第七章__矩阵分解

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矩阵的分解

矩阵的分解矩阵的分解是一种数学方法，它把复杂的矩阵拆分成几个简单的子矩阵，以便能更好地理解和解决特定矩阵问题。

矩阵分解也可以用来提高现有计算机算法的效率。

它是一种重要的数学工具，常用于机器学习，信号处理，图像处理，信息论，控制工程，统计学，优化，数值分析，科学计算等。

矩阵分解可以把大的矩阵分解成小的子矩阵，以便更容易理解特定的矩阵问题。

典型的矩阵分解方法包括LU 分解，QR分解，SVD分解，Cholesky分解，Schur分解，病态分解，矩阵分解等。

LU分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的过程。

这种分解可以用于解决特定的线性方程组，以及求解矩阵的逆。

一般来说，LU分解具有非常高的计算效率，而且它不需要很多内存来存储矩阵。

QR分解是把一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的过程。

这种分解可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，以及求解线性方程组。

QR分解是一种非常有用的分解形式，因为它可以使用稠密矩阵和稀疏矩阵的快速算法。

SVD(奇异值分解)是将一个矩阵分解成两个正交矩阵和一个对角矩阵的过程。

SVD分解可以用来解决矩阵的秩、特征值、特征向量以及正交正则化问题。

一般来说，SVD 分解是一种非常有效的矩阵分解方法，并且它可以用来提高现有的计算机算法的效率。

Cholesky分解是一种分解矩阵的方法，它可以将一个对称正定矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

Cholesky分解可以用来解决线性方程组、估计最小二乘解、求解矩阵的特征值等。

Cholesky分解的计算效率很高，并且它可以用来提高现有的计算机算法的效率。

Schur分解则是将一个实矩阵分解成一个可逆矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

Schur分解可以用来解决矩阵的特征值和特征向量问题，以及求解线性方程组。

Schur分解也可以用来提高现有计算机算法的效率。

病态分解是将一个矩阵分解成一个低秩的正交矩阵和一个正定矩阵的乘积的过程。

矩阵分解——精选推荐

矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。

矩阵分解的方法和应用

矩阵分解的方法和应用在机器学习和数据分析领域，矩阵分解是一个常用的技术手段。

通过对数据矩阵进行分解，我们可以得到数据的潜在特征和规律，从而更好地理解和利用数据。

本文将介绍矩阵分解的常见方法和应用。

一、基本概念矩阵分解是指将一个矩阵表示为若干个小矩阵（或向量）的乘积的形式。

这些小矩阵一般是具有特定结构或意义的，例如对称矩阵、正定矩阵、特征矩阵等等。

矩阵分解可以应用到各种场景，例如数据降维、矩阵压缩、矩阵重构、协同过滤等等。

二、矩阵分解的方法常见的矩阵分解方法有以下几种：1. 奇异值分解（SVD）奇异值分解是一种基础的矩阵分解方法。

它将一个矩阵分解为三个小矩阵的乘积形式：$A=U\Sigma V^T$，其中$U$和$V$是正交矩阵，$\Sigma$是奇异值矩阵。

通过特征值分解可以得到奇异值矩阵，从而实现矩阵分解。

奇异值分解可以用来进行数据降维和矩阵重构。

例如，我们可以将一个高维度的数据矩阵分解为低维度的奇异向量，从而实现数据降维；或者我们可以使用奇异向量重构原始的矩阵，从而实现数据压缩。

2. QR分解QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的方法。

具体来说，对于一个矩阵$A$，可以分解为$A=QR$，其中$Q$是正交矩阵，$R$是上三角矩阵。

QR分解可以应用到求解线性方程组、估计模型参数等领域。

3. 特征值分解（EVD）特征值分解是指将一个方阵分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积形式。

具体来说，对于一个方阵$A$，可以分解为$A=V\LambdaV^{-1}$，其中$V$是正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵$A$的特征值。

特征值分解可以用于矩阵压缩和数据降维。

三、矩阵分解的应用1. 推荐系统推荐系统是一种常见的应用场景，它可以根据用户历史行为和兴趣，向用户推荐可能感兴趣的物品。

矩阵分解可以应用到推荐系统中，其基本思路是利用用户对物品的评分矩阵，对其进行分解，得到用户和物品的特征向量，然后通过计算余弦距离等方法，计算出用户和物品之间的相似度，从而推荐给用户可能感兴趣的物品。

矩阵分解的原理及应用

矩阵分解的原理及应用1. 简介矩阵分解是一种数学方法，用于将一个矩阵拆分为多个子矩阵，以便更好地理解和处理复杂的数据结构。

通过矩阵分解，我们可以将原始数据表示为更简洁和易于处理的形式，从而方便进行各种分析和计算。

2. 矩阵分解的原理矩阵分解的原理基于线性代数的基本概念。

在矩阵分解中，我们将一个大矩阵拆分为若干个小矩阵，其中每个小矩阵都有特定的性质和结构。

这些小矩阵的组合可以恢复原始矩阵，并且在处理和分析数据时更加方便。

常见的矩阵分解方法包括：•LU分解：将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，用于解线性方程组和计算行列式。

•QR分解：将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵，用于解决线性方程组和最小二乘拟合问题。

•奇异值分解（SVD）：将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵分别是对角矩阵，用于降低数据维度和特征提取。

3. 矩阵分解的应用矩阵分解在很多领域都有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用场景。

3.1 机器学习在机器学习中，矩阵分解被广泛应用于推荐系统、降维和聚类等任务。

通过对用户-物品评分矩阵进行矩阵分解，可以得到用户和物品的隐含特征向量，进而进行用户推荐和相似物品发现等任务。

3.2 图像处理图像处理中的矩阵分解常用于图像压缩和去噪等任务。

例如，奇异值分解可以将一幅图像表示为若干个特征图像的加权和，通过只保留其中的重要特征图像，可以实现图像的压缩和降噪。

3.3 自然语言处理在自然语言处理中，矩阵分解常用于词嵌入和主题模型等任务。

通过将单词-上下文共现矩阵进行矩阵分解，可以得到单词和上下文的隐含特征向量，进而进行语义相似度计算和文本分类等任务。

3.4 数据挖掘矩阵分解在数据挖掘中也有广泛的应用。

例如，矩阵分解可以用于聚类分析，将数据矩阵分解为聚类中心和样本权重矩阵，从而实现数据聚类和异常检测等任务。

4. 结语矩阵分解是一种重要的数学方法，可以将复杂的数据结构拆分为更简洁和易于处理的形式。

矩阵分解的原理及其应用

矩阵分解的原理及其应用一、矩阵分解的原理矩阵分解是将一个矩阵拆解为多个矩阵相乘的过程，通过分解原矩阵，可以提取隐含在矩阵中的潜在信息。

常见的矩阵分解方法有奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)、QR分解、LU分解等。

1. 奇异值分解(SVD)奇异值分解是矩阵分解中应用最广泛的方法之一。

它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。

在奇异值分解中，U矩阵包含了原矩阵A的左奇异向量，V矩阵包含了原矩阵A的右奇异向量，Σ矩阵中的对角线元素称为奇异值。

2. QR分解QR分解将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。

其中Q的列向量是正交的，R是上三角矩阵。

QR分解常用于求解线性方程组、矩阵的逆以及最小二乘问题等。

3. LU分解LU分解将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。

其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。

LU分解常用于求解线性方程组。

二、矩阵分解的应用矩阵分解在数据分析、机器学习、推荐系统等领域中有着广泛的应用。

1. 数据压缩奇异值分解可以用于数据压缩，通过提取矩阵的主要特征，可以将原矩阵表示为一个较小的低秩近似矩阵。

这样可以减少存储空间和计算成本，并且在一定程度上保留了原矩阵的信息。

2. 推荐系统矩阵分解在推荐系统中有广泛的应用。

通过对用户-物品评分矩阵进行分解，可以得到用户和物品的隐含特征向量，进而可以进行个性化推荐。

常见的矩阵分解方法如协同过滤(Collaborative Filtering)和隐语义模型(Latent Semantic Model)等。

3. 图像处理矩阵分解在图像处理中也有重要的应用。

例如，图像压缩算法JPEG使用了奇异值分解来减小图像文件的大小。

此外，矩阵分解还可以用于图像的降噪、图像融合等方面。

4. 信号处理在信号处理中，矩阵分解可以用于信号的分解与重构。

矩阵分解的原理与应用

矩阵分解的原理与应用矩阵是线性代数中最基本的数据结构，在机器学习，推荐系统，图像处理等领域都有广泛应用。

矩阵分解就是将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，通常用于降维、特征提取、数据压缩等任务。

我们现在就来详细探讨矩阵分解的原理和应用。

一、基本概念与背景1. 矩阵的基本概念矩阵是由多行和多列构成，每行和每列的数值称为元素。

用数的矩形阵列来表示的数学对象称为矩阵。

2. 矩阵的类型在数据分析中，矩阵有不同的分类，如稠密矩阵、稀疏矩阵、分块矩阵等。

3. 矩阵分解的背景通过矩阵分解，我们可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，这些小矩阵可以更方便的处理。

同时，矩阵分解也可以用来进行数据压缩、降维、特征提取等任务。

二、矩阵分解的基本思想矩阵分解的基本思想是将大的矩阵分解成多个小的矩阵，通常是将原始数据矩阵分解成两个或以上的低维矩阵。

其中，最基本的矩阵分解方法包括奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）和QR分解（QR Decomposition）。

1. 奇异值分解（SVD）奇异值分解是将任意矩阵分解为三个矩阵之积的算法。

SVD可以分解任意的矩阵X为X=UΣV*的形式，其中U和V是两个矩阵，Σ是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为奇异值。

这里，U、V都是酉矩阵，U、V*在原始矩阵的意义下构成一个对称双正交矩阵（或称为正交矩阵）。

其中，U是原始矩阵XXT的特征向量组成的矩阵，V是原始矩阵XTX的特征向量组成的矩阵。

奇异值则是U和V之间的关联，它是一个对角矩阵，其中的元素由矩阵的奇异值所组成。

SVD的一个重要应用是在推荐系统中的协同过滤算法中。

在协同过滤算法中，我们可以将用户-物品评分矩阵分解为两个矩阵，以此来实现推荐。

2. QR分解（QR Decomposition）QR分解是将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵之积的算法。

将矩阵A分解为A=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。

矩阵分解_精品文档

矩阵分解在矩阵运算中，把矩阵分解成形式比较简单或具有其中一种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究和应用中，具有重要的意义。

一方面，矩阵分解能够明显反映出原矩阵的一些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，令一方面分解的方法与过程往往提供了一些有效地数值计算方法和理论分析根据。

常见的矩阵分解方法有：三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解。

下面将主要从这四个方面进行分别介绍。

一、三角分解定义：设ACnnn，如果存在下三角矩阵LCnnn和上三角矩阵RCnnn，使得ALR（1）则成A可以作三角分解。

A可以作三角分解的充分必要条件是A的k阶顺序主子式。

kdetAk0(k1,2,n1)，而Ak为A的k阶顺序主子式（证明略）如果A可以分解成ALR，其中L是对角元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），R是上三角矩阵，则称之为A的Doolittle分解；L 是下三角矩阵，R为对角元素为1的上三角矩阵，则称之为A的Crout分解。

如果A可以分解为ALDR，其中L为单位下三角矩阵，D为对角矩阵，R为单位上三角矩阵，则称之为A的LDR分解。

设ACnnn，则A有唯一LDR分解的充分必要条件是k0(k1,2,,n1)。

此时对角矩阵Ddiag(d1,d2,,dn)的元素满足d11,dk证明从略。

假设ACnn是Hermite正定矩阵，则存在下三角矩阵GCnn，使得AGGH,则称之为A的Choleky分解。

综合分析：方阵的三角分解存在的充要条件是：A的k阶顺序主子式kdetAk0(k1,2,n1)，但是方阵的三角分解不是唯一的，比如A可以表示成ALR(LD)(D1R),其中，D为对角元素均不为0的对角矩阵。

为了规范化才有了Doolittle分解和Crout分解形式。

矩阵的LDR分解建立在普通LR分解的基础上。

而Choleky分解则是A为Hermite正定矩阵时的一种特殊形式。

二、QR分解定义：设ACnn，如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R，使得AQR（3）则称之为A的QR分解或酉-三角分解。

第七章矩阵分解

A LU
据此，有
Ax LUx L(Ux ) b
因此可通过求解两个特殊的三角方程组
Ly b, Ux y 来求解线性方程组 Ax b
件中采用的方法。
，这就是数值软
二、矩阵的LU分解(Decomposition)
定义2 如果方阵 A 可以分解成一个单位下三角矩阵 L 与一个上三角矩阵 U 的乘积
L1 L I
从而
L1 A L1 LU U L1 ( A, I ) ( L1 A, L1 ) (U , L1 )
这说明，通过行初等变换求出 U 和 L1 后，就可求出单位下三角阵 L1 的逆矩阵 L 。
例 4 求下列矩阵的LU 分解：
1 2 1 3 1 A 0 1 1 2
L11U12 L11U11 L21U11 L21U12 L22U 22
因此
det A11 det( L11U11 ) det L11 det U11 1 det U11 det U11 0
考虑到分块矩阵 A 1 1 阶数的任意性，因此上述结论对矩阵 A 的任意顺序主子式都成立。那么，这个结论是否也是充分的呢？
例4的解：（未选主元法）
2 1 1 0 0 1 3 1 ( A, I ) 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1
1 2 1 1 0 0 0 5 3 3 1 0 0 1 3 1 0 1
1 1 0 0 1 2 0 5 3 3 1 0 0 0 12 / 5 2 / 5 1 / 5 1 从而得 L1 A U , 这里 0 0 1 1 1 2 3 , U 0 5 L1 1 0 3 2 / 5 1 / 5 1 0 0 12 / 5

线性代数中的矩阵分解理论

线性代数中的矩阵分解理论矩阵分解是线性代数中的一个重要概念和技术，通常用于将一个矩阵拆解成简化形式。

在许多应用领域，矩阵分解都具有广泛的应用，例如信号处理、数据压缩、机器学习等。

本文将介绍线性代数中的矩阵分解理论及其应用。

一、矩阵分解的基本原理在线性代数中，矩阵分解是将一个给定的矩阵拆分为多个矩阵的乘积的过程。

常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解和奇异值分解等。

这些分解方法都具有不同的特点和适用范围。

1. LU分解LU分解是将一个矩阵A拆解为两个矩阵L和U的乘积。

其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。

LU分解常用于求解线性方程组，通过分解后的矩阵可以对方程组进行简化和求解。

2. QR分解QR分解是将一个矩阵A拆解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。

QR分解常用于求解最小二乘问题和矩阵的特征值等。

3. 奇异值分解奇异值分解是将一个矩阵A拆解为一个酉矩阵U、一个对角矩阵Σ和另一个酉矩阵V的转置的乘积。

奇异值分解是矩阵分解中最广泛应用的方法之一，可以用于降维、数据压缩和图像处理等领域。

二、矩阵分解的应用领域矩阵分解在许多应用领域中都有重要的应用，下面介绍几个常见的应用领域。

1. 信号处理在信号处理中，矩阵分解常用于信号的降噪和信号的重构。

通过将观测到的信号矩阵进行分解，可以得到信号的主要成分和噪声的成分，从而实现信号的处理和分析。

2. 数据压缩矩阵分解在数据压缩领域中被广泛应用。

通过将一个高维的数据矩阵进行分解，可以提取出数据的主要成分，从而实现数据的降维和压缩。

常用的数据压缩方法之一就是基于奇异值分解的方法。

3. 机器学习在机器学习中，矩阵分解被广泛应用于推荐系统和聚类分析等任务中。

通过将用户-物品的评分矩阵进行分解，可以得到潜在的用户兴趣和物品特征，从而实现个性化推荐和相似物品的聚类分析。

三、矩阵分解的扩展除了上述介绍的常见矩阵分解方法外，还有许多其它的矩阵分解方法被提出和应用。

例如，非负矩阵分解、稀疏矩阵分解等。

矩阵的分解

§9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。

由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。

这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。

一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。

将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。

首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。

定义1 如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈<=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则上三角矩阵11121222000⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈>=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则下三角矩阵11212212000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a L a a a称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。

定理1设,⨯∈n nnA C 则A 可唯一地分解为 1=A U R其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LU其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。

矩阵分解

矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。

常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。

(1) LU分解矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。

线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。

MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。

注意，这里的矩阵X必须是方阵。

[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。

当然矩阵X同样必须是方阵。

实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度。

例7-2 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。

命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[L,U]=lu(A);x=U\(L\b)或采用LU分解的第2种格式，命令如下：[L,U ,P]=lu(A);x=U\(L\P*b)(2) QR分解对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。

QR分解只能对方阵进行。

MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：[Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。

[Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。

实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。

例7-3 用QR分解求解例7-1中的线性方程组。

命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[Q,R]=qr(A);x=R\(Q\b)或采用QR分解的第2种格式，命令如下：[Q,R,E]=qr(A);x=E*(R\(Q\b))(3) Cholesky分解如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。

（完整word版）矩阵分解及其简单应用

（完整word版）矩阵分解及其简单应用对矩阵分解及其应用矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR分解、满秩分解和奇异值分解。

矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。

秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。

1.矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU，则称A可作三角分解。

矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0，即?k≠0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。

矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU的分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。

矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle分解和Crout分解，它们用待定系数法来解求A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。

矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。

由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组：{Ly=b Ux=y先由Ly=b依次递推求得y1, y2,......，y n，再由方程Ux=y依次递推求得x n，x n?1， (x1)必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k≠0时，应该用置换矩阵P 左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：{Ly=pb Ux=y这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。

2.矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。

QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。

第七章--矩阵分解

L=
0.3333 1.0000 0
1.0000 0
0
-0.3333 -0.4000 1.0000
此时仍有 A=LU，但 L不再是单位下三角矩阵。
U=
3.0000 1.0000
0
0 1.6667 -1.0000
%ex703.m
A=[1 2 -1 ;3 1 0; -1 -1 -2];
[L,U,P]=lu(A)
可求出单位下三角阵 L1 的逆矩阵 L 。
%ex701.m A=[1 2 3 ;2 4 5; 3 5 6]; [L,U,P]=lu(A) %调用lu函数
L=
1.0000 0
0
0.6667 1.0000 0
0.3333 0.5000 1.0000
U=
3.0000 5.0000 6.0000
0 0.6667 1.0000
可逆阵 A 的列向量组 1,2, ,n 构成欧氏空间 R( A) 的一个基。而 Gram-Schmidt方法实际上就是寻找正交向量序列 1,2, , j ，使得
span(1,2, , j ) span(1,2, , j )
即有
(1,2 ,
,n ) (1, 2,
,
n
)
r11
r1n
rnn
1111detdet1111detdet定理定理33如果方阵的各阶顺序主子式则存在唯一的主对角线上元素全为1的下三角矩阵称为单位下三角矩阵单位下三角矩阵与唯一的非奇异上三角矩阵使得根据lu定理如果存在分解么矩阵可逆即存在可逆矩阵使得可求出单位下三角阵的逆矩阵求下列矩阵的lu分解
第七章矩阵分解
类似于数的因子分解、代数式的因式分解，矩阵的各种分解在矩阵计算中也扮演相当重要的角色。由于变换即矩阵，所以各种分解从根本上看是各种变换，其目的是将矩阵变换成特殊的矩阵，比如特征值分解的对角矩阵、Jordan 分解的Jordan矩阵、Schur分解的上三角阵，等等。将分解用于数值计算缓慢出现在电子计算机诞生之后。最早是Dwyer（1951），然后是Householder（1964）和Wilkinson（1965）

《矩阵的分解》课件

矩阵分解的算法实现
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回代
应用：求解线性方程组、求逆矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现，适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代，逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平方根。
平方根分解的应用：平方根分解在数值计算、线性代数、优化等领域有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算迭代函数，更新迭代值，直到满足停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实现，缺点是收敛速度慢，容易陷入局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
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矩阵分解公式

矩阵分解公式摘要：一、矩阵分解公式简介1.矩阵分解的定义2.矩阵分解的意义二、矩阵分解的几种方法1.奇异值分解（SVD）2.谱分解（eigenvalue decomposition）3.非负矩阵分解（NMF）三、矩阵分解在实际应用中的案例1.图像处理2.信号处理3.数据降维四、矩阵分解的发展趋势和挑战1.高维数据的处理2.矩阵分解算法的优化3.新型矩阵分解方法的研究正文：矩阵分解公式是线性代数中一个重要的概念，它涉及到矩阵的诸多操作，如矩阵的乘法、求逆、迹等。

矩阵分解的意义在于将一个复杂的矩阵简化为易于处理的形式，从而便于进行矩阵运算和数据分析。

本文将介绍几种常见的矩阵分解方法，并探讨它们在实际应用中的案例和发展趋势。

首先，我们来了解一下矩阵分解的定义。

设A是一个m×n的矩阵，矩阵分解就是将A表示为若干个矩阵的乘积，即A = UΣV*，其中U是m×m的酉矩阵（满足UU* = I），Σ是m×n的非负实对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值，V是n×n的酉矩阵（满足VV* = I），V*是V的共轭转置。

通过矩阵分解，我们可以得到矩阵A的秩、奇异值、特征值等信息。

矩阵分解有多种方法，其中较为常见的有奇异值分解（SVD）、谱分解（eigenvalue decomposition）和非负矩阵分解（NMF）。

奇异值分解是将矩阵A分解为三个矩阵的乘积：UΣV*，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵。

谱分解是将矩阵A分解为两个矩阵的乘积：A = UΣV*，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。

非负矩阵分解是将矩阵A分解为两个非负矩阵的乘积：A = WH，其中W和H都是非负矩阵。

矩阵分解在实际应用中有着广泛的应用，尤其在图像处理、信号处理和数据降维等领域。

在图像处理中，矩阵分解可以用于图像压缩、去噪和特征提取等任务。

在信号处理中，矩阵分解可以用于信号降噪、特征提取和频谱分析等任务。

7矩阵分解

§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
§5.1 求解线性方程组的矩阵分解方法
1
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一、利用矩阵的三角分解求线性方程组的解
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二、利用矩阵的正交三角分解求矛盾方程的最小二乘解
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§5.
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第七章LU分解

ji ji
l ji ( a ji l jk uki ) / uii
k 1
在计算机程序中常常用这种方法解线性代数方程组。它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不必存储，就是U的对角元素也因为都是1没有必要再记录在程序中，这样只用一个n阶方阵就可以把L和 U贮存起来。即：下三角（包括对角元）存储L各元素而上三角存储U的元素。再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij（j<=i）和uij（j>i)中用到一次以后就不再出现了，因而完全可以利用原始数组A的单元，一个个逐次贮存L或U中的相应元素，即：

a ij
aij lik ukj
k 1
n
maxi , j
l
k 1
ik
ukj
根据矩阵乘法及相等的定义,有 n 1 a1 j l1k ukj l1k ukj l u1 j u1 j
a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n an1 an2 an3 … ann … … u11 u12 u13 … u1n l21 u22 u23 … u2n l31 l32 u33 … u3n … … … ln1 ln2 ln3 … unn
定理如果上带宽为q，下带宽为p的n阶带状矩阵A有Doolittle
分解。A=LU，则L是下带宽为p的单位下三角矩阵，U是上带宽为q的上三角矩阵。
阵Doolittle 分解形式 c1 b1 1 a p b2 c2 2 2 a n 1 bn 1 c n 1 an bn 由矩阵乘法及相等定义，有： q1 b1 p k q k 1 a k， q k p k k 1 bk， k 1 c k 1 q1 b1 p k a k q k 1 ( k 2,3, , n ) 于是得计算L的元素p i 及U的qi 和 i的计算公式，为： 1 p3 1 pn q1 1

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