ky k x=>的图象上，⊥k=2m 2=4.故答案为：（1）等腰直角；（2）4.15点睛：这是一道反比例函数与圆和三角形综合的题目，作出如图所示的辅助线，熟悉“反比例函数的图象和性质及圆的相关性质”是正确解答本题的关键. 三、解答题16．如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为9,32⎛⎫⎪⎝⎭，点D在边AB 上，己知三角形ODC 的面积是154，反比例通数()0,0ky k x x =>>的图象经过C 、D两点．（1）求点C 的坐标； （2）求点D 的横坐标． 【答案】（1）()2,3C ；（2【分析】（1）过点D 作DN ⊥AC 于点N ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，根据面积公式可得平行四边形OABC 的面积=2OCDS，进而可得点C 的坐标；（2）结合（1）将C （2，3）代入y=k x ，得k=6，将A （52，0），B （92，3）代入y=kx+b ，然后联立方程组，即可求出点D 的横坐标． 【详解】解：（1）如图，过点D 作DN ⊥AC 于点N ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，⊥平行四边形OABC的面积=OC•DN=OA•BE，⊥S∠OCD=12×OC•DN，⊥平行四边形OABC的面积=2S∠OCD，⊥OA•BE=2×154=152，⊥B的坐标为（92，3），⊥BE=3，⊥OA=52，⊥BC=OA=52，⊥A（52，0），⊥C点的横坐标为：92-52=2，⊥C点的纵坐标等于B点的纵坐标，⊥点C的坐标为（2，3）；（2）将C（2，3）代入y=kx，得k=6，⊥反比例函数y=6x，设直线AB解析式为y=kx+b，将A（52，0），B（92，3）代入y=kx+b，可得：y=32x-154，17所以联立方程组，得315246y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得15894x，20x =<， ⊥点D 在第一象限， ⊥x ＞0，⊥点D【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握反比例函数的图象和性质．17．Rt⊥ABC 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），⊥BDE 的面积为2． （1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan⊥BAC ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；（3）设P 是线段AB 边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P ，以B ，C ，P 为顶点的三角形与⊥EDB 相似？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）n ＝2m ；（2）当4y x =，112y x =+；（3）存在，点P 的坐标为3(1,)2；89(,)55． 【分析】（1）将D （4，m ）、E （2，n ）代入反比例函数y ＝kx解析式，进而得出n ，m 的关系；（2）利用BDE 的面积为2，得出m 的值，进而得出D ，E ，B 的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；（3）利用AEO △与EFP △相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可． 【详解】解：（1）⊥D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数y ＝kx的图象上，⊥4m ＝k ，2n ＝k ，整理，得n＝2m；（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt⊥BEH中，tan⊥BEH＝tan⊥A＝12，EH＝2，所以BH＝1．因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．已知BDE的面积为2，⊥12BD•EH＝12（m+1）×2＝2，所以解得m＝1．因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．因为点D（4，1）在反比例函数y＝kx的图象上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为：4yx =．设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），得43 22 k bk b+=⎧⎨+=⎩解得：121 kb⎧=⎪⎨⎪=⎩因此直线AB的函数解析式为：112y x=+．（3）如图2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，当BED BPC△∽△时，BEBP＝BDBC＝23，BH BF ＝23，⊥BH＝1，⊥BF=32，⊥CF＝32，3 2＝12x+1，x＝1，点P的坐标为（1，32）；如图3，当BED BCP△∽△时，BEBC＝BDBP，EH＝2，BH＝1，由勾股定理，BE2 BP ，BP同理可得：BHBF＝BEBP，BH＝1，∴BF＝65，⊥CF＝95，9 5＝112x+，x＝85，点P的坐标为（85，95）点P的坐标为（1，32）；（85，95）【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想，属于中考压轴题．18．如图，已知直线y＝14x，与双曲线y＝kx(k＞0)交于A、B两点，且A点的横坐标为4．（1）求k的值及B点的坐标；19（2）若双曲线y＝kx(k＞0)上一点C的纵坐标为2，求⊥AOC的面积；（3）在x轴上找一点P，使以点O、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，试写出P点的坐标．【答案】（1）k＝4，B(﹣4，﹣1)；（2）3；（3）(0)、(﹣0)、(4，0)、(2，0)．【分析】（1）由于A点的横坐标为4，所以把x=4代入y=14x得y=1，得到A点坐标为(4，1)，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求出k的值；然后利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称确定B点坐标；（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，先确定C点坐标为(2，2)，根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S⊥OCD=S⊥OAE=12×4=2，再利用S⊥OCD+S梯形CDEA=S⊥OAE+S⊥AOC，得到S⊥AOC=S 梯形CDEA，然后根据梯形的面积公式进行计算；（3）分类讨论：当OC=OP时，⊥OCP是等腰三角形，即P点落在P1或P2的位置；当CO=CP 时，⊥OCP是等腰三角形，即P点落在E点的位置；当PO=PC时，⊥OCP是等腰三角形，即P点落在D点的位置，然后根据x轴上点的坐标特征写出满足条件的P点坐标．【详解】解：（1）把x＝4代入y＝14x得y＝1，⊥A点坐标为(4，1)，把A(4，1)代入y＝kx得k＝4×1＝4，⊥直线y＝14x与双曲线y＝4x的交点关于原点对称，⊥B点坐标为(﹣4，﹣1)；（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，把x＝2代入y＝4x得y＝2，⊥C点坐标为(2，2)，⊥S⊥OCD＝S⊥OAE＝12×4＝2，21⊥S ⊥OCD +S 梯形CDEA ＝S ⊥OAE +S ⊥AOC ， ⊥S ⊥AOC ＝12(1+2)×(4﹣2)＝3；（2）⊥C (2，2) ⊥OC ＝当OC ＝OP 时，⊥OCP 是等腰三角形，即P 点落在P 1或P 2的位置，此时P 点坐标为(﹣，0)或0)；当CO ＝CP 时，⊥OCP 是等腰三角形，即P 点落在E 点的位置，此时P 点坐标为(4，0)； 当PO ＝PC 时，⊥OCP 是等腰三角形，即P 点落在D 点的位置，此时P 点坐标为(2，0)， ⊥满足条件的P 点坐标为(0)、(﹣0)、(4，0)、(2，0)．【点睛】本题是一道反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和等腰三角形的判定与性质．19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为()4,2，OA 、OC 分别落在落在x 轴和y 轴上，OB 是矩形的对角线． 将OAB 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到ODE ，OD 与CB 相交于点F ，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点F ，交AB 于点G ．（1）填空：k 的值等于 ；（2）连接FG ，图中是否存在与BFG 相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若不存在，请说明理由；（3）在线段OA 上是否存在这样的点P ，使得PFG △是等腰三角形．请直接写出OP 的长．【答案】（1）k =2；（2）存在，⊥AOB ⊥⊥BFG ；（3）4158【分析】（1）证明⊥COF ⊥⊥AOB ，则CF OCAB OA=，求得：点F 的坐标为（1，2），即可求解； （2）⊥COF ⊥⊥BFG ；⊥AOB ⊥⊥BFG ；⊥ODE ⊥⊥BFG ；⊥CBO ⊥⊥BFG ．证⊥OAB ⊥⊥BFG ：43AO BF =，24332AB BG ==，即可求解； （3）分GF ＝PF 、PF ＝PG 、GF ＝PG 三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）⊥四边形OABC 为矩形，点B 的坐标为（4，2）， ⊥⊥OCB ＝⊥OAB ＝⊥ABC ＝90°，OC ＝AB ＝2，OA ＝BC ＝4， ⊥⊥ODE 是⊥OAB 旋转得到的，即：⊥ODE ⊥⊥OAB ， ⊥⊥COF ＝⊥AOB ， ⊥⊥COF ⊥⊥AOB ， ⊥CF OCAB OA =， ⊥2CF＝24， ⊥CF ＝1，⊥点F 的坐标为（1，2）， ⊥y ＝kx（x ＞0）的图象经过点F ，⊥2＝1k ，得k ＝2；（2）存在与⊥BFG 相似的三角形，比如：⊥AOB ⊥⊥BFG ． 下面对⊥OAB ⊥⊥BFG 进行证明： ⊥点G 在AB 上， ⊥点G 的横坐标为4，对于y ＝2x ，当x ＝4，得y ＝12，⊥点G 的坐标为（4，12）， ⊥AG ＝12，⊥BC ＝OA ＝4，CF ＝1，AB ＝2， ⊥BF ＝BC ﹣CF ＝3，BG＝AB﹣AG＝32，⊥43AOBF=，24332ABBG==，⊥AO AB BF BG=，⊥⊥OAB＝⊥FBG＝90°，⊥⊥OAB⊥⊥FBG．（3）设点P（m，0），而点F（1，2）、点G（4，12），则FG2＝9+94＝454，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+14，当GF＝PF时，即454＝（m﹣1）2+4，解得：m；当PF＝PG时，同理可得：m＝158；当GF＝PG时，同理可得：m＝4综上，点P的坐标为（4，0）或（158，00），⊥OP=415 8【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到旋转的性质、三角形相似、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．20．如图，己知一次函数133 2y x=-的图像与反比例函数2kyx=第一象限内的图像交于点()4,A n，与x轴相交于点B，交y轴于点C．（1）求n和k的值；23（2）观察函数图像⊥当3x ≥-时，2y 的取值范围是______________； ⊥当120y y <<时，x 的取值范围是____________；（3）如图，以AB 为边作菱形ABFD ，使点F 在x 轴正半轴上，点D 在第一象限，双曲线交DF 于点E ，连接AE 、BE ，求ABES；（4）若P 为坐标轴上一点，请你探索：当以点A 、P 、C 为顶点的三角形是直角三角形时，请求出所有可能的P 点坐标．【答案】（1）3,12n k ==；（2）⊥24y ≤-或20y >；⊥24x <<；（3）ABES=；（4）当以点A 、C 、P 为顶点的三角形为直角三角形时，点()0,3P 或170,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2或()2或17,02⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）先把点A 的坐标代入直线解析式进行求解n ，然后再求解反比例函数的k 即可； （2）⊥当x =-3时，则有24y =-，然后结合图象及分当-<3≤0x 和0x >可直接进行求解；⊥根据题意可得()2,0B ，然后结合函数图象可直接进行求解；（3）过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，然后由题意易得AB BF =进而可得12ABEABFDSS =菱形，然后问题可求解； （4）根据题意可分当点P 在x 轴上时，点A 、C 、P 为顶点的三角形为直角三角形；当点P 在y 轴上时，点A 、C 、P 为顶点的三角形为直角三角形；进而根据两点距离公式及勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可把点()4,A n 代入一次函数1332y x =-可得： 34332n =⨯-=，⊥()4,3A ， ⊥3412k =⨯=； （2）由（1）可得212y x=， ⊥当3x =-时，则有21243y ==--， ⊥由图象可得当3x ≥-时，2y 的取值范围是24y ≤-或20y >；25⊥令10y =时，则有3032x =-，解得：2x =， ⊥()2,0B ，⊥根据图象可得当120y y <<时，x 的取值范围值是24x <<； 故答案为24y ≤-或20y >；24x <<；（3）过点E 作EH ⊥AB 于点H ，过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，如图所示：由（1）（2）可得()2,0B ，()4,3A ， ⊥3AG =，⊥四边形ABFD 是菱形， ⊥AB BF ===，⊥12ABES AB EH =⋅，ABFD S AB EH BF AG =⋅=⋅菱形，⊥11322ABEABFD SS ===菱形 （4）由题意可得()0,3C -，则当以点A 、C 、P 为顶点的三角形为直角三角形时，可分： ⊥当点P 在x 轴上时，点A 、C 、P 为顶点的三角形为直角三角形，如图所示：设点(),0P a ，当190CAP ∠=︒时，根据勾股定理及两点距离公式可得：()()()()()()2222224033430003a a -+++-+-=-++，解得：172a =， ⊥117,02P ⎛⎫⎪⎝⎭；当290CP A ∠=︒时，同理可得)22,0P ；当390CP A ∠=︒时，同理可得()32P ；当490ACP ∠=︒时，同理可得49,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；⊥当点P 在y 轴上时，点A 、C 、P 为顶点的三角形为直角三角形，如图所示：设点()0,P m ，当590P AC ∠=︒时，同理可得5170,3P ⎛⎫⎪⎝⎭；27当690CP A ∠=︒时， ⊥6//P A x 轴， ⊥()60,3P ；综上所述：当以点A 、C 、P 为顶点的三角形为直角三角形时，点()0,3P 或170,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2或()2或17,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数、几何的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．21．Rt ⊥ABC 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y ＝kx（k ≠0）在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，1），与AB 边交于点E （2，n ）． （1）求反比例函数的解析式和n 值； （2）当BC AC＝12时，求直线AB 的解析式； （3）设P 是线段AB 边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P ，以B 、C 、P 为顶点的三角形与⊥EDB 相似？若存在，请直接写出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4y x =，n =2；（2）112y x =+；（3）（1，32），（85，95）【分析】（1）将(4,1)D 、(2,)E n 代入反比例函数ky x=解析式，进而得出n 的值； （2）根据题意进而得出D ，E ，B 的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；（3）利用AEO ∆与EFP ∆ 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可． 【详解】解：（1）(4,1)D 、(2,)E n 在反比例函数ky x=的图象上， 4k ∴=，2n k =，4k ∴=，2n =，∴反比例函数的解析式为4y x=； （2）如图1，过点E 作EH BC ⊥，垂足为H ．在Rt BEH ∆中，1tan tan 2BC BEH A AC ∠=∠==， (4,1)D ，(2,2)E ，422EH =-=，1BH ∴=．(4,3)B ∴．设直线AB 的解析式为y kx b =+，代入(4,3)B 、(2,2)E ，得4322k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因此直线AB 的函数解析式为：112y x =+； （3）存在，如图2，作EF BC ⊥于F ，PH BC ⊥于H ，当BED BPC ∆∆∽时，23BE BD BP BC ==， ∴23BF BH =，291BF =，32BH ∴=， 32CH ∴=，可得31122x =+，1x =， 点P 的坐标为3(1,)2；如图3，当BED BCP ∆∆∽时，BE BDBC BP=，2EF =，1BF =，由勾股定理，BE =∴2BP=BP ∴=， ∴BF BEBH BP =，1BF =，65BH =， 95CH ∴=，可得91152x =+，85x =， 点P 的坐标为8(5，9)5，点P 的坐标为3(1,)2；8(5，9)5．【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．22．如图，已知一次函数y ＝ax +b 与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于点A （1，3）和B （m ，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）根据图象回答，当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值；（3）以点O为位似中心画三角形，使它与⊥OAB位似，且相似比为2，请在图中画出所有符合条件的三角形．【答案】（1）3,4y y xx==-+；（2）01x<<或3x>；（3）见解析【分析】（1）由反比例函数图象过点A，可求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，然后将A点坐标代入y＝﹣x+b，可求一次函数的表达式；（2）根据图象即可得到结论；（3）根据题意画出图形即可．【详解】解：（1）⊥反比例函数y＝kx（k≠0）图象经过A（1，3），⊥k＝1×3＝3，⊥反比例函数的表达式是y＝3x，⊥反比例函数y＝3x的图象过点B（m，1），⊥m＝3，⊥B（3，1）．⊥一次函数y＝ax+b图象相交于A（1，3），B（3，1）．⊥331a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，⊥一次函数的表达式是y＝﹣x+4；（2）由图象知，当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数的值大于一次函数的值；（3）如图所示⊥OA′B′和⊥OA″B″即为所求．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．23．如图，反比例函数y＝kx（x＜0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个三角形（不写画法），要求每个三角形均需满足下列两个条件：⊥三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；⊥三角形的面积等于|k|的值．【答案】（1）2yx=-；（2）详见解析【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据三角形满足的两个条件画出符合要求的两个三角形即可．【详解】解：（1）⊥反比例函数y＝kx（x＜0）的图象过格点P，31由图象易知P点坐标是（﹣2，1），⊥将P（﹣2，1）代入y＝kx得，k＝﹣2×1＝﹣2，⊥反比例函数的解析式为2yx=-；（2）如图所示：⊥APO、⊥BPO即为所求作的图形；第三个点可以是（﹣4，0），（﹣2，﹣1），（4，0），（﹣2，3），（﹣6，1），（2，1），（0，2），（0，﹣2）．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．。
专题16 全等三角形判定和性质问题(解析版)2021年中考数学必考34个考点高分三部曲
专题16 全等三角形判定和性质问题1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2．全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
4．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
5．直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例题1】（2020•贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【解答】选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；专题知识回顾专题典型题考法及解析选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：A．【例题2】（2020•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC和△DEF中，△B＝△E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC△△DEF，则还需添加的一个条件是_________（只填一个即可）．【答案】AB＝DE．【解析】添加AB＝DE；△BF＝CE，△BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，△△ABC△△DEF（SAS）【例题3】（2020•铜仁）如图，AB＝AC，AB△AC，AD△AE，且△ABD＝△ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。
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专题16 等腰三角形的性质
例1 45°
例2 提示：过点A作∠A的平分线BD交于G，先证明△ABG≌△ACF，再证明△AGD≌△CFFD
例3 提示：延长BC，AE交于一点.、
例4 提示：如图，作BD⊥AC于D，则∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°，
∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM
又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.
例5 如图，在AC延长线上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB= ∠M1DC.∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN 周长：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.
例6 解法1 如图a，作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC，则∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，∠CDE=113°－67°=56°，连CE，可证△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE，则AO=CO，∠OCA=∠OAC，∠COE=2∠ACO，∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.从而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠DAE+∠EAC=67°.
解法2 如图b，过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB，连接EC.
∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，
∴∠DCE=∠CED=1
2
×（180°－46°）=67°
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°
∴∠ADC=∠DCE ，，∴AD=EC.
∴梯形ADCE 为等腰梯形
∴AC=DE （等腰梯形对角线相等），
∴AB=AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=67°.
A 级
1. 67.5°或2
2.5° 2.75°
3.60°
4.8
5.A
6.B
7.B
8.D 提示：由已知得(b －c)(a －b)(a+c)=0，故b=c 或a=b.
9. 提示：过D 作DF ∥AC 交BC 于F ，证明△DFG ≌△ECG .
10. 提示：延长CE 交BA 的延长线于F ，证明△BEC ≌△BEF ，再证明△AFC ≌△ADB.
11. 提示：图2成立，联系图1，可证明△ECD ≌△FBD ，
12DEF CEF ECD CDF FBD CDF CDB ACB S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+=+==
图3不成立，此时12
DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=
12.作∠BAC 的角平分线与CO 的延长线交于D ，连BD ，则△ABD ≌△ACD ，则∠ABD=∠ACD=30°， ∠OBD=∠ABC －∠OBC －∠ABD=20°=∠ABD ， ∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB ，从而△ABD ≌△OBD ，AB=OB ，即△ABO 为等腰三角形，得∠BAO=
12
（180°－40°）=70° B 级
1.40°
2.①②③ 提示：连AP.
3. 60°提示：设∠CAN =∠BAM =α，∠MAN =β，则∠C =∠BAC =2α+β，∠AMN =β
4. D
5.A
6.D
7. 提示：延长BD 到F ，使DF =BC ，则△BEF 为等边三角形，再证明△BCE ≌△FDE
8.⑴证明略；⑵由①得C ´D =AC =AB ´，由②得DB ´=BA =C ´A ，又AD =AD ，∴△AC ´D ≌△DB ´A ；⑶S △AB ´C ＞S △ABC ´＞S △ABC ＞S △A ´BC ，S △ABC + S △ABC ´= S △AC ´B + S △A ´BC
9.满足题意的图形有以下四种情形：
10.提示：在△ACD 内以CD 为边作等边△ECD ，连AE ，则△ACE ≌△ADE .∴∠CAE =1
2∠CAD =15°，
又∵∠DCB =90°-∠ACD =90°-75°=15°，∴∠CAE =∠BCD =∠ECA . 又∵AC =BC ，CE =CD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠DBC =∠EAC =15°. ∴∠DCB =∠DBC ，∴DC =DB .
A C
B E
D A
B E
C 图b A B
C F 图c 图d A B C G A
B D
C 图a
11.设2BH m BC =，2BK n AB =，因BH ＜BA ，BK ＜BC ，故mn ＜4，得11m n =⎧⎨=⎩；12m n =⎧⎨=⎩；13m n =⎧⎨=⎩；21m n =⎧⎨=⎩；31m n =⎧⎨=⎩
①当m =n =1时，BH =12BC ，BK =12AB ，△ABC 是等边三角形.
②当m =1，n =2时，BH =12BC ，BK =AB ，△ABC 是∠A 为直角的等腰直角三角形. ③当m =1，n =3时，BH =12BC ，BK =32AB ，△ABC 是∠A 为120°的等腰三角形. ④当m =2，n =1时，△ABC 是以∠C 为直角的等腰直角三角形.
⑤当m =3，n =1时，△ABC 是以∠C 为120°的等腰三角形.。