基础达标 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
【答案】 1－i
[小组合作型]
复数的加、减法运算
1 1 4 3 (1)3＋2i＋(2－i)－3－2i＝________.
(2)已知复数 z 满足 z＋1－3i＝5－2i，求 z. 【自主解答】 ＝1＋i. 【答案】 1＋i
1 1 4 3 1 4 1 3 (1)3＋2i＋(2－i)－3－2i＝3＋2－3＋2－1＋2i
探究 2 复数|z1－z2|的几何意义是什么？
【提示】 复数|z1－z2|表示复数 z1，z2 对应两点 Z1 与 Z2 间的距离．
已知 z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值. 【导学号：62952106】
【精彩点拨】 先根据|z＋3－4i|＝1 的几何意义，画出复数 z 对应点的轨道 再根据|z|的几何意义求解．
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几 何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角 → 形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB对应的复数是 zB－zA(终点 对应的复数减去起点对应的复数)．
[再练一题] → → → 2． (1)向量OZ1对应的复数是 5－4i， 向量OZ2对应的复数是－5＋4i， 则OZ1＋ → OZ2对应的复数是( A．－10＋8i C．0 ) B．10－8i D．10＋8i
【答案】 3＋5i
[探究共研型]
复数加、减法的几何意义的应用
探究 1 在实数范围内 a－b＞0⇔a＞b 恒成立，在复数范围内是否有 z1－
z2＞0⇒z1＞z2 恒成立呢？
【提示】 若 z1，z2∈R，则 z1－z2＞0⇒z1＞z2 成立．否则 z1－z2＞0D⇒ z1＞z2. 如果 z1＝1＋i，z2＝i，虽然 z1－z2＝1＞0，但不能说 1＋i 大于 i.
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
新课讲授
2.复数的减法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个 复数，那么它们的差
(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
例题讲解
例1.计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i).
例2.计算(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4 ＋5i)＋…＋(－2002＋2003i)＋(2003－2004i).
线长为
()
A. 3 2 B. 2 2 C.2
D. 5
课堂练习
4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1， 2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是
()
A.直角三角形 C.锐角三角形
B.等腰三角形 D.钝角三角形
课堂练习
5.一个实数与一个虚数的差 ( )
A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数
复习引入
6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a＋bi (a，b∈R) 当且仅当b＝0时，它是实数a； 当b≠0时，叫做虚数； 当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数； 当且仅当a＝b＝0时，它是实数0.
7.复数集与其它数集之间的关系:
R Z Q R C
复习引入
8. 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等，
3. i的周期性: i4n+1＝i, i 4n+2＝－1, i 4n+3＝－i, i4n＝1.
复习引入
4.复数的定义:
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数， a叫复 数的实部， b叫复数的虚部.全体复数所 成的集合叫做复数集，用字母C表示.
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义(最新整理)
复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义预习课本P107～108，思考并完成下列问题(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？1．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．3．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为，，则复数z 1＋z 2是以，为邻边的OZ 1――→ OZ 2――→ OZ 1――→ OZ 2――→ 平行四边形的对角线 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量与的终点并指向OZ ――→ OZ 1――→ OZ 2――→的向量所对应的复数．OZ 1――→[点睛] 对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)×2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．8i B ．6C ．6＋8iD ．6－8i答案：B3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 答案：D4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量和，其中O 为坐标原点，OA ――→ OB ――→则||等于( )AB ――→A.B ．22C. D ．410答案：B复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以Error!解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝.2[答案] (1)－2－i (2)2复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [活学活用]已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以Error!解得a ＝3.答案：3复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) 表示的复数；AO ――→(2)对角线表示的复数；CA ――→(3)对角线表示的复数．OB ――→[解] (1)因为＝，所以表示的复数为－3－2i.AO ――→ －OA ――→ AO ――→(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5CA ――→ OA ――→ －OC ――→ CA ――→－2i.(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋OB ――→ OA ――→ OC ――→ OB ――→4i)＝1＋6i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．[活学活用] 复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量对应的复数为1＋2i ，BA ――→向量对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．BC ――→解：∵对应的复数为1＋2i ，对应的复数为3－i.BA ――→ BC ――→∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.AC ――→ BC ――→ BA ――→又∵＝＋，OC ――→ OA ――→ AC ――→∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12C ．2 D.5(2)若复数z 满足|z ＋＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．3[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z 的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z 在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.[答案] A(2)解：如图所示， ||＝＝2.OM ――→(－\r(3))2＋(－1)2所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.[一题多变]1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．解：因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝2－1.22．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z －|2＋|z －2i|2的最大值和最小值．3解：如图所示，在圆面上任取一点P ，与复数z A ＝，z B ＝2i 对应点A ，B 相连，得向3量，，再以，为邻边作平行四边形．PA ――→ PB ――→ PA ――→ PB ――→P 为圆面上任一点，z P ＝z ，则2||2＋2||2＝||2＋(2||)2＝7＋4||2，(平行四边形四条边的PA ――→ PB ――→ AB ――→ PO ′――→ PO ′――→平方和等于对角线的平方和)，所以|z －|2＋|z －2i|2＝.312(7＋4|z －32－i |2)而max ＝|O ′M |＋1＝1＋，|z －32－i |432min ＝|O ′M |－1＝－1.|z －32－i |432所以|z －|2＋|z －2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.34343层级一 学业水平达标1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )A ．z －1 B ．z ＋1C ．－10＋18iD ．10－18i解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.5．设向量，，对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )OP ――→ PQ ――→ OQ ――→A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0解析：选D ∵＋＝，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.OP ――→ PQ ――→ OQ ――→6．已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i∴Error!解得Error!答案：6 117．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.32＋42答案：58．已知z 1＝a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－3b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝4，则a ＋b ＝3233________.解析：∵z 1－z 2＝a ＋(a ＋1)i －[－3b ＋(b ＋2)i]＝＋(a －b －1)i ＝4，323(32a ＋33b )3由复数相等的条件知Error!解得Error!∴a ＋b ＝3.答案：39．计算下列各式．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i ＝1 008－1 009i.10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，∴Error!解得Error!∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.层级二 应试能力达标1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0 B ．1C. D.2212解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为.222．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量对应的复数Z 1Z 2――→为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i解析：选D ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋Z 1Z 2――→ OZ 2――→ OZ 1――→4i)＝2－6i.3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量，对应OA ――→ OB ――→的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则对应的复数是( )CD ――→A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故CD ――→ BA ――→ OA ――→ OB ――→对应的复数为4－2i ，故选D.CD ――→5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝ .x 2＋y 2∴x ＋y i ＋＝2＋i.x 2＋y 2∴Error!解得Error!∴z ＝＋i.34答案：＋i 346．在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，OA ――→ OC ――→ AB ――→那么对应的复数为________．BC ――→解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝BC ――→ OC ――→ OB ――→ OC ――→ OA ――→ AB ――→(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.答案：4－4i7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量，，对应的复数；AB ――→ AC ――→ BC ――→(2)判断△ABC 的形状．(3)求△ABC 的面积．解：(1)对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，AB ――→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，BC ――→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.AC ――→(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，AB ――→ 2BC ――→ 10AC ――→82∴||2＋||2＝||2，∴△ABC 为直角三角形．AB ――→ AC ――→ BC ――→(3)S △ABC ＝××2＝2.12228．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 3的值和|z －ω|的取值范围．解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，∴6a ＋2b i ＝3＋i ，33∴Error!∴Error!∴z ＝＋i ，3212∴z －ω＝－(sin θ－icos θ)(32＋12i )＝＋i (32－sin θ)(12＋cos θ)∴|z －ω|＝(32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2＝ 2－3sin θ＋cos θ＝ ＝ ，2－2(32sin θ－12cos θ)2－2sin (θ－π6)∵－1≤sin ≤1，(θ－π6)∴0≤2－2sin ≤4，∴0≤|z －ω|≤2，(θ－π6)故所求得z ＝＋i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．3212。
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义.doc
3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义整体设计教材分析复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一.复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材.对于复数加法、减法运算的几何意义(即可以通过|hj量加法、减法法则来进行)，它不仅乂一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合.课时分配1课时.教学目标1.知识与技能目标掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.2.过程与方法目标培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力.3.情感、态度和价值观培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.重点难点重点：发数代数形式的加法、减法的运算法则.难点：复数加法、减法的几何意义.教学过程引入新课我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究发数的加减运算.探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设Zi=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.提出问题：问题1：两个夏数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？问题2：当b=0, d=0时，与实数加法法则一致吗？M题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？活动设计：学生独立思考，口答.活动成果：1.仍然是个复数，且是一个确定的复数；2.一致；3.实质是实部与实部相加, 虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项.设计意图加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性.提出问题：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明.活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足，对任意的Z], z2, z3ec,有交换律：Z]+Z2 = Z?+Z1・结合律：(Z]+Z2)+ Z3 = Z]+(Z2 + Z3).证明:设Z] = a+bi, z2=c + di, Z]+z2 = (a+c)+(b+d)i, z2 + Z| = (c + a) + (d + b)i, 显然，z1+z2 = z2 + z1.同理可得(Z1+Z2)+ Z3 = Z1+(Z2 + Z3).设计意图引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力.下面我们根据岌数的儿何意义，探究一下夏数加法的儿何意义.提出问题：复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证.活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流.学情预测：学生可能会很快类比出结果，却不知如何验证，教师适时引导，在图形中解ZZ|（Q0）0x设向量应1，宓分别与复数zi=a+bi, Z2=c+di对应，则OZ]=(a, b), OZ2=(c, d),由平面向量的坐标运算，有OZi+OZ? = (a+c, b+d).这说明两个向量OZ. ^OZo的和就是与夏数(a+c) + (b+d)i对应的向量.活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.设计意图既训练了学生的类比思想，也训练了学生的数形结合思想.下面我们来研究复数的减法提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出夏数的减法法则及其儿何意义.活动设计：学生独立完成，口述，教师板书.活动成果：1.我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di) + (x + yi) = a+bi 的复数x + yi叫做复数a + bi减去复数c + di的差，记做(a+bi) — (c + di).2 .复数减法的儿何意义是可以按照向量的减法来进行的.考查学生的类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力.提出问题：你能试着推导复数减法法则吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流.学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等的定义来验证，部分学生可能会想到把减法运算转化为加法运算，即(a+bi)—(c+di)=(a+bi)+(— 1 )(c+di)= (a+bi)+(—c—di)= (a—c)+(b—d)i.活动成果：证明：根据复数相等的定义，有c + x=a, d+y=b,因lit x = a—c, y=b—d,即(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i.设计意图让学生自己动手推导减法法则，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.理解新知提出问题：问题1：复数的加(减)法法则规定的合理性在哪里？问题2：复数的加(减)法实质是什么？问题3：多个复数相加减怎样运算？活动设计：学生独立完成，口述，教师完善.活动成果：1.它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起•来；2.实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减；3.可将各个发数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.设计意图加深对夏数加(减)法法则的理解，并为例题打下基础.运用新知例1 计算(5—6i)+( — 2—i)—(3+4i).思路分析：根据复数的加减运算法则即可得出.解法一：(5-6i) + (-2-i)-(3+4i) = (5-2-3) + (-6-l-4)i= — lli.解法二：(5-6i)+(-2—i)一(3+4i)=(5—2)+(—6— l)i-(3+4i)=(3-7i)-(3+4i)=。
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i =(a-2a)+[b-(-3b)-3]i =-a+(4b-3)i(a，b∈R).
【补偿训练】计算： (1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i). (2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2 0172 018i).
【解析】(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+20i. (2)原式=(1-2+3-4+…+2 015-2 016+2 017)+(-2+3 -4+5-…-2 016+2 017-2 018)i=1 009-1 010i.
2.由|z1+z2|≤2 2 ，得|(1+t)+2i|≤2 2 ，即
1 t2 4 2 2，即(t+1)2+4≤8，解得-3≤t≤1.所
以t的取值范围是[-3，1].
【方法技巧】 复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类 项. 提醒：注意运算格式及范围，避免出错
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及
其几何意义
【自我预习】
z1，z2，z3∈C，设 OZ1，OZ2 分别与复数z1=a+bi， z2=c+di(a，b，c，d∈R)相对应，且 OZ1，OZ2 不 共线
加法
减法
运算 法则
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1-z2=(a-c)+(b-d)i
原创3：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
深入探究？
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
复数减法的几何意义： - =
复数的加法几何意义同构于向量加法几何
y Z
1
意义。复数减法的几何意义同构于向量减
法的几何意义。注意“同构”一词。
Z2
O
x
学以 致用
例1
讲解例题
计算 (5
6i )
Z1 (a , b)
O
∴向量 就是与复数 + + + 对应的向量.
x
深入探究
思考？
复数是否有减法？如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （ + ）+（ + ）= + 的
复数 + 叫做复数 + 减去复数 + 的差，记作（ + ）－（ + ）
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 ∈ ， ∈ ， ∈
则Z1+Z2=（ + )+( + )，Z2+Z1=（ + ) + ( + )
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当 = ， =
时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加法可
以推广到多个复数相加的情形。
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证:设 = + ，Z2= + ,Z3= + ( , ，, , , ∈ )
课件8：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原 点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】以 OA，OB 为邻边作▱OACB， 则由题设条件知O→C对应复数为 z1＋z2， B→A对应复数为 z1－z2， ∵|z1＋z2|＝|z1－z2|，∴|O→C|＝|B→A|， 即▱OACB 的两条对角线长相等， ∴▱OACB 为矩形，∴OA⊥OB， ∴△AOB 为直角三角形． 【答案】B
命题方向3：综合应用
例3：设x∈[0,2π)，复数z1＝cos x＋isin x对应的点在第一象 限中直线y＝x的左上方，z2＝1－i，求|z1＋z2|的取值范围．
【解析】由x∈[0,2π)，复数z1的对应点位于第一象限且在直线y ＝x的左上方可求得x的取值范围；由z1与z2的代数形式及复数加 法运算法则可求出z1＋z2. 求|z1＋z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为 求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就
【答案】3i
是[0,2π)．
解：由已知得 z1＋z2＝(cosx＋1)＋(sinx－1)i， 所以|z1＋z2|＝ cosx＋12＋sinx－12 ＝ cos2x＋2cosx＋1＋sin2x－2sinx＋1 ＝ 2cosx－sinx＋3＝ 2 2cosx＋4π＋3. 因为复数 z1＝cosx＋isinx 对应点在第一象限中直线 y＝x 的 左上方，且 x∈[0,2π)，
【答案】8
3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
若向量O—→A、 OB 对应的复数分别是 3＋i、－1＋3i，则 CD 对应
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义(用)
选择
uuur uuur
1、设O是原点，向量OA,OB 对uuu应r 的复
数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA 对应
的复数是( D ) A. -5+5i， B. -5-5i， C. 5+5i，
D. 5-5i.
2、设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面
内对应的点位于( D ) A. 第一象限，
(3)|z-1|
点Z到点(1, 0)的距离
(4)|z+2i|
点Z到点(0, －2)的距离
例 2.若复数 z 满足| z （1 2i) | 5 ， 则 z 所对应的点的集合是什么图形？
例3.若 | z 3 4i | 2 ,则 z 的最大值是__７___
y
变式: z 的最小值是_3__
复数z1 -z2
y
向量Z2Z1
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
Z2(c,d)
o
Z1(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 两点Z1 、Z2的距离
运用 已知复数z对应点Z,说明下列各式
所表示的几何意义.
(1)|z-(1+2i)| 点Z到点(1, 2)的距离
(2)|z+(1+2i)| 点Z到点(-1, －2)的距离
B. 第二象限， C. 第三象限， D. 第四象限.
复数的模的几何意义 uuur
uuur
对应平面向量 OZ 的模|OZ |，复数的模：
复数z=a+bi在 复平面上对应的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点Z(a,b)到原点的距离
y
z=a+bi | z | =| OZ | = OZ
课件11：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
活学活用 2.复数 z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平 面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如下图所示， 求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解：复数 z1，z2，z3 所对应的点分别为 A，B，C，设正 方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)． 因为 AD＝OD－OA，所以 AD对应的复数为(x＋yi)－(1 ＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为BC＝OC－OB，所以BC 对 应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为 AD＝BC， 所以它们对应的复数相等，即xy－－12＝＝1－，3，
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及 其几何意义
知识点一 复数的加减法 提出问题 已知复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． 问题 1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复 数如何加减？ 【答案】两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与 虚部分别相加减，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
解得xy＝ ＝2－，1. 故点 D 对应的复数为 2－i.
题型三 综合应用 例 3 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， 求|z1－z2|. 解：法一 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2， 又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0.
活学活用
3.已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解：法一：设 z1＝a＋bi，
z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
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第三章复数 3.2.1复数代数形式的加减运算（练习）科目高二数学班级姓名时间 2015-2-12
一、选择题
1．已知z
1＝2＋i，z
2
＝1＋2i，则复数z＝z
2
－z
1
对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于( )
A．1＋i B．－1－I C．－1＋i D．1－i 3．已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，若z1－z2是纯虚数，则有( ) A．a－c＝0且b－d≠0 B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0 D．a＋c＝0且b＋d≠0
4．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于( )
A．－2b－2b i B．－2b＋2b i C．－2a－2b i D．－2a－2a i 5．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是( )
A.11
5
B.3I
C.
11
5
＋3i D.
11
5
＋23i
6．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7.▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i B．4＋8i C．4－8i D．1＋4i
8．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( ) A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆
9．设f(z)＝z，z
1＝3＋4i， z
2
＝－2－i，则f(z
1
－z
2
)＝( )
A．1－3i B．11i－2 C．i－2 D．5＋5i
10．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m 的值为( )
A．4 B．－1 C．6 D．0
11．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝( )
A．－3i B．3i C．±3i D．4i
12．已知z1，z2∈C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是( ) A．6 B．5 C．4 D．3
13．复数z＝x＋y i(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( ) A．2 B．4 C．4 2 D．8 2
14．若x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是( )
A.1
2
＋
3
2
i B．x1＝4，x2＝－1 C．－4＋3i D.
1
2
＋
3
2
i
二、填空题
15．已知|z|＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________.
16．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O(O 为原点)，若向量OA →、OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是________．
17．已知z 1＝3
2
a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33
b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，
则a ＋b ＝________.
18．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝______. 19．复平面内三点A 、B 、C ，A 点对应的复数为2＋i ，BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，则点C 对应的复数为________． 20．已知z 0＝2＋2i ，|z －z 0|＝2，当z ＝_____时，|z|有最小值，最小值为_______． 三、解答题
21．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．
22．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a －2＋i ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求实数a 的取值范围．
23．(1)若f (z )＝z ＋1－i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2＋i ，求f (z 1－z 2)；
(2)z 1＝2cos θ－i ，z 2＝－2＋2isin θ(0≤θ≤2π)，且z 1＋z 2对应的点位于复平面的第二象限，求θ的范围．
24.计算:(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 012＋2 013i)＋(2 013－2 014i)．。