中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型三 反比例函数与一次函数综合题试题
反比例函数与一次函数综合(面积问题、线段和差,函数值比较大小)—2024年二轮热点题型(全国通用)
反比例函数与一次函数综合目录热点题型归纳 (1)题型01 面积问题 (1)题型02 两线段和差最值问题 (3)题型03 两函数值比较大小问题 (15)中考练场 (31)题型01 面积问题【解题策略】【典例分析】例．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线AB 与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点()2,A m −，(),2B n ，过点A 作AC y 轴交x 轴于点C ，在x 轴正半轴上取一点D ，使2OC OD =，连接BC ，AD ．若ACD 的面积是6．(1)求反比例函数的解析式．(2)点P 为第一象限内直线AB 上一点，且PAC △的面积等于BAC 面积的2倍，求点P 的坐标．【答案】(1)8y x =−；(2)()2,8P【分析】（1）根据2OC OD =，可得三角形面积之比，计算出AOC 的面积，面积乘2即为8k =，解析式可得；（2）根据点的坐标求出直线AB 的解析式为6y x =+，设符合条件的点(),6P m m +，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．【详解】（1）解：∵2OC OD =，ACD 的面积是6，∴4AOC S =V ， ∴8k =，∵图象在第二象限，∴8k =−，∴反比例函数解析式为：8y x =−；（2）∵点()2,A m −，(),2B n ，在8y x =−的图象上， ∴4m =，n =−4，∴()2,4A −，()4,2B −，设直线AB 的解析式为y kx b =+，2442k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：16k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为6y x =+，∵AC y 轴交x 轴于点C ，∴()2,0C −， ∴14242ABC S =⨯⨯=，设直线AB 上在第一象限的点(),6P m m +， ∴()142282PAC ABC S m S =⨯⨯+==，∴248m +=，∴2m =，∴()2,8P ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．【变式演练】1．（2023·山东泰安·三模）如图，一次函数1112y x =+的图象与反比例函数2(0)k y x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．(1)求a ，k 的值；(2)请直接写出在第一象限124y y <<时，x 的取值范围．(3)直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC AD =，连接.CB 求ABC 的面积．【答案】(1)412a k ==，(2)34x <<(3)8【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，解决问题的关键是画出图形．（1）用待定系数法即可求解；（2）根据图象直接得出答案；（3）求出()2,6C ，由1144822ABC A S CE x =⋅=⨯⨯=△，即可求解．【详解】（1）将点A 的坐标代入一次函数表达式得：1312a =+， 解得：4a =，则点()4,3A ，将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：34k=， 解得：12k =；（2）把4y =代入12y x =，得3x =， 由图可知24y <时，3x >， 由图可知12y y <时，4x <， 124y y ∴<<时，34x <<；（3）点()4,3A ，D 点的纵坐标是0，AD AC =， ∴点C 的纵坐标是3206⨯−=，把6y =代入12y x =，得2x =， ()2,6C ∴，如图1，作CD x ⊥轴于D ，交AB 于E ，当2x =时，12122y =⨯+=，()2,2E ∴， ()2,6C ，624CE ∴=−=，∴由1144822ABC A S CE x =⋅=⨯⨯=△．2．（2023·山东泰安·一模）如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于()1,2A ，()2,B n −两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式．(2)根据图象，直接写出满足21k k x b x+<的x 的取值范围． (3)若点P 在线段AB 上，且1:3AOP BOP S S =△△：，求点P 的坐标．【答案】(1)2y x =，1y x =+(2)01x <<或<2x − (3)15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,2A 坐标代入2k y x =可得解析式，继而求出n ，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出21k k x b x +<的x 的取值范围即可；（3）利用1:3AOP BOP S S =△△：得出3PB PA =，设P 坐标(),1x x +利用勾股定理建立方程求出x 即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．【详解】（1）解：反比例函数2k y x =经过()1,2A ， 2122k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为2y x =，()2B n −，在反比例函数2y x =的图象上， 212n ∴==−−，()21B ∴−−，，直线1y k x b =+经过()1,2A ，()2,1B −−，11221k b k b +=⎧∴⎨−+=−⎩，解得111k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）解：观察函数图象可知21k k x b x +<的x 的取值范围是01x <<或<2x −；（3）解：设()1P x x +，，∵1:3AOP BOP S S =△△：:1:3AP BP ∴=，即3PB PA =，()()()()22222119112x x x x ⎡⎤∴++++=−++−⎣⎦， 解得15(4x =舍去)，214x =， P ∴点坐标为1544⎛⎫ ⎪⎝⎭，3．（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，2−，一次函数图象与y 轴的交于点C ，与x 轴交于点D ．(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当1y <−时，写出x 的取值范围； (3)点P 是第三象限内反比例图象上的一点，若点P 满足S △BDP ＝12S △ODA ，请求出点P 的坐标．【答案】(1)1y x =+(2)20x −<<(3)(或(1−【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积．（1）利用反比例函数求出交点A 、点B 的坐标分别为()1,2，()2−,-1，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．（2）当1y <−时，即为B 点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为20x −<<．（3）先求出ODP 的面积为1，从而确定BDP △的面积为12，再通过点P 的不同的位置，设点P 的坐标为2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据图形面积列出方程，即可求出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵反比例函数2y x =的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，﹣2；∴A ()1,2，B()2,1−−； 把A 、B 的坐标代入y kx b =+得221k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩；∴一次函数的解析式为1y x =+．（2）∵()2,1B −−；由图象可知，当20x −<<时，1y <−．（3）∵一次函数为1y x =+；∴D ()1,0−；∵A ()1,2， ∴1212ODA S =⨯⨯V ； ∴1122BDP ODA S S ==V V ， 设点P 的坐标为： 2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0x <；∴ON x =−，2PN x =−；当P 在直线下方时，如图1，则；()()()121211=1212112222BDP BDM PDNBMNP S S S S x x x x =+−⎛⎫⎛⎫−++−−−−−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形；解得x =∴点P (．当P 在直线AB 的上方时，如图2，则；()()()1211112211122222BDF BDM PDN BMNP SS S S x x x x =+−⎛⎫⎛⎫=−−−+−⨯−−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形；解得1x =−∴点P (1−；综上可得：点P的坐标为：( 或(1− ．4．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数m y x=在第一象限内的图象交于点C ，CD x ⊥轴， 1tan BAO 2∠=，42OA OD ==，．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点E 是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E 作EF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OE AF 、，如果4BAF EFO SS =，求点E 的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为122y x =+，反比例函数解析式为6y x =(2)342E ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．（1）先求出A 、D 坐标，以及AD 的长，解直角三角形求出CD 的长，进而得到点C 的坐标，然后利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；（2）设出点E 坐标，求出OEF 的面积为3，进而得到ABF △的面积为12，再求出点B 的坐标，得到OB 的长，利用面积法求出BF 的长进而求出点E 的坐标即可．【详解】（1）解：∵42OA OD ==，，∴()()4020A D −，，，，426AD OA OD =+=+=，∵BAO CAD ∠=∠， ∴1tan tan 2BAO CAD ∠=∠=， ∵CD x ⊥轴， ∴1tan 2CD CAD AD ∠== ， ∴132CD AD ==，∴点C 的坐标为()23，，∴把()()4023A C −，，，代入y kx b =+中得4023k b k b −+=⎧⎨+=⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为122y x =+，∵点C 在反比例函数my x =的图象上，∴将()23C ，代入m y x =中得32m=， 解得：6m =，∴反比例函数解析式为6y x =；（2）解：设6E m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，， ∴6EF m OF m ==，∴132EFOSOF EF =⋅=，∴142BAFEFOSS==，∵一次函数解析式为122y x =+，∴()02B ，，∴2OB =，又∵4OA =，12ABF S BF OA =⋅=△，∴()2212OF +=，∴626m +=，∴32m =， ∴342E ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，． 题型02 两线段和差最值问题【解题策略】例．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点()30C ，，顶点A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x=第一象限的图象上．(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6y x =，142y x =−+(2)在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小,最小值是【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证明()AAS ACE CBD ≌，则3,CD AE BD EC m ====，由3OE m =−得到点A 的坐标是()3,3m −，由A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x =第一象限的图象上得到()336m m−=，解得1m =，得到点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，进一步用待定系数法即可得到答案；（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，利用轴对称的性质得到AP A P '=，()2,3A '−，则AP PB A B '+=，由AB =AB 是定值，此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，利用待定系数法求出直线A B '的解析式，求出点P 的坐标，再求出周长最小值即可．【详解】（1）解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ， 则90AEC CDB ∠=∠=︒，∵点()30C ，，()6B m ，，∴3,6,OC OD ==BD m =， ∴3CD OD OC =−=， ∵ABC 是等腰直角三角形， ∴90,ACB AC BC ∠=︒=，∵90ACE BCD CBD BCD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ACE CBD ∠=∠， ∴()AAS ACE CBD ≌，∴3,CD AE BD EC m ====， ∴3OE OC EC m =−=−， ∴点A 的坐标是()3,3m −，∵A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x =第一象限的图象上．∴()336m m−=，解得1m =，∴点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，∴66k m ==，∴反比例函数的解析式是6y x =，设直线AB 所对应的一次函数的表达式为y px q =+，把点A 和点B 的坐标代入得，2361p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得124p q ⎧=−⎪⎨⎪=⎩,∴直线AB 所对应的一次函数的表达式为142y x =−+，（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，∴点A 与点A '关于x 轴对称， ∴AP A P '=，()2,3A '−，∵AP PB A P PB A B ''+=+=， ∴AP PB +的最小值是A B '的长度，∵AB =AB 是定值，∴此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小， 设直线A B '的解析式是y nx t =+，则2361n t n t +=−⎧⎨+=⎩，解得15n t =⎧⎨=−⎩， ∴直线A B '的解析式是5y x =−， 当0y =时，05x =−，解得5x =，即点P 的坐标是()5,0，此时AP PB AB AB A B '++=+=综上可知，在x 轴上存在一点()5,0P，使ABP周长的值最小，最小值是【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．【变式演练】1．（2023·河南濮阳·三模）如图，一次函数6y x =−+与反比例函数()0ky x x=>交于A 、B 两点，交x 轴于点C ，已知点A 的坐标为()2,a ．(1)求反比例函数解析式； (2)直接写出不等式()60kx x x−+>>的解集______． (3)在x 轴是否存在点P ，使得PA PB −有最大值，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为：y ＝8x ．(2)24x <<．(3)在x 轴上存在点P ，使PA PB −有最大值为AB 此时P 点坐标是()6,0．【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形的三边关系的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合法是解题关键．（1）先求解A 的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可； （2）先求解函数的交点坐标，再结合图象可得答案；（3）先求解一次函数与x 轴的交点坐标，再结合三角形的三边关系确定P 的位置即可．【详解】（1）解：∵点A 的坐标为()2,a 在一次函数6y x =−+上，∴264a =−+=，∴()2,4A ，∵()2,4A 在反比例函数()0ky x x =>上，∴248k =⨯=，∴反比例函数解析式为：8y x =．（2）联立一次函数和反比例函数得析式为：86y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩，∴()2,4A ，()4,2B ， 由图示可知：不等式()60kx x x −+>>的解集是24x <<．（3）∵直线AB 的解析式是6y x =−+，令0y =， 则06x =−+，则6x =，∴()6,0C ，∴当P 点坐标是()6,0，PA PB −有最大值理由如下：在PAB 中，根据三边关系，PA PB AB −<，当P 在点C 处时，PA PB AB −=．即最大值为AB ．故在x 轴上存在点P ，使PA PB −有最大值为AB 此时P 点坐标是()6,0．2．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长．【答案】(1)3y x =−，()3,1B −(2)10x −<<或3x <−(3)点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先把点A 坐标代入一次函数解析式求出点A 的坐标，再把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点B 的坐标； （2）利用图象法求解即可；（3）如图所示，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点P ，此时PA PB +的值最小，则APB △的周长最小，再求出直线BA '的解析式即可求出点P 的坐标，由()1,3A −，()3,1B −，()1,3A '，可求出AB 、A B '的值，最后根据APB△的周长为PA PB AB A B AB '++=+．【详解】（1）解：点()1,A a −在一次函数4y x =+的图象上，∴143a =−+=， ∴点()1,3A −，点()1,3A −在反比例函数ky x =的图象上，∴133k =−⨯=−，∴反比例函数的表达式为3y x =−，联立34y x y x ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩， 解得： 13x y =−⎧⎨=⎩或31x y =−⎧⎨=⎩， ∴()3,1B −；（2）观察函数图象可知：当10x −<<或3x <−时，一次函数4y x =+的图象在3y x =−的图象的下方，∴当反比例函数值大于一次函数值时，x 的取值范围为：10x −<<或3x <−；（3）作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点P ，此时PA PB +的值最小，则APB △的周长最小，如图所示．点()1,3A −，∴点()1,3A '，设直线BA '的表达式为()0y mx n m =+≠，则331m n m n +=⎧⎨−+=⎩，得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BA '的表达式为1522y x =+，在1522y x =+中，令0x =，则52y =，∴点50,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3A −，()3,1B −，()1,3A '，∴AB =A B =='∴APB △的周长为PA PB AB A B AB '++=+=3．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且2OA =，4OC =，连接OB ．反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点B 、F ．一次函数2y k x b =+的图象经过E 、F 两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．(2)点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为1522y x =−+，反比例函数表达式为2y x =；(2)17,05⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得(2,1)D ，从而可得反比例函数表达式；再求出点E 、F 坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；（2）作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P ，则此时PE PF +最小．求出直线E F '的解析式后令0y =，即可得到点P 坐标． 【详解】（1）解：四边形OABC 为矩形，2OA BC ==，4OC =，(4,2)B ∴．由中点坐标公式可得点D 坐标为(2,1)，反比例函数1(0)k y x x =>的图象经过线段OB 的中点D ，1212k xy ∴==⨯=，故反比例函数表达式为2y x =．令2y =，则1x =；令4x =，则12y =．故点E 坐标为(1,2)，1(4,)2F ． 设直线EF 的解析式为2y k x b =+，代入E 、F 坐标得：222142k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：21252k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故一次函数的解析式为1522y x =−+．（2）作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P ，则此时PE PF +最小．如图． 由E 坐标可得对称点(1,2)E '−，设直线E F '的解析式为y mx n =+，代入点E '、F 坐标，得：2142m n m n −=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：56176m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩． 则直线E F '的解析式为51766y x =−，令0y =，则751x =．∴点P 坐标为17(5，0)．故答案为：17(5，0)．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．题型03 两函数值比较大小问题【解题策略】例．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线y kx b =+与双曲线m y x=相交于点()2,3A ，(),1B n ．(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线AB 向下平移至CD 处，其中点()2,0C −，点D 在y 轴上．连接AD ，BD ，求ABD △的面积；(3)请直接写出关于x 的不等式m kx b x +>的解集． 【答案】(1)6y x =，142y x =−+ (2)10 (3)26x <<或0x <【分析】()1将()2,3A 代入双曲线m y x =，求出m 的值，从而确定双曲线的解析式，再将点(),1B n 代入6y x =，确定B 点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；()2由平行求出直线CD 的解析式为11,2y x =−−过点D 作DG AB ⊥交于G ，设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的交点为F , 可推导出HDG HFO ∠=∠, 再由cos HFO ∠=，求出DG ==则ABD 的面积110;2=⨯ ()3数形结合求出x 的范围即可.【详解】（1）将()2,3A 代入双曲线m y x =，∴6m =, ∴双曲线的解析式为6y x =， 将点(),1B n 代入6y x =，∴6n =,∴()6,1B ,将()()2,3,6,1A B 代入y kx b =+, 2361k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得124k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线解析式为142y x =−+；（2）∵直线AB 向下平移至CD ,∴AB CD ,设直线CD 的解析式为12y x n =−+，将点()2,0C −代入1,2y x n =−+∴10n +=，解得1n =−∴直线CD 的解析式为112y x =−−∴()0,1D −过点D 作DG AB ⊥交于G ,设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的交点为 F ,∴()()0,4,8,0H F ,∵90,90HFO OHF OHG HDG ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴HDG HFO ∠=∠,∵4,8OH OF ==,HF ∴=cosHFO ∴∠=∵5DH =，DG DH ∴==， 2AB =∴ABD 的面积1102=⨯= （3）由图可知26x <<或0x <时,161.2x x −−> 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.【变式演练】1．（2023·山东青岛·一模）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x=的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为(,2)m ，点B 坐标为(4,)n −，OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、BD ．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求四边形OCBD 的面积；(3)请你根据图象直接写出不等式k ax b x+>的解集． 【答案】(1)一次函数表达式为112y x =−，反比例函数表达式为12y x =； (2)18；(3)6x >或40x −<<． 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，涉及解直角三角形，待定系法求函数解析式，三角形面积等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．（1）先求出点A 坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析，再根据点B 在反比例函数图象上，可得点B 的坐标，进一步利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）先求出点C 和点D 坐标，再根据OCD BCD OCBD S S S ∆∆=+四边形求解即可；（3）根据图象即可确定不等式的解集．【详解】（1）解：OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13，∴13AE OE =，点(,2)A m ，2AE ∴=，6OE m ==，∴点A 坐标为(6,2)，6212k ∴=⨯=，点B 在反比例函数图象上，412n ∴−=，解得3n =−，∴点B 坐标为(4,3)−−，将点(6,2)A ，点(4,3)B −−代入一次函数y ax b =+，得6243a b a b +=⎧⎨−+=−⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴一次函数表达式为112y x =−，反比例函数表达式为12y x =； （2）解：当0x =时，1112y x =−=−， ∴点C 坐标为(0,1)−，CD y ⊥轴， ∴点D 纵坐标为1−，点D 在反比例函数12y x =上，∴点D 横坐标为12−，12CD ∴=，∴111211221822OCD BCD OCBD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=四边形；（3）解：由图象可知，不等式kax b x +>的解集是6x >或40x −<<．．2．（2023·广西桂林·一模）如图，直线1y kx b =+与双曲线2a y x=相交于A 、B 两点，直线AB 与x 轴相交于点C ，点B 的坐标是()3m m ，，5OA =，E 为x 轴正半轴上一点，且3os 5c AOE ∠=．(1)双曲线2y 的解析式是 ，直线1y 的解析式是 ．(2)求证：3AOB COB S S =△△．(3)当12y y >时，x 的取值范围是 ．【答案】(1)122,23y y x x ==+ (2)见解析(3)60x −<<或3x >【分析】（1）根据三角函数的定义求出点A 的坐标，代入反比例函数解析式求出结果即可；求出点B 的坐标，用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据A 、B 两点的坐标分别表示出AOB 和BOC 的面积即可得出答案；（3）根据函数图象得出x 的取值范围即可．【详解】（1）解：过点A 作AD x ⊥轴于点D ，如图所示：∵3cos 55OD AOE ∠==， ∴3OD =，∴4AD ，∴()34A ，，将点A 的坐标代入反比例函数2y x =12a =， ∴双曲线2y 的解析式为12y x =，∵点()3B m m ，在反比例函数12y x =图象上， ∴123m m =，解得2m =±，∴()6,2B −−，把()34A ，，()6,2B −−代入1y kx b =+得3462k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线1y 的解析式是223y x =+；（2）解：∵()34A ，，()6,2B −−，∴AOC 的面积1422OC OC =⨯⨯=，BOC 的面积122OC OC =⨯⨯=，∴AOB 的面积3OC =，∴3AOB BOC S S =△△；（3）解：根据函数图象可知，当60x −<<或3x >时，一次函数在反比例函数图象的上面，∴当12y y >时，x 的取值范围为60x −<<或3x >．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数的解析式，三角函数的应用，解题的关键是数形结合，根据三角函数求出点A 的坐标．3.（2023·四川泸州·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于第一象限()1,4C ，()4D m ，两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD ．（O 是坐标原点）(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直接写出当一次函数值小于反比例函数值时x 的取值范围；(3)将直线AB 向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数(0)k y x x =>图象只有一个交点？【答案】(1)4y x =，5y x =−+； (2)01x <<或>4x ；(3)1．【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据待定系数法求解即可；（2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的x 的范围即可；（3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可；【详解】（1）解：∵反比例函数ky x =过点()1,4C ，()4,D m ， ∴144k m =⨯=，解得：4k =，1m = 反比例函数解析式为：4y x =，点()4,1D ， ∵一次函数解析式y ax b =+过点C ，D ，∴441a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：15a b =−⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为：5y x =−+；（2）解：根据图象，不等式kax x +<的解集为：01x <<或>4x ； （3）解：设直线AB 向下平移n 个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，则平移后的解析式为5y x n =−+−， 联立两个函数得：45x n x =−+−，整理得：2(5n)40x x −−+=，2(5)4140n ∆=−−⨯⨯=，∴54n −=±，9n =或1，∵点(0,5)B ，∴9n =不符合题意舍去．∴直线AB 向下平移1个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．4．（2024·新疆·一模）如图，一次函数()110y k x b k =+≠与反比例函数()220k y k x=≠的图象交于点()()2,3,,1A B n −．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)判断点()2,1P −是否在一次函数1y k x b =+的图象上，并说明理由；(3)直接写出不等式21k k x b x+≥的解集． 【答案】(1)反比例函数解析式为6y x =，一次函数的解析式为122y x =+ (2)点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上，理由见解析(3)60x −≤<或2x ≥【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：（1）先利用点A 求出反比例函数的解析式，由此求出点B 的坐标，再利用点A 及点B 的坐标求出一次函数的解析式；（2）在一次函数中求出2x =−时的函数值即可得到结论；（3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案．【详解】（1）解：将点()2,3A 代入反比例函数()220k y k x =≠中，得2236k =⨯=， ∴反比例函数解析式为6y x =；将点(),1B n −代入6y x =中，得6n −=，∴6n =−，∴()6,1B −−，将点()2,3A 、()6,1B −−代入一次函数()110y k x b k =+≠中，得112361k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，∴1122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为122y x =+；（2）解：点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上，理由如下：在122y x =+中，当2x =−时，()12212y =⨯−+=，∴点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上；（3）解：由图象可知：当60x −≤<或2x ≥时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方或二者的交点处，即21k k x b x +≥，∴当60x −≤<或2x ≥时，21k k x b x +≥．1．（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数()0ky x x=>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，且点D 为AB 的中点．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数()0k y x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），直接写出m 的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为4y x =，()22E ，(2)30m −≤≤【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OAAB OA ∥，⊥，再由()4,1D 是AB 的中点得到()42B ，，从而得到点E 的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可； （2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OAAB OA ∥，⊥， ∵()4,1D 是AB 的中点，∴()42B ，，∴点E 的纵坐标为2，∵反比例函数()0k y x x =>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴14k =，∴4k =，∴反比例函数解析式为4y x =，在4y x =中，当42y x ==时，2x =，∴()22E ，；（2）解：当直线 y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =； 当直线 y x m =+经过点()41D ，时，则41m +=，解得3m =−；∵一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x =>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），∴30m −≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像相交于()1,4A −，(),1B a −两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)点(),0P n 在x 轴负半轴上，连接AP ，过点B 作BQ AP ∥，交my x=的图像于点Q ，连接PQ ．当BQ AP =时，若四边形APQB 的面积为36，求n 的值．【答案】(1)4y x =−，3y x =−+(2)215n =−【分析】（1）根据反比例函数过点()1,4A −，(),1B a −两点，确定()4,1B −，待定系数法计算即可．（2）根据平移思想，设解析式求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x =的图像相交于()1,4A −，(),1B a −两点，∴144m =−⨯=−，故反比例函数的解析式为4y x =−，∴441a =−=−，故()4,1B −，∴414k b k b +=−⎧⎨−+=⎩，解得13k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线的解析式为3y x =−+．（2）∵()1,4A −，()4,1B −，(),0P n ，BQ AP ∥，BQ AP =，∴四边形APQB 是平行四边形，∴点A 到点P 的平移规律是向左平移1n −−个单位，向下平移4个单位，∴点()4,1B −到点Q 的平移规律也是向左平移1n −−个单位，向下平移4个单位，故()5,5Q n +−， ∵()5,5Q n +−在4y x =−上，∴44555n +=−=−，解得：215n =−，∴点P 的坐标为210,5⎛⎫− ⎪⎝⎭， 设AB 与x 轴交于点C ，连接PB ，如图所示：把0y =代入3y x =−+，解得：3x =，∴()3,0C ，∴2136355PC ⎛⎫=−−=⎪⎝⎭， ∴()136411825APBS=⨯⨯−−=⎡⎤⎣⎦，∵四边形APQB 为平行四边形， ∴236APBAPQB S S==四边形，∴当215n =−时，符合题意．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=的图象交于点(),4A m ，与x 轴交于点B ， 与y 轴交于点()0,3C ．(1)求m 的值和一次函数的表达式； (2)已知P 为反比例函数4y x=图象上的一点，2OBP OAC S S =△△，求点P 的坐标． 【答案】(1)3y x =+ (2)()2,2P 或()2,2−−【分析】（1）先把点A 坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，进而求出点A 的坐标，再把点A 和点C 的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）先求出3OB =，3OC =，过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示，根据2OBPOACS S =△△可得11222OB PD OC AH⋅=⨯⋅，求出2PD =，则点P 的纵坐标为2或2−，由此即可得到答案．【详解】（1）解：点(),4A m 在反比例函数4y x =的图象上，44m ∴=，1m ∴=，()1,4A ∴，又点()1,4A ，()0,3C 都在一次函数y kx b =+的图象上，43k bb =+⎧∴⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为3y x =+．（2）解：对于3y x =+，当0y =时，3x =−，∴()30B −，，3OB ∴=，∵()0,3C ，3OC ∴=过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示．2OBP AOC S S =△△，11222OB PD OC AH ∴⋅=⨯⋅． 11323122PD ∴⨯⨯=⨯⨯⨯，解得2PD =． ∴点P 的纵坐标为2或2−．将2y =代入4y x =得2x =， 将=2y −代入4y x =得2x =−，∴点()2,2P 或()2,2−−．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．4．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD x ⊥轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ． (1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形． ①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当PE PB −最大时，求点P 的坐标．【答案】(1)点E 在这个反比例函数的图像上，理由见解析 (2)①1k =，2b =；②点P 的坐标为(0,2)−【分析】（1）设点A 的坐标为8(,)m m ，根据轴对称的性质得到AD CE ⊥，AD 平分CE ，如图，连接CE 交AD 于H ，得到CH EH =，再结合等腰三角形三线合一得到CH 为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，求出4,H m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而求得4(2,)E m m ，于是得到点E 在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到AD CE =，AD 垂直平分CE ，求得12CH AD=，设点A 的坐标为8(,)m m ，得到2m =（负值舍去），求得(2,4)A ，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得，解方程组即可得到结论；②延长ED 交y 轴于P ，根据已知条件得到点B 与点D 关于y 轴对称，求得PE PD PE PB−=−，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE 的解析式为2y x =−，于是得到结论．【详解】（1）解：点E 在这个反比例函数的图像上． 理由如下：一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x =>的图像交于点A ，∴设点A 的坐标为8(,)m m ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，AD CE ∴⊥，AD 平分CE ，连接CE 交AD 于H ，如图所示：CH EH ∴=， AD x ⊥轴于D ，CE x ∴∥轴，90ADB ∠=︒， 90CDO ADC ∴∠+∠=︒， CB CD =， CBO CDO ∴∠=∠，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，CAD CDA ∴∠=∠，CH ∴为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，4,H m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，4(2,)E m m ∴，428m m ⨯=，∴点E 在这个反比例函数的图像上；（2）解：①四边形ACDE 为正方形，AD CE ∴=，AD 垂直平分CE ，12CH AD ∴=，设点A 的坐标为8(,)m m ，CH m ∴=，8AD m =，182m m ∴=⨯，2m ∴=（负值舍去），(2,4)A ∴，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得242k b b +==⎧⎨⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩； ②延长ED 交y 轴于P ，如图所示：CB CD =，OC BD ⊥，∴点B 与点D 关于y 轴对称，PE PD PE PB∴−=−，则点P 即为符合条件的点，由①知，(2,4)A ，(0,2)C ，(2,0)D ∴，(4,2)E ，设直线DE 的解析式为y ax n=+，∴2042a n a n +=+=⎧⎨⎩，解得12a n ==−⎧⎨⎩，∴直线DE 的解析式为2y x =−， 当0x =时，=2y −，即()0,2−，故当PE PB −最大时，点P 的坐标为(0,2)−．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．。
中考数学压轴题重难点突破十 函数综合题 类型二 反比例函数与一次函数的综合题
∵点A在函数y＝kx上，
∴k＝1×2＝2，∵OC＝t，∴C(0，t)，
∵CE∥x轴，∴点D的纵坐标为t，
∵点D在直线y＝2x上，t＝2x，
1
1
∴x＝2t，∴点D的横坐标为2t.
(2)连接OE，BE，AE，记△OBE，△ADE的面积分别为S1，S2，设U＝S1－
S2，求U的最大值．
2
(2)由(1)知k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝x，
由(1)知y1＝－x＋1，∴C(0，1)，D(1，0)， ∴OC＝OD，∴△OCD是等腰直角三角形， ∴△BCP′是等腰直角三角形， ∴BP＝PP′＝2，∴P′(0，－3)． ∴符合要求的点P的坐标为(0，－1)或(0，－3)．
1 6
∴S△PDQ＝2nn－（2n－4）
＝－n2＋2n＋3＝－(n－1)2＋4，
∵－1＜0，∴当n＝1时，S△PDQ最大，最大值为4，
∴△DPQ面积的最大值是4.
k 5．(2022·银川模拟)如图，直线y1＝mx＋n(m≠0)与双曲线y2＝ x (k≠0) 相交于A(－1，2)和B(2，b)两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D.
1 ∴S2＝S△ADE＝2DE(yA－yD)
＝122t－12t(2－t)＝14t2－12t＋2t－1，
∴U＝S1－S2 ＝2t－41t2－12t＋2t－1＝－14t2＋12t＋1 ＝－14(t－1)2＋54， ∵点C在线段OB上(不含端点)，
5 ∴0＜t＜2，∴当t＝时，U最大＝4.
4．(2022·吴中模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b
类型二 反比例函数与一 次函数的综合题
【命题预测】 是近年来中考的热点题型，题型主要是以难题为主，以解答题为主．预 测在2023年宁夏中考中仍会延续此命题方式． 【专家解读】 反比例函数与一次函数的综合题，常涉及用待定系数法确定直线与双曲 线的解析式，解题时，要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，结合 图象分析，解答问题．
2024年中考复习-重难点05 反比例函数与一次函数的综合(解析版)
重难点05反比例函数与一次函数的综合考点一：一次函数一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。
但是一张中考数学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。
占比也比较大，需要对该考点掌握的更为熟练。
题型01一次函数图象上点的坐标特征解题大招01：一次函数解析求法是待定系数法，即：①设，②代，③解，④写；解题大招02：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；解题大招03：一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；解题大招04：一次函数图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）；【中考真题练】1．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（）A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k＝﹣b【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，∴b≤0，又∵函数图象经过点（2，0），∴图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，k＝﹣b，∴kb＜0，∴k+b＝b＜0，∴错误的是k+b＞0．故选：C．2．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（）A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1【分析】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．故选：A．3．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A．（2，5）B．（3，5）C．（5，2）D．（，2）【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB ＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，即AC⊥x轴，CD∥x轴，∴点D的坐标为（5，2）．故选：C．4．（2023•无锡）一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是2．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝x﹣2的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：当x＝0时，y＝1×0﹣2＝﹣2，∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2）；当y＝0时，x﹣2＝0，解得：x＝2，∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点（2，0）．∴一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是×|﹣2|×2＝2．故答案为：2．5．（2023•苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝﹣6．【分析】利用待定系数法即可解得．【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴，另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．6．（2023•南充）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则+的值是1．【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，然后即可计算出+的值．【解答】解：∵直线y＝kx﹣2k+3，∴当x＝0时，y＝﹣2k+3；当y＝0时，x＝；∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，﹣2k+3），∴OA＝，OB＝﹣2k+3，∴+＝+＝﹣＝＝1，故答案为：1．7．（2023•青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是10．【分析】根据每条直线与x轴交点的横坐标解答即可．【解答】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．故答案为：10．8．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y＝x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝2，顶点C在直线l2：y＝x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023的面积是24046．＝，证明△ABC∽△A1B1C1，【分析】解直角三角形得出∠AOB＝30°，∠BOC＝60°，求出S△ABC△ABC∽△A 2B2C2，得出＝4S△ABC，＝42•S△ABC＝（22）2•S△ABC，总结得出＝（2n）2S △ABC＝22n S△ABC，从而得出＝22×2023×＝24046．【解答】解：∵OB＝2，∴B（2，0），∵AB⊥x轴，∴点A的横坐标为2，∵直线l1：y＝x，∴点A的纵坐标为＝，∴∠AOB＝，∴∠AOB＝30°，∵直线l2：y＝x，∴C（x C，），∴＝，∴∠BOC＝60°，∴OC＝，∴C点的横坐标为：＝，＝＝，∴S△ABC∵BC⊥l2，B1C1⊥l2，B2C2⊥l2，∴BC∥B1C1∥B2C2，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝30°，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝∠AOB，∴AO＝AB1，A1O＝A1B2，∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，∴OB＝，OB1＝，∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴AB∥A1B1∥A2B2，∴，，∵BC∥B1C1∥B2C2，∴，，∴，∵∠ABC＝∠A1B1C1＝90°﹣30°＝60°，∴△ABC∽△A1B1C1，同理△ABC∽△A2B2C2，，＝42•S△ABC＝（22）2•S△ABC，∴＝4S△ABC∴＝（2n）2S △ABC＝22n S△ABC，＝22×2023×＝24046．故答案为：24046．9．（2023•西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．（1）求点A和点B的坐标；（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）把y＝0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标；（2）利用描点法画图象即可；（3）根据等腰三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，∴令y＝0，2x﹣4＝0，解得x＝2，∴点A的坐标是（2，0），∵点B（m，4）在一次函数y＝2x﹣4的图象上，把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，∴m＝4，∴点B的坐标是（4，4）；（2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图：（3）∵A（2，0），B（4，4），∴AB＝＝2，∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，∴P的坐标为（6，0）或（2+2，0）．【中考模拟练】1．（2024•长丰县模拟）如图，直线与坐标轴交于点A、B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，则点C的坐标为（）A．B．（﹣6，0）C．D．【分析】直线与坐标轴交于点A、B，得到，结合CB⊥AB，得到∠ACB＝∠ABO，利用正切函数计算OC即可．【解答】解：∵直线与坐标轴交于点A、B，∴，∴，∴，∵CB⊥AB，CO⊥OB，∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝∠ABO，∴，解得，∴，故选：A．2．（2024•静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．【解答】解：当一次函数y＝kx+b中k＜0，b≥0，该函数的图象一定不经过第三象限，故选：C．3．（2024•太白县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合x1＞x2，即可得出y1＜y2．【解答】解：∵k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）都在一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上，且x1＞x2，∴y1＜y2．故选：B．4．（2024•衡南县模拟）已知：如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P（1，0），若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是（）A．3B．C．D．【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP 交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，MN+MP+NP ＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP 的最小值为线段EF的长；先求出点A（2，0），点B（0，4），则OA＝2，OB＝4，再由点P（1，0）得OP＝1，则OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出AB＝，证△PAC∽△BAO得PC：OB＝PA：AB，由此得PC＝，则PF＝，再证△PFD∽△BAO得FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，由此可得FD＝，PD＝，则ED＝OE+OP+PD＝，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，∴MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，对于y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，当x＝0时，x＝2，∴点A（2，0），点B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，又∵点P（1，0），∴OP＝1，∴OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝2﹣1＝1，在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，由勾股定理得：AB＝＝，∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA＝90°，∴∠PCA＝∠BOA＝∠PDF＝90°，又∵∠PAC＝∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB＝PA：AB，∠APC＝∠ABO，即，∴PC＝，∴FC＝PC＝，∴PF＝FC+PC＝，∵∠APC＝∠ABO，∠BOA＝∠PDF＝90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，即，∴FD＝，PD＝，∴ED＝OE+OP+PD＝1+1+＝，在Rt△EFD中，ED＝，FD＝，由勾股定理得：EF＝＝．故选：C．5．（2024•普陀区二模）已知直线y＝2x+4与直线y＝1相交于点A，那么点A的横坐标是﹣．【分析】代入y＝1，求出x的值即可．【解答】解：将y＝1代入y＝2x+4得：1＝2x+4，解得：x＝﹣，∴点A的横坐标是﹣．故答案为：﹣．6．（2023•郸城县三模）某班数学兴趣小组对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y＝﹣2|x﹣…﹣5m﹣1131n﹣3﹣5…1|+3填空：m＝﹣3，n＝﹣1；（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）；（4）点A（a，b）是该函数图象上一点，现已知点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，那么a的取值范围是﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．【分析】（1）分别求出x＝﹣2和x＝3时对应的y值即可；（2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可；（3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质；（4）分别求得y＝2与y＝﹣2时的自变量的值，进而根据函数图象即可求解．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝﹣2|﹣2﹣1|+3＝﹣3，当x＝3时，n＝﹣2|3﹣1|+3＝﹣1，故答案为：﹣3，﹣1；（2）根据描点连线，如图所示．（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）．故答案为：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）；（4）当y＝2时，即﹣2|x﹣1|+3＝2，解得：x＝0.5或x＝1.5，当y＝﹣2时，﹣2|x﹣1|+3＝﹣2解得x＝﹣1.5或x＝3.5，根据函数图象可得，点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，∴﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．7．（2023•太平区二模）小明在学习一次函数后，对形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n为常数，且k≠0）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：【特例探究】（1）如图所示，小明分别画出了函数y＝（x﹣2）+1，y＝﹣（x﹣2）+1，y＝2（x﹣2）+1的图象（网格中每个小方格边长为1），请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数y＝﹣2（x﹣2）+1的图象．【深入探究】（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣2）+1（k为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是（2，1）．归纳：函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是（m，n）．【实践运用】（3）已知一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若△OAN的面积为4，求k的值．【分析】（1）根据列表、描点、连线作图．（2）将x＝2代入解析式求解．（3）将x＝m代入解析式求解．（4）根据一次函数解析式求出点N及点A坐标，进而求解．【解答】解：（1）列表：x﹣10123 y﹣5﹣3﹣113如图：（2）将x＝2代入y＝k（x﹣2）+1得y＝1，∴函数y＝k（x﹣2）+1的图象一定经过（2，1）．故答案为：（2，1）．（3）将x ＝m 代入y ＝k （x ﹣m ）+n 得y ＝n ，∴函数y ＝k （x ﹣m ）+n 的图象一定经过（m ，n ），故答案为：（m ，n ）．（4）将x ＝﹣2代入y ＝k （x +2）+3得y ＝3，∴点N 坐标为（﹣2，3），将x ＝0代入y ＝k （x +2）+3得y ＝2k +3，∴点A 坐标为（0，2k +3），∴OA ＝|2k +3|，∴S △OAN ＝OA •|x N |＝OA ＝|2k +3|＝4，解得k ＝﹣或k ＝．8．（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +4（k ≠0）交x 轴于点A （8，0），交y 轴于点B ．（1）k 的值是﹣；（2）点C 是直线AB 上的一个动点，点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上．①如图，点D 的坐标为（6，0），点E 的坐标为（0，1），若四边形OECD 的面积是9，求点C 的坐标；②当CE 平行于x 轴，CD 平行于y 轴时，若四边形OECD 的周长是10，请直接写出点C 的坐标．【分析】（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法可求出k 值；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C 的坐标，由四边形OECD 的面积是9，得出S 梯形CEOM +S △CDM ＝（1﹣m +4）•m +（﹣m +4）•（6﹣m ）＝9，解方程求得m 的值，即可求得C 的坐标；②由题意可知2（m ﹣m +4）＝10，解方程求得m 的值，即可求得C 的坐标【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k＝﹣，故答案为：﹣；（2）①如图1，由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣x+4．∴设C（m，﹣m+4）（0＜m＜8），∵点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），∴OD＝6，OE＝1，∴OM＝m，CM＝﹣m+4，∵四边形OECD的面积是9，+S△CDM＝（1﹣m+4）•m+（﹣m+4）•（6﹣m）＝9，∴S梯形CEOM整理得2m＝6，解得m＝3，∴点C的坐标为（3，）；②∵CE平行于x轴，CD平行于y轴，∴四边形CEOD是矩形，∵四边形OECD的周长是10，∴2（m﹣m+4）＝10或2（﹣m+4﹣m）＝10，解得m＝2或m＝6，点C的坐标为（2，3）或（﹣，）．题型02一次函数的应用解题大招01：常用等量关系：总利润=单件利润×数量解题大招02：利用函数的增减性得到最大利润解题大招03：和函数图象结合时，注意图象对应的“起点”、“拐点”、“终点”的意义【中考真题练】1．（2023•山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x【分析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y 与x的函数关系式．【解答】解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），故选：B．2．（2023•聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（）A．8：28B．8：30C．8：32D．8：35【分析】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，即可得到方程：ax+2a（x﹣）＝a，求出x的值，即可解决问题．【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时，小时，∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，由题意得：ax+2a（x﹣）＝a，∴x＝，小时＝28分钟，∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．故选：A．3．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30minB．修车之前的平均速度是500m/minC．车修好后的平均速度是80m/minD．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D 选项．【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合题意；900÷600＝1.5，∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D．4．（2023•朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．【解答】解：由图可得，甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），解得m＝55；两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），解得m＝65；故④正确，符合题意；故选：C．5．（2023•镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（）A．46B．48C．50D．52【分析】设小明家距离商场为s m，先根据题意求出小明去商场的所用时间，再根据速度＝得出小明去商场时的速度速度，，再根据返回速度是去商场的速度的1.2倍，求出小明返回时所用时间即可．【解答】解：设小明家距离商场为s m，∵小明购物用时30min，∴小明从家到商场所用时间为42﹣30＝12（min），∴小明从家到商场的速度为（m/min），∵小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，∴小明返回所用时间为＝10（min），∴a＝42+10＝52，故选：D．6．（2023•威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝80x﹣10．【分析】根据当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，可得当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，用待定系数法可得答案．【解答】解：∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，∴当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，把（0.5，30），（2，150）代入得：，解得，故答案为：y＝80x﹣10．7．（2023•恩施州）为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．（1）男装、女装的单价各是多少？（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．【解答】解：（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意得：，解得：，答：男装单价为100元，女装单价为120元．（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，根据题意可得，解得：90≤a≤100，∵a为整数，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，故一共有11种方案，设总费用为w元，则w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，∵20＞0，∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15000+20×90＝16800（元），此时，150﹣a＝60（套），答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．8．（2023•青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：品名A B进价（元/件）4560售价（元/件）6690（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．①请求出W与m的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数；（2）①根据条件，可列W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m），整理即可；②由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），一次函数W随m的增大而减小，当m＝50时，W取最大值计算出来和第一次获利比较即可．【解答】解：（1）设购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，根据题意列出方程组为：，解得，∴全部售完获利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件，根据题意150﹣m≤2m，即m≥50，∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），∵﹣4＜0，一次函数W随m的增大而减小，＝﹣4×50+3000＝2800（元），∴当m＝50时，W取最大值，W大∵2800＜2880，∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．9．（2023•黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中a的值是120；（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．【分析】（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到结论；（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得×*出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x，可得出租车的速度为120km/h，于是得到相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h）故可设直线BG 的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直线BG的解析式为y＝60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论；（3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t 小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，解得k＝120，∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，故答案为：120；（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为小时，∵a＝120（km），∴货车卸货时与乙地相距120km，∴出租车距离乙地为120+120＝240（km），∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，解得x＝2，∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得×（出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x（0≤x≤4），可得出租车的速度为120km/h，∴相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h），故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，解得b＝0，∴直线BG的解析式为y＝60x（2≤x≤8），故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x，（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，解得x＝8，∴G（8，480），∴F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，∴，∴出租车返回后的速度为480÷（）＝128km/h，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，解得t1＝；②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，解得t2＝，故在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km．【中考模拟练】1．（2024•兰山区校级模拟）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额y甲、y乙（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（）A．甲B．乙C．甲、乙均可D．不确定【分析】利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式，将x＝620代入计算即可作出判断．【解答】解：设y甲＝kx，把（1200，960）代入，得1200k＝960，解得k＝0.8，所以y甲＝0.8x，当0＜x＜200时，设y乙＝ax，把（200，200）代入，得200a＝200，解得a＝1，所以y乙＝x；当x≥200时，设y乙＝mx+n，把（1200，900），（200，200）代入，得，解得．所以y乙＝，x＝620时，y甲＝0.8×620＝496，y乙＝0.7×620+60＝494，494＜496，∴从省钱的角度建议选择乙商场，故选：B．2．（2024•锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（）A．a＝2100B．b＝2000C．c＝20D．【分析】由两次相遇知两人共走了（3×2800）米，且速度不变，得c＝60÷3＝20（分）．故C选项不符合题意；由拐点得此时亮亮到达A地，故亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），由速度和为2800÷20＝140（米/分），得明明的速度为60米/分，因此a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100，故A选项不符合题意；在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），因此b＝2000，故B 选项符合题意；最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D选项符合题意．【解答】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了（3×2800）米，且二者速度不变，∴c＝60÷3＝20（分）．故C选项不符合题意；∵x＝35时，出现拐点，∴此时亮亮到达A地，路程为2800米，亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），两人的速度和为2800÷20＝140（米/分），明明的速度为140﹣80＝60（米/分），∴a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100；故A选项不符合题意；在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），所以b＝2000．故B选项不符合题意；最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D选项符合题意；故选：D．3．（2024•中山市校级模拟）我市供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先建立函数关系式，再根据题意逐个判断即可．【解答】解：设y＝kx，代入点（6，600）得：600＝6k，甲∴k＝100．∴y＝100x，＝kx，代入点（2，300）得：300＝2k．当0≤x≤2时，设y乙∴k＝150，＝150x，∴y乙当x≥2时，设y＝kx+b，代入点（2，300），（6，500）得：乙解得：k＝50，b＝200．＝50x+200．∴y乙∵600÷6＝100米/天，∴①正确．∵（500﹣300）÷（6﹣2）＝50，∴②正确．＝100x＝400（米）．∵当x＝4时，y甲y乙＝50×4+200＝400（米）．∴③正确．＝100x＝600时，x＝6．当y甲＝50x+200＝600时，x＝8，当y乙8﹣6＝2，∴④正确．故选：D．4．（2024•市中区一模）A，B两地相距60km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶．乙在途中休息了0.5h后按原速度继续前进．两人到A地的距离s（km）和时间t（h）的关系如图所示，则出发 2.1h后，两人相遇．【分析】根据图形求出两人的速度，设出发x小时后两人相遇，再根据两人相遇时路程之和等于60即可求解．【解答】解：根据图像：乙的速度为：（60﹣40）÷1＝20（km/h），甲的速度为：（20﹣0）÷1.5＝（km/h），设出发x小时后两人相遇，根据题意得20（x﹣0.5）+x＝60，解得x＝2.1，。
备考2024年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数与一次函数的交点问题-综合题专训及答案
备考2024年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数与一次函数的交点问题-综合题专训及答案反比例函数与一次函数的交点问题综合题专训1、(2015苏州.中考真卷) 如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E（1）若AC=OD，求a、b的值。
（2）若BC∥AE，求BC的长。
2、(2017杨浦.中考模拟) 已知：在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与双曲线y= （k≠0）的一个交点为P（，m）．（1）求k的值；（2）将直线y=﹣x向上平移c（c＞0）个单位后，与x轴、y轴分别交于点A，点B，与双曲线y= （k≠0）在x轴上方的一支交于点Q，且BQ=2AB，求c的值；（3）在（2）的条件下，将线段QO绕着点Q逆时针旋转90°，设点O落在点C处，且直线QC与y轴交于点D，求BD：AC的值．3、(2017苏州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，函数y= （x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，AC与BD交于点E，连结AD，DC，CB．（1）若△ABD的面积为3，求k的值和直线AB的解析式；（2）求证： = ；（3）若AD∥BC，求点B的坐标．4、(2017邓州.中考模拟) 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+6﹣＞0时，x的取值范围；（3）若M是x轴上一点，S△MOB=S△AOB，求点M的坐标．5、(2017黄石港.中考模拟) 如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A （5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．6、(2015湖北.中考真卷) 如图，已知点A、P在反比例函数y=（k＜0）的图象上，点B、Q在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S△OAB=4，若P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n）．（1）求点A的坐标和k的值；（2）求的值．7、(2019天河.中考模拟) 已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，点A（x1， y1），B（x2， y2）都在该函数的图象上.（1） m的取值范围是，函数图象的另一支位于第一象限，若x1＞x2，y1＞y2，则点B在第象限；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点C与点A关于x轴对称，若△OAC的面积为6，求m 的值.8、(2018普宁.中考模拟) 如图，直线y=2x+6与反比例函数y= （k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＜0的解集；（3）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？9、(2017潮南.中考模拟) 如图，直线y=2x与反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，tanα= ．（1）求k的值．（2）求点B的坐标．（3）设点P（m，0），使△PAB的面积为2，求m的值．10、(2018城中.中考模拟) 如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△ABC的面积．11、(2017南充.中考真卷) 如图，直线y=kx（k为常数，k≠0）与双曲线y= （m为常数，m＞0）的交点为A、B，AC⊥x轴于点C，∠AOC=30°，OA=2（1）求m、k的值；（2）点P在y轴上，如果S△ABP=3k，求P点的坐标．12、(2012资阳.中考真卷) 已知：一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点（0，﹣2）旋转一定角度得到；②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．13、(2019秦安.中考模拟) 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴交于与反比例函数的图象交于点，轴于点， .（1）求反比例函数及一次函数的解析式.（2）当为何值时一次函数的值大于反比例函数的值.14、(2020萧山.中考模拟) 如图，点A是直线y＝2x与反比例函数y＝（m为常数）的图象的交点.过点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB＝2.（1）求点A的坐标及m的值；（2）已知点P （0，n）（0＜n≤8），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝2x于点C（x1，y1），交反比例函数y＝（m为常数）的图象于点D（x2，y2），交垂线AB于点E（x3，y3），若x2＜x3＜x1，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围.15、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交x轴于点C，点P是x轴上的点，若的面积是6，求点P的坐标；（3）当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为．反比例函数与一次函数的交点问题综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
2023年人教版数学中考复习重难点突破——反比例函数与一次函数的交点问题
2023年人教版数学中考复习重难点突破——反比例函数与一次函数的交点问题一、单选题1．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k 1x （k 1≠0）与双曲线y=2k x（k 2≠0）相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为（1，2），则点B 的坐标为（）A ．（﹣1，﹣2）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（﹣2，﹣2）2．若正比例函数y ＝－4x 与反比例函数y ＝kx的图像相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，则k 的值为（）A ．－16B ．－8C ．16D ．83．如图，反比例函数y ＝kx （x ＜0）与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A 、B 两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x 的不等式kx＜x ＋4（x ＜0）的解集为（）A ．x ＜－3B ．－3＜x ＜－1C ．－1＜x ＜0D ．x ＜－3或－1＜x ＜04．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b 和反比例函数cy x的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知点A在函数y1=﹣1x（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对6．如图，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A，B两点，若反比例函数y=y x(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤87．如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=kx（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣5D ．﹣68．如图，已知直线1y k x b =+与x 轴、y 轴相交于P 、Q 两点，与y=2k x的图象相交于A （－2，m ）、B （1，n ）两点，连接OA 、OB.给出下列结论：①k 1k 2＞0；②m ＋12n=0；③S △AOP=S △BOQ ；④不等式k 1x+b ＞2k x的解集是x<－2或0<x<1，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C （点C 在原点的右侧），并分别与直线y=x 和双曲线y=1x相交于点A 、B ，且AC+BC=4，则△OAB 的面积为（）A ．2+3或2﹣3B +1或﹣1C ．2﹣3D﹣110．如图所示，直线l 和反比例函数y=kx（k ＞0）的图象的一支交于A ，B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A ，B 重合），过点A ，B ，P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C ，D ，E ，连接OA ，OB ，OP ，设△AOC 面积是S 1，△BOD 面积是S 2，△POE 面积是S 3，则（）A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1＞S 2＞S 3C ．S 1=S 2＞S 3D ．S 1=S 2＜S 3二、填空题11．已知点()P m n ，在直线2y x =-+上，也在双曲线1y x=-上，则22m n +的值为.12．如图，一次函数y 1＝kx ＋b 图象与反比例函数y 2＝xπ的图象交于点A 、B ，请直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围．13．如图，已知直线l ：y=﹣x ，双曲线y=1x，在l 上取一点A （a ，﹣a ）（a ＞0），过A 作x 轴的垂线交双曲线于点B ，过B 作y 轴的垂线交l 于点C ，过C 作x 轴的垂线交双曲线于点D ，过D 作y 轴的垂线交l 于点E ，此时E 与A 重合，并得到一个正方形ABCD ，若原点O 在正方形ABCD 的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a 的值为．14．已知：函数y 1＝|x|与函数y 2＝1x的部分图象如图所示，有以下结论：①当x ＜0时，y 1，y 2都随x 的增大而增大；②当x ＜﹣1时，y 1＞y 2；③y 1与y 2的图象的两个交点之间的距离是2；④函数y ＝y 1+y 2的最小值是2.则所有正确结论的序号是.15．如图，一次函数y=﹣x+b 与反比例函数y=4x（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．（1）b=（用含m 的代数式表示）；（2）若S △OAF +S 四边形EFBC =4，则m 的值是．三、解答题16．如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 与反比例函数y 2＝mx的图象交于(2,4)A 、(4,)B n -两点.分别求出y 1和y 2的解析式.17．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点A ﹙−2，−5﹚、C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．（1）求反比例函数my x=和一次函数y kx b =+的表达式；（2）连接OA 、OC ．求△AOC 的面积．18．如图，已知反比例函数(0)ky k x=≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于(1,3),(3,1)A B 两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点(,0)(0)P a a >，过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y x b =-+的图象于点M ，交反比例函数ky x=上的图象于点N .若PM PN >，结合函数图象直接写出a 的取值范围.19．如图，直线AB 与坐标轴分别交于A （﹣2，0），B （0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C （4，n ），求一次函数和反比例函数的解析式．20．已知反比例函数y=1k x-（k 为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x 的图象的一个交点为P ，若点P 的纵坐标是2，求k 的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．21．如图，一次函数的图象与反比例函数y1=3x-(x<0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x<–1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值.（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y2=ax(x>0)的图象与y1=3x-(x<0)的图象关于y轴对称.在y2=ax(x>0)的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】612．【答案】0＜x ＜1或x ＜－313．或2214．【答案】②③④15．【答案】（1）4m m+（216．【答案】解：把点(2,4)A 代入2m y x=8m ∴=28y x∴=当4x =-时，2y =-(4,2)B ∴--把(2,4)A ，(4,2)B --代入y 1＝kx ＋b2442k b k b +=⎧⎨-+=-⎩①②，①-②得，1k =把1k =代入①得，2b =即12k b =⎧⎨=⎩12y x ∴=+.17．【答案】（1）解：将A （-2，-5）代入my x=，得m=-2×（-5）=10.则反比例函数为y=10x .将C （5，n ）代入y=10x得n=2,则C （5,2）.将A （-2，-5），C （5,2）代入y=kx+b 中得2552k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得13k b =⎧⎨=-⎩即直线y=x-3.（2）解：直线y=x-3与x 轴，y D （3,0），B （0，-3），则OD=3，OB=3，又因为A （-2，-5），C （5,2）则S △AOC =S △AOB +S △BOD+S △DOC =12×2×3+12×3×3+12×3×2=10.5.18．【答案】（1）解：∵反比例函数(0)ky k x=≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于(1,3),(3,1)A B 两点，∴3,311kb ==-+，∴3,4k b ==，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为3,4y y x x==-+；（2）解：由图象可得：当13a <<时，PM PN >.19．【答案】解：设一次函数的解析式为y=kx+b ，把A（﹣2，0），B（0，1）代入得：201k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：121kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y=12x+1；设反比例函数的解析式为y=m x，把C（4，n）代入得：n=3，∴C（4，3），把C（4，3）代入y=mx得：m=3×4=12，∴反比例函数的解析式为y=12 x．20．【答案】解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）∵点P在正比例函数y=x的图象上，∴2=m，即m=2．∴点P的坐标为（2，2）．∵点P在反比例函数y=1kx-的图象上，∴2=12k-，解得k=5．（Ⅱ）∵在反比例函数y=1kx-图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，解得k＞1．（Ⅲ）∵反比例函数y=1kx-图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，∴x1＞x221．【答案】（1）∵x＜-1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞-1时候，一次函数值小于反比例函数值．∴A点的横坐标是-1，∴A（-1，3），设一次函数的解析式为y=kx+b，因直线过A、C，11/12则320{k b k b -+=+=，解之得12{k b =-=，∴一次函数的解析式为y=-x+2；（2）∵y 2＝ax 的图象与y 1＝－3x (x<0)的图象关于y 轴对称，∴y 2=3x （x ＞0），∵B 点是直线y=-x+2与y 轴的交点，∴B （0，2），设p （n ，3n ）n ＞2，S 四边形BCQP =S 四边形OQPB -S △OBC =2，∴12（2+3n ）n-12×2×2=2，n=52，∴P 56,25⎛⎫⎪⎝⎭12/12。
备考2024年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数与一次函数的交点问题-解答题专训及答案
备考2024年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数与一次函数的交点问题-解答题专训及答案反比例函数与一次函数的交点问题解答题专训1、(2018吉林.中考真卷) 在平面直角坐标系中，反比例函数y= （k≠0）图象与一次函数y=x+2图象的一个交点为P，且点P的横坐标为1，求该反比例函数的解析式．2、(2019.中考模拟) 如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤ 的解集.3、(2018禹会.中考模拟) 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．4、(2017定远.中考模拟) 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．5、(2017和.中考模拟) 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B 作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．6、(2016利辛.中考模拟) 如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点，且BE=2AE，E（﹣1，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接EF，求△BEF的面积．7、(2018三明.中考模拟) 如图，一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0），与反比例函数的图象在第四象限交于点B(4,n)，△OAB的面积为，求一次函数和反比例函数的表达式.8、(2017武汉.中考模拟) 如图，点A是反比例函数y=﹣在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y= 在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，求△AOB的面积．9、(2017枝江.中考模拟) 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y1= （x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y2= （x＞0，k＜0）的y2图象于点B，BC⊥x轴，若S△ABC= ，求函数y2．10、(2015常德.中考真卷) 已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式．11、(2019中山.中考模拟) 如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，过点C作CE垂直x轴交于点E。
中考数学回归教材重难点08 反比例函数与一次函数综合问题(解析版)
回归教材重难点08 反比例函数与一次函数综合问题反比例函数与一次函数综合问题是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把反比例函数与一次函数结合起来，以不等式、方程组等为核心。
在中考数学中，主要是以解答题形式出现。
通过熟练运用的方程、不等式与函数三者之间的关系，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。
1.反比例函数中的有关面积问题如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错2.待定系数法求反比例函数解析式反比例函数y =kx （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．反比例函数y =kx （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，//AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数ky x=于点B，已知2AC BC =． yx DC FEOB A（1）求直线OA 的解析式； （2）求反比例函数ky x=的解析式； （3）点D 为反比例函数ky x=上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积． 【答案】（1）y x =；（2）2y x=-；（3）3.【分析】（1）先求解A 的坐标，再把A 的坐标代入正比例函数y mx =，解方程即可得到答案； （2）利用2,AC BC = 先求解B 的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；（3）设2,,D n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 而()2,2,A E 为AD 的中点，利用中点坐标公式求解,D E 的坐标，再利用()12OAD ODE OAE A D S S S OE x x =+=+，计算即可得到答案.【详解】解：（1） 点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，24,2,a a ∴== 则()2,2,A 2,AC ∴= 设直线AO 为：,y mx = 22,m ∴= 则1,m = 所以直线AO 为：,y x =（2） //AB x 轴， 2=2AC BC =．1,BC ∴= ()1,2,B ∴- 122,k xy ∴==-⨯=-所以反比例函数为：2.y x=-（3）设2,,D n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 而()2,2,A E 为AD 的中点，()120,2E x n ∴=+=2,n ∴=-()32,1,0,,2D E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭()12OADODE OAEA D SSSOE x x ∴=+=+ ()1322 3.22=⨯⨯+= 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.2．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数2k y x =的图象在第二象限交于C ，(6,2)D -两点，//DE OC 交x 轴于点E ，若13AD AC =． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求四边形OCDE 的面积．【答案】（1）8y x +＝，12y x＝-；（2）643【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C 点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A 点和E 点坐标，然后用AOC △的面积减去AED 的面积求解．【详解】解：（1）将(62)D -，代入2k y x=中，26212k ⨯＝-＝-， ∴反比例函数的解析式为12y x＝-； 过点D 作DM x ⊥轴，过点C 作CN x ⊥轴，//DE OC ，ADE ACO ∴∽，13AD AE DM AC AO CN ∴===，36CN DM ∴＝＝， 将6y ＝代入12y x＝-中，126x =-，解得：2x ＝-，∴C 点坐标为()2,6-，将()2,6C -，()6,2D -代入1y k x b +＝中，可得112662k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为8y x +＝； （2）设直线OC 的解析式为y mx ＝，将()2,6C -代入，得：26m -＝，解得：3m ＝-，∴直线OC 的解析式为3y x ＝-，由//DE OC ，设直线DE 的解析式为3y x n +＝-， 将()6,2D -代入可得：()362n ⨯+--＝，解得：16n ＝-，∴直线DE 的解析式为316y x -＝-，当0y ＝时，3160x --＝，解得：163x =-，∴E 点坐标为16,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，163OE ∴＝，在8y x +＝中，当0y ＝时，80x +＝，解得：8x ＝-，∴A 点坐标为()8,0-，8OA ∴＝，168833AE ∴-＝＝， AOCAEDOCDE S SS四边形＝﹣1122OA CN AE DM =⋅-⋅118862223=⨯⨯-⨯⨯8243=-643=．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．3．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=相交于()()2,3,,2A B m --两点．（1）求12,y y 对应的函数表达式；（2）过点B 作//BP x 轴交y 轴于点P ，求ABP △的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于x 的不等式21k k x b x+<的解集． 【答案】（1）11y x =-+，26y x=-；（2）152ABPS=；（3）20x -<<或3x > 【分析】（1）由题意先求出2y ，然后得到点B 的坐标，进而问题可求解；（2）由（1）可得ABP △以PB 为底，点A 到PB 的距离为高，即为点A 、B 之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；（3）根据函数图象可直接进行求解．【详解】（1）把点()2,3A -代入反比例函数解析式得：6k =-，∴26y x=-，∴点B 在反比例函数图象上，∴26m -=-，解得：3m =，∴()3,2B -，把点A 、B 作代入直线解析式得：112332k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：111k b =-⎧⎨=⎩，∴11y x =-+；（2）由（1）可得：()2,3A -，()3,2B -，∴//BP x 轴，∴3BP =，∴点A 到PB 的距离为()325--=，∴1153522ABPS =⨯⨯=； （3）由（1）及图象可得：当21k k x b x+<时，x 的取值范围为20x -<<或3x >． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．4．（2021·山东济宁·中考真题）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点()2,0C ，点()0,4B ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数，图象上的点()1,n ，求m ，n 的值． 【答案】（1）12y x =；（2）12n =，353m =【分析】（1）作AD x ⊥轴，可知BOC CDA △≌△，得出A 点坐标，待定系数法求出解析式即可， （2）将点()1,n 代入（1）中解析式和直线OA 的解析式中，分别求出m ，n 的值即可． 【详解】（1）如图，作AD x ⊥轴，则90ADC ∠=︒90ACB ∠=︒，AC BC =，90BCO ACD ∴∠+∠=︒90BCO CBO ∠+∠=︒ACD CBO ∴∠=∠∴()BOC CDA AAS △≌△点()2,0C ，点()0,4B 2,4OC OB ∴==4,2CD OB AD OC ∴====，∴OD =OC +CD =6，(6,2)A ∴ 代入k y x=中，2612k =⨯=12y x ∴=．（2）()1,n 在12y x=上，12n ∴= (6,2)(0,0)A O ，设直线OA 解析式为1y k x =12=6k ∴，113k =13y x ∴=直线OA 向上平移m 个单位后的解析式为：13y x m =+ 图象经过（1，12），11213m ∴=⨯+，解得：353m =，12n ∴=，353m =．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x=>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B ．（1）求m 的值； （2）点M 是函数(0)m y x x =>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．【答案】（1）24；（2）M 点的坐标为(8,3)【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P 的横坐标，利用k =xy 计算m 即可； （2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可. 【详解】（1）∴点P 纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，(6,4)P ∴∴4=6m ，∴24m =．（2）∴1tan 2PMD ∠=，∴12PD PM =， 设(0)PD t t =>，则2DM t =，当M 点在P 点右侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t +-，∴（6+2t ）（4-t ）=24，解得：11t =，20t =（舍去），当11t =时，(8,3)M ，∴M 点的坐标为(8,3)，当M 点在P 点的左侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t -+，∴（6-2t ）（4+t ）=24， 解得：10t =，21t =-，均舍去． 综上，M 点的坐标为(8,3)．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．6．（2022·重庆·模拟预测）如图，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数ky x=的图像相交于点A （3，1），B （﹣1，n ）两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，直接写出满足1+≥kk x b x的x 的取值范围； (3)连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求ABC ∆的面积．【答案】(1)反比例函数的解析式是3y x=，一次函数的解析式是2y x =-；(2)10x -≤<或3x ≥；(3)8 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再把点B 的坐标代入反比例函数的解析式可求出B 的坐标，把点A 、B 的坐标代入一次函数1y k x b =+即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图像和A 、B 的坐标即可得出答案；（3）过C 点作CD y ∥轴，交直线AB 于D ，求出D 的坐标，即可求得CD ，然后根据ABC ACD BCD S S S =+△△△即可求出答案．【详解】(1)解：∴点A （3，1），B （﹣1，n ）两点在反比例函数图像上 ∴把A （3，1）代入k y x=得：313k =⨯=，∴反比例函数的解析式是3y x =，又∴B （﹣1，n ）代入反比例函数3y x=得：3n =-，∴B 的坐标是（﹣1，﹣3），把A 、B 的坐标代入一次函数1y k x b =+得：11313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k =，2b =-，∴一次函数的解析式是2y x =-． (2)解：从图像可知：1+≥kk x b x的x 的取值范围是当10x -≤<或3x ≥． (3)解：过C 点作CD y ∥轴，交直线AB 于D ，∴B （﹣1，﹣3），B 、C 关于原点对称，∴C （1，3）， 把1x =代入2y x =-得，1y =-，∴D （1，﹣1），∴4CD =，∴()142282△△△=+=⨯⨯+=ABC ACD BCD S S S ．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．数形结合思想的运用是解题的关键． 7．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数在图象与反比例函数y kx=（k ＜0）的图象在第二象限交于点A （﹣3，m ），B（n ，2）两点．(1)当m ＝1时，求一次函数的解析式．(2)若点E 在x 轴上，满足∴AEB ＝90°，且AE ＝2﹣m ，分别连接OA ，OB ，求∴OAB 的面积． 【答案】(1)y 23=x +3；(2)289108【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式中求出k ，进而得出点B 坐标，最后用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）先判断出BF ＝AE ，进而得出∴AEG ∴Rt∴BFG （AAS ），得出AG ＝BG ，EG ＝FG ，即BE ＝BG +EG ＝AG +FG ＝AF ，再求出m 23=-n ，进而得出BF ＝223+n ，MN ＝n +3，即BE ＝AF ＝n +3，再判断出∴AME ∴∴ENB ，根据相似三角形的性质得出ME 23=BN ，最后用勾股定理求出m ，根据梯形的面积公式即可得出结论． 【详解】(1)解：当m ＝1时，点A （﹣3，1）， ∴点A 在反比例函数y kx=的图象上，∴k ＝﹣3×1＝﹣3， ∴反比例函数的解析式为y 3x=-； ∴点B （n ，2）在反比例函数y 3x=-图象上，∴2n ＝﹣3，∴n 32=-，设直线AB 的解析式为y ＝ax +b ，则31322b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴233a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为y 23=x +3； (2)如图，过点A 作AM ∴x 轴于M ，过点B 作BN ∴x 轴于N ，过点A 作AF ∴BN 于F ，交BE 于G ， 则四边形AMNF 是矩形，∴FN ＝AM ，AF ＝MN ， ∴A （﹣3，m ），B （n ，2），∴BF ＝2﹣m ， ∴AE ＝2﹣m ，∴BF ＝AE ，在∴AEG 和∴BFG 中，90AGE BGFAEG BFG AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴∴AEG ∴∴BFG （AAS ），∴AG ＝BG ，EG ＝FG ，∴BE ＝BG +EG ＝AG +FG ＝AF ，∴点A （﹣3，m ），B （n ，2）在反比例函数y kx=的图象上，∴k ＝﹣3m ＝2n ，∴m 23=-n ，∴BF ＝BN ﹣FN ＝BN ﹣AM ＝2﹣m ＝223+n ，MN ＝n ﹣（﹣3）＝n +3，∴BE ＝AF ＝n +3，∴∴AEM +∴MAE ＝90°，∴AEM +∴BEN ＝90°，∴∴MAE ＝∴NEB ，∴∴AME ＝∴ENB ＝90°，∴∴AME ∴∴ENB ，∴22223333nME AE m BN BE n n +-====++，∴ME 23=BN 43=，在Rt∴AME 中，AM ＝m ，AE ＝2﹣m ，根据勾股定理得，AM 2+ME 2＝AE 2，∴m 2+（43）2＝（2﹣m ）2， ∴m 59=，∴k ＝﹣3m 53=-，∴2n 53=-，∴n 56=-，∴A （﹣3，59），B （56-，2），∴AM 59=，OM ＝3，BN ＝2，ON 56=，∴MN 136=， ∴∴OAB 的面积＝S 四边形AMNB +S △BNO ﹣S △AOM ＝S 四边形AMNB 12=（AM +BN ）•MN 12=⨯（59+2）132896108⨯=．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用,解决问题的关键是利用好交点的坐标．8．（2022·江西南昌·一模）如图，反比例函数y 1＝kx（x ＞0）与直线y 2＝ax +b 的图象相交于A ，B 两点，其中点B （3，3），且AB ＝2BC ．(1)求反比例函数解析式．(2)求直线AB 解析式．(3)请根据图象，直接写出当y 1＜y 2时，x 的取值范围． 【答案】(1)19y x=；(2)2312y x =-+；(3)13x << 【分析】（1）将B 点坐标代入反比例函数解析式，求出k 的值即可；（2）过点A 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．由此即易证ADC BEC △△，得出BE BCAD AB=．再根据2AB BC =，即得出13BE AD =．结合B 点坐标，即可求出A 点纵坐标，将A 点纵坐标代入反比例函数解析式，即求出A 点横坐标．最后结合A 、B 两点坐标利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式； （3）根据当12y y <时，反比例函数图象在一次函数图象下方，结合图象即可写出x 的取值范围． 【详解】(1)将B 点坐标代入反比例函数解析式得：33k=，解得：9k =． 故反比例函数解析式为：19y x=；(2)如图，过点A 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．根据作图易证ADC BEC △△，∴BE BC AD AB =． ∴2AB BC =，∴13BC AC =，即13BE AD =． ∴3B BE y ==，∴39A y AD BE ===，将9A y =代入19y x=，即得出99x =，解得：1x =，即A (1，9)． 将A (1，9)和B (3，3)代入2y ax b =+，得：933a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得：312a b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为2312y x =-+； (3)当12y y <时，即反比例函数图象在一次函数图象下方即可，由图象可知当13x <<时反比例函数图象在一次函数图象下方，∴当13x <<时，12y y <．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．9．（2021·山东青岛·一模）如图，直线y 1＝k 1x +b 与双曲线y 2＝2k x在第一象限内交于A 、B 两点，已知A （1，m ），B （2，1）．(1)分别求出直线和双曲线的解析式；(2)设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD ∴x 轴于点D ，E 是y 轴上一点，当∴PED 的面积最大时，请直接写出此时P 点的坐标为 ． 【答案】(1)y 1＝﹣x +3，22y x =；(2)33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m 和2k 的值，再根据待定系数法即可得出直线AB 的解析式；（2）设点P (x ，﹣x+3），用含x 的代数式表示出△PED 的面积，即可求解．【详解】(1)解：∴点B (2，1)在双曲线上，∴2k ＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为22y x=， ∴A （1，m ）在双曲线22y x =，∴m ＝2，∴A (1，2）． ∴直线AB ：y 1＝k 1x +b 过A （1，2）、B （2，1）两点，则11221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3；(2)解：设点P (x ，﹣x +3），且1≤x ≤2，∴PED 的面积＝12PD •OD ＝12x (﹣x +3)＝﹣12(x ﹣32)2+98， 当x ＝32时，∴PED 的面积取得最大值，此时点P 的坐标为(32，32）， 故答案为：(32，32）． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线AB 的解析式是解题的关键.10．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上，CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝2．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．【答案】(1)点A 在反比例函数图象上，理由见解析；(2)Q 317+【分析】（1）过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，可得BP ＝2，G 是CD 的中点，所以P （23； （2）易求D （3，0），E （43，待定系数法求出DE 的解析式为y 3﹣3次函数即可求点Q ．【详解】(1)解：点A 在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，∴P 是正六边形ABCDEF 的对称中心，CD ＝2，∴BP ＝2，G 是CD 的中点，∴PG=BO=BC 3sin 602︒=3∴P （23， ∴P 在反比例函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图象上，∴k ＝3∴y 23 由正六边形的性质，A （1，3，∴点A 在反比例函数图象上；(2)解：由（1）得D （3，0），E （43，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，∴3043m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴333m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴y 3﹣3 由方程23333y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x 317+，∴Q 317+ ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．11．（2021·广东清远·二模）如图，一次函数y 1＝k 1x +4与反比例函数22k y x =的图象交于点A (2,m )和B (-6,-2)，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点A 作AD ∴x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1时，求点P 的坐标；(3)点M 是y 轴上的一个动点，当∴MBC 为直角三角形时，直接写出点M 的坐标．【答案】(1)y =x +4，12y x =；(2)41515⎝；(3)(0,−2)或(0,−8) 【分析】(1)根据点B 的坐标，利用待定系数法即可求出k 1、k 2的值；(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、C 的坐标，根据梯形的面积公式求出S 四边形ODAC 的值，进而即可得出S △ODE 的值，结合三角形的面积公式即可得出点E 的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP 的解析式，再联立直线OP 与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P 的坐标；(3)分∴CMB =90°或∴CBM =90°两种情况考虑，当∴CMB =90°时，根据点B 的坐标即可找出点M 的坐标；当∴CBM =90°时，由直线AB 的解析式可得出∴BCM 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A 、B 的坐标即可得出点M 的坐标，综上即可得出结论．【详解】(1)解：将点B (−6,−2)代入y 1=k 1x +4，−2=−6k 1+4，解得：k 1=1，故一次函数的解析式为；y =x +4 将点B (−6,−2)代入22k y x =①，226k -=-，解得：k 2=12， 故反比例函数的解析式为12y x=； (2)解：依照题意，画出图形，如图2所示．当x =2时，m =2+4=6，∴点A 的坐标为(2,6)；当x =0时，y 1=x +4=4，∴点C 的坐标为(0,4)，∴()114621022()ODAC S OC AD OD =+⋅=⨯+⨯=四边形，S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1， ∴111210224ODE S OD DE DE =⋅=⨯=⨯，∴DE =2.5，即点EE 的坐标为(2,2.5)， 设直线OP 的解析式为y =kx ，将点E (2,2.5)代入y =kx ，得2.5=2k ，解得：54k =，∴直线OP 的解析式为54y x =， 1254y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：1141515x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩2241515x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴点P 在第一象限，∴点P 的坐标为41515⎝； (3)解：依照题意画出图形，如图3所示．当∴CMB =90°时，BM x ∥轴，∴点M 的坐标为(0,−2)；当90CBM ∠'=︒时，∴B (-6,-2)，C (0,4)，6BM CM ∴==，∴∴BCM =45°，∴∴BCM 为等腰直角三角形，BC=BM ，∴=6M M CM '=，∴点M 的坐标为(0,−8)，综上所述：当∴MBC 为直角三角形时，点M 的坐标为(0,−2)或(0,−8)．【点睛】本题考查了待定系数法求出一次及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线． 12．（2021·四川眉山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与反比例函数y m x=（m ≠0）的图象相交于A ，B 两点，过点A 作AD ∴x 轴于点D ，AO ＝5，OD ：AD ＝3：4，B 点的坐标为（﹣6，n ）(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求∴AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且∴AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)y23=x+2，y12x=；；(2)∴AOB的面积S9=；(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）∴AOB的面积S=12×OM×（xA-xB）=12×2×（3+6）=9；（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．【详解】(1) AO＝5，OD：AD＝3：4，设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y12x=，故B（﹣6，﹣2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：4326k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，故一次函数的表达式为：y23=x+2；(2)解：设一次函数y23=x+2交y轴于点M（0，2），∴点A （3，4），B （﹣6，﹣2），∴∴AOB 的面积S 12=⨯OM ×（xA ﹣xB ）12=⨯2×（3+6）＝9； (3)解：设点P （0，m ），而点A 、O 的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP 2＝9+（m ﹣4）2，AO 2＝25，PO 2＝m 2，当AP ＝AO 时，9+（m ﹣4）2＝25，解得：m ＝8或0（舍去0）；当AO ＝PO 时，同理可得：m ＝±5；当AP ＝PO 时，同理可得：m 258=； 综上，P 点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．13．（2021·广东云浮·一模）如图，反比例函数k y x=图像和一次函数y ax b =+经过()1,6M 和()2,N a ．(1)求一次函数解析式：(2)一次函数y ax b =+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，求证：AM BN =．【答案】(1)39y x =-+；(2)见解析【分析】(1)把两点的坐标分别代入两解析式，即可求得a 的值，再利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；(2)求出A 、B 两点坐标，再根据坐标特征可证得APM NQB ≌，即可证得结论．【详解】(1)解：∴(1,6)和(2,a )经过反比例函数k y x =，∴6=2k k a ⎧⎪⎨=⎪⎩，解得63k a =⎧⎨=⎩ ，∴N (2,3)， 又∴一次函数y ax b =+经过M (1,6)和N (2,3)，∴623a b a b +=⎧⎨+=⎩ 得到39a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为39y x =-+； (2)解：如图：过M 作MC ∴y 轴，垂足为点C ；过点N 作ND ∴x 轴，垂足为点D ；∴90ACM NDB ∠=∠=︒在一次函数解析式39y x =-+中，令x =0，得y =9；令y =0，得x =3，即A (0,9)，B (3,0),∴AO =9，BO =3, ∴M (1,6)和N (2,3)，∴CO =6，MC =1,DO =2,ND =3,∴AC =AO -CO =9-6=3，BD =BO -DO =3-2=1,∴AC =ND =3，MC =BD =1,在∴APM 和∴NQB 中，90AP NQ APM NQB PM QB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()APM NQB SAS ≌，∴AMNB =． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，全等三角形的判定与性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．。
初中数学中考二轮复习重难突破专题06 反比例函数的综合(含答案)
专题06 反比例函数的综合重点分析在中考中，反比例函数的图象与性质常以选择题和填空形式考查；反比例函数解析式主要在反比例函数综合题中与一次函数、几何图形结合考查。
难点解读难点一：反比例函数的概念一般地，形如，叫做反比例函数，自变量范围是≠0的一切实数难点二：反比例函数的图象与性质一、三二、四难点三：反比例函数系数k的几何意义在反比例函数上任取一点轴的垂线PM、P=难点四：反比例函数解析式的确定设所求反比例函数解析式为：得几何意义，由面积得真题演练1.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数的图象于点N.①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.【答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3.【解析】【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k 的值．（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，∴m=3-2=1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y=，∴k=3×1=3，m的值为1.（2）①当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x-2，x-2=1，∴x=3，∴M（3，1），∴PM=2，令x=1代入y=，∴y=3，∴N（1，3），∴PN=2∴PM=PN，②P（n，n），点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，M（n+2，n），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∴0＜n≤1或n≥3点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A(2，a)．（1）求a，k的值；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P(m，n)为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．①若PA＝OA，求区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【答案】（1）3，6；（2）①5个；②或．【解析】（1）先根据直线的解析式可求a的值，从而可得点A的坐标，再将将点A坐标代入反比例函数的解析式可得k的值；（2）①先求出点P坐标，再根据反比例函数的解析式求出点B，C坐标，然后结合函数图象、整点的定义即可得；②分点P在点A下方和点P在点A上方两种情况讨论，结合函数图象列出不等式组求解即可．【详解】（1）∵直线与反比例函数的图象交于点∴∴将代入反比例函数得解得；（2）①∵点P为射线OA上一点，且∴A为OP中点∵，解得∴点P的坐标为将代入得将代入得，解得∵如图，PB，PC分别垂直于x轴和y轴∴结合函数图象可知，区域W内有5个整点；②在射线OA上由题意，分以下两种情况：如图，当点P在点A下方时结合函数图象得：，即解得如图，当点P在点A上方时结合函数图象得：，即解得综上，当或时，区域W内恰有5个整点．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数的性质是解题关键．3.如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于A，B两点，点B的坐标为（4，2），连接OA，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC＝CA．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集为 ．【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y=-x+6；（2）0＜x＜2或x＞4．【解析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）如图，过点A作AN⊥x轴于点N，交BD于点E，∵点B（4，2）在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数的表达式为，∵B（4，2），∴EN=2，∵BD⊥y轴，OC=CA，∴AE=EN=AN，∴AN=4，∴点A的纵坐标为4，∵点A在反比例函数图象上，∴A（2，4），∵一次函数的表达式为，∴4a+b=2，2a+b=4，∴a=-1，b=6，∴一次函数的表达式为y=-x+6；（2）观察函数图象知，不等式的解集为：0＜x＜2或x＞4，故答案为：0＜x＜2或x＞4．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，解本题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式．4.如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣2x+4；（2）点P的坐标是（﹣2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）．【解析】（1）先把A点坐标代入y＝可求出k2的值，从而确定反比例函数解析式；再把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m的值，可确定点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先根据一次函数的解析式确定M和N的坐标，根据以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况讨论：①NP＝NM；②MP＝MN；③PN＝PM；前两种直接根据线段的长得出点P的坐标，第三种根据两点的距离列方程可得结论．【详解】解：（1）把，代入反比例函数得：，，，∴反比例函数解析式为，且，把，代入得：，解得，∴一次函数解析式为；（2），当时，，当时，，，，，，，①当时，如图1，，，；②当时，如图2，由勾股定理得：，，或，；③当时，如图3，是轴上一动点，设，，，，，综上，点的坐标是或，或，或．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和等腰三角形的性质和判定，并注意等腰三角形在没确定腰和底边时要分情况讨论，注意利用数形结合的思想．5.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数的解析式和的值；（2）根据图象直接写出不等式的的取值范围；（3）求的面积．【答案】（1），2；（2）或；（3）8【解析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值；（2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解；（3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与轴相交于点，然后根据即可求解．【详解】解：（1）在的图象上，，反比例函数的解析式是．又∵在的图象上，；（2）由图象可知：当或时，；（3），在函数的图象上，，解得：，则一次函数的解析式是，设直线与轴相交于点，则的坐标是．∴．【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解决本题的关键．6.如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．（1）求k的值；（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．【答案】（1）k＝3；（2）4．【解析】（1）将x＝1代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入反比例函数表达式，即可求解；（2）一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位得到y＝x﹣2，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得A.B的坐标，然后根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+2＝3，∴交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入y＝，解得：k＝1×3＝3；（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2，由，解得：或，∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），∴AB＝＝4．7.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点，且与反比例函数图象的一个交点为．（1）求m的值；（2）若，求k的值．【答案】（1）4；（2）或【解析】（1）将P点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可求得m；（2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图象，将转化为两个三角形相似，过过P作轴交x轴于点H，证明，即可求出k和b的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图象，将转化为两个三角形相似，过点P作PQ⊥y轴于点Q，证明即可求出k和b的值．【详解】解：（1）∵P为反比例函数上一点，∴代入得，∴．（2）令，即，∴，，令，∴，∵．由图象得，可分为以下两种情况，①B在y轴正半轴时，，∵，过P作轴交x轴于点H，又，，∴∴，,即,∴，∴，∴．②B在y轴负半轴时，，过P作轴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，代入∴，综上，或．【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数的图象与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键．8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）6【解析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式；（2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点A的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解．【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点，∴点坐标满足一次函数解析式，∴，∴，∴，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）∵轴，∴，轴，∴，令，则，∴，∴，∴，∴的面积为6【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．9.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．【答案】（1）y；（2）15°．（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD ＝15°．【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOE＝45°，∴∠EOD＝15°．10.如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点A（1，2）.（1）求的值；（2）过点作轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数的图象交于点，与轴交于点D.①当点C是线段BD的中点时，求的值；②当时，直接写出的取值范围.【答案】（1）m=2；（2）①b=-3, ②b>3.【解析】（1）把A点坐标代入中即可得出m的值；（2）①求出C点坐标为（2，1）代入直线即可得出b的值；②根据图象可得结论.【详解】（1）把A（1，2）代入函数中，∴.∴.（2）①过点C作轴的垂线，交直线l于点E，交轴于点F.当点C是线段BD的中点时，.∴点C的纵坐标为1，把代入函数中，得.∴点C的坐标为（2，1）.把C（2，1）代入函数中，得.②由图象可知，当时，。
2023年+九年级数学中考二轮复习专题提升训练 反比例函数与一次函数综合(含答案)
2023年春九年级数学中考二轮复习《反比例函数与一次函数综合》专题提升训练（附答案）一．选择题（共17小题）1．一次函数y＝﹣x+a﹣3（a为常数）与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（ ）A．0B．﹣3C．3D．42．如图，已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（ ）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）3．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，若函数y＝（x＞0）的图象△ABC的边有公共点，则k的取值范围是（ ）A．5≤k≤20B．8≤k≤20C．5≤k≤8D．9≤k≤204．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（ ）A．B．C．D．5．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）A．x＜﹣2或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞26．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）A．﹣2＜x＜0或x＞1B．﹣2＜x＜1C．x＜﹣2或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜17．如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1．则关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集为（ ）A．x＜﹣3B．﹣3＜x＜﹣1C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣3或﹣1＜x＜08．如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（ ）A．1B．2C．3D．49．如图，在直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2＝（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA＝AD，则以下结论：①S△ADB＝S△ADC；②当0＜x＜3时，y1＜y2；③如图，当x＝3时，EF＝；④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4二．填空题10．如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是 ．11．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜+b的解集是 ．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．13．如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）14．如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y＝（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为 ．15．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y＝（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为 ．16．如图，直线y1＝﹣x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面积为10，则k的值是 ．三．解答题17．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．18．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．19．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）图象上的两点（n，3n）、（n+1，2n）．（1）求n的值；（2）如图，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，过点A作AB⊥l于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥BC于点D，记△BOC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1﹣S2的值．20．如图，点A在函数y＝（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y＝图象于点B、C，直线BC与坐标轴的交点为D、E．当点A在函数y＝（x＞0）图象上运动时，（1）设点A横坐标为a，则点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含a的字母表示）；（2）△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积，若变化，请说明理由；（3）请直接写出BD与CE满足的数量关系．参考答案一．选择题1．解：∵A、B两点关于原点对称，∴直线AB过原点，∴一次函数y＝﹣x+a﹣3过原点，∴a﹣3＝0，解得a＝3．故选：C．2．解：∵直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点，∴M，N两点关于原点对称，∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（﹣1，﹣2）．故选：A．3．解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，将y＝5代入y＝﹣x+6，得x＝1；将x＝4代入y＝﹣x+6得，y＝2，∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），∵函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的边有公共点，点A（4，5），点B（1，5），∴1×5≤k≤4×5即5≤k≤20，故选：A．4．解：连接BP，由对称性得：OA＝OB，∵Q是AP的中点，∴OQ＝BP，∵OQ长的最大值为，∴BP长的最大值为×2＝3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP＝1，∴BC＝2，∵B在直线y＝2x上，设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，t＝0（舍）或﹣，∴B（﹣，﹣），∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴k＝﹣＝；故选：C．5．解：∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，∴A，B两点坐标关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴B点的横坐标为﹣2，∵y1＜y2∴在第一和第三象限，正比例函数y1＝k1x的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，∴x＜﹣2或0＜x＜2，故选：B．6．解：如图所示：若y1＞y2，则x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜1．故选：D．7．解：观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴关于x的不等式＜x+4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．故选：B．8．解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．∵S△AOB＝S△BOC，∴AB＝BC．∵△AOB的面积为1，∴OA•OB＝1，∴OA＝，∵CD∥OB，AB＝BC，∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，∴C（，2a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，∴k＝×2a＝4．故选：D．9．解：对于直线y1＝2x﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2；令y＝0，得到x＝1，∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA＝1，OB＝2，在△OBA和△CDA中，，∴△OBA≌△CDA（AAS），∴CD＝OB＝2，OA＝AD＝1，∴S△ADB＝S△ADC（同底等高三角形面积相等），选项①正确；∴C（2，2），把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即y2＝，由函数图象得：当0＜x＜2时，y1＜y2，选项②错误；当x＝3时，y1＝4，y2＝，即EF＝4﹣＝，选项③正确；当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，选项④正确，故选：C．二．填空题10．解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．11．解：由k1x＜+b，得，k1x﹣b＜，所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A′的横坐标为﹣1，交点B′的横坐标为﹣5，当﹣5＜x＜﹣1或x＞0时，双曲线图象在直线图象上方，所以，不等式k1x＜+b的解集是﹣5＜x＜﹣1或x＞0．故答案为：﹣5＜x＜﹣1或x＞0．12．解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，解得：x＝，y＝3，∴点B坐标为（，3），点A是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，解得：x＝，y＝，∴点A坐标为（，），∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为，纵坐标为＝，∴点C坐标为（，），∴BA＝，AC＝∴BA2﹣AC2＝9k﹣6k+k﹣k+k﹣k＝k＞0∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，则＝3﹣，解得：k＝；②AC＝BC，则＝3﹣，解得：k＝；故答案为k＝或．13．解：①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y＝﹣x++，∴C（m+n，0），D（0，），∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k ＝mn ，∴A （m ，n ），M （n ，m ），∴AM ＝（m ﹣n ），OM ＝，∴AM 不一定等于OM ，∴∠BAM 不一定是60°，∴∠MBA 不一定是30°．故②错误，∵M 点的横坐标为1，∴可以假设M （1，k ），∵△OAM 为等边三角形，∴OA ＝OM ＝AM ，1+k 2＝m 2+，∵m ＞0，k ＞0，∴m ＝k ，∵OM ＝AM ，∴（1﹣m ）2+＝1+k 2，∴k 2﹣4k +1＝0，∴k ＝2，∵m ＞1，∴k ＝2+，故③正确，如图，作MK ∥OD 交OA 于K ．∵OF ∥MK ，∴＝＝，∴＝，∵OA ＝OB ，∴＝，∴＝，∵KM ∥OD ，∴＝＝2，∴DM ＝2AM ，故④正确．故答案为①③④．14．解：作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，∵过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∴4＝2×3+b，解得b＝﹣2，∴直线为y＝2x﹣2，令y＝0，则求得x＝1，∴A（1，0），∵BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，∴BE∥x轴，∴∠ABE＝∠BAF，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝90°，∵∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠EBC＝∠ABF，在△EBC和△FBA中∴△EBC≌△FBA（AAS），∴CE＝AF，BE＝BF，设B（m，），∵4﹣＝m﹣1，m﹣3＝，∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1，解得m＝4，k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，把x＝1代入得y＝4，∴a＝4﹣0＝4，∴a的值为4．故答案为4．15．解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y＝上，∴＝﹣2，∴k＝8，根据中心对称性，点A、B关于原点对称，所以，A（4，2），如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，），若S△AOC＝S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE，＝×8+×（2+）（4﹣a）﹣×8，＝4+﹣4，＝，∵△AOC的面积为6，∴＝6，整理得，a2+6a﹣16＝0，解得a1＝2，a2＝﹣8（舍去），∴＝＝4，∴点C的坐标为（2，4）．若S△AOC＝S△AOE+S梯形ACFE﹣S△COF＝，∴＝6，解得：a＝8或a＝﹣2（舍去）∴点C 的坐标为（8，1）．故答案为：（2，4）或（8，1）．16．解：设点A 为（a ，﹣a ），则OA ＝＝﹣a ，∵点C 为x 轴上一点，∠ACB ＝90°，且△ACB 的面积为10，∴OA ＝OB ＝OC ＝﹣a ，∴S △ACB ＝×OC ×（A y +|B y |）＝×（﹣a ）×（﹣a ）＝10，解得，a ＝﹣或（舍弃），∴点A 为（﹣，2），∴k ＝﹣×2＝﹣6，故答案为﹣6．三．解答题17．解：（1）把A （﹣4，2）代入y ＝，得m ＝2×（﹣4）＝﹣8，所以反比例函数解析式为y ＝﹣，把B （n ，﹣4）代入y ＝﹣，得﹣4n ＝﹣8，解得n ＝2，把A （﹣4，2）和B （2，﹣4）代入y ＝kx +b ，得，解得，所以一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2；（2）y ＝﹣x ﹣2中，令y ＝0，则x ＝﹣2，即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．18．解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y＝kx+b，y＝kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数y＝图象过点（﹣1，2），m＝﹣1×2＝﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P（x，x+）由△PCA和△PDB面积相等得××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），x＝﹣，y＝x+＝，∴P点坐标是（﹣，）．19．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0，k＞0）图象上的两点（n，3n）、（n+1，2n）．∴n•3n＝（n+1）•2n，解得n＝2或n＝0（舍去），∴n的值为2；（2）反比例函数解析式为y＝，设B（m，m），∵OC＝BC＝m，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∵AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∴∠ABC＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，设BD＝AD＝t，则A（m+t，m﹣t），∵A（m+t，m﹣t）在反比例函数解析式为y＝上，∴（m+t）（m﹣t）＝12，∴m2﹣t2＝12，∴S1﹣S2＝m2﹣t2＝×12＝6．20．解：（1）∵点A横坐标为a，点A在函数y＝（x＞0）图象上，∴点A纵坐标为，∵AB∥x轴，AC∥y轴，∴点B的纵坐标为：，点C的横坐标a，∴点B横坐标为：a；点C的纵坐标为：，∴B点坐标为（a，），C（a，）；故答案为：（a，），C（a，）；（2）∵A（a，），则C（a，），B（，），∴AB＝a﹣＝a，AC＝﹣＝，∴S△ABC＝AB•AC＝×a×＝，即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）BD＝CE，如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴＝，即＝，∴EF＝a，由（2）可知BG＝a，∴BG＝EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG＝∠FCE，在△DBG和△CFE中，∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD＝CE．。
中考第二轮专题复习：反比例函数与一次函数综合2023-2024学年人教版九年级数学下册
02 典型例题
【例3】 ．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y= （k≠0）图象上的点，
当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y=kx﹣k的图象不经过（ B ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
考点 反比例函数增减性 一次函数图象与系数的关系
解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2 ∴k＞0 ∴﹣k＜0 ∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限
于点C，若AB=2BC，则k=
．
考 点
反比例函数与一次函数的交点问题
相似三角形的判定和性质
02 总结归纳
类 型 二（综 合 型）：考 点
1.看到求函数表达式 想到 求图象点的坐标，反比例函数k的几何意义
2.看到反比例和一次函数的综合题 想到 几何图形的性质
数学思想方法渗透
1.数形结合思想 3.方程思想
2.分类讨论思想 4.待定系数法
04 感受中考
1.（2020大庆）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝
坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（ B
，
在同一直角 ）
A．①②
．
B．①④ C．②③ D．③④
04 感受中考
2.（2020大庆）如图，反比例函数y＝
与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的
像特点是由k、b决定的。
b>0交y轴正半轴，b<0交y轴负半轴
02 典型例题
【例2】.正比例函数y＝4x和反比例函数y= 的图象相交于点A(x1， y1)，B(x2，y2)，求8x1y2－3x2y1的值．
考点
正比例函数与反比例函数图 象交点关于原点对称。
中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型三 反比例函数与一次函数综合题课件
【对应训练】 1．(2017·常德)如图，已知反比例函数 y＝kx的图象经过点 A(4，m)， AB⊥x 轴，且△AOB 的面积为 2. (1)求 k 和 m 的值； 1．解：(1)∵△AOB 的面积为 2，∴k＝4， ∴反比例函数解析式为 y＝4x， ∵A(4，m)，∴m＝44＝1；
专题(zhuāntí)二 解答重难点题型突破
题型三 反比例函数(hánshù)与一次函数(hánshù)综合
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考情总结：反比例函数与一次函数综合题近五年河南中招考试中考查3次(2017.20，2013 、2014.20)，均为解答题的第20题，分值为9分，设问为2～3问， 常考查的设问有：求 一次函数解析式、反比例函数解析式、与三角形和四边形面积相关的计算、利用 (lìyòng)三角形相似求直线解析式．
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【例 1】(2017·岳阳)如图，直线 y＝x＋b 与双曲线 y＝kx(k 为常数，k≠0) 在第一象限内交于点 A(1，2)，且与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点．
(1)求直线和双曲线的解析式； (2)点 P 在 x 轴上，且△BCP 的面积等于 2，求 P 点的坐标．
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2．解：(1)将 A(1，3)代入反比例函数解析式得：k＝1×3＝3， 则反比例函数解析式为 y＝3x， 将 B(－3，m)代入反比例函数解析式得：m＝－1，即 B(－3，－1)． 将 A 与 B 坐标代入 y＝ax＋b 得：a－＋3ba＝＋3b＝－1，解得：ab＝＝12， 则一次函数解析式为 y＝x＋2；
第六页，共十一页。
(2)若点 C(x，y)也在反比例函数 y＝kx的图象上，当－3≤x≤－1 时，求函数 值 y 的取值范围．
中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型三反比例函数与一次函数综合题试题(含答案)
题型三 反比例函数与一次函数综合题1．如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数y ＝kx的图象过点P.(1)求点P 的坐标和k 的值；(2)若在这个反比例函数的图象上有两个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1＜x 2＜0，请比较y 1与y 2的大小.2．(2017·周口模拟)如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，点F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx的图象与BC 边交于点E.(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？3．(2017·黄冈)已知：如图，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A(－1，m)和B ，过点A 作AE⊥x 轴，垂足为点E ；过点B 作BD⊥y 轴，垂足为点D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连接DE.(1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．4．(2017·绵阳)如图，设反比例函数的解析式为y ＝3kx(k ＞0)． (1)若该反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值；(2)若该反比例函数与过点M(－2，0)的直线l ：y ＝kx ＋b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为163时，求直线l 的解析式.题型三反比例函数与一次函数综合题1．解：(1)∵△OPQ是边长为2的等边三角形，∴点P的坐标为(22，62)∵反比例函数的图象过点P，∴62＝k22，解得k＝32；(2)∵k＝32＞0，∴在每个象限，y随x增大而减小，在这个反比例函数的图象上有两个点(x1，y1)(x2，y2)，且x1＜x2＜0，2．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B(3，2)， ∵F 为AB 的中点，∴F(3，1)，∵点F 在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x；(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E(k 2，2)，F(3，k3)，∴S △EFA ＝12AF·BE＝12×13k(3－12k)＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34，当k ＝3时，S 有最大值，S 最大＝34.3．解：(1)如解图所示，延长AE ，BD 交于点C ，则∠ACB ＝90°，∵一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过点A(－1，m)， ∴m ＝2＋1＝3，∴A(－1，3)，∵反比例函数y ＝kx的图象经过A(－1，3)，∴k ＝－1×3＝－3；(2)∵BD ⊥y 轴，垂足为点D ，且点D 的坐标为(0，－2)， ∴令y ＝－2，则－2＝－2x ＋1， ∴x ＝32，即B(32，－2)，∴C(－1，－2)，∴AC ＝3－(－2)＝5，BC ＝32－(－1)＝52，∴四边形AEDB 的面积＝△ABC 的面积－△CDE 的面积＝12AC·BC－12CE·CD＝12×5×52－12×2×1＝214.4．解：(1)由题意A(1，2)，把A(1，2)代入y ＝3k x ，得到3k ＝2，∴k ＝23；(2)把M(－2，0)代入y ＝kx ＋b ，可得b ＝2k ，∴y ＝kx ＋2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3k x y ＝kx ＋2k，消去y 得到x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或1，∴B(－3，－k)，A(1，3k)，∵△ABO 的面积为163，∴12×2×3k ＋12×2×k ＝163，解得k ＝43，∴直线l 的解析式为y ＝43x ＋83.5．解：(1)∵点B(－2，n)、D(3－3n ，1)在反比例函数y ＝mx(x ＜0)的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＝m 3－3n ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ＝－6. (2)由(1)知反比例函数解析式为y ＝－6x，∵n ＝3，∴点B(－2，3)、D(－6，1)，如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，延长DE 交AB 于点F ，在△DBE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠FBE BE ＝BE ∠BED ＝∠BEF ＝90°，∴△DBE ≌△FBE(ASA )，∴DE ＝FE ＝4，∴点F(2，1)，将点B(－2，3)、F(2，1)代入y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝32k ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝2，∴y ＝－12x ＋2. 6．解：(1)∵AB ＝4，BD ＝2AD ，∴AB ＝AD ＋BD ＝AD ＋2AD ＝3AD ＝4，∴AD ＝43，又∵OA ＝3，∴D(43，3)，∵点D 在双曲线y ＝k x 上，∴k ＝43×3＝4；∵四边形OABC 为矩形，∴AB ＝OC ＝4，∴点E 的横坐标为4.把x ＝4代入y ＝4x中，得y ＝1，∴E(4，1)；(2)假设存在要求的点P 坐标为(m ，0)，OP ＝m ，CP ＝4－m. ∵∠APE ＝90°，∴∠APO ＋∠EPC ＝90°， 又∵∠APO ＋∠OAP ＝90°，∴∠EPC ＝∠OAP ， 又∵∠AOP ＝∠PCE ＝90°，∴△AOP ∽△PCE ， ∴OA PC ＝OP CE ，∴34－m ＝m 1， 解得m ＝1或m ＝3，∴存在要求的点P ，使∠APE ＝90°，此时点P 的坐标为(1，0)或(3，0). 7．解：(1)把A(1，a)代入y ＝－3x得a ＝－3，则A(1，－3)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋12y ＝－3x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝32，则B(3，－1)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(1，－3)，B(3，－1)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－33k ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝－4， ∴直线AB 的解析式为y ＝x －4；(2)如解图，直线AB 交x 轴于点Q ，当y ＝0时，x －4＝0，解得x ＝4，则Q(4，0)， ∵PA －PB ≤AB(当P 、A 、B 共线时取等号)，∴当P 点运动到Q 点时，线段PA 与线段PB 之差达到最大，此时P 点坐标为(4，0). 8．解：(1)如解图，作AE 、BF 分别垂直于x 轴，垂足为E 、F. ∵△AOE ∽△BOF ，OA OB ＝13，∴OA OB ＝OE OF ＝EA FB ＝13.由点A 在函数y ＝1x的图象上，设A 的坐标是(m ，1m )，∴OE OF ＝m OF ＝13，EA FB ＝1m FB ＝13，∴OF ＝3m ，BF ＝3m ，即B 的坐标是(3m ，3m )．又∵点B 在y ＝k x 的图象上，∴3m ＝k3m ，解得k ＝9，则反比例函数y ＝k x 的表达式是y ＝9x；(2)由(1)可知，A(m ，1m )，B(3m ，3m)，又已知过A 作x 轴的平行线交y ＝9x 的图象于点C.∴C 的纵坐标是1m，把y ＝1m 代入y ＝9x 得x ＝9m ，∴C 的坐标是(9m ，1m )，∴AC ＝9m －m ＝8m.∴S △ABC ＝12×8m ×2m ＝8.5.(2017·常州)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝mx (x ＜0)的图象交于点B(－2，n)，过点B 作BC⊥x 轴于点C ，点D(3－3n ，1)是该反比例函数图象上一点．(1)求m 的值；(2)若∠DBC＝∠ABC，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式.6．如图，已知矩形OABC 中，OA ＝3，AB ＝4，双曲线y ＝kx (k ＞0)与矩形两边AB 、BC 分别交于D 、E ，且BD ＝2AD.(1)求k 的值和点E 的坐标；(2)点P 是线段OC 上的一个动点，是否存在点P ，使∠APE ＝90°，若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由.7．(2016·黄冈)如图，已知点A(1，a)是反比例函数y ＝－3x 的图象上一点，直线y ＝－12x ＋12与反比例函数y ＝－3x的图象在第四象限的交点为点B.(1)求直线AB 的解析式；(2)动点P(x ，0)在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标.8．(2017·聊城)如图，分别位于反比例函数y ＝1x ，y ＝kx 在第一象限图象上的两点A 、B ，与原点O 在同一直线上，且OA OB ＝13.(1)求反比例函数y ＝kx的表达式；(2)过点A 作x 轴的平行线交y ＝kx的图象于点C ，连接BC ，求△ABC 的面积．(导学号 95604296)。
中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型三反比例函数与一次函数综合题试题
题型三 反比例函数与一次函数综合题1．如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数y ＝kx 的图象过点P.(1)求点P 的坐标和k 的值；(2)若在这个反比例函数的图象上有两个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1＜x 2＜0，请比较y 1与y 2的大小.2．(2017·周口模拟)如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，点F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx的图象与BC 边交于点E.(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？3．(2017·黄冈)已知：如图，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A(－1，m)和B ，过点A 作AE⊥x 轴，垂足为点E ；过点B 作BD⊥y 轴，垂足为点D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连接DE.(1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．4．(2017·绵阳)如图，设反比例函数的解析式为y ＝3kx(k ＞0)． (1)若该反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值； (2)若该反比例函数与过点M(－2，0)的直线l ：y ＝kx ＋b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为163时，求直线l 的解析式.题型三 反比例函数与一次函数综合题1．解：(1)∵△OPQ 是边长为2的等边三角形， ∴点P 的坐标为(22，62) ∵反比例函数的图象过点P ，∴62＝k 22，解得k ＝32； (2)∵k ＝32＞0，∴在每个象限，y 随x 增大而减小，在这个反比例函数的图象上有两个点(x 1，y 1)(x 2，y 2)，且x 1＜x 2＜0，∴y 1＞y 2.2．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B(3，2)， ∵F 为AB 的中点，∴F(3，1)，∵点F 在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x；(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E(k 2，2)，F(3，k3)，∴S △EFA ＝12AF·BE＝12×13k(3－12k)＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34，当k ＝3时，S 有最大值，S 最大＝34.3．解：(1)如解图所示，延长AE，BD 交于点C ，则∠ACB ＝90°，∵一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过点A(－1，m)， ∴m ＝2＋1＝3，∴A(－1，3)，∵反比例函数y ＝kx的图象经过A(－1，3)，∴k ＝－1×3＝－3；(2)∵BD ⊥y 轴，垂足为点D ，且点D 的坐标为(0，－2)， ∴令y ＝－2，则－2＝－2x ＋1， ∴x ＝32，即B(32，－2)，∴C(－1，－2)，∴AC ＝3－(－2)＝5，BC ＝32－(－1)＝52，∴四边形AEDB 的面积＝△ABC 的面积－△CDE 的面积＝12AC·BC－12CE·CD＝12×5×52－12×2×1＝214.4．解：(1)由题意A(1，2)，把A(1，2)代入y ＝3k x ，得到3k ＝2，∴k ＝23；(2)把M(－2，0)代入y ＝kx ＋b ，可得b ＝2k ，∴y ＝kx ＋2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3k x y ＝kx ＋2k，消去y 得到x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或1，∴B(－3，－k)，A(1，3k)，∵△ABO 的面积为163，∴12×2×3k ＋12×2×k ＝163，解得k ＝43，∴直线l 的解析式为y ＝43x ＋83.5．解：(1)∵点B(－2，n)、D(3－3n ，1)在反比例函数y ＝mx(x ＜0)的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＝m 3－3n ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ＝－6. (2)由(1)知反比例函数解析式为y ＝－6x，∵n ＝3，∴点B(－2，3)、D(－6，1)，如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，延长DE 交AB 于点F ，在△DBE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠FBE BE ＝BE ∠BED ＝∠BEF ＝90°，∴△DBE ≌△FBE(ASA )，∴DE ＝FE ＝4，∴点F(2，1)，将点B(－2，3)、F(2，1)代入y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝32k ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝2，∴y ＝－12x ＋2. 6．解：(1)∵AB ＝4，BD ＝2AD ，∴AB ＝AD ＋BD ＝AD ＋2AD ＝3AD ＝4，∴AD ＝43，又∵OA ＝3，∴D(43，3)，∵点D 在双曲线y ＝k x 上，∴k ＝43×3＝4；∵四边形OABC 为矩形，∴AB ＝OC ＝4，∴点E 的横坐标为4.把x ＝4代入y ＝4x中，得y ＝1，∴E(4，1)；(2)假设存在要求的点P 坐标为(m ，0)，OP ＝m ，CP ＝4－m. ∵∠APE ＝90°，∴∠APO ＋∠EPC ＝90°， 又∵∠APO ＋∠OAP ＝90°，∴∠EPC ＝∠OAP ， 又∵∠AOP ＝∠PCE ＝90°，∴△AOP ∽△PCE ， ∴OA PC ＝OP CE ，∴34－m ＝m 1， 解得m ＝1或m ＝3，∴存在要求的点P ，使∠APE ＝90°，此时点P 的坐标为(1，0)或(3，0). 7．解：(1)把A(1，a)代入y ＝－3x 得a ＝－3，则A(1，－3)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋12y ＝－3x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝32，则B(3，－1)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(1，－3)，B(3，－1)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－33k ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝－4， ∴直线AB 的解析式为y ＝x －4；(2)如解图，直线AB 交x 轴于点Q ，当y ＝0时，x －4＝0，解得x ＝4，则Q(4，0)， ∵PA －PB ≤AB(当P 、A 、B 共线时取等号)，∴当P 点运动到Q 点时，线段PA 与线段PB 之差达到最大，此时P 点坐标为(4，0). 8．解：(1)如解图，作AE 、BF 分别垂直于x 轴，垂足为E 、F. ∵△AOE ∽△BOF ，OA OB ＝13，∴OA OB ＝OE OF ＝EA FB ＝13.由点A 在函数y ＝1x的图象上，设A 的坐标是(m ，1m )，∴OE OF ＝m OF ＝13，EA FB ＝1m FB ＝13，∴OF ＝3m ，BF ＝3m ，即B 的坐标是(3m ，3m )．又∵点B 在y ＝k x 的图象上，∴3m ＝k3m ，解得k ＝9，则反比例函数y ＝k x 的表达式是y ＝9x；(2)由(1)可知，A(m ，1m )，B(3m ，3m)，又已知过A 作x 轴的平行线交y ＝9x 的图象于点C.∴C 的纵坐标是1m，把y ＝1m 代入y ＝9x 得x ＝9m ，∴C 的坐标是(9m ，1m )，∴AC ＝9m －m ＝8m.∴S △ABC ＝12×8m ×2m ＝8.5.(2017·常州)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝mx (x ＜0)的图象交于点B(－2，n)，过点B 作BC⊥x 轴于点C ，点D(3－3n ，1)是该反比例函数图象上一点．(1)求m 的值；(2)若∠DBC＝∠ABC，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式.6．如图，已知矩形OABC 中，OA ＝3，AB ＝4，双曲线y ＝kx (k ＞0)与矩形两边AB 、BC 分别交于D 、E ，且BD ＝2AD.(1)求k 的值和点E 的坐标；(2)点P 是线段OC 上的一个动点，是否存在点P ，使∠APE ＝90°，若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由.7．(2016·黄冈)如图，已知点A(1，a)是反比例函数y ＝－3x 的图象上一点，直线y ＝－12x ＋12与反比例函数y ＝－3x的图象在第四象限的交点为点B. (1)求直线AB 的解析式；(2)动点P(x ，0)在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标.8．(2017·聊城)如图，分别位于反比例函数y ＝1x ，y ＝kx 在第一象限图象上的两点A 、B ，与原点O 在同一直线上，且OA OB ＝13.(1)求反比例函数y ＝kx的表达式；(2)过点A 作x 轴的平行线交y ＝kx 的图象于点C ，连接BC ，求△ABC 的面积．(导学号95604296)。
中考数学选填题压轴题突破 重难点突破二 分析、判断函数图象 考向2 反比例函数与一次函数的综合
2．(2019·宁夏第 7 题 3 分)函数 y＝kx和 y＝kx＋2(k≠0)在同一平面
直角坐标系中的大致图象是
( B)
A
B
C
D
k 4．(2021·济南)反比例函数 y＝x(k≠0)图象的两个分支分别位于第
k 2．根据 k 的正负性分类讨论，当 k＞0 时，双曲线 y＝x(k≠0)分别
在一、三象限；直线 y＝kx＋b(k≠0)过一、三象限，图象从左向右呈上 k
升趋势．当 k＜0 时，双曲线 y＝x(k≠0)分别在二、四象限；直线 y＝kx
＋b(k≠0)过二、四象限，图象从左向右呈下降趋势． 3．一次函数 y＝ax＋b 与 y 轴交点在正半轴或原点或负半轴时，b 的
( B)
A
B
C
D
一、三象限，则一次函数 y＝kx－k 的图象大致是
( D)
A
B
C
D
5．(202Βιβλιοθήκη ·青海)若 ab＜0，则正比例函数 y＝ax 与反比例函数 y＝bx在
同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
(D )
A
B
C
D
6．(2022·德阳)一次函数 y＝ax＋1 与反比例函数 y＝－ax在同一坐
标系中的大致图象是
取值范围分别是 b＞0，b＝0 或 b＜0.
在同一平面直角坐标系中，函数 y＝－kx＋k(k≠0)和 y＝－kx(k
≠0)的图象大致是
(A )
A
B
C
D
【分层分析】当 k＞0 时，一次函数 y＝－kx＋k 经过第一、二、四象 k
限，反比例函数 y＝－x位于第二、四象限；当 k＜0 时，一次函数 y＝－ k
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与一次函数综合
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与一次函数综合1.如图，将一把直角三角尺OAB放在平面直角坐标系中，其中点B(2,0)，∠AOB=60∘，点A在(k≠0)的图象经过点A．在x轴上取一点P，过点P作直线第一象限，反比例函数y=kxOA的垂线l，垂足为M，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是OʹBʹ．(1) 当点Oʹ与点A重合时，求点P的坐标．(k≠0)的图象有交点时，求t的取值范围．(2) 设点P(t,0)，当线段OʹBʹ与反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(4,2)，过A作AC⊥y轴于点C．点B 2.如图，已知反比例函数y=kx为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．(1) 求k的值；(2) 若BD=3OC，求四边形ACED的面积．3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y=k2x的图象在第二象限交于C，D(−6,2)两点，DE∥OC交x轴于点E．若AD AC =13，求：(1) 一次函数和反比例函数的表达式；(2) 四边形OCDE的面积．4.如图，一条直线与反比例函数y=kx的图象交于A(1,4)，B(4,n)两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C．(1) 如图甲．①求反比例函数的解析式．②求n的值及D点坐标．(2) 如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45∘，EF交AC于F点．①试说明△CDE∽△EAF．②当△ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标．5.如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=k与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥xx轴于B且S△ABO=3．2(1) 求这两个函数的解析式．(2) 求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．6.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0,3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=m的图象经过点D，与BC的交点为xN．(1) 求反比例函数和一次函数的表达式．(2) 若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，直接写出点P的坐标：．x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上7.如图，已知点A是一次函数y=13一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，(x>0)的图象过点C．求k的值．(1) 若B点坐标是(3,5)，反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B，C，且△OAB的面积为8，求△ABC的面积．(2) 若反比例函数y=kx8.如图所示，直线y1=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=kx（x>0）的图象交于点C，且AB=BC．(1) 求点C的坐标和反比例函数y2的解析式．(2) 点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求点M的坐标．9.如图，函数y=1k x与y=kx的图象交于点A，B．若点A的坐标为(−k,−1)．(1) 点B的坐标为；(2) 若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N，求证PM=PN；②当P的坐标为(1,k)(k≠1)时，连接PO延长交y=kx于C，求证四边形PACB为矩形．10.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于A，B两点，点A 的横坐标为m，点B的横坐标为n，m<n．(1) 点A的纵坐标．(2) 作AM⊥x轴，BN⊥y轴，垂足分别为M，N，AM与BN相交于点C，连接MN．①求证：MN∥AB．②若四边形ABMN是正方形且面积为8，把直线OC向右平移c个单位，平移后的直线与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于P点，与x轴交于Q点，求OP2−OQ2的值．)，且与反比例函11.如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A与y轴交于点B(0,52在第一象限的图象交于点C，CD⊥y轴于点D，CD=2．数y=10x的函数值y≤5时，自变量x的取值范围．(1) 根据函数图象，直接写出当反比例函数y=10x的图象于点Q．若S△PAC:S POQ=2，(2) 动点P在x轴上，PQ⊥x轴交反比例函数y=10x求点P的坐标．12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A(0,−2)，斜边AC，y轴平分∠BAC，反比例函数y=交x轴于点D，BC与y轴交于点E，且tan∠OAD=12k(x>0)的图象经过点C．x(1) 求点B，D坐标；(x>0)的函数表达式．(2) 求y=kx13.已知，直线OA与反比例函数y=12交于点A，且点A的横坐标为4，过x轴上一点B(8,0)x作BC垂直于OB交OA于C点．(1) 若点P是线段OC上一动点，过点P作PE⊥OB，PF⊥BC，垂足分别于E，F，求线段EF长度的最小值．(2) 在（1）的EF取得最小值的前提下，将△PEF沿射线OA平移，记平移后的三角形为△PʹEʹFʹ，当OPʹ=2OA时，在平面内存在点Q，使得A，Eʹ，Fʹ，Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标．14.在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(−√2,0)，(0,−1)，把点A绕坐标原点O顺时针旋转135∘得点C，若点C在反比例函数y=k的图象上．x(1) 求反比例函数的表达式．的图象上，且以点A，B，D，E为顶点的(2) 若点D在y轴上，点E在反比例函数y=kx四边形是平行四边形，请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点D，E的坐标．(x<0)的图象交于点A(−√3,m)．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与函数y=kx(1) 求m，k的值；(2) 点P(x p,y p)为直线y=x上任意一点，将直线y=x沿y轴向上平移两个单位得到直线(x<0)的图象于点D．l，过点P作x轴的垂线交直线l于点C，交函数y=kx①当x p=−1时，判断PC与PD的数量关系，并说明理由；②当PC+PD≤4，结合函数图象，直接写出x的取值范围．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(x>0)的图象与直线y=x−2交于点A(3,m)．(1) 求k，m的值．(2) 已知点P(n,n)(n>0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x−2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=kx(x>0)的图象于点N．①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由．②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．17.请回答下列问题．(1) 如图，已知点A，B在双曲线y=kx(x>0)上，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，AC 与BD交于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为b．A与B的坐标分别为，（用b与k表示），由此可以猜想AP与CP的数量关系是．(2) 四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx 与y=nx(x>0,0<m<n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P，P是BD的中点，点B的横坐标为4．①当m=4，n=20时，判断四边形ABCD的形状并说明理由．②四边形ABCD能否成为正方形？若能，直接写出此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．18.如图，直线y=kx+2与双曲线y=1.5相交于点A，B，已知点A的横坐标为1．x(1) 求直线y=kx+2的解析式及点B的坐标；(2) 以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式．(k≠0)的图象于P，Q 19.如图，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数y=kx两点．若AB=2BP，且△AOB的面积为4．(1) 求k的值；(2) 当点P的横坐标为−1时，求△POQ的面积．20.已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=1（x＞0）图象上的一个动点，连接xAO，AO的延长线交反比例函数y=k（k>0，x<0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于x点E．(1) 如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k=1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连接BE，若k=4，求△BOE的面积．(2) 如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y=k（k>0，x<0）的图象于点P，连接OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．答案1. 【答案】(1) 当点Oʹ与点A重合时，易知直线l垂直平分OA．∵点B(2,0)，∴OB=2．在Rt△AOB中，∵∠AOB=60∘，∴∠OAB=30∘，∴OA=2OB=4，∴OM=2．在Rt△OPM中，∵∠POM=60∘，∴∠OPM=30∘，∴OP=2OM=4，∴此时点P的坐标是(4,0)．(2) ∵点P(t,0)，∴OP=∣t∣．在Rt△OPM中，易得∠OPM=30∘，∴OM=12OP=12∣t∣，∴OOʹ=∣t∣．过点Oʹ作OʹN⊥x轴于点N．易得∠OOʹN=30∘，∴ON=12∣t∣，∴NOʹ=√32∣t∣．∵当t>0时，点Oʹ在第一象限；当t<0时，点Oʹ在第三象限，∴点Oʹ(12t,√32t)．根据对称性可知，点P在直线OʹBʹ上，设直线OʹBʹ的函数表达式是y=kx+b．将点Oʹ，P的坐标代入，得{12tk+b=√32t, tk+b=0,解得{k=−√3, b=√3t,∴y=−√3x+√3t． ⋯⋯①在Rt△AOB中，∵OB=2，OA=4，∴点A(2,2√3)．将点A的坐标代入反比例函数y=kx，得k=2×2√3=4√3，∴y=4√3x. ⋯⋯②联立①②，得√3x2−√3tx+4√3=0，即x2−tx+4=0, ⋯⋯③∴Δ=b2−4ac=t2−4×1×4≥0，解得t≥4或t≤−4．当t≥4时，易知△OOʹP为等边三角形，∴OʹP=OP=t．∵OB=2，∴OʹBʹ=2，∴BʹP=t−2，易知点Bʹ的横坐标=OP−12BʹP=1+12t．当点Oʹ为直线OʹBʹ与函数y=4√3x图象的交点时，易知点Oʹ与点A重合，此时t=4．当点Bʹ为直线OʹBʹ与函数y=4√3x 图象的交点时，将点Bʹ的横坐标代入③，得(1+12t)2−t(1+12t)+4=0，整理，得t2=20，解得t=2√5（负值舍去）．∴4≤t≤2√5．当t≤−4时，同理可得−2√5≤t≤−4．综上所述，t的取值范围是4≤t≤2√5或−2√5≤t≤−4．2. 【答案】(1) ∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(4,2)，∴2=k4，解得k=8，∴反比例函数的解析式为y=8x(x>0)．(2) ∵AC⊥y轴，A(4,2)，∴点C的坐标为(0,2)，OC=2，∵BD=3OC，∴BD=3×2=6，∵BD⊥x轴，∴点B的纵坐标为6，代入y=8x 中，得6=8x，解得x=43，∴B(43,6)，设直线BC的解析式为y=mx+b(m≠0)，将B(43,6)，C(0,2)代入y=mx+b中得{43m+b=6,b=2,解得{m=3, b=2.∴直线BC的解析式为y=3x+2，令y=0，得3x+2=0，解得x=−23，∴E(−23,0)，∴DE=43−(−23)=2，∵AC∥DE，∴S四边形ACED =12(AC+DE)⋅OC=12×(4+2)×2 =6.3. 【答案】(1) 将D(−6,2)代入y=k2x中，得k2=−6×2=−12，∴反比例函数的表达式为y=−12x．过点D作DM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．∴DM=2，DM∥CN．∴△ADM∽△ACN．∴ADAC =DMCN=13．∴CN=3DM=6．将y=6代入y=−12x中，得x=−2，∴点C的坐标为(−2,6)．∵一次函数y=k1x+b的图象经过点C(−2,6)，D(−6,2)，∴{−2k 1+b =6,−6k 1+b =2, 解得 {k 1=1,b =8.∴ 一次函数的表达式为 y =x +8．(2) 设直线 OC 对应的函数表达式为 y =mx ．将 C (−2,6) 代入，得 −2m =6，解得 m =−3，∴ 直线 OC 对应的函数表达式为 y =−3x ．由 DE ∥OC ，可设直线 DE 对应的函数表达式为 y =−3x +n ．将 D (−6,2) 代入，得 −3×(−6)+n =2，解得 n =−16．∴ 直线 DE 对应的函数表达式为 y =−3x −16．令 y =0，得 x =−163．∴ 点 E 的坐标为 (−163,0)． ∴OE =163．在 y =x +8 中，令 y =0，得 x =−8，∴ 点 A 的坐标为 (−8,0)．∴OA =8．∴AE =OA −OE =8−163=83．∴S 四边形OCDE =S △AOC −S △AED =12OA ⋅CN −12AE ⋅DM =12×8×6−12×83×2=24−83=643.4. 【答案】(1) ① ∵ 点 A (1,4) 在反比例函数图象上， ∴k =4，即反比例函数关系式为 y =4x ．② ∵ 点 B (4,n ) 在反比例函数图象上，∴n =1，设一次函数的解析式为 y =mx +b ，∵ 点 A (1,4) 和 B (4,1) 在一次函数 y =mx +b 的图象上，∴m +b =4，4m +b =1，解得 b =5，m =−1，∴ 一次函数关系式为 y =−x +5，令 y =0，得 x =5，∴D 点坐标为 D (5,0)．(2) ① ∵A (1,4)，AC ⊥x 轴于点 C ，∴C (1,0)，∴AC =4．又∵D(5,0)，∴CD=4，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA=45∘，∴∠AFE+∠AEF=135∘．又∵∠CEF=45∘，∴∠CED+∠AEF=135∘，∴∠AFE=∠CED．又∵∠FAE=∠EDC=45∘，∴△CDE∽△EAF．② (1,2)，(1,4)，(1,8−4√2)【解析】(2) ②当CE=FE时，由△CDE≌△EAF，可得AE=CD=4，DE=AF=4(√2−1)，∵A(1,4)，∴F点的纵坐标=4−AF=4−4(√2−1)=8−4√2，∴F(1,8−4√2)，当CE=CF时，由∠FEC=45∘知∠ACE=90∘，此时E与D重合，∴F与A重合，∴F(1,4)，当CF=EF时，由∠FEC=45∘知∠CFE=90∘，显然F为AC中点，∴F(1,2)，当△ECF为等腰三角形时，点F的坐标为F1(1,2)；F2(1,4)；F3(1,8−4√2)．5. 【答案】(1) 方法一：AB⊥x轴于B，且S△ABO=32，∴12∣k∣=32，∴k=±3，∵反比例函数图象在二、四象限，∴k<0，∴k=−3，∴反比例函数解析式为y=−3x，一次函数解析式为y=−x+2．(2) 联立两函数解析式成方程组，{y =−3x ,y =−x +2,解得 {x 1=−1,y 1=3, {x 2=3,y 2=−1, ∴ 点 A 的坐标为 (−1,3)，点 C 的坐标为 (3,−1)， 设直线 AC 与 x 轴交与点 D ，当 y =−x +2=0 时，x =2，∴ 点 D (2,0)，∴S △AOC =12OD ⋅(y A −y C )=12×2×[3−(−1)]=4．【解析】(1) 方法二：设 A 点坐标为 (x,y )，且 x <0，y >0，则 S △ABO =12⋅∣OB∣⋅∣AB∣=12⋅(−x )⋅y =32，∴xy =−3，又 ∵y =k x ，∴k =−3，∴ 所求的两个函数的解析式分别为 y =−3x ，y =−x +2．6. 【答案】(1) ∵ 点 C 坐标为 (0,3)，∴OC =3，∵ 四边形 OABC 为正方形，∴OA =AB =BC =OC =3，又 ∵AD =2DB ，AM =2MO ，∴AD =AM =2，DB =OM =1，∴ 点 D 坐标为 (−3,2)，点 M 坐标为 (−1,0)，∵ 点 D 坐标为 (−3,2) 在反比例函数 y =m x 上，∴m =−6，∴ 反比例函数为 y =−6x ，∵ 点 D 坐标为 (−3,2)，点 M 坐标为 (−1,0) 在一次函数 y =kx +b 上，∴{2=−3k +b,0=−k +b, 解得：{k =−1,b =−1,∴ 一次函数为：y =−x −1．(2) (−10,9) 或 (8,−9)【解析】(2) 设P点坐标为(x P,y P)，则S四边形OMNC =12(1+2)×3=12×OM×∣y P∣=92，∴∣y P∣=9，∴y P=−9或9，则其坐标为(−10,9)或(8,−9)．7. 【答案】(1) ∵点A是一次函数y=13x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），B的坐标为(3,5)，∴点A的横坐标为为3，代入一次函数解析式得A(3,1)，∵△ABC为等腰直角三角形，∴根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线是斜边一半可得点C的坐标为(5,3)，∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过点C，∴3=k5，∴k=15．(2) 如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE=AE=CE，设AB=2a，则BE=AE=CE=a，设A(x,13x)，则B(x,13x+2a)，C(x+a,13x+a)，∵B，C在反比例函数的图象上，∴x(13x+2a)=(x+a)(13x+a)，解得x=32a，∵S△OAB=12AB⋅DE=12⋅2a⋅x=8，∴ax=8，∴32a2=8，∴a2=163，∵S△ABC=12AB⋅DE=12⋅2a⋅a=a2=163．8. 【答案】(1) ∵直线y1=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标为(−4,0)，点B的坐标为(0,1)．过点C作CD⊥x轴于点D，如图1所示．∵AB=BC，∴OB为△ACD的中位线，∴OD=OA=4，CD=2OB=2，∴点C的坐标为(4,2)．∵点C(4,2)在反比例函数y2=kx（x>0）的图象上，∴k=4×2=8，∴反比例函数y2的解析式为y2=8x．(2) 连接PM交BC于点G，如图2所示．∵四边形BPCM为平行四边形，∴点G为线段BC的中点，点G为线段PM的中点．∵点B的坐标为(0,1)，点C(4,2)，∴点G的坐标为(0+42,1+22)，即(2,32)，∴点M的纵坐标为32×2−0=3，∴点M的坐标为(83,3)．9. 【答案】(1) (k,1)(2) ①设P(m,km)，直线PA的解析式为y=ax+b，则有{−ka+b=−1,ma+b=km,解得{a=1m,b=km−1,∴直线PA的解析式为y=1m x+k−mm，令y=0，得到x=m−k，设直线PB的解析式为y=cx+d，则有{kc+d=1,mc+d=km,解得{c=−1m,b=km+1,∴直线PB的解析式为y=−1m x+k+mm，令y=0，得到x=k+m，如图，作PH⊥MN于H．则H(m,0)．∴HM=m−(m−k)=k，NH=k+m−m=k，∴MH=HN，∴PM=PN．② ∵P(1,k)，∴C(−1,−k)，∵OP=OC，OA=OB，∴四边形PACB是平行四边形，∵PH=k，MH=k，HN=k，∴PH=HM=HN，∴∠MPN=90∘，∴四边形PACB是矩形．【解析】(1) ∵函数y=1k x与y=kx的图象交于点A，B，∴A，B关于原点对称，∵A(−k,−1)，∴B(k,1)．10. 【答案】(1) km(2) ①当x=n时，y=kx =kn,∴点B的坐标为(n,kn)∵AM⊥x轴，BN⊥y轴，∴点C的坐标为(m,kn)，∴NC=m，BC=n−m，MC=kn ，AC=km−kn，∵NCBC =mn−m，MCAC=knkm−kn=knk(n−m)mn=mn−m，∴NCBC =MCAC又∵∠ACB=∠MCN=90∘，∴△ACB∽△MCN，∴∠ABC=∠MNC，∴AB∥MN．②如图，∵ 四边形 ABMN 是正方形，∴CM =CN ，BN =2CN ，AM =2CM ，∴n =2m ，△CMN 为等腰直角三角形．∵S 正方形ABMN =MN 2=8，∴MN =2√2,∴CM =CN =2，∴m =2，n =4，∴ 点 A 的坐标为 (2,4)，点 C 的坐标为 (2,2)，∴k =2×4=8，直线 OC 的解析式为 y =x ．∵ 把直线 OC 向右平移 c 个单位得到直线 PQ ，∴ 直线 PQ 的解析式为 y =x −c ，点 Q 的坐标为 (c,0)．联立直线 PQ 和反比例函数解析式成方程组，得：{y =x +c,y =8x , 解得：{x 1=c+√c 2+322,y 1=√c 2+32−c 2, {x 2=c−√c 2+322,y 2=−c−√c 2+322（舍去）， ∴ 点 P 的坐标为 (c+√c 2+322,√c 2+32−c 2)， ∴OP 2−OQ 2=(c+√c 2+322−0)2+(√c 2+32−c 2−0)2−c 2=16． 【解析】(1) 当 x =m 时，y =k x =k m ， ∴ 点 A 的纵坐标为 k m ．11. 【答案】(1) x ≥2 或 x <0．(2) ∵CD ⊥y 轴于点 D ，CD =2，∴C 点的横坐标为 2．把 x =2 代入反比例函数 y =10x ，得 y =102=5， ∴C (2,5)．设直线 AC 的解析式为 y =kx +b ，把 B (0,52)，C (2,5) 代入， 得 {b =52,2k +b =5, 解得 {k =54,b =52.∴直线AC的解析式为y=54x+52，令y=54x+52=0，解得x=−2．∴A(−2,0)，∵PQ⊥x轴，点Q在反比例函数y=10x的图象上，∴S△POQ=12×10=5．∵S△PAC:S△POQ=2，∴S PAC=10，则12PA⋅y c=10，∴PA=2×105=4，∴(−6,0)或(2,0)．【解析】(1) 当y=5时，x=10y=2，观察图形可知：y≤5时，x≥2或x<0．12. 【答案】(1) ∵点A(0,−2)，∴OA=2，∵tan∠OAD=ODOA =12，∴OD=1，∵y轴平分∠BAC，∴∠BAO=∠DAO，∵∠AOD=∠AOB=90∘，AO=AO，∴△AOB≌△AOD(ASA)，∴OB=OD=1，∴点B坐标为(−1,0)，点D坐标为(1,0)；(2) 过C作CH⊥x轴于H，∴∠CHD=90∘，∵∠ABC=90∘，∴∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90∘，∴∠BAO=∠DAO=∠CBD，∵∠ADO=∠CDH，∴∠DCH=∠DAO，∴∠DCH=∠CBH，∴tan∠CBH=tan∠DCH=12，∴CH BH=DH CH=12，设 DH =x ，则 CH =2x ，BH =4x ， ∴2+x =4x ， ∴x =23，∴OH =53，CH =43，∴C (53,43)， ∴k =53×43=209，∴y =k x (x >0) 的函数表达式为 y =209x ．13. 【答案】(1) 当 x =4 时，y =12x=3，∴ 点 A 的坐标为 (4,3)．设直线 OA 的解析式为 y =kx (k ≠0)， 将 A (4,3) 代入 y =kx ，3=4k ，解得：k =34， ∴ 直线 OA 的解析式为 y =34x ．设点 P 的坐标为 (m,34m)(0≤m ≤8)，则 PE =34m ，PF =8−m ， ∴EF 2=PE 2+PF 2，即 EF 2=(34m)2+(8−m )2=2516(m −12825)2+57625．∵2516>0， ∴ 当 m =12825时，EF 2 取得最小值，此时 EF 最小值，最小值为245，∴ 线段 EF 长度的最小值为245．(2) 符合题意得点 Q 有 3 个，点 Q 的坐标为 (12825,5425)，(27225,24625)，(27225,5425)． 【解析】(2) 由（1）可知，当 EF 最小时，点 P 的坐标为 (12825,9625)． ∵OB =2OA ， ∴OC =2OA ，∴ 平移后点 Pʹ 与点 C 重合，∴ 平移后点 Pʹ 的坐标为 (8,6)，点 Eʹ 的坐标为 (8,5425)，点 Fʹ 的坐标为 (27225,6)．设点 Q 的坐标为 (a,b )，分三种情况考虑，如图所示： ①当 PʹEʹ 为对角线时，∵Pʹ(8,6)，Eʹ(8,5425)，Fʹ(27225,6)， ∴{a +27225=8+8,b +6=6+5425,解得：{a =12825,b =5425,∴ 点 Q 1 的坐标为 (12825,5425)； ②当 PʹFʹ 为对角线时，∵Pʹ(8,6)，Eʹ(8,5425)，Fʹ(27225,6)，∴{a +8=8+27225,b +5425=6+6,解得：{a =27225,b =24625,∴ 点 Q 2 的坐标为 (27225,24625)；③当 EʹFʹ 为对角线时，∵Pʹ(8,6)，Eʹ(8,5425)，Fʹ(27225,6)，∴{a +8=8+27225,b +6=5425+6, 解得：{a =27225,b =5425,∴ 点 Q 3 的坐标为 (27225,5425)． 综上所述：符合题意的点 Q 有 3 个，点 Q 的坐标为 (12825,5425)，(27225,24625)，(27225,5425)．14. 【答案】(1) 由旋转得：OA =OA =√2，∠AOC =135∘， 过点 C 作 CM ⊥y 轴，垂足为 M ， 则 ∠COM =135∘−90∘=45∘，在 Rt △OMC 中，∠COM =45∘，OC =√2， ∴OM =CM =1，∴ 点 C (1,1)，代入 y =kx 得：k =1， ∴ 反比例函数的关系式为：y =1x ．(2) ①当点 E 在第三象限反比例函数的图象上，如图 1， E (−√2,−√22)，D (0,−1−√22)； 如图 2， E (−√2,−√22)，D (0,−1+√22)； ②当点 E 在第一象限反比例函数的图象上时，如图 3，过点 E 作 EN ⊥y 轴，垂足为 N ， E (√2,√22)，D (0,1+√22)． 【解析】(2) ① ∵ 点 D 在 y 轴上，AEDB 是平行四边形， ∴AE ∥DB ，AE =BD ，AE ⊥OA ，当 x =−√2 时，y =−√2=−√22， ∴E (−√2,−√22)， ∵B (0,−1)，BD =AE =√22， 当点 D 在 B 的下方时， ∴D (0,−1−√22)， 当点 D 在 B 的上方时， ∴D (0,−1+√22)； ② ∵ABED 是平行四边形，∴AB =DE ， ∴∠ABO =∠EDO ， ∴△AOB ≌△END (AAS )，∴EN =OA =√2，DN =OB =1， 当 x =√2 时，代入 y =1x 得：y =√22， ∴E (√2,√22)， ∴ON =√22，OD =ON +DN =1+√22， ∴D (0,1+√22)．15. 【答案】(1) ∵ 直线 y =x 经过点 A(−√3,m)， ∴m =−√3．又 ∵ 函数 y =kx (x <0) 的图象经过点 A(−√3,−√3)， ∴k =−√3×(−√3)=3． (2) ① PC =PD ，理由：∵ 点 P 为直线 y =x 上一点，x p =−1， ∴y p =−1， ∴P (−1,−1)．∵ 直线 y =x 向上平移两个单位得到直线 l ， ∴ 直线 l 的解析式为 y =x +2， ∵PC ⊥x 轴，∴C (−1,1)． 由（1）知，k =3，∴ 反比例函数的解析式为 y =3x (x <0)， 把 x =−1 代入 y =3x ，得 y =−3．∴ 点 D 的坐标为 (−1,−3)． ∴PC =PD =2． ② −3≤x p ≤−1． 【解析】(2) ②如图，由①知，当 x p =−1 时，PC =PD =2， ∴PC +PD =4．由平移知，PʹCʹ=PC =2，∴ 当点 Dʹ 与点 Cʹ 重合时，PʹCʹ+PʹDʹ=4．解{y=x+2,y=3x得{x=−3,y=−1或{x=1,y=3（舍去）．∴点Dʹ与Cʹ重合时，x pʹ=−3．由图象知，−3≤x p≤−1．16. 【答案】(1) ∵函数y=kx(x>0)的图象与直线y=x−2交于点A(3,m)，∴m=3−2=1，A(3,1)，k=3×1=3，即k的值为3，m的值为1．(2) ①当n=1时，P(1,1)，令y=1，代入y=x−2，x−2=1，x=3，M(3,1)，PM=2．令x=1，代入y=kx(x>0)，y=3，N(1,3)，PN=2．∴PM=PN．② 0<n≤1或n≥3．【解析】(2) ② P(n,n)，点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x−2于点M，M(n+2,n)，PM=2，PN≥PM，即PN≥2，0<n≤1或n≥3．17. 【答案】(1) (b2,2kb)；(b,kb)；相等(2) ① ∵点B的横坐标为4，m=4，n=20，∴y B=44=1，y D=204=5，∴B(4,1)，D(4,5)，∵P是BD中点，∴P(4,3)，∴点A，C的纵坐标为3，∴3=4x A ，3=20x C，解得：x A=43，x C=203，∴A(43,3)，C(203,3)，∴PA=4−43=83，PC=203−4=83，∴PA=PC，∵PB=PD，BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形．②能，m+n=32．【解析】(1) ∵点B在反比例函数y=kx图象上，点B横坐标为b，∴y=kx ，即B(b,kb)，∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，AC，BD交于点P，∴P点纵坐标为kb，∵点P为AC中点，∴AP=PC，点A的纵坐标为2kb，∵点A在y=kx图象上，∴2kb =kb，解得：x=b2，∴A(b2,2kb)．(2) ② ∵点B的横坐标为4，∴B(4,m4)，D(4,n4)，∵点P为BD中点，∴P(4,m+n8)，∴A(8mm+n ,m+n8)，C(8nm+n,m+n8)，∵ABCD是正方形，∴AC=BD，即8nm+n −8mm+n=n4−m4，∴m+n=32．18. 【答案】(1) ∵ 点 A 在双曲线 y =1.5x上，且点 A 的横坐标为 1，∴ 点 A 的纵坐标为 1.51=32，∴ 点 A (1,32)，∵ 点 A (1,32) 在直线 y =kx +2 上， ∴k +2=32，∴k =−12，∴ 直线 AB 的解析式为 y =−12x +2，联立直线 AB 和双曲线的解析式得，{y =1.5x,y =−12x +2, 解得 {x =1,y =32（点 A 的纵横坐标）或 {x =3,y =12,∴B (3,12)．(2) 如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂线，两线相交于点 F ，过点 C 作 CD ⊥AF ，交 AF 于 D ，过点 C 作 CE ⊥BF 于 E ， ∴∠D =∠F =∠CEF =∠CEB =90∘， ∴ 四边形 CDFE 是矩形， ∴∠DCE =90∘， ∵∠ACB =90∘， ∴∠ACD =∠BCE ，∵ 以线段 AB 为斜边在直线 AB 的上方作等腰直角三角形 ABC ， ∴AC =BC ，∴△ACD ≌△BCE (AAS )， ∴AD =BE ，CD =CE ， 设点 C (m,n )， ∵A (1,32)，B (3,12)，∴AD =n −32，CD =m −1，BE =3−m ，CE =n −12，∴{n −32=3−m,m −1=n −12,∴{m =52,n =2,∴C (52,2)，设过点 C 的双曲线的解析式为 y =kʹx ， ∴kʹ=2×52=5，∴ 过点 C 的双曲线的解析式为 y =5x ．19. 【答案】(1) ∵AB =2BP ，且 △AOB 的面积为 4， ∴△POB 的面积为 2， 作 PM ⊥y 轴于 M ， ∴PM ∥OA ， ∴△PBM ∼△ABO ， ∴S △PBM S △ABO=(PB AB )2，即 S △PBM4=(12)2，∴△PBM 的面积为 1， ∴S △POM =1+2=3， ∵S △POM =12∣k∣， ∴∣k∣=6， ∵k <0， ∴k =−6 ;(2) ∵ 点 P 的横坐标为 −1， ∴PM =1， ∵△PBM ∼△ABO ， ∴PM OA=PB AB，即 1OA=12，∴OA =2， ∴A (2,0)，把 x =−1 代入 y =−6x 得，y =6， ∴P (−1,6)，设直线 AB 为 y =mx +n ，把 P ，A 的坐标代入得 {−m +n =6,2m +n =0, 解得 {m =−2,n =4,∴ 直线 AB 为 y =−2x +4， 解 {y =−6xy =−2x +4 得 {x =3y =−2 或 {x =−1,y =6,∴Q (3,−2)，∴S △POQ =S △POA +S △QOA =12×2×6+12×2×2=8．20. 【答案】(1) ①设点 A 的坐标为 (a,1a )，则当点 k =1 时，点 B 的坐标为 (−a,−1a )， ∴AE =OF =a ， ∵AE ⊥y 轴，∴AE ∥OF ，∴ 四边形 AEFO 是平行四边形．②过点 B 作 BD ⊥y 轴 于点 D ，如图 1， ∵AE ⊥y 轴， ∴AE ∥BD ， ∴△AEO ∽△BDO ， ∴S△AEO S △BDO=(AO BO )2，∴ 当 k =4 时，122=(AO BO )2， 即 AO BO =12，∴S △BOE =2S △AOE =1． (2) 不改变． 理由如下：过点 P 作 PH ⊥x 轴 于点 H ，PE 与 x 轴交于点 G ， 设点 A 的坐标为 (a,1a )，点 P 的坐标为 (b,kb )， 则 AE =a ，OE =1a ,PH =−kb ， ∵ 四边形 AEGO 是平行四边形， ∴∠EAO =∠EGO ，AE =OG ， ∵∠EGO =∠PGH ， ∴∠EAO =∠PGH ， 又 ∵∠PHG =∠AEO ， ∴△AEO ∽△GHP ， ∴AE GH =EOPH ，∵GH=OH−OG=−b−a，∴a−b−a =1a−kb，∴(ba )2+ba−k=0，解得ba =−1±√1+4k2，∵a，b异号，k>0，∴ba =−1−√1+4k2，∴S△POE=12×OE×(−b)=12×1a×(−b)=−12×ba=1+√1+4k4，∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．。
中考数学选填题压轴题突破 重难点突破三 反比例函数与一次函数的交点问题
如图，直线 y＝ax＋b 与函数 y＝kx(x＞0)的图象交于 A(1，m)，B(n，
1)两点，与 x 轴交于点 C，且BACC＝13，则不等式 ax＋b＞kx的解集在数轴上
表示正确的是
(D)
2 (2020·宁夏第 7 题 3 分)如图，函数 y1＝x＋1 与函数 y2＝x的图象相交
于点 M(1，m)，N(－2，n)．若 y1＞y2，则 x 的取值范围是 A．x＜－2 或 0＜x＜1
(D)
B．x＜－2 或 x＞1
C．－2＜x＜0 或 0＜x＜1
D．－2＜x＜0 或 x＞1
m 1． 若一次函数 y＝kx＋b 和反比例函数 y＝x(m＜0)的图象交于点
A(－3，y1)，B(1，y2)，则不等式 kx2＋bx－m＜0 的解集是 A．x＞1 或 x＜－3
( A)
B.0＜x＜1 或 x＜－3
C．－3＜x＜0 或 x＞1
D.－3＜x＜0 或 0＜x＜1
8 2．如图，A(n，－4)，B(m，8)是反比例函数 y＝x与一次函数 y＝ax＋
b(a≠0)的交点，结合图象，不等式 ax＋b＜8x的解集为
重难点突破三 反比例 函数与一次函数的交点问
题
【命题预测】 近几年中考数学常考题型，命题形式有选择题、填空题和解答题，属 于中档题．预测在 2023 年宁夏中考中仍会延续此命题方式． 【专家解读】 反比例函数常和一次函数、三角形、四边形综合考查，比如用点的坐标表 示线段的长度、结合几何图形，列方程求出点的坐标，求出函数解析式， 或用点的坐标表示线段的长度，进而探究几何图形的特征．
1．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成 方程组求解，若方程组有解，则两者有交点；若方程组无解，则两者无交 点．
九年级中考数学高频考点突破--反比例函数与一次函数的综合
中考数学高频考点突破--反比例函数与一次函数的综合1．如图，已知，A （0，4），B （﹣3，0），C （2，0），D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数y ＝k x的图象经过D 点．（1）证明：四边形ABCD 为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）设过点C 和点D 的一次函数y ＝kx+b ，求不等式kx+b ﹣k x＞0的解．（请直接写出当0x >时的答案）；（4）已知在y ＝k x 的图象上一点N ，y 轴上一点M ，且点A 、B 、M 、N 组成四边形是平行四边形，求M 点的坐标．2．如图，直线AB ：1y kx b =+与反比例函数：()2m y m 0x=≠的图象分别交于A 、B 两点，点坐标为A ()1,2--，B 坐标为()1,2，BD y ⊥轴于点D ，直线AD 交反比例函数的图象于点C ，连接BC ．(1)若12y y >，则x 的取值范围是___________．(2)求直线AD 的解析式；(3)证明：CD CB =．3．如图，双曲线y ＝k x （x ＞0）的图象经过点A （12，4），直线y ＝12x 与双曲线交于B 点，过A ，B 分别作y 轴、x 轴的垂线，两线交于P 点，垂足分别为C ，D ．（1）求双曲线的解析式；（2）求证：△ABP ∽△BOD ．4．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数5y x=-的图象相交于点(1,)A m -，(,1)B n -两点，与x ，y 轴分别交于C ，D 两点．（1）求一次函数的表达式；（2）求COD △的面积．5．如图，平面直角坐标系xOy 中，一次函数12y x =图像与反比例函数k y x=的图像交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(),1m m -，点P 为反比例函数k y x =第一象限图像上一动点，且横坐标小于m ，直线,PA PB 分别与x 轴交于D ，C ．(1)求k ，m 的值；(2)若A 为PD 的中点，求证：PC PD =；(3)小亮说：当点P 运动时，ACD 的面积是一个定值？若正确，求出这个定值；若不正确，请说明理由．6．如图，函数(0,0)k y x k x=>>的图象经过(1,4)A ，(,)B m n ，其中1m >，过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ，AC 与BD 相交于点E ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）四边形ABCD 能否成为平行四边形，若能，求点B 的坐标，若不能说明理由；（3）当AC BD =时，求证：四边形ABCD 是等腰梯形.7．如图，已知直线33y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，正方形ABCD 的顶点C 在反比例函数m y x =位于第一象限的图像上，点E 在反比例函数m y x=图像上，且在点C 上方．（1）求m 的值；（2）若点E 的横坐标为2，求证：EAC ABO ∠=∠．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点()12P -，，AB x ⊥轴于点E ，正比例函数y mx =的图象与反比例函数3n y x-=的图象相交于A 、P 两点．(1)求m 、n 的值；(2)求证：CPD AEO ∽△△；(3)求sin CDB ∠的值．9．如图，直线6y ax =+经过点()30A -,，交反比例函数()0ky x x=>的图象于点()1,B m ．(1)求k 的值；(2)点D 为第一象限内反比例函数图象上点B 下方的一个动点，过点D 作DC y ⊥轴交线段AB 于点C ，连接AD ，求ACD 的面积的最大值．10．已知点(),2A a ma +、(),2B b mb +是反比例函数k y x=图象上的两个点，且0a >，0b <，0m >．(1)求证：2a b m+=-；(2)若222222OA OB a b +=+，求m 的值；(3)若33OAB OCD S S ==V V ，求km 的值．11．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A(0,-2),B （1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点M ，△OBM 的面积为2.（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求AM 的长度；（3）P 是x 轴上一点，当AM ⊥PM 时，求出点P 的坐标.12．在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴、x 轴分别交于点A 、点B ，与双曲线m y x=()0,0m x >>交于()1,6C 、()3,D n 两点，CE y ⊥轴于点E ，DF x ⊥轴于点F .(1)填空：m ＝，n ＝；(2)求直线AB 的解析式；(3)求证：AC DB =．13．如图，一次函数y x b =-+与反比例函数(0)k y k x=≠的图象相交于(1,4)A -、(4,1)B -两点，直线l x ⊥轴于点(4,0)E -，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C 、D ，连接AC 、BC ，(1)求出b 和k ；(2)求证：ACD 是等腰直角三角形；(3)在y 轴上是否存在点P ，使PBC ABC S S =△△，若存在，请求出P 的坐标，若不存在，请说明理由．14．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，函数m y x=（x 0>，m 是常数）的图象经过点()A 1,4、点()B a,b ，其中a 1>，直线AB 交y 轴于点E ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连接DC ．(1)若ABD 的面积为4，求点B 的坐标；(2)求证：四边形ACDE 为平行四边形；(3)若AD BC =，求直线AB 的函数解析式．15．如图1，直线l 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，与反比例函数(0)k y k x=>的图像交于两点A 、E ，AG ⊥x 轴，垂足为点G ，3AOG S ＝．(1)k ＝；(2)求证：AD ＝CE ；(3)如图2，若点E 为平行四边形OABC 的对角线AC 的中点，求平行四边形OABC 的面积。
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题型三 反比例函数与一次函数综合题1．如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数y ＝kx 的图象过点P.(1)求点P 的坐标和k 的值；(2)若在这个反比例函数的图象上有两个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1＜x 2＜0，请比较y 1与y 2的大小.2．(xx·周口模拟)如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，点F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝kx的图象与BC 边交于点E.(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；(2)当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？3．(xx·黄冈)已知：如图，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A(－1，m)和B ，过点A 作AE⊥x 轴，垂足为点E ；过点B 作BD⊥y 轴，垂足为点D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连接DE.(1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．4．(xx·绵阳)如图，设反比例函数的解析式为y ＝3kx(k ＞0)．(1)若该反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值； (2)若该反比例函数与过点M(－2，0)的直线l ：y ＝kx ＋b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为163时，求直线l 的解析式.题型三 反比例函数与一次函数综合题1．解：(1)∵△OPQ 是边长为2的等边三角形， ∴点P 的坐标为(22，62) ∵反比例函数的图象过点P ，∴62＝k 22，解得k ＝32； (2)∵k ＝32＞0，∴在每个象限，y 随x 增大而减小，在这个反比例函数的图象上有两个点(x 1，y 1)(x 2，y 2)，且x 1＜x 2＜0，∴y 1＞y 2.2．解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B(3，2)， ∵F 为AB 的中点，∴F(3，1)，∵点F 在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3x；(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E(k 2，2)，F(3，k3)，∴S △EFA ＝12AF·BE＝12×13k(3－12k)＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34，当k ＝3时，S 有最大值，S 最大＝34.3．解：(1)如解图所示，延长AE ，BD 交于点C ，则∠ACB ＝90°，∵一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过点A(－1，m)， ∴m ＝2＋1＝3，∴A(－1，3)，∵反比例函数y ＝kx的图象经过A(－1，3)，∴k ＝－1×3＝－3；(2)∵BD ⊥y 轴，垂足为点D ，且点D 的坐标为(0，－2)， ∴令y ＝－2，则－2＝－2x ＋1， ∴x ＝32，即B(32，－2)，∴C(－1，－2)，∴AC ＝3－(－2)＝5，BC ＝32－(－1)＝52，∴四边形AEDB 的面积＝△ABC 的面积－△CDE 的面积＝12AC·BC－12CE·CD＝12×5×52－12×2×1＝214.4．解：(1)由题意A(1，2)，把A(1，2)代入y ＝3k x ，得到3k ＝2，∴k ＝23；(2)把M(－2，0)代入y ＝kx ＋b ，可得b ＝2k ，∴y ＝kx ＋2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3k x y ＝kx ＋2k，消去y 得到x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或1，∴B(－3，－k)，A(1，3k)，∵△ABO 的面积为163，∴12×2×3k ＋12×2×k ＝163，解得k ＝43，∴直线l 的解析式为y ＝43x ＋83.5．解：(1)∵点B(－2，n)、D(3－3n ，1)在反比例函数y ＝mx(x ＜0)的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＝m 3－3n ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ＝－6. (2)由(1)知反比例函数解析式为y ＝－6x，∵n ＝3，∴点B(－2，3)、D(－6，1)，如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，延长DE 交AB 于点F ，在△DBE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠FBE BE ＝BE ∠BED ＝∠BEF ＝90°，∴△DBE ≌△FBE(ASA )，∴DE ＝FE ＝4，∴点F(2，1)，将点B(－2，3)、F(2，1)代入y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝32k ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝2，∴y ＝－12x ＋2. 6．解：(1)∵AB ＝4，BD ＝2AD ，∴AB ＝AD ＋BD ＝AD ＋2AD ＝3AD ＝4，∴AD ＝43，又∵OA ＝3，∴D(43，3)，∵点D 在双曲线y ＝k x 上，∴k ＝43×3＝4；∵四边形OABC 为矩形，∴AB ＝OC ＝4， ∴点E 的横坐标为4.把x ＝4代入y ＝4x中，得y ＝1，∴E(4，1)；(2)假设存在要求的点P 坐标为(m ，0)，OP ＝m ，CP ＝4－m. ∵∠APE ＝90°，∴∠APO ＋∠EPC ＝90°， 又∵∠APO ＋∠OAP ＝90°，∴∠EPC ＝∠OAP ， 又∵∠AOP ＝∠PCE ＝90°，∴△AOP ∽△PCE ， ∴OA PC ＝OP CE ，∴34－m ＝m 1， 解得m ＝1或m ＝3，∴存在要求的点P ，使∠APE ＝90°，此时点P 的坐标为(1，0)或(3，0). 7．解：(1)把A(1，a)代入y ＝－3x 得a ＝－3，则A(1，－3)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋12y ＝－3x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝32，则B(3，－1)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(1，－3)，B(3，－1)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－33k ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝－4， ∴直线AB 的解析式为y ＝x －4；(2)如解图，直线AB 交x 轴于点Q ，当y ＝0时，x －4＝0，解得x ＝4，则Q(4，0)， ∵PA －PB ≤AB(当P 、A 、B 共线时取等号)，∴当P 点运动到Q 点时，线段PA 与线段PB 之差达到最大，此时P 点坐标为(4，0). 8．解：(1)如解图，作AE 、BF 分别垂直于x 轴，垂足为E 、F. ∵△AOE ∽△BOF ，OA OB ＝13，∴OA OB ＝OE OF ＝EA FB ＝13.由点A 在函数y ＝1x的图象上，设A 的坐标是(m ，1m )，∴OE OF ＝m OF ＝13，EA FB ＝1m FB ＝13，∴OF ＝3m ，BF ＝3m ，即B 的坐标是(3m ，3m)．又∵点B 在y ＝k x 的图象上，∴3m ＝k3m ，解得k ＝9，则反比例函数y ＝k x 的表达式是y ＝9x；(2)由(1)可知，A(m ，1m )，B(3m ，3m)，又已知过A 作x 轴的平行线交y ＝9x 的图象于点C.∴C 的纵坐标是1m，把y ＝1m 代入y ＝9x 得x ＝9m ，∴C 的坐标是(9m ，1m )，∴AC ＝9m －m ＝8m.∴S △ABC ＝12×8m ×2m ＝8.5.(xx·常州)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝mx (x＜0)的图象交于点B(－2，n)，过点B 作BC⊥x 轴于点C ，点D(3－3n ，1)是该反比例函数图象上一点．(1)求m 的值；(2)若∠DBC＝∠ABC，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式.6．如图，已知矩形OABC 中，OA ＝3，AB ＝4，双曲线y ＝kx (k ＞0)与矩形两边AB 、BC 分别交于D 、E ，且BD ＝2AD.(1)求k 的值和点E 的坐标；(2)点P 是线段OC 上的一个动点，是否存在点P ，使∠APE ＝90°，若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由.7．(xx·黄冈)如图，已知点A(1，a)是反比例函数y ＝－3x 的图象上一点，直线y ＝－12x ＋12与反比例函数y ＝－3x的图象在第四象限的交点为点B. (1)求直线AB 的解析式；(2)动点P(x ，0)在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标.8．(xx·聊城)如图，分别位于反比例函数y ＝1x ，y ＝kx 在第一象限图象上的两点A 、B ，与原点O 在同一直线上，且OA OB ＝13.(1)求反比例函数y ＝kx的表达式；.精品 (2)过点A 作x 轴的平行线交y＝k x的图象于点C ，连接BC ，求△ABC 的面积．(导学号 95604296)如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。