高一数学函数性质的应用

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高一数学正弦型函数知识点

高一数学正弦型函数知识点正弦型函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

正弦型函数可以描述周期性变化的现象，如声音的波动、电流的变化等。

在本文中，我们将讨论正弦型函数的基本概念、性质和应用。

一、正弦型函数的定义和性质正弦型函数是指形式为y = A*sin(Bx + C)的函数，其中A、B、C为常数。

A代表振幅，B代表周期，C代表初相位。

1. 振幅（Amplitude）：指正弦函数在一周期内的最大偏离量，通常用A表示。

振幅可以决定正弦函数图像上下的波动范围。

2. 周期（Period）：指正弦函数的一个完整波动所需的水平距离，通常用T表示，T = 2π/B。

周期越小，图像波动得越快。

3. 初相位（Phase Shift）：指正弦函数图像在x轴上的左右平移量，通常用C表示。

初相位决定了图像的水平位置。

二、正弦型函数图像的特点正弦型函数的图像呈现典型的波动形态，具有以下几个特点：1. 对称性：正弦函数是关于y轴对称的，即满足f(x) = -f(-x)。

2. 周期性：正弦函数的图像是周期性重复的，即满足f(x + T) = f(x)，其中T为周期。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。

奇函数的图像关于原点对称。

4. 零点：正弦函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标值。

正弦函数的零点通常位于一周期的中心或边界。

三、正弦型函数的应用正弦型函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，下面我们就来看几个具体的例子。

1. 声音波动：正弦型函数可以描述声音的波动，比如我们常见的音乐声音。

声音是由空气分子的周期性振动产生的，并可以通过正弦函数进行描述。

2. 电流变化：正弦型函数可以描述交流电的变化规律。

交流电的电压和电流都呈现周期性的正弦变化，采用正弦函数可以方便地描述电流变化和计算电路中的电压和电流。

3. 振动现象：正弦函数还可以描述弹簧振子、摆线钟等物理现象。

这些物理系统都有一个周期性的振动过程，借助正弦函数可以准确地描述振动的变化。

高一数学考点：函数的性质

高一数学考点：函数的性质函数是高中数学课程内容的四条主线之一，贯穿整个高中数学的学习，是发展学生数学核心素养的重要载体．而函数的性质作为函数内容的重点和难点，成为高考考查的热点．纵观近几年的高考真题，对函数性质的考查主要集中在选择题和填空题．下面结合近几年的高考真题，就函数性质的常见考点和题型进行归类分析．一㊁函数单调性的判断与应用函数的单调性是反映函数变化趋势的重要性质，是高考的热门考点．判断函数单调性的常用方法有定义法㊁图像法和导数法．除此之外，了解函数单调性的常用结论，如若ｋ＞０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相同；若ｋ＜０，则ｋｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）单调性相反复合函数单调性同增异减法则等，可以帮助我们更快解题．例１．（１）（２０２１年高考天津㊃第５题）设ａ＝ｌｏｇ２０.３，ｂ＝ｌｏｇ０.４，ｃ＝０.４０.３，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．ｃ＜ａ＜ｂＣ．ｂ＜ｃ＜ａＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：ȵｌｏｇ２０.３＜ｌｏｇ２１＝０，ʑａ＜０．ȵｌｏｇ０.４＝－ｌｏｇ２０.４＝ｌｏｇ２５２＞ｌｏｇ２２＝１，ʑｂ＞１．ȵ０＜０.４０.３＜０.４０＝１，ʑ０＜ｃ＜１，ʑａ＜ｃ＜ｂ．故选：Ｄ．评注：本题考查利用函数的单调性和中间量去比较大小，０和１是常用的中间量．本题需要先把常数０和１转化成与ａ，ｂ，ｃ同底的对数或指数，再利用相应函数的单调性即可比较出这三个数和０㊁１的大小关系，进而得到ａ，ｂ，ｃ的大小．当然，比较ａ和ｂ的大小也可以直接转化为以２为底的对数，再用单调性去比较．熟悉常见函数的单调性㊁对数和指数的运算性质是关键，属于容易题．（２）设函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则ａ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．（－ɕ，－２］Ｂ．［－２，０）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，＋ɕ）解析：函数ｙ＝２ｘ在Ｒ上单调递增，而函数ｆ（ｘ）＝２ｘ（ｘ－ａ）在区间（０，１）上单调递减，则有函数ｙ＝ｘ（ｘ－ａ）＝ｘ－ａ２()２－ａ２４在区间（０，１）上单调递减，因此ａ２ȡ１，解得ａȡ２，所以ａ的取值范围是［２，＋ɕ）．故选：Ｄ．评注：本题考查复合函数的单调性，已知函数的单调区间求参数的取值范围，考查常见函数的单调性，考查逻辑推理能力．本题解题的关键在于识别出内外层函数，利用复合函数单调性同增异减的法则，推断出内层函数在已知区间上的单调性，利用二次函数的对称轴与已知区间的相对位置关系来求解参数范围，难度不大．（３）设ａ＝０.１ｅ０.１，ｂ＝１９，ｃ＝－ｌｎ０.９，则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｃ＜ｂ＜ａＣ．ｃ＜ａ＜ｂＤ．ａ＜ｃ＜ｂ解析：设ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ（ｘ＞－１），因为ｆᶄ（ｘ）＝１１＋ｘ－１＝－ｘ１＋ｘ，当ｘɪ（－１，０）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，当ｘɪ（０，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，所以函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ在（０，＋ɕ）单调递减，在（－１，０）上单调递增，所以ｆ１９()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ１０９－１９＜０，故１９＞ｌｎ１０９＝－ｌｎ０.９，即ｂ＞ｃ，所以ｆ－１１０()＜ｆ（０）＝０，所以ｌｎ９１０＋１１０＜０，故９１０＜ｅ－，所以１１０ｅ＜１９，故ａ＜ｂ．设ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）（０＜ｘ＜１），则ｇᶄ（ｘ）＝（ｘ＋１）ｅｘ＋１ｘ－１＝（ｘ２－１）ｅｘ＋１ｘ－１．令ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１，ｈᶄ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２＋２ｘ－１），当０＜ｘ＜２－１时，ｈᶄ（ｘ）＜０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递减，2㊀当２－１＜ｘ＜１时，ｈᶄ（ｘ）＞０，函数ｈ（ｘ）＝ｅｘ（ｘ２－１）＋１单调递增．又ｈ（０）＝０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｈ（ｘ）＜０，所以当０＜ｘ＜２－１时，ｇᶄ（ｘ）＞０，函数ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｌｎ（１－ｘ）单调递增，所以ｇ（０.１）＞ｇ（０）＝０，即０.１ｅ０.１＞－ｌｎ０.９，所以ａ＞ｃ．故选：Ｃ．评注：本题考查利用函数的单调性来比较大小，借助导数来判断函数的单调性，考查分析推理和计算能力，属于较难题．本题难点在于无法直接利用常见函数的单调性来比大小，需要先对各个数据进行代数变形，观察数据的结构去构造新的函数，再结合新函数的单调性以及特殊的函数值来比大小．利用指数函数和对数函数去构造新函数是常见的构造技巧．变式１．（１）设ａɪ（０，１），若函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋（１＋ａ）ｘ在（０，＋ɕ）上单调递增，则ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀．解析：由函数的解析式可得ｆᶄ（ｘ）＝ａｘｌｎａ＋（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ０在区间（０，＋ɕ）上恒成立，则（１＋ａ）ｘｌｎ（１＋ａ）ȡ－ａｘｌｎａ，即１＋ａａ()ｘȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ）在区间（０，＋ɕ）上恒成立，故１＋ａａ()０＝１ȡ－ｌｎａｌｎ（１＋ａ），而ａ＋１ɪ（１，２），故ｌｎ（１＋ａ）＞０，故ｌｎ（ａ＋１）ȡ－ｌｎａ，０＜ａ＜１，{即ａ（ａ＋１）ȡ１，０＜ａ＜１，{故５－１２ɤａ＜１，结合题意可得实数ａ的取值范围是５－１２，１[■■|．故答案为：５－１２，１[■■|．（２）（２０２２高考北京卷㊃第１４题）设函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１，ｘ＜ａ（ｘ－２）２，ｘȡａ{，若ｆ（ｘ）存在最小值，则ａ的一个取值为㊀㊀㊀㊀㊀；ａ的最大值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：若ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝１，ｘ＜０（ｘ－２）２，ｘȡ０{ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０；若ａ＜０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递增，当ｘң－ɕ时，ｆ（ｘ）ң－ɕ，故ｆ（ｘ）没有最小值，不符合题目要求；若ａ＞０时，当ｘ＜ａ时，ｆ（ｘ）＝－ａｘ＋１单调递减，ｆ（ｘ）＞ｆ（ａ）＝－ａ２＋１，当ｘ＞ａ时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０，０＜ａ＜２（ａ－２）２，ａȡ２{ʑ－ａ２＋１ȡ０或－ａ２＋１ȡ（ａ－２）２，解得０＜ａɤ１，综上可得０ɤａɤ１；故答案为：０（答案不唯一），１．（３）设ａ＝２ｌｎ１.０１，ｂ＝ｌｎ１.０２，ｃ＝１.０４－１．则（㊀㊀）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｂ＜ｃ＜ａＣ．ｂ＜ａ＜ｃＤ．ｃ＜ａ＜ｂ解析：ａ＝２ｌｎ１.０１＝ｌｎ１.０１２＝ｌｎ（１＋０.０１）２＝ｌｎ（１＋２ˑ０.０１＋０.０１２）＞ｌｎ１.０２＝ｂ，所以ｂ＜ａ；下面比较ｃ与ａ，ｂ的大小关系．记ｆ（ｘ）＝２ｌｎ（１＋ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｆ（０）＝０，ｆᶄ（ｘ）＝２１＋ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＝２ｘ－ｘ２＝ｘ（２－ｘ），所以当０＜ｘ＜２时，１＋４ｘ－（１＋ｘ）２＞０，即１＋４ｘ＞（１＋ｘ），ｆᶄ（ｘ）＞０，所以ｆ（ｘ）在［０，２］上单调递增，所以ｆ（０.０１）＞ｆ（０）＝０，即２ｌｎ１.０１＞１.０４－１，即ａ＞ｃ；令ｇ（ｘ）＝ｌｎ（１＋２ｘ）－１＋４ｘ＋１，则ｇ（０）＝０，ｇᶄ（ｘ）＝２１＋２ｘ－２１＋４ｘ＝２（１＋４ｘ－１－２ｘ）（１＋ｘ）１＋４ｘ，由于１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＝－４ｘ２，在ｘ＞０时，１＋４ｘ－（１＋２ｘ）２＜０，所以ｇᶄ（ｘ）＜０，即函数ｇ（ｘ）在［０，＋ɕ）上单调递减，所以ｇ（０.０１）＜ｇ（０）＝０，即ｌｎ１.０２＜１.０４－１，即ｂ＜ｃ；综上，ｂ＜ｃ＜ａ，故选：Ｂ．二㊁函数奇偶性的判断与应用判断函数奇偶性的常用方法是定义法和图像法，对于小题来说，还可以通过赋特殊值的方法来作初步判断．函数的奇偶性反映了其图像的对称性，对于一些具有奇偶性的复合函数，其原函数蕴含了对称性，如若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｂ）是定义在Ｒ上的奇函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于点（ｂ，０）中心对称，若函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ａ）是定义在Ｒ上的偶函数，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝ａ对称等，我们要学会从中看出函数的隐含性质．函数的奇偶性蕴含了函数在对称区间上的单调性关系，所以经常会把奇偶性和单调性结合在一起考查．例２．（１）函数ｙ＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ在区间－π２，π２[]的图像大致为（㊀㊀）Ａ．㊀㊀Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：令ｆ（ｘ）＝（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ，ｘɪ－π２，π２[]，则ｆ（－ｘ）＝（３－ｘ－３ｘ）ｃｏｓ（－ｘ）＝－（３ｘ－３－ｘ）ｃｏｓｘ＝－ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为奇函数，排除ＢＤ；3㊀又当ｘɪ（０，π２）时，３ｘ－３－ｘ＞０，ｃｏｓｘ＞０，所以ｆ（ｘ）＞０，排除Ｃ．故选：Ａ．评注：本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的奇偶性㊁值域等性质来判断函数的大致图像，考查推理分析能力．首先判断函数的奇偶性，得到函数图像的对称性，可以排除选项Ｂ㊁Ｄ．对比选项Ａ㊁Ｃ，再结合特殊函数值的正负㊁或在某区间上函数值的正负㊁或函数的单调区间等性质可以排除Ｃ，得出正确选项．像这种由解析式判断函数图像㊁或者由图像判断解析式的题目，可以尝试优先考虑函数的定义域和奇偶性，再结合函数的值域㊁单调性㊁特殊值等做进一步的判断．（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１为偶函数，则ａ＝（㊀㊀）Ａ．－１Ｂ．０Ｃ．１２Ｄ．１解析：因为ｆ（ｘ）为偶函数，则ｆ（１）＝ｆ（－１），ʑ（１＋ａ）ｌｎ１３＝（－１＋ａ）ｌｎ３，解得ａ＝０，当ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１，（２ｘ－１）（２ｘ＋１）＞０，解得ｘ＞１２或ｘ＜－１２，则定义域为ｘｘ＞１２或ｘ＜－１２{}，关于原点对称．又因为ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）ｌｎ２（－ｘ）－１２（－ｘ）＋１＝（－ｘ）ｌｎ２ｘ＋１２ｘ－１＝（－ｘ）ｌｎ（２ｘ－１２ｘ＋１）－１＝ｘｌｎ２ｘ－１２ｘ＋１＝ｆ（ｘ），故此时ｆ（ｘ）为偶函数．故选：Ｂ．评注：本题考查了函数的奇偶性：已知函数的奇偶性，求参数的值，常规题型．如果直接利用偶函数的定义ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）来求解，计算量比较大．采用特殊值代入先求出参数值ａ，再回代ａ，用定义去验证函数ｆ（ｘ）为偶函数，这样的处理技巧可以大大减少计算量．变式２．（１）函数ｆ（ｘ）图像如下图所示，则ｆ（ｘ）的解析式可能为（㊀㊀）Ａ．５（ｅｘ－ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｂ．５ｓｉｎｘｘ２＋１Ｃ．５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２Ｄ．５ｃｏｓｘｘ２＋１解析：由图知：函数图像关于ｙ轴对称，其为偶函数，而Ａ㊁Ｂ中函数为奇函数，排除；当ｘ＞０时，５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２＞０，即５（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｘ２＋２中（０，＋ɕ）上函数值为正，排除Ｃ；故选：Ｄ（２）若ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()为偶函数，则ａ＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为ｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｓｉｎｘ＋π２()＝（ｘ－１）２＋ａｘ＋ｃｏｓｘ为偶函数，定义域为Ｒ，所以ｆ－π２()＝ｆπ２()，即－π２－１()２－π２ａ＋ｃｏｓ－π２()＝π２－１()２＋π２ａ＋ｃｏｓπ２，则πａ＝π２＋１()２－π２－１()２＝２π，故ａ＝２，此时ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋２ｘ＋ｃｏｓｘ＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ，所以ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）２＋１＋ｃｏｓ（－ｘ）＝ｘ２＋１＋ｃｏｓｘ＝ｆ（ｘ），又因为定义域为Ｒ，故ｆ（ｘ）为偶函数，所以ａ＝２．故答案为：２．三㊁函数对称性的判断与应用判断函数对称性的常用方法是定义法，其代数表达形式有多种类型，我们要理解其本质，对于题目给出的关系式，有时候需要通过代数变形才能识别出其对称轴或对称中心．若函数具有两种对称性，则该函数是周期函数，如对于任意的实数ｘ，函数ｆ（ｘ）同时满足ｆ（ａ－ｘ）＝ｆ（ａ＋ｘ），ｆ（２ａ－ｘ）＝ｆ（２ａ＋ｘ），则函数ｆ（ｘ）是以Ｔ＝２ａ为周期的周期函数，且是偶函数，所以对称性和周期性也会经常结合在一起考查．例３．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，且ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７．若ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝４，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－２１Ｂ．－２２Ｃ．－２３Ｄ．－２４解析：因为ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２－ｘ）＝ｇ（ｘ＋２），因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ－２）＝７，即ｇ（ｘ＋２）＝７＋ｆ（ｘ－２），因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，代入得ｆ（ｘ）＋［７＋ｆ（ｘ－２）］＝５，即ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ－２）＝－２，所以ｆ（３）＋ｆ（５）＋＋ｆ（２１）＝（－２）ˑ５＝－１０，ｆ（４）＋ｆ（６）＋＋ｆ（２２）＝（－２）ˑ５＝－１０．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，所以ｆ（０）＋ｇ（２）＝５，即ｆ（０）＝１，所以ｆ（２）＝－２－ｆ（０）＝－３．因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７，所以ｇ（ｘ＋４）－ｆ（ｘ）＝７，又因为ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，联立得ｇ（２－ｘ）＋ｇ（ｘ＋４）＝１２，所以ｙ＝ｇ（ｘ）的图像关4㊀于点（３，６）中心对称，因为函数ｇ（ｘ）的定义域为Ｒ，所以ｇ（３）＝６．因为ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ＋２）＝５，所以ｆ（１）＝５－ｇ（３）＝－１．所以ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋［ｆ（３）＋ｆ（５）＋＋ｆ（２１）］＋［ｆ（４）＋ｆ（６）＋＋ｆ（２２）］＝－１－３－１０－１０＝－２４．故选Ｄ．评注：本题主要考查了抽象函数的对称性，需要充分理解并掌握对称性的定义和性质，对函数关系式多次变形转化，难度较大．本题难点在于对条件ｆ（ｘ）＋ｇ（２－ｘ）＝５，ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ－４）＝７的灵活应用．一是对ｘ进行赋值，根据需要进行合理的赋值才能得到想要的结果；二是对ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）关系的转化，根据ｇ（ｘ）的性质进行赋值后消去ｇ（ｘ）得到只有ｆ（ｘ）的关系式，从而得到ｆ（ｘ）的性质，再次赋值消去ｆ（ｘ）得到只有ｇ（ｘ）的关系式，从而得到ｇ（ｘ）的性质．变式３．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德㊃黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在［０，１］上，其解析式如下：Ｒ（ｘ）＝１ｐ，ｘ＝ｑｐ（ｐ，ｑ互质，ｐ＞ｑ）０，ｘ＝０㊁１或［０，１］上的无理数{，定义在实数集上的函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ），ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４），且函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，ｇ（２）＝２，当ｘɪ（０，１）时，ｆ（ｘ）＝Ｒ（ｘ），则ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：因为函数ｇ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝２对称，所以ｇ（２＋ｘ）＝ｇ（２－ｘ）由ｆ（－ｘ）＝５－ｇ（２＋ｘ）得ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），所以ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为偶函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得：ｇ（２－ｘ）＝９＋ｆ（－ｘ－２）＝９＋ｆ（ｘ＋２），代入ｆ（ｘ）＝５－ｇ（２－ｘ），得ｆ（ｘ）＝－４－ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４，所以ｆ（ｘ＋２）＋ｆ（ｘ＋４）＝－４，所以ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋４），所以ｆ（ｘ）是以４为周期的函数，由ｇ（ｘ）＝９＋ｆ（ｘ－４）得ｇ（２）＝９＋ｆ（－２）＝２，所以ｆ（－２）＝－７，即ｆ（２）＝－７，由ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ＋２）＝－４得ｆ－７６()＋ｆ－７６＋２()＝－４，所以ｆ－７６()＋ｆ５６()＝－４，即ｆ－７６()＋Ｒ５６()＝－４，所以ｆ－７６()＋１６＝－４，所以ｆ－７６()＝－４－１６，ｆ（２０２２）＋ｆ－２０２３６()＝ｆ（４ˑ５０５＋２）＋ｆ－４ˑ８４－７６()＝ｆ（２）＋ｆ－７６()＝－７－４－１６＝－６７６，故答案为：－６７６．四㊁函数周期性的判断与应用判断函数周期性的常用方法是定义法，即若函数满足ｆ（ｘʃＴ）＝ｆ（ｘ）（Ｔʂ０），则ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ，ＫＴ（ｋɪＺ）也是函数周期．还有一些常见的周期性的表达式，也需要我们熟悉，如ｆ（ｘ＋ａ）＝－ｆ（ｘ）⇔ｙ＝ｆ（ｘ）的周期为Ｔ＝２ａ．周期性的表达式和对称性的表达式很相似，特别是综合考查对称性和周期性的题目，要加以区分．例４．函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）（ｘɪＲ），且在区间（－２，２］上，ｆ（ｘ）＝ｃｏｓπｘ２，０＜ｘɤ１ｘ＋１２，－２＜ｘɤ０■■■|||则ｆ（ｆ（１５））的值为㊀㊀㊀㊀㊀．解析：由ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）得函数ｆ（ｘ）的周期为４，所以ｆ（１５）＝ｆ（１６－１）＝ｆ（－１）＝－１＋１２＝１２，因此ｆ（ｆ（１５））＝ｆ１２()＝ｃｏｓπ４＝２２．评注：本题主要考查了函数的周期性以及分段函数的求值问题，利用周期性把未知函数关系式区间上的函数值转化为已知关系式的区间上求解．本题还涉及到两层函数复合的求值问题，要从里往外层层求解，难度不大，但计算要细心．变式４．（１）已知函数ｆ（ｘ）周期为１，且当０＜ｘɤ１，ｆ（ｘ）＝－ｌｏｇ２ｘ，则ｆ３２()＝㊀㊀㊀㊀㊀．解析：ｆ３２()＝ｆ１２()＝－ｌｏｇ２１２＝１．（２）（２０２２年新高考全国Ⅱ卷㊃第８题）已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ），ｆ（１）＝１，则ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝（㊀㊀）Ａ．－３Ｂ．－２Ｃ．０Ｄ．１解析：令ｙ＝１得ｆ（ｘ＋１）＋ｆ（ｘ－１）＝ｆ（ｘ）㊃ｆ（１）＝ｆ（ｘ）⇒ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－１），故ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ＋１）－ｆ（ｘ），ｆ（ｘ＋３）＝ｆ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ＋１），消去ｆ（ｘ＋２）和ｆ（ｘ＋１）得：ｆ（ｘ＋３）＝－ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）周期为６；令ｘ＝１，ｙ＝０得ｆ（１）＋ｆ（１）＝ｆ（１）㊃ｆ（０）⇒ｆ（０）＝２，ｆ（２）＝ｆ（１）－ｆ（０）＝１－２＝－１，ｆ（３）＝ｆ（２）－ｆ（１）＝－１－１＝－２，ｆ（４）＝ｆ（３）－ｆ（２）＝－２－（－１）＝－１，ｆ（５）＝ｆ（４）－ｆ（３）＝－１－（－２）＝１，ｆ（６）＝ｆ（５）－ｆ（４）＝１－（－１）＝２，故ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝３［ｆ（１）＋ｆ（２）＋＋ｆ（６）］＋ｆ（１９）＋ｆ（２０）＋ｆ（２１）＋ｆ（２２）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝１＋（－１）＋（－２）＋（－１）＝－３，即ð２２ｋ＝１ｆ（ｋ）＝－３．故选：Ａ．五㊁函数性质的综合应用高考中也会把函数的各种性质综合在一起考查，我们要掌握各种性质之间的联系和区别，才能明确解题的方向和思路．例５．（１）设ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的偶函数，且在（０，5㊀＋ɕ）单调递减，则（㊀㊀）Ａ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）Ｂ．ｆ（ｌｏｇ３１４）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）Ｃ．ｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）Ｄ．ｆ（２－２３）＞ｆ（２－３２）＞ｆ（ｌｏｇ３１４）解析：ȵｆ（ｘ）是Ｒ上的偶函数，ʑｆ（ｌｏｇ３１４）＝ｆ（－ｌｏｇ３４）＝ｆ（ｌｏｇ３４）．ʑｌｏｇ３４＞１＝２０＞２－２３＞２－３２＞０，又ｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递减，ｆ（ｌｏｇ３４）＜ｆ（２－２３）＜ｆ（２－３２），ʑｆ（２－３２）＞ｆ（２－２３）＞ｆ（ｌｏｇ３１４），故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小．首先根据函数的奇偶性，把所有函数值的自变量转化到同一单调区间上，再结合区间的单调性来比较函数值的大小．利用函数的奇偶性和单调性去比较大小㊁解函数不等式是常见题型．（２）（２０１８年高考数学课标Ⅱ卷（理）㊃第１１题）已知ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ）．若ｆ（１）＝２，则ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋＋ｆ（５０）＝（㊀㊀）Ａ．－５０Ｂ．０Ｃ．２Ｄ．５０解析：因为ｆ（ｘ）是定义域为（－ɕ，＋ɕ）的奇函数，且满足ｆ（１－ｘ）＝ｆ（１＋ｘ），所以ｆ（１－（ｘ＋１））＝ｆ（１＋（ｘ＋１）），即ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），所以ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ＋２），ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ），因此ｆ（ｘ）是周期函数且Ｔ＝４．又ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋＋ｆ（５０）＝１２［ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）］＋ｆ（１）＋ｆ（２），且ｆ（２）＝ｆ（１＋１）＝ｆ（１－１）＝ｆ（０）＝０，ｆ（３）＝ｆ（－１）＝－ｆ（１）＝－２，ｆ（４）＝ｆ（０）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＝０，所以ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋＋ｆ（５０）＝ｆ（１）＋ｆ（２）＝２，故选Ｃ．评注：本题主要考查了抽象函数的奇偶性和周期性．根据题目条件知函数ｆ（ｘ）为奇函数且关于点（１，０）对称．具有两种对称性的函数可推出周期性，对于小题，可用二级结论一轴一心差４倍推出周期为４ˑ｜０－１｜＝４，把求和ð５０ｋ＝１ｆ（１）转化为求一个周期内的函数值的和，简便计算．对于综合考查对称性㊁奇偶性和周期性的题目，熟悉一些常用的二级结论，可提高解题效率．变式５．（１）（２０１７年高考数学新课标Ⅰ卷理科㊃第５题）函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，且为奇函数．若ｆ（１）＝－１，则满足－１ɤｆ（ｘ－２）ɤ１的ｘ的取值范围是（㊀㊀）Ａ．［－２，２］Ｂ．［－１，１］Ｃ．［０，４］Ｄ．［１，３］解析：因为ｆ（ｘ）为奇函数且在（－ɕ，＋ɕ）上单调递减，要使－１ɤｆ（ｘ）ɤ１成立，则ｘ满足－１ɤｘɤ１，所以由－１ɤｘ－２ɤ１得１ɤｘɤ３，故选：Ｄ．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则正确的是（㊀㊀）Ａ．ｆ（２０２２）＝１Ｂ．当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］Ｃ．ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数Ｄ．方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解解析：因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），所以函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称；则ｆ（－ｘ）＝ｆ（２＋ｘ），又ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），所以ｆ（２＋ｘ）＝－ｆ（ｘ－２），则ｆ（４＋ｘ）＝－ｆ（ｘ），则ｆ（ｘ＋８）＝－ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），则函数ｆ（ｘ）的周期为８，因为ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），令ｘ＝０，则ｆ（２）＝ｆ（０），因为当ｘɪ（－１，１］时，ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋１，则ｆ（０）＝１，ｆ（２０２２）＝ｆ（２５２ˑ８＋６）＝ｆ（６）＝－ｆ（２）＝－１，故Ａ错误；当４ɤｘɤ５时，０ɤｘ－４ɤ１，有０ɤｆ（ｘ－４）ɤ１，则ｆ（ｘ）＝－ｆ（ｘ－４）ɪ［－１，０］，当５ɤｘɤ６时，－４ɤ２－ｘɤ－３，０ɤ（２－ｘ）＋４ɤ１，有０ɤｆ［（２－ｘ）＋４］ɤ１，ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ）＝－ｆ［（２－ｘ）＋４］ɪ［－１，０］，当ｘɪ［４，６］时，ｆ（ｘ）的取值范围为［－１，０］，故Ｂ正确；ｆ（－ｘ＋３）＝－ｆ（－ｘ－１）＝－ｆ（２－（－ｘ－１））＝－ｆ（ｘ＋３），所以ｙ＝ｆ（ｘ＋３）为奇函数，故Ｃ正确．由函数ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称以及关于（－１，０）对称，且周期为８，画出函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像，在同一坐标平面内也作出函数ｙ＝ｌｇ（ｘ＋１）的图像如下：因为ｌｇ（８＋１）＜１，ｌｇ（１０＋１）＞１，可以看出两个函数的图像有５个交点，所以方程ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋１）仅有５个不同实数解，故Ｄ正确．故选：ＢＣＤ．高考主要以二次函数㊁指数函数㊁对数函数㊁幂函数以及三角函数等基本初等函数作为载体来考查函数的性质，主要有比较大小㊁求值㊁判断函数图像㊁解不等式㊁求参数等问题类型，题目以选择题和填空题为主，难度以偏易㊁中等为主．熟悉函数的常见性质，以及一些二级结论，可以提高解题的效率．。

函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学

函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立，即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。

本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。

函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。

二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。

在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。

值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。

同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。

三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。

四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。

函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。

函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。

五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

高一函数有哪些应用知识点

高一函数有哪些应用知识点函数作为数学的重要概念之一，其应用广泛而深入。

在高一的学习中，函数作为数学课程的重点内容之一，不仅有理论性的学习，还有具体的应用知识点。

接下来，我们就来探讨一下高一函数中的一些常见应用知识点。

一、函数与数据的关系在实际生活中，我们经常会遇到各种数据的分析和处理问题，而函数作为数学工具，可以用来描述和分析数据之间的关系。

通过观察数据的变化趋势，可以建立对应的函数关系，从而更好地理解和解释数据。

这一知识点在高中数学中被广泛应用，如统计学中的回归分析，经济学中的需求曲线分析等。

二、函数与图像的关系函数与图像密不可分，通过分析函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和变化规律。

在高一的数学课程中，函数图像是一个重要的学习内容。

我们需要学会通过函数关系来确定图像的形状、特点和变化趋势。

通过观察函数图像，我们可以了解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。

这些知识点在物理、化学等应用领域中非常重要，如物体的运动轨迹分析、化学反应速率等问题。

三、函数与方程的关系函数与方程密切相关，通过函数关系可以建立对应的方程，从而解决各种实际问题。

在高一的数学学习中，函数方程是一个重要的知识点。

我们需要学会根据实际问题建立函数方程，并通过求解方程来解决问题。

这一应用知识点在物理学、几何学等领域中被广泛应用，如物体的运动方程、几何图形的方程等。

四、函数与最值的问题函数的最值问题是高一数学学习中的一个重要内容。

通过求解函数的最值，我们可以确定函数的最大值、最小值，进而解决各种实际问题。

这一应用知识点在经济学、管理学等领域中被广泛应用，如成本函数的最小化问题、收益函数的最大化问题等。

五、函数与导数的关系导数作为函数的重要工具，可以帮助我们分析函数的变化率和极值情况。

在高一的数学学习中，导数是一个重要的知识点。

我们需要学会通过求导来确定函数的变化率，并通过求解导数方程来确定函数的极值问题。

这一知识点在物理学、经济学等领域中非常重要，如物体的速度、加速度分析、边际效应分析等。

高一数学教案函数的基本概念与性质

高一数学教案函数的基本概念与性质高一数学教案：函数的基本概念与性质一、引言在数学中，函数是一种非常重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。

理解函数的基本概念以及了解其性质对于学好数学来说至关重要。

本教案将详细介绍函数的基本概念与性质，帮助学生更好地理解和应用函数。

二、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一一个元素。

数学上常用符号表示函数：设有两个集合A和B，如果对于集合A中的每个元素x，都存在集合B中的唯一一个元素y与之对应，那么我们就称之为函数。

表示函数的常用符号为：f：A→B，其中A为定义域，B为值域。

三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能输入的集合，而值域是指函数映射到的所有可能输出的集合。

2. 一一对应性：如果一个函数的定义域中的每个元素都与值域中的唯一一个元素对应，那么我们称此函数为一一对应函数。

3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数在对称轴下的性质。

若对于函数f(x)，有f(-x) = f(x) ，则函数为偶函数；若对于函数f(x)，有f(-x) = -f(x) ，则函数为奇函数。

4. 单调性：函数的单调性是指函数随着自变量的增大或减小而变化的趋势。

分为增函数和减函数两种。

5. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意的x属于定义域，都有f(x+T)=f(x)，那么函数就具有周期性。

四、函数的图像与性质的关系函数的性质可以通过函数的图像来展现。

图像上的每个点(x, y)都对应着函数中的一个元素。

通过观察图像，我们可以得出函数的某些性质。

1. 定义域和值域：图像上的横坐标范围即为函数的定义域，纵坐标范围即为函数的值域。

2. 一一对应性：如果图像上的每个点都位于直线y=x上，那么函数就是一一对应函数。

3. 奇偶性：如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果图像关于原点对称，则函数为奇函数。

4. 单调性：如果图像从左到右是递增的，则函数为增函数；如果图像从左到右是递减的，则函数为减函数。

高一数学函数的应用

解：这个函数的定义域为{1，2，
3，4}，函数的解析式为y=5x
20 y/元
（ x∈{1，2，3，4} ），它的图 15
像由4个孤立点组成，如图所示， 10
这些点的坐标分别是（1，5）， 5
（2，10），（3，15），（4，20）。Biblioteka 0x/个 123 45
导入新课
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？
；美国夏校 https:///summer-school
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上下功夫。口福和眼福俱饱矣，耳福呢？无一座城市致力于“音容”，无一处居所以“寂静”命名。我们几乎满足了肉体所有部位，唯独冷遇了耳朵。甚至连冷遇都不算，是折磨，是羞辱。做一只现代耳朵真的太不幸了，古人枉造了“悦耳”一词，实在对不住，我们更多的是“虐耳”。有个说法叫“花开的声音”，一直，我当作一个比喻和诗意幻觉，直到遇一画家，她说从前在老家，中国最东北的荒野，夏天暴雨后，她去坡上挖野菜，总能听见苕树梅绽放的声音，四下里噼啪响 “苕树梅”，我家旁的园子里就有，红、粉、白，水汪汪、亮盈盈，一盏盏，像玻璃纸剪出的小太阳。我深信她没听错，那不是幻听和诗心的矫造，我深信那片野地的静、那个年代的静，还有少女耳膜的清澈她有聆听物语的天赋，她有幅画，《你能让满山花开我就来》，那绝对是一种通灵境界我深信，一个野菜喂大的孩子，大自然向她敞开得就多。我们听不见，或难以置信，是因为失聪日久，被磨出了茧子。是的，你必须承认，世界已把寂静这大自然的“原配”，给弄丢了。是的，你必须承认，耳朵失去了最伟大的爱情。我听不见花开的声

高一数学函数知识点归纳总结

高一数学函数知识点归纳总结一、函数的基本概念函数的定义：对于两个非空数集A和B，如果存在某种对应关系f，使得A中的每一个元素x都能在B中找到唯一的元素y与之对应，则称f是从A到B的函数，记作y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。

函数的定义域：函数y=f(x)中，自变量x的取值范围称为函数的定义域。

函数的值域：函数y=f(x)在定义域内所有函数值的集合称为函数的值域。

二、函数的性质单调性：如果对于定义域内的任意两个数x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在定义域内单调递增或单调递减。

奇偶性：如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于定义域内的任意x（且x≠0），都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)具有周期性，T为函数的周期。

三、基本初等函数幂函数：形如y=x^a（a为实数）的函数称为幂函数。

指数函数：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。

对数函数：如果a^x=N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_aN。

函数y=log_ax（a>0，且a≠1）叫做对数函数。

三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们与角度和弧度有关。

四、函数的应用函数模型的应用：通过建立函数模型来解决实际问题，如最优化问题、增长率问题等。

函数图像的应用：通过观察和分析函数的图像来理解函数的性质和行为，从而解决相关问题。

以上是高一数学函数的主要知识点总结。

在学习过程中，应注重理解和掌握这些基本概念和性质，并通过练习和应用来加深对知识点的理解和记忆。

高一数学必修一知识点函数的性质

高一数学必修一知识点函数的性质函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数.区间d称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上所的任意两个自变量的值x1，x2，当x1注意：类型函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个函数技术指标是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，攀升减函数的图象从左到右是上升的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；2 作差f(x1)－f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性并不相同，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间是其定义域的子区间 ,不能把性相同的区间和在一起写成其并集.8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的三维空间一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的三维空间一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征非负值的图象关于y轴对称；奇函数的图形关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的有理数，并判断可逆其是否关于原点对称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于圆心对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域关于原点对称，若不对称则可被视为函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象定性 . 9、函数的解析变量（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10．函数（小）值（定义见课本p36页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的（小）值2 利用图画求函数的（小）值3 利用函数单调评断性的来判断函数的（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上才单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上乏味递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；</x2；/x2></x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数.区间d称为y=f(x)的单调增区间.。

高一数学函数的应用知识点

高一数学函数的应用知识点数学是一门抽象而又具体的学科，而函数则是数学中的一个重要概念。

在高一学习数学时，函数的应用是必不可少的一部分。

通过函数的应用，我们可以解决现实生活中的实际问题，也可以更好地理解数学的抽象概念。

本文将重点介绍高一数学函数的应用知识点，并探讨它们的实际应用。

1. 直线方程和函数直线是我们生活中最常见的几何形状之一。

在高一数学中，我们会学习直线的方程和性质，以及如何使用直线方程解决问题。

直线方程一般是以函数的形式表示，即y = kx + b。

这里，k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的交点。

通过直线方程，我们可以计算一个点的坐标，或者判断两条直线的位置关系，甚至可以用直线方程来表示实际问题中的变化规律。

例如，我们可以利用直线方程解决汽车行驶问题。

假设一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，那么可以根据直线方程y = 60x，计算车辆行驶t小时后的位置坐标(y, x)。

2. 复利函数复利是金融领域中一个重要的概念。

复利函数描述了一笔贷款或投资在一段时间内的增长情况。

复利函数的一般形式是A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A表示最终的金额，P表示初始金额，r表示年利率，n表示每年的复利次数，t表示时间。

通过复利函数，我们可以计算贷款或投资在未来的价值，也可以比较不同贷款或投资方案的优劣。

例如，假设你计划投资一笔资金，可以通过复利函数计算每年的收益，以帮助你做出最优的投资决策。

3. 幂函数幂函数也是高一数学中的一个重要知识点。

幂函数的一般形式是y = ax^b，其中a和b是常数，x是自变量。

幂函数描述了自变量和因变量之间的指数关系。

通过幂函数，我们可以研究各种增长或衰减问题，例如人口增长、细胞分裂等。

幂函数的特点是当b>1时，自变量的增加对应着因变量的急剧增加；当0<b<1时，自变量的增加对应着因变量的缓慢增加。

举个例子，假设某公司的年利润与年销售额之间存在一种幂函数关系，可以通过幂函数来预测公司未来的盈利情况。

高一数学上册知识点整理

高一数学上册知识点整理（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高一数学知识点大全电子版

高一数学知识点大全电子版一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数的概念、函数的定义域和值域、函数的图像及性质等。

2. 一次函数一次函数的概念、一次函数的图像、一次函数的性质与应用。

3. 二次函数二次函数的定义、二次函数的图像、二次函数的性质与应用。

4. 指数函数与对数函数指数函数的概念、指数函数的图像、指数函数的性质与应用。

对数函数的概念、对数函数的图像、对数函数的性质与应用。

5. 幂函数与反比例函数幂函数的概念、幂函数的图像、幂函数的性质与应用。

反比例函数的概念、反比例函数的图像、反比例函数的性质与应用。

6. 复合函数与反函数复合函数的概念、复合函数的性质与应用。

反函数的概念、反函数的性质与应用。

7. 解方程与不等式一元一次方程与一元一次不等式的解法与应用。

一元二次方程与一元二次不等式的解法与应用。

8. 线性方程组与矩阵线性方程组的解法与应用。

矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵方程与矩阵的应用。

二、几何与向量1. 平面几何基础点、线、面等基本概念与性质。

相交、平行、垂直、共面等关系与判定方法。

2. 三角形与相似三角形的性质与分类。

三角形的相似与全等。

三角形的内角与外角性质。

3. 圆与圆周角圆的基本概念与性质。

弧长、扇形面积与圆心角。

4. 向量与向量运算向量的概念、向量的运算。

向量的共线、垂直、平行性质与判定方法。

5. 平面向量的应用向量的数量积与夹角。

向量的投影与点乘。

6. 平面与空间几何平面的方程与判定方法。

直线的方程与判定方法。

空间中直线与平面的位置关系与判定方法。

7. 三视图与投影三视图的概念与应用。

正交投影的概念与应用。

斜投影的概念与应用。

三、概率与统计1. 随机事件与概率随机事件的概念与性质。

概率的定义、计算与应用。

2. 随机变量与概率分布随机变量的概念与性质。

离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。

3. 统计与样本调查统计的基本概念与性质。

样本调查的方法与误差分析。

4. 参数估计与假设检验总体与样本的概念与关系。

高一数学必修一中的函数应用与实际问题解决

高一数学必修一中的函数应用与实际问题解决在我们高一数学必修一的学习中，函数这一概念占据着至关重要的地位。

它不仅仅是抽象的数学符号和公式，更是与我们的实际生活紧密相连，能够帮助我们解决许多现实中的问题。

函数，简单来说，就是两个变量之间的一种对应关系。

比如，我们去超市买苹果，苹果的单价是固定的，购买的数量和总价之间就存在着函数关系。

数量越多，总价就越高。

这种关系用数学语言表达出来，就是一个函数。

在实际问题解决中，函数有着广泛的应用。

让我们先来看一个常见的行程问题。

假设一辆汽车以恒定的速度行驶，速度为 v，行驶的时间为 t，那么行驶的路程 s 就可以表示为 s ＝ vt 。

这里，路程 s 就是时间t 的函数。

如果我们知道了汽车的速度和行驶的时间，就能很容易地算出行驶的路程。

再比如，成本和利润的计算也离不开函数。

假设一个工厂生产某种产品，每件产品的成本是固定的，生产的数量为 x，总成本为 C ，那么 C ＝ mx ＋ b （其中 m 是每件产品的成本， b 是固定成本）。

而产品的销售价格为 p ，销售收入为 R ＝ px 。

利润就是销售收入减去总成本，即 L ＝ R C 。

通过这样的函数关系，厂家可以根据市场需求和成本情况，合理安排生产数量，以实现利润的最大化。

还有一个与我们生活息息相关的例子——水电费的计算。

在一些地区，水电费的收费标准是分段计费的。

比如，用水量在一定范围内，每吨水的价格是 a 元；超过这个范围，每吨水的价格可能就变成了 b 元。

设用水量为 x 吨，水费为 y 元，那么水费 y 就是用水量 x 的分段函数。

我们可以根据这样的函数关系，合理控制用水量，节省开支。

那么，如何运用函数来解决这些实际问题呢？首先，我们要认真分析问题，找出其中的变量和它们之间的关系。

然后，根据已知条件，建立合适的函数模型。

接下来，运用所学的函数知识，如函数的性质、图像等，对问题进行求解。

在建立函数模型时，我们要注意模型的合理性和准确性。

高一函数的概念与性质

高一函数的概念与性质高一数学中，函数是一种重要的数学概念，也是解决实际问题的重要工具。

理解函数的概念和性质对于学生学好高中数学非常关键。

本文将详细介绍函数的概念与性质。

一、函数的概念函数是自变量与因变量之间的一种对应关系。

具体来说，设有两个非空数集合A和B,若对于集合A中的每个元素，集合B中都有对应的唯一元素与之对应，则称这种对应关系为函数，记作y=f(x),其中x是自变量，y是因变量。

例如，设A={1,2,3}，B={2,4,6}，若设f(x)=2x，则可以得到以下对应关系：x，123f(x)，246这种对应关系满足每个自变量都对应着唯一的因变量，因此可以称之为函数。

函数还可以通过图象来表示。

函数的图象是平面直角坐标系上的一条曲线，其中自变量x的取值范围对应着横轴，因变量y的取值范围对应着纵轴。

函数的图象有助于我们更直观地理解函数的性质。

二、函数的性质1.定义域和值域函数的定义域是指自变量x可以取的值的集合。

在函数的定义域内，函数是有意义的。

如果一个值不在函数的定义域内，将没有对应的函数值。

函数的值域是函数在定义域内所有可能的函数值的集合。

它是因变量的取值范围。

2.单调性与增减性函数可以具有单调递增性或单调递减性。

函数f(x)是单调递增的，当且仅当对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)。

函数f(x)是单调递减的，当且仅当对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)。

若函数在定义域的每一段上都是单调递增或单调递减的，则称该函数为增函数或减函数。

3.奇偶性函数的奇偶性是指函数图象关于坐标系的一些特点的对称性。

一个函数f(x)是奇函数，当且仅当f(-x)=-f(x)，即函数图象关于原点对称。

一个函数f(x)是偶函数，当且仅当f(-x)=f(x)，即函数图象关于y轴对称。

4.周期性函数的周期性是指函数图象具有其中一种重复性质，即函数值在一定范围内以其中一数值为间隔重复出现。

高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结

高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结一、内容描述高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结涵盖了高中阶段关于函数基础概念及其性质的核心内容。

文章首先介绍了函数的基本概念，包括函数的定义、表示方法以及函数的性质等。

文章详细阐述了函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性以及复合函数的性质等。

文章还介绍了函数图像的画法及其与性质之间的关系，以及如何利用函数性质解决实际问题。

文章总结了函数在数学学习中的重要性，强调掌握函数概念与性质对于后续数学学习的基础作用。

通过本文的学习，学生可以更好地理解和掌握函数知识，为后续数学学习打下坚实的基础。

1. 简述函数概念的重要性函数是描述自然现象和规律的重要工具。

在物理、化学、生物等自然学科中，许多现象的变化过程都可以通过函数关系进行描述。

物理学中的运动规律、化学中的化学反应速率与浓度的关系等，都需要借助函数概念进行建模和分析。

函数是数学体系中的核心和基础。

函数连接了代数、几何、三角学等多个分支，是数学知识和方法综合运用的基础。

对函数概念的深入理解，有助于我们更好地理解和掌握数学的其它分支和领域。

函数也是解决实际问题的重要工具。

在现实生活中，很多问题的解决都需要建立数学模型，而函数作为构建数学模型的基本元素之一，能够帮助我们准确地描述问题并找到解决方案。

在经济学、统计学、工程学等领域，函数的运用非常广泛。

函数概念的重要性不言而喻。

高一学生在学习数学时，应深入理解函数的概念，掌握其性质和特点，为后续学习和解决实际问题打下坚实的基础。

2. 引出本文目的：总结函数的概念与性质本文旨在系统梳理和归纳高一数学必修一课程中函数的核心概念与基本性质。

函数是数学中的核心概念之一，具有广泛的应用领域。

在高中阶段，学生需要深入理解函数的基础定义、性质和图像特征，为后续学习奠定坚实基础。

本文的目的在于帮助学生全面总结函数的相关知识点，加深对函数概念与性质的理解，以便更好地掌握和应用函数这一重要的数学工具。

高一数学函数的概念与性质的优秀教案范本

高一数学函数的概念与性质的优秀教案范本一、教学目标1. 理解函数的定义及其相关概念。

2. 掌握函数的性质，包括定义域、值域、单调性等。

3. 能够应用函数的性质解决实际问题。

4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 函数的定义及相关概念的理解与运用。

2. 函数性质的整体把握及灵活应用。

三、教学准备1. 教师准备：教案、白板、彩色粉笔、课件等。

2. 学生准备：教材、笔记、习题等。

四、教学过程【导入】1. 通过展示一个某商品的价格与着装人数的关系图，引导学生思考这两种量的关系如何表示。

2. 引导学生回忆什么是映射，然后引入函数的概念。

【概念讲解】1. 函数的定义：函数是一个集合，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

2. 函数的符号表示：y = f(x)，其中 y 是函数值，x 是自变量。

3. 自变量和因变量的概念解析。

4. 定义域和值域的概念及意义。

【性质讲解】1. 单调性：定义以及单调递增和单调递减的概念。

2. 奇偶性：定义以及奇函数和偶函数的概念。

3. 周期性：定义以及周期函数的概念。

4. 映射图和函数图像的关系。

5. 函数的有界性。

6. 线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等特殊函数的性质介绍。

【例题演练】1. 针对不同的函数性质，设计一些例题进行演练，以巩固学生对函数性质的理解与掌握。

2. 着重培养学生运用性质解决实际问题的能力。

【拓展应用】1. 设计一些拓展问题，让学生能够在新的情境中应用所学的函数性质解决问题。

2. 鼓励学生自行思考、探索，并与同学分享自己的思路和方法。

【归纳总结】1. 学生归纳总结函数的定义及其性质。

2. 教师对学生的总结进行点评和补充。

【学生练习】1. 让学生完成课堂练习题，巩固所学的概念与性质。

2. 对学生的答题进行批改和讲解。

五、课堂小结本节课我们学习了函数的基本概念和性质，包括定义域、值域、单调性等。

通过运用所学的知识解决实际问题，培养了学生的数学思维和解决问题的能力。

高一数学函数性质归纳总结

高一数学函数性质归纳总结在高一数学学习中，函数是一个非常重要的概念。

函数性质是我们在研究和解决问题时需要掌握和运用的一部分内容。

在本文中，我将对高一数学函数性质进行归纳总结，帮助大家更好地理解和应用函数性质。

一、函数的定义和性质回顾函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数的定义由定义域、值域和对应关系三部分组成。

其中，定义域是所有输入值的集合，值域是所有输出值的集合，对应关系描述了输入和输出值之间的关联。

函数性质是对函数特点的总结和归纳，我们常用的函数性质有：1. 单调性：函数在定义域上单调递增或单调递减。

2. 奇偶性：奇函数满足 f(-x) = -f(x)，偶函数满足 f(-x) = f(x)。

3. 周期性：函数在一定范围内满足 f(x + T) = f(x)，其中 T 为函数的周期。

4. 奇偶性：奇函数满足 f(-x) = -f(x)，偶函数满足 f(-x) = f(x)。

5. 单射性：函数满足不同的输入对应不同的输出。

6. 满射性：函数满足每个输出都至少有一个对应的输入。

7. 反函数：函数 f 和 g 互为反函数，当且仅当 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x。

二、函数性质的应用举例1. 单调性函数的单调性判断是我们常用的一种方法。

对于定义域上的函数f(x)，如果在该定义域内 f'(x) > 0，则函数 f(x) 是单调递增的；如果在该定义域内 f'(x) < 0，则函数 f(x) 是单调递减的。

2. 奇偶性奇偶函数的特点在数学建模和问题求解中具有重要意义。

奇函数和偶函数可以通过观察函数表达式的对称性来判断。

例如，当函数满足f(-x) = -f(x) 时，我们可以判断它是奇函数；当函数满足f(-x) = f(x) 时，我们可以判断它是偶函数。

3. 周期性周期函数是在一定范围内具有重复性的函数。

我们通过观察函数图像的周期性或者利用函数表达式中的参数来判断函数是否具有周期性。

函数的应用高一知识点总结

函数的应用高一知识点总结函数在数学上是一个对应关系，在编程中，函数是封装了某个功能的代码块。

它可以重复调用，提高代码的可复用性。

在高中数学和编程课程中，函数是一个非常重要的知识点。

下面将从数学和编程两个角度对函数的应用进行总结。

一、数学中的函数1. 函数的定义在数学中，函数是两个集合之间的一种特殊关系。

当一个元素与另一个元素之间有唯一的对应关系时，就可以说这种关系是一个函数。

通常表示为：对于任意的x，都存在唯一的y与之对应。

在这个定义中，x称为自变量，y称为因变量。

2. 函数的图像函数的图像是自变量与因变量之间关系的几何表示。

通常用坐标轴上的点来表示函数的图像。

对于一元函数，可以用平面直角坐标系来表示函数的图像。

对于二元函数，可以用空间直角坐标系来表示函数的图像。

3. 函数的性质函数有很多性质，例如定义域、值域、增减性、奇偶性、周期性等。

这些函数的性质可以帮助我们更深入地了解函数的特点和行为。

4. 函数的应用函数在数学中有很多应用，例如描述物体的运动、表示经济模型、解决实际问题等。

二、编程中的函数1. 函数的定义在编程中，函数是一段封装了特定功能的代码块。

函数可以接收输入参数，进行特定操作，然后返回结果。

函数的定义通常包括函数名、参数列表、函数体和返回值。

通过调用函数，我们可以在程序中重复使用相同的功能。

2. 函数的调用函数的调用是指在程序中使用已定义的函数。

可以通过函数名和参数列表来调用函数。

当函数被调用时，程序会执行函数体中的代码，然后返回结果。

3. 函数的参数函数可以接收输入参数，参数将作为函数的输入，函数会根据参数执行相应的操作。

参数可以是任意类型的数据，通过参数，我们可以让函数更加灵活和通用。

4. 函数的返回值函数可以返回一个结果，这个结果可以被程序中的其他部分使用。

返回值可以是任意类型的数据，通过返回值，我们可以获取函数的执行结果。

5. 函数的应用在编程中，函数可以帮助我们组织程序结构，提高代码的可读性和可维护性。