第五节 数列的综合应用

第五节数列的综合应用[考纲传真]能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.【复习指导】1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算．2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法．知识点1数列应用题常见模型1．等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．2．等比模型：一般地，如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．3．递推模型：如果能建立该数列任意一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的递推关系式，并求出初始项，那么可考虑通过建立递推模型求解．知识点2解答数列应用题的步骤1．审题——仔细阅读材料，认真理解题意．2．建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．3．求解——求出该问题的数学解．4．还原——将所求结果还原到原实际问题中．必会结论银行储蓄中的计算公式：(1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为p元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝p(1＋r)n.(2)单利公式：利息按单利计算，本金为p元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝p(1＋nr)．(3)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)银行储蓄的单利公式是等差数列模型．()(2)银行储蓄的复利公式是等比数列模型．()(3)数列{a n}的通项公式a n＝n2－2an＋1，若数列{a n}是递增数列，则a≤1.()(4)数列{a n}是正项等比数列，b n＝log a a n(a>0且a≠1)，则数列{b n}是等差数列．()【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，这6只蜜蜂又飞出去，各自找回了5个伙伴……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂() A．55 986 B．46 656 C．216 D．36【解析】六天蜜蜂的总数组成等比数列{a n}，则a1＝6，公比q＝6，则a6＝66＝46 656.【答案】 B3．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b ＋c＝10，则a＝()A．4 B．2 C．－2 D．－4【解析】由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，即2cq2＝cq＋c，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4.【答案】 D4．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是________．【解析】 根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4.∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.【答案】 1等差数列与等比数列的综合应用1．(2016·合肥模拟)已知{a n }为等差数列且公差d ≠0，其首项a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110 【解析】 由a 3，a 7，a 9成等比数列，则a 3a 9＝(a 7)2，即(a 1＋2d )(a 1＋8d )＝(a 1＋6d )2， 化简可得2a 1d ＋20d 2＝0，由a 1＝20，d ≠0，解得d ＝－2. 则S 10＝10a 1＋10×92×(－2)＝110.【答案】 D2．(2016·福州模拟)设数列{a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba 1＋ba 2＋ba 3＋ba 4＝( )A ．15B ．60C ．63D ．72【解析】 数列{a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，则a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝2n －1， 则ba 1＋ba 2＋ba 3＋ba 4＝b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝22＋23＋24＋25＝60.【答案】 B等差数列、等比数列综合问题的解题策略1．分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．2．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． 数列的实际应用(2016·长沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．【解】 (1)由题意得：a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ，… a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d . (2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d ＝… ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2 整理得：a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000.解得d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫32m－2×1 000⎝⎛⎭⎪⎫32m－1＝1 000(3m－2m＋1)3m－2m.故该企业每年上缴资金d的值为1 000(3m－2m＋1)3m－2m时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．解答数列实际应用问题的步骤1．确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型，基本特征见下表：数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{a n}满足a n＋1＝1.2a n－a2.准确求解模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．3．给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这一点．[变式训练](2016·泰安模拟)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.【答案】16数列与其他知识的交汇问题●命题角度1数列与函数的交汇问题1．(2016·南京模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(3＋x)＝f(x)，f (2)＝－5，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n ＝2a n ＋n (其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 4)＋f (a 5)＝________.【解析】 ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，又∵f (3＋x )＝f (x )， ∴f (x )是以3为周期的周期函数，∴f (2)＝f (－1)＝－5， ∵a 1＝－1，且S n ＝2a n ＋n ， ∴a 2＝－3，∴a 3＝－7，a 4＝－15，∴a 5＝－31， ∴f (a 4)＋f (a 5)＝f (－15)＋f (－31)＝f (0)＋f (－1)＝0＋f (2)＝－5.【答案】 －52．(2014·四川高考)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .【解】 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b n＝n 2n . 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1. 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n所以T n ＝2n ＋1－n －22n . ●命题角度2 数列与不等式的交汇问题3．(2014·广东高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1(a1＋1)＋1a2(a2＋1)＋…＋1a n(a n＋1)<13.【解】(1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)．(2)由S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*得[S n－(n2＋n)](S n＋3)＝0. 又已知各项均为正数，故S n＝n2＋n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，所以a n＝2n，n∈N*.(3)证明：k∈N*,4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，∴1a k(a k＋1)＝12k(2k＋1)＝14k2＋2k≤13k2＋3k＝13⎝⎛⎭⎪⎫1k－1k＋1.∴1a1(a1＋1)＋1a2(a2＋1)＋…＋1a n(a n＋1)≤13⎝⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1<13. ∴不等式成立．数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略1．数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．2．数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式．(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．(3)比较方法：作差或者作商比较．。